Ordinariamente, o geômetra moderno se mostra vivamente incli- nado em direção a todo método que o afasta da intuição, que aparente- mente parece exagerar sua necessidade de inteligibilidade e que, aos olhos de vários pensadores, tomba num silogismo artificial, seja pelo seu desejo de substituir com exagero o cálculo pelas construções geo- métricas, seja por sua tendência em caçar a intuição natural de todas as noções que ele utiliza (MILLAUD, 1898, p. 169).
f (x) af (x)+bg(x) f ’(x) f ”(x) F(s) aF(s)+bG(s) sF(s) - f(o) s2F(s) - sf(o) - f ’(o)
Os estudantes, sobretudo aqueles de áreas com ligação imediata com a Matemática, dedicam boa parte de seu tempo, em nossas acade- mias, ao estudo do Cálculo Diferencial Integral em Uma Variável real – CUV e a Várias Variáveis – CVV. Embora reconheçamos a quanti- dade numerosa de estudos atinentes ao CUV, entretanto, ainda notamos esforços isolados de pesquisadores no campo de ensino do CVV (ALVES, 2011a). Ora, diante das formulações e da sistematização intro- duzida por especialistas, torna-se natural um movimento espontâneo de renovação epistemológica e mudança de interesse por parte de especia- listas, relativamente ao ensino de determinadas teorias matemáticas.
Todavia, sob um viés particular, recordamos as considerações de Cornu (2002, p. 153) quando alertava que “uma das grandes dificuldades no ensino de limites não reside apenas em sua riqueza e complexidade, mas, também, se estende aos aspectos cognitivos que não podem sim- plesmente ser generalizados somente a partir de definições matemá- ticas”. Um pouco mais adiante, Cornu (2002, p. 153) esclarecia que “na primeira metade do século XX, os textos matemáticos franceses usavam a noção de limite para introduzir a noção de derivada”. Desse modo, o lugar concedido a essa noção era visivelmente proeminente.
Outra noção destacada pelos estudiosos, que preserva seu inte- resse devido aos problemas identificados no contexto de ensino/apren- dizagem, refere-se à noção de derivada num ponto x = a de uma função f. Nesse sentido, Artigue (2002, p. 175) indica as múltiplas interpreta- ções e concepções conhecidas para essa noção. E, por outro lado, que concepções podemos indicar para a noção de derivada num ponto (x, y) = (a, b) de uma função f ou num ponto (x, y, z) = (a, b, c), quando lidamos com funções de três variáveis. Nesses casos, extraindo impli- cações para as indicações por essa autora, passamos a considerar as seguintes notações f (a + Δx, y) - f(a, b)/ Δx ou (f (a + Δx, b, c))/Δx.
Ora, das sete concepções indicadas por Artigue (2002, p. 175), no caso de uma função em uma variável real, para a classe de funções do tipo z = f (x, y) e w = f (x, y, z), assinalamos relativas mudanças con- ceituais e, em certos aspectos, a inadequação da evolução de concep- ções semelhantes ao caso restrito estudado pela pesquisadora. De modo que não podemos relacionar f (a + Δx, y) - f(a, b)/Δx como a declividade
apenas de uma única reta e, sim, de um comportamento variacional re- lativo a um plano, que tangencia uma porção do gráfico da função z = f (x, y) , no espaço IR3. Não obstante, no caso da classe de funções w = f (x, y, z), teremos seu gráfico descrito numa região do IR4, não perceptível pelos órgãos sensórios humanos.
Correspondentemente ao conceito central discutido por Cornu (2002), de que modo comparar e antever possíveis entraves aos seguintes símbolos, lim f (x, y) = L, lim f (x, y, z) = L e lim[lim[lim f (x, y, z)]] = L? Extrair implicações e limitações dos trabalhos desenvolvidos por autores nas décadas de 1980 e 1990 torna-se relevante e necessário. A partir disso, perspectivamos renovações epistemológicas necessárias, compatíveis com os novos paradigmas de educação atual, de ensino e aprendizagem dos conteúdos que mencionamos. Nesse sentido, subli- nhamos a noção de transição interna do Cálculo (ALVES, 2011a). Em sua tese, Alves (2011b) indicou elementos de ordem cognitiva, episte- mológica, metodológica e matemática no contexto de estudos envol- vendo a transição do Cálculo em uma variável – CUV para o Cálculo a várias variáveis – CVV, tradicional no ambiente acadêmico e que, de modo padrão, exige um período de um a dois anos em nossas universi- dades. Esse autor classificou e descreveu elementos de transição e ele- mentos de ruptura que se entreveem no referido período.
Os primeiros funcionam positivamente, no sentido de forta- lecer, readaptar e ressignificar conceitos estudados no contexto do CUV para o contexto do CVV. Por outro lado, conceitos, ideias, te- oremas e definições que são apresentadas e discutidas no CVV, a partir de uma abordagem que não se apoia e parte do que foi apren- dido no CUV, funcionará como entrave e, mesmo, como um obstá- culo ao entendimento.
Ainda no contexto da transição interna do Cálculo, Alves (2012, p. 6) sublinha ainda que “o uso, numa perspectiva de complementari- dade, dos softwares Geogebra e do CAS Maple permitem a descrição de um cenário de atividades de investigação inexequíveis quando restritas ao ambiente lápis/papel”. Esse autor discute uma abordagem envol- vendo dois softwares, com o escopo de apontar elementos que podem
facilitar o processo de transição interna, bem como outros que podem atuar como entraves e, mesmo, obstáculos epistemológicos.
De modo particular, uma noção discutida pelo autor refere-se à identificação e classificação dos pontos extremantes de funções do tipo z = f (x, y). Indicamos, na figura 3, a orientação espacial (vista de cima e de baixo) e a possibilidade de descrição qualitativa da figura. Enfatizamos ainda que a localização topológica dos pontos no plano, com relação ao espaço IR3 procede de uma inspeção visual. Não obs- tante, nenhuma inferência ou implicação lógica necessita ser executada, para que um sujeito que mantém sua atenção direcionada ao que exi- bimos na figura 3 produza conjecturas a respeito da quantidade e po- sição dos pontos a serem classificados. Aqui, o observador se apoia em um movimento perceptual que envolve uma relação/comparação com o mesmo objeto, apresentado sob ângulos de observação distintos.
Apenas com amparo da visualização, tanto o expert poderá dife- renciar e distinguir a natureza dos três pontos evidenciados acima, bem como o aprendiz poderá compreender a natureza de existência e com- portamento topológico local, correspondentemente a cada ponto que indicamos por (1, 1), (0, 0), (-1, -1).
Figura 3 – Descrição/identificação visual da localização de pontos sobre uma superfície no espaço IR3
Reparemos, entretanto, que, num momento posterior, prevemos um tempo didático relativo ao tratamento algébrico e o uso de defini- ções e propriedades formais, com vistas a comprovar, afirmar ou in- firmar propriedades conjecturadas, com arrimo na visualização e per- cepção das propriedades. Outro exemplo ou situação que parte de uma atividade perceptual inicial e tende a evitar a proeminência de cálculos algébricos e inferências pode ser observado abaixo, quando propomos ao estudante determinar uma região do plano, na qual identificamos a maior quantidade possível de pontos extremantes e de sela da função f (x, y) = xy.(1- x2 - y2) no compacto [-1, 1]x[1, 1].
Figura 4 - Identificação visual de pontos críticos relacionados com uma função
Fonte: Elaborada pelos autores.
Neste caso, quando restringimos nossa ação didática ao estudo e manipulação de simbologias algébricas, desperdiçamos um entendimento de uma análise local, relativo aos pontos críticos da função f (x, y) = xy. (1- x2 - y2). Ademais, o cálculo formal que deve ser mobilizado a posteriori, relativo à identificação dos pontos críticos f (x, y) = (0, 0), deverá ser apoiado, num entendimento conceitual, que detém seu marco inicial nas duas figuras que relacionamos (Figuras 4 e 5). Na figura 4, divisamos repre- sentações no plano IR2, relativas à localização de cada ponto numa região do plano em que consideramos a restrição de uma superfície.
Na figura 5, proporcionamos ao solucionador de problemas um cenário de visualização que permite extrair relações conceituais entre
representações particulares dos objetos discutidos em 2D (figura 4), com objetos conceituais identificados por representações em 3D. Com efeito, com apelo apenas na visualização e numa etapa preliminar de produção de conjecturas, depreendemos que todos os pontos indicados na figura 4 constituem as projeções de pontos sobre uma região do es- paço IR3, em que temos definido a superfície f (x, y) = xy.(1- x2 - y2), restrita ao compacto maior [-2, 2]x[-2, 2]. Desse modo, apontamos dois percursos epistemológicos possíveis. No primeiro, peculiar aos livros de Cálculo, realizamos uma inspeção da natureza dos oito pontos indi- cados acima, por intermédio do estudo da derivada direcional de 2.ª ordem. No caso, apontamos o cenário de visualização da figura 5 se mais adequado.
Figura 5 - Relações conceituais entre as representações 2D e 3D
Fonte: Elaborada pelos autores.
Por outra via, a inspeção da natureza desses pontos pode ser rea- lizada com o uso do comportamento das formas quadráticas locais que podem indicar a classificação do ponto, em cada vizinhança dos mesmos. No último caso, o cenário que indicamos na figura 4 é o mais adequado, na medida em que, com o uso de alguns teoremas em Análise no IRn, garantimos que, localmente, a função possui o mesmo compor-
tamento, numa determinada vizinhança, de uma forma quadrática asso- ciada à função f.
Outro exemplo discutido em Lima (2010, p. 364) é a seguinte função fn :[0,1] → IR, definida por fn (x) = x
n. (1- x n ), que “converge
simplesmente para a função identicamente nula em [0, 1]”. O autor evi- dencia um expediente de interpretação metafórica do comportamento dos gráficos dessa família de funções. Dessa maneira, comenta que “como se vê, cada gráfico apresenta um calombo, cuja altura se mantém constante, igual a 1/4, de modo que quando n → + ∞, a forma do gráfico de fn não se aproxima da forma do gráfico da função limite” (LIMA, 2010, p. 364).
Figura 6 - Apelo metafórico de Lima (2010, p. 364) para explicar a convergência não uniforme
Fonte: Elaborada pelos autores.
A proficuidade de seu argumento não encontra ulteriores aplica- ções, na medida em que não exploramos, de modo didático, sua indi- cação. Ademais, com base no gráfico que exibimos na figura 6, temos a possibilidade de discutir o comportamento das funções fn (x) = x
n. (1- x n),
inclusive para valores x ∈ IR-. Diferentemente da análise estruturada por Lima (2010, p. 364), divisamos a existência de dois “calombos”, quando visualizamos seu comportamento ao longo da reta real, aproxi- mando-se, neste caso, das retas x = -1 e x = 1, respectivamente (Figura 6, lado direito). Em Alves (2012a), encontramos uma discussão das no-
ções topológicas que podem ser ressignificadas, dos pontos de vista da exploração viabilizada pelo software Geogebra. Na próxima seção, in- dicaremos com mais detalhes o uso didático desse software.