Na ausência de desordem, o primeiro exemplo de um modelo físico real a ser analisado é o de um painel composto por duas placas quadradas de material homogêneo e isotrópico com dimensões Lx=Ly=8, 00m, módulo de elasticidade
10 2
2,1 10
E= x N m , espessura h =0, 20m e coeficiente de Poisson ν =0, 25 . Este
painel está simplesmente apoiado na viga intermediária de largura
32
x
Lx
l = e cuja
altura h=0,60m, conforme e mostrado na Figura 6.2.
A partir do Método dos Elementos Finitos, sabe-se que o sucesso obtido na elaboração de um modelo de cálculo está intimamente relacionado à capacidade de entender a natureza física do fenômeno que pretendemos representar. A identificação dos pontos relevantes do problema objeto de análise permite-nos tecer hipóteses sobre o seu comportamento.
A estrutura real que foi mostrada na Figura 6.2, é então substituída pelo modelo estrutural aproximado da Figura 6.3, desta forma, estaremos modelando de forma a não termos interferência da viga nas lajes e tornar o programa de cálculo de elementos finitos de maior tamanho e dificuldades.
Figura 6.3 – Modelo estrutural simplificado do painel formado por duas placas. A Figura 6.4 a seguir, mostra a vista em planta do painel formado por duas placas quadradas acopladas a uma viga de grande rigidez e com carregamento de protensão aplicado na direção do plano longitudinal “x”.
Figura 6.4 – Vista em planta do painel formado por duas placas.
v
8 00, m 8 00, m 8 00, m 2 Nx 1 Nx 1 L L2 8, 00 m 8, 00 m 1 Nx L1 v L2 8, 00 m x y 2 Nx6.1.2 – Vibrações
Trata-se, nesta primeira série de estudos, do problema da Localização dos Modos de Vibração. Vários graus e tipos de desordem e intensidades de acoplamento são a seguir enumerados, ilustrados com figuras e comentados.
a) Estudo do efeito da variação da espessura de referência
( )
h das placas na forma:(
)
1 1 h =h +ε (6.1)(
)
2 1 h =h −ε (6.2)onde se introduziu
ε
um parâmetro pequeno relacionado com o grau de desordem, variando no intervalo de −5% a +5%.A Tabela 6.1 mostra os valores obtidos para as freqüências naturais dos dois primeiros modos de vibração, obtidos pelo programa DYMPLATE, para a variação na espessura de referência
(
h =0, 20m)
das placas.Grau de
desordem L1 L2 Freqüências naturais (rad/s)
( )
%ε
h m1( )
h2( )
m 1º modo 2º modo -5% 0,1900 0,2100 9,5782 10,5986 -4% 0,1920 0,2080 9,6761 10,5172 -3% 0,1940 0,2060 9,7725 10,4361 -2% 0,1960 0,2040 9,8659 10,3571 -1% 0,1980 0,2020 9,9514 10,2850 0% 0,2000 0,2000 9,9797 10,1362 1% 0,2020 0,1980 9,9514 10,2850 2% 0,2040 0,1960 9,8659 10,3571 3% 0,2060 0,1940 9,7725 10,4361 4% 0,2080 0,1920 9,6761 10,5172 5% 0,2100 0,1900 9,5782 10,5986As curvas na Figura 6.5, mostram gráficos da variação das freqüências naturais correspondentes aos dois primeiros modos de vibração versus
ε
. Pode-se observar a forma marcantemente não-linear e rápida com que essas duas curvas se afastam uma da outra. Este fenômeno é conhecido, em inglês, por curve veering. Foi pela identificado pela primeira vez por LEISSA [46] em 1970, no contexto de freqüências de vibração de placas.Figura 6.5 – Freqüências naturais versus grau de desordem na espessura.
b) Estudo do efeito da variação da rigidez flexional
( )
EI das placas na forma:(
)
1 1 EI =EI +ε (6.3)(
)
2 1 EI =EI −ε (6.4)onde se introduziu
ε
um parâmetro pequeno relacionado com o grau de desordem, variando no intervalo de −5% a +5%.A seguir a Tabela 6.2, mostra os valores obtidos para as freqüências naturais para os dois primeiros modos de vibração, obtidos pelo programa DYMPLATE, para a variação na rigidez flexional de referência
(
2,1 1010 . 2)
EI= x N m das placas.
Grau de
desordem L1 L2 Freqüências naturais (rad/s)
( )
%ε
(
2)
1 . EI N m EI2(
N m. 2)
1º modo 2º modo -5% 1,9950E10 2,2050E10 9,8175 10,4040 -4% 2,0160E10 2,1840E10 9,8648 10,3634 -3% 2,0370E10 2,1630E10 9,9101 10,3242 -2% 2,0580E10 2,1420E10 9,9519 10,2880 -1% 2,0790E10 2,1210E10 9,9872 10,2574 0% 2,1000E10 2,1000E10 10,0108 10,2382 1% 2,1210E10 2,0790E10 9,9872 10,2574 2% 2,1420E10 2,0580E10 9,9519 10,2880 3% 2,1630E10 2,0370E10 9,9101 10,3242 4% 2,1840E10 2,0160E10 9,8648 10,3634 5% 2,2050E10 1,9950E10 9,8175 10,4040Tabela 6.2 – Freqüências naturais versus grau de desordem na rigidez flexional. As curvas na Figura 6.6 mostram gráficos da variação das freqüências naturais correspondentes aos dois primeiros modos de vibração versus
ε
para desordens na rigidez flexional das placas, onde se pode verificar claramente a ocorrência do fenômeno curve veering.c) Estudo do efeito da variação da massa específica
( )
ρ das placas na forma:(
)
1 1 ρ =ρ +ε (6.5)(
)
2 1 ρ =ρ −ε (6.6)onde se introduziu
ε
um parâmetro pequeno relacionado com o grau de desordem, variando no intervalo de −5% a +5%.A seguir a Tabela 6.3, mostra os valores obtidos para as freqüências naturais para os dois primeiros modos de vibração, obtidos pelo programa DYMPLATE, para a variação da massa específica de referência
(
ρ =2500 kg m3)
das placas.Grau de
desordem L1 L2 Freqüências naturais (rad/s)
( )
%ε
(
3)
1 kg m ρ ρ2(
kg m3)
1º modo 2º modo -5% 2375 2625 9,8834 10,3831 -4% 2400 2600 9,9246 10,3354 -3% 2425 2575 9,9626 10,2923 -2% 2450 2550 9,9942 10,2572 -1% 2475 2525 10,0127 10,2367 0% 2500 2500 10,0108 10,2382 1% 2525 2475 10,0127 10,2367 2% 2550 2450 9,9942 10,2572 3% 2575 2425 9,9626 10,2923 4% 2600 2400 9,9246 10,3354 5% 2625 2375 9,8834 10,3831As curvas na Figura 6.7, mostram gráficos da variação das freqüências naturais correspondentes aos dois primeiros modos de vibração versus
ε
para desordens na massa específica das placas do painel e novamente a forma não-linear das curavas, caracterizando novamente o fenômeno de curve veering.Figura 6.7 – Freqüências naturais versus grau de desordem na massa específica.
d) Estudo do efeito da variação da força de protensão
( )
Nx das placas na forma:(
)
1 1 Nx =Nx +ε (6.7)(
)
2 1 Nx =Nx −ε (6.8)onde se introduziu
ε
um parâmetro pequeno relacionado com o grau de desordem, variando no intervalo de −100% a +100%.A seguir a Tabela 6.4, mostra os valores em radianos das freqüências naturais dos dois primeiros modos de vibração, obtidos pelo programa DYMPLATE, com variação nas forças de protensão de referência
(
1 106)
Nx= x N para o painel de placas. Grau de desordem L1 L2 Freqüências naturais (rad/s)
( )
%ε
Nx N1( )
Nx N2( )
1º modo 2º modo -100 0 2000000 9,2034 10,1651 -80 200000 1800000 9,2949 10,0875 -60 400000 1600000 9,3832 10,0105 -40 600000 1400000 9,4667 9,9358 -20 800000 1200000 9,5411 9,8679 0 1000000 1000000 9,5913 9,8218 20 1200000 800000 9,5411 9,8679 40 1400000 600000 9,4667 9,9358 60 1600000 400000 9,3832 10,0105 80 1800000 200000 9,2949 10,0875 100 2000000 0 9,2034 10,1651Tabela 6.4 – Freqüências naturais versus grau de desordem na protensão.
As curvas na Figura 6.8, mostram gráficos da variação das freqüências naturais correspondentes aos dois primeiros modos de vibração versus
ε
para desordens nas forças de protensão das placas do painel.Observa-se a forma marcante não-linear das curvas, sendo que a ocorrência do fenômeno de curve veering neste exemplo, marca uma das grandes contribuições desta pesquisa para o âmbito dos estudos de localização de modos, até onde se pode verificar na literatura científica existente.
Figura 6.8 – Freqüências naturais versus grau de desordem na força de protensão.
e) Comparação entre um sistema ordenado com outro desordenado, sendo que o grau de desordem
ε
nas espessuras das placas é da ordem de 5% do valor de referência h =0, 20m , calculado pelas equações (5.1) e (5.2) definidasanteriormente.
A Tabela 6.5 mostra os valores obtidos para as freqüências naturais de vibração de um sistema desordenado, com grau de desordem ε=5% na espessura das placas. Esses valores foram extraídos da última linha da Tabela 6.1, e transcritos aqui novamente.
Grau de
desordem L1 L2 Freqüências naturais (rad/s)
( )
%ε
h m 1( ) h2( )m 1º modo 2º modo 5% 0,2100 0,1900 9,5782 10,5986A Tabela 6.6 a seguir, mostra os valores obtidos para o primeiro e segundo modos de vibrações naturais do sistema ordenado, ou seja, as duas placas com espessuras iguais. Esses valores foram extraídos da sexta linha da Tabela 6.1, e transcritos aqui novamente.
Grau de
desordem L1 L2 Freqüências naturais (rad/s)
( )
%ε
h m 1( ) h2( )m 1º modo 2º modo 0% 0,2000 0,2000 9,9797 10,1362Tabela 6.6 – Freqüências naturais de vibração para o sistema ordenado. A seguir nas Figuras 6.9 a 6.12, apresentam-se o primeiro e segundo modos de vibração, do painel formado por duas placas quadradas, para os sistemas ordenados e desordenados respectivamente.
A Figura 6.9 mostra o primeiro modo de vibração obtido para o sistema ordenado do painel de placas com espessuras iguais, obtidos pelo DYMPLATE.
A Figura 6.10 mostra o primeiro modo de vibração obtido para o painel de placas com desordens em suas espessuras, obtidos pelo programa DYMPLATE.
Figura 6.10 – Primeiro modo de vibração das placas com desordens na espessura. A Figura 6.11 mostra o segundo modo de vibração obtido para o sistema ordenado do painel de placas com espessuras iguais, obtidos pelo programa.
A Figura 6.12 mostra o segundo modo de vibração obtido para o painel de placas com desordens nas espessuras das placas, obtidos pelo programa DYMPLATE.
Figura 6.12 – Segundo modo de vibração do sistema com desordens na espessura. f) Comparação entre um sistema ordenado com outro desordenado, sendo que o grau de desordem
ε
na protensão é da ordem de 40% do valor de referência(
1, 0 106)
Nx= x N , calculado pelas equações (6.7) e (6.8) definidas anteriormente.
A Tabela 6.7, mostra os valores obtidos para o primeiro e segundo modos de vibrações naturais do sistema ordenado, ou seja, as duas placas com forças de protensão iguais. Esses valores foram extraídos da sexta linha da Tabela 6.4, e transcritos aqui novamente.
Grau de
desordem L1 L2 Freqüências naturais (rad/s)
( )
%ε
Nx N 1( ) Nx N 2( ) 1º modo 2º modo 0 1000000 1000000 9,5913 9,8218A Tabela 6.8 mostra os valores obtidos para as freqüências naturais de vibração dos dois primeiros modos do sistema desordenado, isto é, com graus de desordem de ε=40% na força de protensão. Esses valores foram extraídos da oitava linha da Tabela 6.4, e transcritos aqui novamente.
Grau de
desordem L1 L2 Freqüências naturais (rad/s)
( )
%ε
Nx N 1( ) Nx N 2( ) 1º modo 2º modo 40 1400000 600000 9,4667 9,9358Tabela 6.8 – Freqüências naturais obtidas com desordens na protensão.
A seguir nas Figuras 6.13 a 6.16, apresentam-se o primeiro e segundo modos de vibração do painel formado por duas placas quadradas, com o sistema com forças de protensão ordenadas e desordenadas respectivamente.
A Figura 6.13 mostra o primeiro modo de vibração para o sistema ordenado com forças de protensão iguais, para o painel formado por duas placas quadradas.
A Figura 6.14 mostra o primeiro modo de vibração para o sistema desordenado, com forças de protensão diferentes, para o painel com duas placas.
Figura 6.14 – Primeiro modo de vibração do painel com forças de protensão diferentes.
A Figura 6.15 mostra o segundo modo de vibração para o sistema ordenado, com forças de protensão iguais, para o painel formado por duas placas quadradas.
A Figura 6.16 mostra o segundo modo de vibração para o sistema desordenado, com forças de protensão diferentes, para o painel formado por duas placas quadradas.
Figura 6.16 – Segundo modo de vibração do painel com forças de protensão diferentes.
Nota-se com base nas figuras anteriores, tanto no primeiro quanto no segundo modo de vibração, que quando os sistemas de placas estão desordenados, isto é, com espessuras diferentes ou com forças de protensão diferentes, ocorre uma forte localização nos modos de vibrar. Isto se deve principalmente ao fato de suas rigidezes geométricas, serem afetadas pela característica não-linear do problema.