Escrito em uma linguagem de programação de alto nível presente no software MATLAB [53], o programa DYMPLATE segue o formato tradicional de um programa de elementos finitos para o cálculo dinâmico de estruturas de placas, sendo capaz de analisar placas homogêneas e isotrópicas cujo contorno seja uma curva qualquer com as mais variadas condições de apoio. O programa realiza o cálculo estático linear e não-linear, além do cálculo dinâmico do problema.
A análise de um problema pelo método dos elementos finitos envolve, além da formulação, algumas etapas fundamentais que se processam invariavelmente pela mesma ordem. São elas:
• discretização do domínio.
• geração da matriz de rigidez local para cada elemento. • geração da matriz de rigidez global da estrutura.
• geração da matriz de massa local para cada elemento. • geração da matriz de massa global da estrutura.
• introdução das condições de contorno. • análise estática linear e não-linear. • análise dinâmica linear.
• resolução do problema de autovalores e autovetores (freqüências naturais e modos de vibração).
• saída de resultados.
Considerando-se um algoritmo de cálculo tradicional para a análise dinâmica linear através do método dos elementos finitos, uma representação básica funcional de seu fluxograma é mostrada na Figura 5.1 a seguir:
Figura 5.1 – Fluxograma de análise dinâmica pelo método dos elementos finitos.
O desenvolvimento de um programa de elementos finitos para análise estática ou dinâmica de estruturas é normalmente um trabalho de grandes proporções, mesmo quando enfrentado em equipe. A correta formulação do problema e sua idealização por uma discretização representativa pelo Método dos Elementos Finitos demandam uma base sólida e moderna em mecânica estrutural.
Para solução das equações de equilíbrio no espaço e no tempo, técnicas estáveis e eficientes devem ser empregadas. O bom desempenho de um programa deste tipo depende muito da otimização de uso do “hardware” e “software” disponíveis.
Inicialmente, pelo método de Newton-Raphson, determina-se a solução do problema estático geometricamente não-linear. Quando a carga final estabelecida é atingida, caso haja convergência, a matriz de rigidez tangente calculada no último passo do processo é utilizada juntamente com a matriz de massa na composição de um problema generalizado de autovalores e autovetores, que darão respectivamente as freqüências naturais e os modos de vibração correspondentes.
O programa DYMPLATE (Dinâmica das Placas), é constituído basicamente de doze arquivos ou subprogramas (m-files) denominados funções ou rotinas principais. Esses arquivos foram escritos na forma de arquivos textos, com a extensão “.m”, característico das rotinas implementadas no ambiente do software MATLAB [53]: • Arquivos “Inputs”.m: rotinas para a realização do pré–processamento, dados de
entrada, geração da malha de elementos finitos, tabela de incidência dos nós, conectividade dos elementos e condições de contorno.
• “Elemento Triangular Chapa / Placa”.m: rotinas para construção das matrizes de rigidez e de massa para cada elemento finito no sistema local.
• “Análise Elementos Finitos em Primeira Ordem”.m: rotinas para obtenção das matrizes de rigidez e de massa no sistema global e resolver numericamente o problema de autovalores (freqüências naturais) e autovetores (modos de vibração) sob linearidade geométrica.
• “Análise Elementos Finitos em Segunda Ordem”.m: rotinas para obtenção das matrizes de rigidez e de massa no sistema global e resolver numericamente o problema de autovalores (freqüências naturais) e autovetores (modos de vibração), sob não-linearidade geométrica, através dos métodos numéricos de cálculo iterativo ou por Newton-Raphson.
• “Placas”.m: rotinas para construção da interface gráfica principal para usuário. • “Desenha”.m: rotinas para construção de um ambiente gráfico, onde se podem
desenvolver novos exemplos de aplicações com painéis de placas de contorno qualquer, inserção das coordenadas dos vértices, ligação entre os vértices, colocação das condições de contorno, geração e refinamento da malha de
elementos finitos, sem a utilização de arquivos textos “.m” previamente elaborados.
• “Resultados Primeira Ordem”.m: rotinas para exibição de uma interface gráfica que contém a listagem dos valores obtidos para as incógnitas nodais do problema estático linear, a partir dos cálculos realizados no processamento. • “Resultados Segunda Ordem”.m: rotinas para exibição de uma interface gráfica
que contém a listagem dos valores obtidos para as incógnitas nodais do problema estático não-linear, a partir dos cálculos realizados no processamento. • “Dinâmica Primeira Ordem”.m: rotinas para exibição de uma interface de
animação gráfica da análise dinâmica do problema da placas, bem como a listagem dos valores obtidos para as freqüências naturais e os respectivos modos de vibração associados, sob linearidade geométrica.
• “Dinâmica Segunda Ordem”.m: rotinas para exibição de uma interface de animação gráfica da análise dinâmica do problema da placas, executadas por métodos numéricos de cálculo iterativo ou por Newton-Raphson, bem como a listagem dos valores obtidos para as freqüências naturais e os respectivos modos de vibração associados, sob não-linearidade geométrica.
• “Desenha malha Indeformada”.m: rotinas para desenhar a malha indeformada. • “Desenha malha Deformada”.m: rotinas para desenhar a malha deformada.
A Figura 5.2 representa o fluxograma básico do programa computacional DYMPLATE, sendo que cada um dos blocos que compõe este fluxograma, é constituído por subrotinas ou subprogramas auxiliares que são os responsáveis pela interligação entre os mesmos. Esses subprogramas serão apresentados nas próximas seções onde se fornecem, resumidamente, os procedimentos envolvidos nas suas implementações.