Momentkapasitet

Kapittel 9

Verifikasjon i bruddgrensetilstand

Dette kapittelet tar for seg kontroll ibruddgrense, hvor det er gjort kontroll av momentkapasitet og skjærkapasitetfor lengderetning og tverretning. I tillegg er det utført kontroll av søylekapasitetog gjennomlokking.

For å gjennomføre verifikasjon i bruddgrensetilstand benyttes NS 3473med

støttelitteratur for beregning og dimensjonering av betongkonstruksjoner. Enkelte av bruddgrensekontrollene i NS 3473 er også vurdert oppmot nyere regelverk i Eurokode 2.

Dette er gjort for å sammenligne resultater og vise utviklingen av betongregelverket på enkelte områder.Fullstendige kapasitetsberegninger finnes i Vedlegg C.

9.1 Lengderetning

Ved kapasitetsberegning i lengderetning summeres armeringeni et snittover platens bredde,for å beregne samlet kapasitettil tverrsnittet.

9.1.1 Momentkapasitet

Momentkapasiteten til bruplaten blir kontrollert i snittene vist i figur 9-1.

Figur 9-1: Oversikt over kontrollsnitt for momentkapasitet i bruddgrense.

88

Vold bru har ulik armeringsmengde i forskjellige snitt over brua, som gir varierende momentkapasitet i bruas lengderetning. Momentkapasiteten til et betongtversnitt bestemmes av aksiell likevekt mellom de indre kreftene i tverrsnittet. Ved å anta et tøyningsforløp til tverrsnittet kan de indre spenningsvirkningene bestemmes, og dermed kan aksiell likevekt regnes mellom kraftresultantene, som vist i figur 9-2.

Figur 9-2: Beregningsmodell for momentkapasitet.

«Betongkonstruksjoner dimensjonering etter NS 3473» av Svein Ivar Sørensen, foreslår ulike fremgangsmåter for kapasitetsberegning av et momentbelastet betongtverrsnitt.

[30] For et bjelke/- platetverrsnitt må det vurderes om tverrsnittet er over- eller underarmert. Ved balansepunktet mellom over- og underarmert antas det at flytning i stålet inntreffer samtidig som brudd i betongen. Dermed kan trykksonehøyden αb, til et balansert armert tverrsnitt bestemmes med tøyningsforholdet til betongen og stålet:

𝛼𝛼_𝑏𝑏 = 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑠𝑠

𝜀𝜀_{𝑐𝑐𝑠𝑠}+𝜀𝜀_{𝑠𝑠𝑠𝑠}

Betongens bruddtøyning εcu kan settes til 3,5 ‰ for normalbetong (B20-B45) i følge NS 3473 pkt. 11.3.2, og flytetøyningen til stålet εsy bestemmes fra formel:

𝜀𝜀𝑠𝑠𝑠𝑠=𝑓𝑓𝑠𝑠𝑘𝑘 𝐸𝐸𝑠𝑠

Videre må den balanserte armeringsmengden bestemmes for sammenligning med den faktiske armeringsmengden i tverrsnittet. Den balanserte armeringsmegden Asb finnes med formelen:

𝐴𝐴_{𝑠𝑠𝑏𝑏}= 𝐴𝐴𝐵𝐵 10⁴

𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑓𝑓_{𝑠𝑠𝑐𝑐}𝑏𝑏𝑑𝑑𝛼𝛼_𝑏𝑏

89

I området hvor betongtøyningen er mellom maksimal bæreevne εc0 = 2 ‰ og

bruddtøyning εcu = 3,5 ‰, antas betongens trykkspenning å være lik fcn. I området hvor betongtøyningen er 0 til 2 ‰ antas betongens trykkspenning å variere parabolsk fra 0 til fcn. Se figur 9-3. Trykkresultantens størrelse og angrepspunkt kan beregnes ved hjelp av integrasjon, noe som er arbeidskrevende. I Tillegg A i NS 3473 angir standarden

faktorene A og B, som gjør det mulig å regne med en rektangulær spenningsblokk og dermed forenkler utregningen. For normalbetong med fasthetsklasse B20-B45 er A lik 80 og B lik 100.

Figur 9-3: Beregning med rektangulær spenningsblokk.

Innlagt armering i et aktuelt snitt As, sammenlignes deretter med den beregnede

balanserte armeringsmengden Asb. Dette gjør det mulig å fastslå om tverrsnittet er over- eller underarmert.

Hvis As > Asb er tverrsnittet overarmert – armeringen flyter ikke før betongen knuses, og armeringsmengden i tverrsnittet er relativt stor.

Hvis As < Asb er tverrsnittet underarmert – armeringen flyter før betongen knuses, og armeringsmengden i tverrsnittet er relativt liten. Dette er en ønskelig situasjon ved dimensjonering av betongkonstruksjoner.

Forskjellen på over- og underarmert tverrsnitt er vist i figur 9-4.

Figur 9-4: Typiske tøyningstilstander i et betongtverrsnitt.

90

For å finne momentkapasiteten til tverrsnittet er det nødvendig å finne aktuell α og trykksonehøyden. For underarmert tverrsnitt antas bruddtøyning i betongen og flytning i armeringsstålet, som for balansert tverrsnitt. Ved anta aksiell likevekt med rektangulær spenningsblokk finnes α ved å snu formelen:

0.8𝛼𝛼𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑏𝑏𝑑𝑑 − 𝑓𝑓𝑠𝑠𝑐𝑐𝐴𝐴𝑠𝑠= 0

Hvor b er tverrsnittets bredde, og d er tverrsnittets effektive høyde fra trykkrand til tyngdepunktet i strekkarmeringen. Videre beregnes momentkapasiteten til tverrsnittet som kraftparet trykk- og strekkresultanten danner multiplisert med armen z.

𝑧𝑧=𝑑𝑑 −0,8𝛼𝛼𝑑𝑑

2 = (1−0,4𝛼𝛼)𝑑𝑑 Momentkapasitet utrykt med betongspenning:

𝑀𝑀𝑅𝑅𝑐𝑐.𝑐𝑐 = 0.8𝛼𝛼(1−0.4𝛼𝛼)𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑏𝑏𝑑𝑑²

Momentkapasitet utrykt med armeringens areal og flytespenning.

𝑀𝑀𝑅𝑅𝑐𝑐.𝑠𝑠= (1−0,4𝛼𝛼)𝑑𝑑 ∙ 𝐴𝐴_𝑠𝑠𝑓𝑓𝑠𝑠𝑐𝑐

Når betongtverrsnittet er underarmert, og betongens randtøyning antas fortsatt å være lik bruddtøyningen på 3,5 ‰, vil tøyningen i stålet overstige flytetøyningen. Derfor må det også foretas en kontroll av armeringstøyningen:

𝜀𝜀𝑠𝑠=1− 𝛼𝛼 𝛼𝛼 ∙ 𝜀𝜀^{𝑐𝑐𝑠𝑠}

Denne tøyningen skal ikke være større enn bruddkriteriet for armeringen, εsu. Bruddkriteriet er oppgitt i NS 3473 punkt 11.3.6 som maksimal 10 ‰. Hvis denne verdien overskrides må det gjøres nye beregninger for å finne momentkapasiteten. Da må α bestemmes av bruddkriteriet på 10 ‰ og randtøyningen til betongen vil gå ned.

Med en slik tilnærming kan ikke lenger verdiene A og B som NS 3473 angir benyttes, fordi trykkspenningen vil variere parabolsk lenger opp mot trykkranden. I denne oppgaven blir det ikke tatt hensyn på kravet med 10 ‰ etter samråd med veileder, ettersom kravet er fjernet i EC2.

91 Beregning av momentkapasitet i felt

Tverrsnittet til Vold bru er utformet slik at moment i feltet vil gi betongtrykk i kantdrager og bruplate. Dette gjør at strekkarmeringen i underkant vil ha ulik arm til trykkranden i overkant. Momentkapasitet for plater regnes ofte i kNm/m hvor 1 m platestripe benyttes til beregning. I denne oppgaven derimot er det ønskelig å ta ut en samlet

momentkapasitet for hele platetverrsnittet, fordi bjelkemodellen gir opptredende momenter i kNm.

Fremgangsmåten for beregning av momentkapasitet som er beskrevet, tar utgangpunkt i en rett nøytralakse gjennom tverrsnittet og betongtøyning 3,5‰ ved trykkranden. Skal en slik tilnærming benyttes for Vold bru vil nøytralaksen ligge rett under overgangen mellom kantdrager og bruplate, eller muligens i kantdragerne. Randtøyningen i store deler av tverrsnittet vil da regnes som veldig liten og betongtrykkspenning vil da nærme seg 0 i dette området, illustrert i figur 9-5. Dette fører til at momentkapasiteten blir veldig lav, noe som ikke er tilfelle.

Figur 9-5: Betongtverrsnitt med illustrert nøytralakse.

En metode for å regne momentkapasiteten kan være å regne per meter som for plater, og med ulik d for kantdragere. Deretter summere opp momentkapasitet ved å

multiplisere med bredden til tverrsnittet. En annen metode, som vil være mer

konservativ, er å «smøre» trykkarealet fra kantdragerne utover platen og regne med en midlere avstand dm til trykkranden. Denne midlere avstand dm regnes ut som:

𝑑𝑑𝑚𝑚=𝐴𝐴_𝑠𝑠1∙ 𝑑𝑑₁+𝐴𝐴_𝑠𝑠2∙ 𝑑𝑑₂+𝐴𝐴_𝑠𝑠3∙ 𝑑𝑑₃ 𝐴𝐴𝑠𝑠.𝑡𝑡𝑠𝑠𝑡𝑡

Med denne metoden kan fremgangsmåten med randtøyning lik 3,5 ‰ og rektangulær spenningsblokk for utregning av trykkresultant benyttes, som illustrert i figur 9-6. Det er denne metoden som benyttes i denne oppgaven, hvor også trykkarmering er utelatt.

Figur 9-6: Tverrsnitt med rektangulær spenningsblokk.

92 Beregning av momentkapasitet over støtte

Momentkapasiteten til snitt over støtte regnes som et flenstverrsnitt, med trykksone i flens. Se figur 9-7. Armeringen i kantdragere og bruplate samles til et armeringslag med en midlere avstand dm fra tyngdepunkt armering til trykkranden. Den midlere avstanden dm regnes på samme måte som for felt.

Figur 9-7: Beregning av momentkapasitet over støtte.

Resulterende momentkapasitet og utnyttelse

Tabell 9-1: Momentkapasitet og utnyttelse i lengderetning.

Snitt MEd [kNm] MRd [kNm] Utnyttelse U

Felt 2 2656,6 3543 0,75

Felt 3 2720,8 3998 0,68

Støtte B 3260,3 4816 0,68

Støtte C 3376,6 5130 0,66

M- nullpunkt B 461,2 2018 0,23

M- nullpunkt C 448,3 2018 0,22

Tabell 9-1 viser opptredende moment MEd, momentkapasitet MRd og utnyttelse U.

Fullstendig utregning av momentkapasiteten er gitt i vedlegg C.1.

Tabellen viser at alle de kontrollerte snittene har tilstrekkelig kapasitet. Utnyttelsene er størst i felt 2 og minst ved momentnullpunktene.

93 9.1.2 Skjærkapasitet

Skjærkapasiteten til bruplaten blir kontrollert i snittene vist i figur 9-8.

Figur 9-8: Oversikt over kontrollsnitt for skjærkapasitet i bruddgrense.

Skjærkapasiteten til bruplaten beregnes etter NS 3473 kapittel 12.3. Reglene i dette kapittelet gjelder for bjelker, plater, staver og skall, hvor forholdet mellom spennvidden og tverrsnittshøyden er minst 3 ganger for tosidig opplegg eller 1,5 ganger for utkraget konstruksjonsdel. For påvisning av kapasitet skal tverrsnittet kontrolleres for strekkbrudd og trykkbrudd ved hjelp av forenklet metode, fagverksmetoden eller generell metode.

Påvisning av strekkbruddkapasitet kan gjøres med en avstand d fra kanten av opplegg for opptredende skjærkraft fra jevnt fordelt last, se figur 9-9.

Figur 9-9: Påvisning av strekkbruddkapasitet med en avstand d fra opplegg.

94 Beregning av skjærkapasitet

For en konstruksjonsdel uten skjærarmering, som Vold bru, kan forenklet metode benyttes for å beregne skjærkapasitet ved strekkbrudd.

𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐 =𝑉𝑉𝑐𝑐𝑠𝑠= 0,3 �𝑓𝑓𝑡𝑡𝑐𝑐+𝑘𝑘𝐴𝐴 𝐴𝐴𝑠𝑠

ϒ_𝑠𝑠 𝑏𝑏 𝑑𝑑� 𝑏𝑏𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑣𝑣 ≤0,6𝑓𝑓𝑡𝑡𝑐𝑐 𝑏𝑏𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑣𝑣

Skjærstrekkapasiteten er avhengig av betongens dimensjonerende strekkapasitet ftd og tverrsnittsarealet As til lengdearmering på strekksiden med tilstrekkelig forankring.

Faktoren kA settes til 100MPa og kv regnes etter anvisning i NS 3473. I likhet med momentkapasitet for lengderetning benyttes en midlere avstand dm fra tyngdepunktet i armeringen til trykkrand. Utregningene av skjærstrekkapasitet er vist i vedlegg C.2.

Med skjærarmering vil betongen kunne stille opp trykkdiagonaler i et fagverk med skjærarmeringen. Kraften i trykkdiagonalene kan da bli så stor, grunnet

skjærarmeringen, at det er nødvendig å kontrollere kapasitet for trykkbrudd. Det vil ikke være aktuelt å regne skjærtrykkapasitet for Vold bru, ettersom den ikke har

skjærarmering.

NS 3473 foreslår at påvisning for kapasitet kan utføres med en avstand d fra kant opplegget. Oppleggene til bruplaten er de induserte tverrbjelkene og landkarene. Derfor blir det et spørsmål om tverrbjelkene (oppleggene) kan antas å ha en kant og hvor denne kanten vil være. Det blir i denne oppgaven antatt at kanten til oppleggspunktene, er i senterlinjen til tverrbjelkene. Varierende armeringsmengde i bruplata gir også en varierende avstand dm fra tyngdepunkt armering til trykkrand. Forenklet regnes redusert skjærkraft med en avstand d lik 300 mm fra senterlinjen i tverrbjelkene, til sikker side.

Resulterende skjærkapasitet og utnyttelse

Den resulterende skjærkapasiteten, opptredende skjærkraft og tilhørende utnyttelse er oppgitt i tabell 9-2. Tabellen viser at alle snitt har tilstrekkelig kapasitet. Utnyttelsen for skjærkapasitet er størst i ved støtte B og minst i momentnullpunktene.

Tabell 9-2: Skjærkapasitet og utnyttelse.

Snitt VEd [kN] VEd.red [kN] VRd [kN] Utnyttelse U

95

9.2 Tverretning

Resultatene fra tverretningen er hentet fra tverrmodellen og superponert i tabellene under.

9.2.1 Momentkapasitet

Momentkapasiteten for tverretning regnes som for lengderetning, med en spenningsblokk i trykksonen uten trykkarmering. Kapasiteten vil avhenge av armeringsmengden innenfor tverrbjelkenes bredde på 3 m i kritiske snitt.

Tabell 9-3: Momentkapasitet for tverrbjelke med 3 m bredde.

Snitt MEd [kNm] MRd [kNm] Utnyttelse U

Støtte 690,1 1101 0,62

Felt 677,2 614 1,10

Tabell 9-3 viser at kapasiteten overskrides i felt med en utnyttelse på 110 %, men har god kapasitet ved støtte. Dette vil være naturlig, fordi armeringen som er lagt inn i brua tar utgangspunkt i en annen momentfordeling enn det som brukes ved denne

beregningsmodellen. Dette vil bli diskutert senere i kapittel 12. Ettersom støttesnittet har god kapasitet gir dette mulighet for momentomlagring for å få nok kapasitet i

tverretning. Beregningene er vist i vedlegg C.3.

Omfordeling av moment

I situasjoner hvor momentkapasiteten overskrides et sted i bjelken, men er tilstrekkelig et annet sted, vil det være mulig å benytte omfordeling av moment. Momentomfordeling innebærer å redusere et moment, samtidig som et annet moment øker for å opprettholde statisk likevekt. For Vold bru, i tverretning, vil det være nødvendig å øke støttemomentet og redusere feltmomentet. På denne måten er det ønskelig at kapasiteten både ved støtte og i felt vil være tilstrekkelig.

Metoden med omfordeling av moment er beskrevet i EC2 under punkt 5.5. Dette punktet forutsetter kontinuerlige bjelker eller plater som utsettes for bøying, og hvor forholdet mellom lengden av nabofelt er i området 0,5 til 2,0. Omfordeling av bøyemoment kan foretas uten kontroll av rotasjonskapasiteten hvis kravet i formel 5.10a opprettholdes:

𝛿𝛿 ≥ 𝑘𝑘1+𝑘𝑘₂𝑥𝑥_𝑠𝑠/𝑑𝑑

δ er forholdet mellom det omfordelte momentet og det elastiske bøyemomentet, xu er beliggenheten av nøytralaksen i bruddgrensetilstand etter omfordeling og d er

tverrsnittets tykkelse. Verdiene av k1 og k2 er oppgitt i det nasjonale tillegget.

Omlagring av moment forutsetter også at for armering i klasse B eller C:

96 𝛿𝛿 ≥ 𝑘𝑘₅= 0,7

Denne beregningsmetoden er vist i vedlegg C.3 og resultatene viser at 30% av feltmomentet kan omfordeles.

𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐.𝑟𝑟𝑠𝑠𝑐𝑐𝑡𝑡.𝑑𝑑𝑠𝑠𝑐𝑐=𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐.𝑟𝑟𝑠𝑠𝑐𝑐𝑡𝑡∙0,7

∆𝑀𝑀=𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐.𝑟𝑟𝑠𝑠𝑐𝑐𝑡𝑡− 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐.𝑟𝑟𝑠𝑠𝑐𝑐𝑡𝑡.𝑑𝑑𝑠𝑠𝑐𝑐

Forenklet kan en si at MEd,støtte øker med ∆M/2 fordi omfordelingen er lineær:

𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐.𝑠𝑠𝑡𝑡ø𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠=𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐.𝑟𝑟𝑠𝑠𝑐𝑐𝑡𝑡+∆𝑀𝑀 2

Resultatene av økt støttemoment og reduksjon av feltmoment er vist i tabell 9-4.

Tabell 9-4:Momentkapasitet etter omfordeling av moment.

Snitt MEd [kNm] MRd [kNm] Utnyttelse U

Støtte 791,7 1101 0,72

Felt 474,0 614 0,77

Tabell 9-4 viser at etter omfordelingen av momentene er kapasiteten tilstrekkelig, med en utnyttelse på 72 % ved støtte og 77 % i felt.Utnyttelsen i felt som opprinnelig var overskredet, er redusert med 31 %. Over støtte har utnyttelsen økt med 10 % og kapasiteten er fortsatt tilstrekkelig.

Momentkapasitet med større bredde i tverretning

En annen metode, for å oppnå tilstrekkelig momentkapasitet til tverretning i felt, er å regne med større trykkutbredelse og større bjelkebredde. I modellen er bredden til tverrbjelkene satt til 3 m. I praksis vil ikke bredden til tverrbjelkene være konstant 3 m, men variere over hele lengden. Hvis det antas en trykkutbredelsen som går 45 grader fra momentnullpunktet i tverrbjelken og ut i platen, vil bjelken ha en bredde på over 4 m.

Med større bredde vil kapasiteten til tverrbjelken i felt øke.

97 9.2.2 Skjærkapasitet

Påvisning av skjærstrekkapasitet for tverretning regnes med avstand d fra opplegget, som er kant søyle. Dette er vist i figur 9-10 og i vedlegg C.4.

Figur 9-10: Påvisning av strekkbruddkapasitet i avstand d fra opplegg.

Tabell 9-5: Skjærkapasitet for tverretning.

Snitt VEd [kN] VEd.red [kN] VRd [kN] Utnyttelse U

Støtte 1037,3 745,5 722 1,03

Utnyttelsen av skjærkapasitet for tverretning overskrider ikke kravet til NS 3473 hvor utnyttelsen skal være mindre enn 1,0 (1,0499…), se tabell 9-5. Denne kontrollen er utført etter NS 3473 for bjelker uten skjærarmering påkjent av skjærkraft.

Det kan vurderes om kontroll av skjærkapasitet i det hele tatt er nødvendig for

tverrbjelkene, da den konsentrerte skjærkraften fra søylene vil være mer kritisk. En slik kontroll av konsentrert skjærkraft rundt søyler blir utført i kapittel 9.4.

98

9.3 Søyler

I denne oppgaven blir søylekapasiteten for tre søyler kontrollert, søyle 1, 2 og 3. Søyle 1 og 2 har en lengde på 5,0 m, mens søyle 3 er 8,5 m lang. Det er valgt å kontrollere disse søylene fordi de henholdsvis er utsatt for størst momenter og størst aksialkraft.

Alle søyler har lik lengdearmering (6ø32 jern) og bøyler (ø10c250), vist i figur 9-11.

Fullstendige søylebregninger finnes i vedlegg C.5.

Figur 9-11: Armering i søyler.

Søylene er utsatt for biaksialt moment og det finnes ulike metoder for kontroll av søyler med denne påkjenningen. I denne oppgaven benyttes en metode ved bruk av lineær interaksjon, og en metode hvor biaksielt moment gjøres om til enaksielt moment. Det er også utført beregning etter Eurokode 2 for sammenligning av gammelt og nytt regelverk.

9.3.1 Slankhet

Konstruksjonsdeler som er slanke skal dimensjoneres med hensyn til konstruksjonens forskyvninger (2. ordnes teori). Dersom konstruksjonsdelen ikke er slank kan det ses bort fra disse forskyvningene (1.ordens teori). Derfor må slankheten til søylene vurderes for å vite om det skal legges til 2.ordens momenter. Søylenes slankhet blir vurdert i henhold til kapittel 12.2 i NS 3473.

Kapittel 12.2 presenterer to slankheter, den geometriske slankheten λ og den

lastavhengige slankheten λN. Den lastavhengige slankheten λN beregnes ut ifra formelen:

𝜆𝜆𝑁𝑁=𝜆𝜆�−𝑛𝑛𝑟𝑟/(1 + 4𝜔𝜔𝑡𝑡) < 45 Videre er den geometriske slankheten:

𝜆𝜆=𝐼𝐼_𝑠𝑠

𝐴𝐴 < 80�1 + 4𝜔𝜔𝑡𝑡

I formlene inngår i som er treghetsradien, hvor Ic er arealtreghetsmomentet:

𝐴𝐴=�𝐼𝐼𝑐𝑐/𝐴𝐴𝑐𝑐

99

I slankhetsvurderingen blir søylens effektive lengde le benyttet. Det antas i denne beregningen at søylen er fast innspent i topp og bunn, og knekkformen er vist i figur 9-12.

Figur 9-12: Knekkformen for en søyle som er fast innspent i topp og i bunn. [30]

For en søyle med uforskyvelige ender kan det ses bort ifra 2. ordens effekter hvis den lastavhengige slankheten blir mindre enn minstekravet:

𝜆𝜆𝑁𝑁.𝑚𝑚𝑑𝑑𝑐𝑐 = 18−8𝑀𝑀𝑠𝑠𝐴𝐴/𝑀𝑀𝑠𝑠𝑜𝑜

MOA/MOB er forholdet mellom minste og største stavendemoment beregnet etter 1.ordens teori. For momenter som gir strekk på motsatt side av staven vil forholdet MOA/MOB være negativt. Det mekaniske armeringsarealet kan settes lik 2/3 for sirkulære søyler i

slankhetsvurderingen.

Søyleslankheten må kontrolleres for begge de to beregningsmetodene som benyttes. For metoden med lineær interaksjon blir slankheten kontrollert i både y- og z-retning.

Søylenes slankhet blir også kontrollert med et enaksielt moment for den andre metoden.

For begge metoden blir søylene beregnet som ikke slanke og derfor blir ikke 2.ordens momenter inkludert i beregningene. I begge tilfeller er den lastavhengige slankheten mindre enn minimumskravet for lastavhengig slankhet. Dette gjelder for alle søylene og fullstendige slankhetsberegninger finnes i vedlegg C.5.

100

9.3.2 Beregning av kapasitet ved biaksial bøyning

Et tverrsnitt som utsettes for bøyning og normalkraft vil fremkalle en deformasjons- og spenningstilstand for å oppnå likevekt mellom ytre og indre krefter. For beregning av kapasitet til et tverrsnitt, utsatt for moment og normalkraft, benyttes gjerne

samvirkediagram eller m-n diagram. Det er utarbeidet flere samvirkediagrammer for både rektangulære og sirkulære tverrsnitt, som finnes i tabellverk og benyttes til dimensjonering.

Forholdet mellom effektiv diameter D’ og diameter D for sirkulære søyler, bestemmer hvilket diagram som benyttes. For at diagrammene skal ha en generell karakter benyttes dimensjonsløse verdier n og m for henholdsvis aksialkraft og bøyningsmoment, sammen med mekanisk armeringsmengde w.

𝑛𝑛= 𝑘𝑘

Ac er tverrsnittsarealet av betongen i uopprisset tilstand og As er armeringsarealet.

Samvirkediagrammene tar kun hensyn til aksialkraft og bøyning om en akse. Dette betyr at kapasiteten til et tverrsnitt med biaksial bøyning og normalkraft må beregnes på en annen måte, enn direkte ut fra et m-n diagram.

Lineær interaksjon

En vanlig tilnærmelse for beregning av toakset kapasitet er bruk av et rettlinjet

interaksjonsdiagram, hvor kapasiteten beregnes for begge akser. Momentkapasitet for en akse regnes ved å finne m fra diagrammet ved gitt n og w, for å så regne ut MRd.

𝑓𝑓(𝑛𝑛,𝑤𝑤) =𝑚𝑚 → 𝑀𝑀𝑅𝑅𝑐𝑐=𝑚𝑚 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝐴𝐴𝑐𝑐𝐷𝐷

Generell kapasitetsbegrensning ved biaksial bøyning for en slik tilnærmelse er i EC2 oppgitt i punkt 5.8.9(4):

�𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐𝑧𝑧

𝑀𝑀𝑅𝑅𝑐𝑐𝑧𝑧�^𝑠𝑠+�𝑀𝑀_{𝐸𝐸𝑐𝑐𝑠𝑠} 𝑀𝑀𝑅𝑅𝑐𝑐𝑠𝑠�

𝑠𝑠

≤1.0

Hvor a = 1,0 gir rettlinjet interaksjonsdiagram. EC2 anbefaler a = 2,0 for sirkulære søyler, som gir mulighet for økning av kapasitet.

For rektangulære tverrsnitt vil det ofte være ulik armering for to akser, som skaper en sterk og en svak akse. Sirkulære søyler med jevnt fordelt armering vil det ikke være en sterk eller svak akse, og bøyningskapasiteten vil være:

𝑀𝑀𝑅𝑅𝑐𝑐𝑧𝑧=𝑀𝑀𝑅𝑅𝑐𝑐𝑠𝑠 =𝑀𝑀𝑅𝑅𝑐𝑐

101 Omgjøring til enaksialt moment

En annen metode for beregning av toakset kapasitet er å beregne et resulterende moment Ms, av My og Mz om en mellomliggende akse. En slik omgjøring, til enaksialt moment, fører til at m-n diagrammet kan benyttes direkte. For rektangulære tverrsnitt, er det som tidligere nevnt ofte en sterk og en svak akse, som gir kapasitet mellom My og Mz for resulterende moment Ms. Dette kompliserer kapasitetsberegningen noe mer enn for sirkulære søyler, fordi trykkutbredelsen kan skje diagonalt mellom sterk og svak akse.

Ved omgjøring til enaksialt moment for sirkulære søyler med jevnt fordelt armering vil utformingen av trykutbredelsen være lik som for bøyning om en akse, men rotert og over et mindre areal. Omgjøring til enaksialt moment kan regnes ved å se på My og Mz som komponentene til det resulterende momentet:

𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐𝑠𝑠=�𝑀𝑀_{𝐸𝐸𝑐𝑐𝑠𝑠} ²+𝑀𝑀_{𝐸𝐸𝑐𝑐𝑧𝑧} ²

Denne metoden vil være mindre konservativ enn ved bruk av lineær interaksjon, men mer konservativ enn formelen for søyler påkjent av biaksialt moment i Eurokode 2. For sirkulære søyler med jevnt fordelt armering vil utnyttelsesgraden variere for de ulike metodene:

Figur 9-13 viser m-n diagrammet hentet fra boka Betongkonstruksjoner av Bernt

Finnesand, for sirkulære søyler med D`/D=0,8. [31] Området innenfor kapasitetskurven viser hvilket moment m og aksialkraft n tverrsnittet har kapasitet for.

Ettersom søylene har lik armering over hele lengden vil søylens kapasitet kun bli kontrollert i toppen av søylen, hvor kreftene er størst.

102

Figur 9-13: m-n diagram. [31]

103 Kapasitetskontroll ved lineær interaksjon

I kapasitetskontrollen ved lineær interaksjon blir de dimensjonerende momentene Myd og Mzd i toppen av søylen benyttet. For å finne momentkapasiteten blir verdien av m funnet fra m-n diagrammet.

Tabell 9-6: Krefter og utnyttelse for søyle 1, søyle 2 og søyle 3 ved lineær interaksjon.

Søyle N[kN] My[kNm] Mz[kNm] n m MRd[kNm] U Søyle 1 1387,2 145,8 163,6 -0,350 0,18 427,5 0,72 Søyle 2 1364,1 118,0 208,3 -0,345 0,18 427,5 0,76 Søyle 3 1567,7 33,1 149,2 -0,396 0,19 451,3 0,40

Alle søylene har tilstrekkelig kapasitet som vist i tabell 9-6. Søylen som har høyest utnyttelse er søyle 2, med en utnyttelse på 76 %.

Resultatene fra søylene er også vist i figur 9-14, figuren viser at alle søylene ligger innenfor kapasitetsgrensen.

Figur 9-14: Illustrasjon av søylekapasitet ved lineær interaksjon.

0

104

Kapasitetskontroll ved omgjøring til enaksielt moment

I kapasitetskontrollen ved omgjøring til enaksielt moment blir momentene lagt sammen ved hjelp av formelen:

𝑀𝑀=�𝑀𝑀𝑠𝑠2+𝑀𝑀𝑧𝑧2

Formelen brukes for å lage et totalt moment i topp av søylen og et i bunn av søylen.

Disse momentene benyttes deretter for å finne ut om søylens kapasitet tilstrekkelig.

Tabell 9-7: Krefter og kapasitet for søyle 1, søyle 2 og søyle 3 for enaksielt moment.

Søyle N [kN] Ms [kNm] n m Kapasitet

Søyle 1 1387,2 219,1 -0,350 0,092 Ok

Søyle 2 1364,1 239,3 -0,345 0,101 Ok

Søyle 3 1567,7 152,8 -0,396 0,06 Ok

Tabell 9-7 viser aksialkraften og moment fra de tre søylene, med tilhørende n og m verdier. Disse verdiene blir benyttet i m-n diagrammet vist i figur 9-15 for å kontrollere søylekapasiteten. Figuren viser at alle søylene ligger innenfor kapasitetskurven og dermed kan det konkluderes med at søylene har tilstrekkelig kapasitet.

Figur 9-15: Illustrasjon av søylekapasitet ved bruk av m-n diagram (D´/D=0,8, w=0,185).

- m-n diagram for enaksielt moment

M-N kurve ULS Søyle 1 ULS Søyle 2 ULS Søyle 3

105 Kapasitetskontroll etter Eurokode 2

Det er også valgt å utføre en kontroll etter EC2 med formel (5.39), når a=2 for sirkulære søyler:

�𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐𝑧𝑧

𝑀𝑀_{𝑅𝑅𝑐𝑐}�²+�𝑀𝑀𝐸𝐸𝑐𝑐𝑠𝑠

𝑀𝑀_{𝑅𝑅𝑐𝑐}�²

Denne kontrollen vil gi betydelig lavere utnyttelser sammenlignet med lineær interaksjon, se tabell 9-8.

Tabell 9-8: Krefter og utnyttelse for søyle 1, søyle 2 og søyle 3 ved beregning etter EC2.

Søyle N[kN] My[kNm] Mz[kNm] n m MRd[kNm] U Søyle 1 1387,2 145,8 163,6 -0,350 0,18 427,5 0,26 Søyle 2 1364,1 118,0 208,3 -0,345 0,18 427,5 0,31 Søyle 3 1567,7 33,1 149,2 -0,396 0,19 451,3 0,11

Sammenligning av kapasitetskontrollene

Tabell 9-9: Sammenligning av kapasitetskontrollene for søyler.

Søyle Lineær

interaksjon Omgjøring til

enaksielt moment Eurokode 2

Søyle 1 0,72 0,51 0,26

Søyle 2 0,76 0,56 0,31

Søyle 3 0,40 0,34 0,11

Tabell 9-9 viser at lineær interaksjon vil gi de høyeste utnyttelsene, og derfor er denne kontrollen mest konservativ i dette tilfelle. Kontrollen etter EC2, hvor a er satt lik 2,0, vil gi de laveste utnyttelsene.

Ved situasjoner med biaksielt moment vil forskjellen mellom de ulike

kapasitetskontrollene øke hvis momenter om begge akser har tilnærmet lik verdi. Har en

kapasitetskontrollene øke hvis momenter om begge akser har tilnærmet lik verdi. Har en

In document Styrkeberegning av platebru med alkalireaksjoner : tilstandsvurdering og kapasitetskontroll av Vold bru (sider 100-0)