Kapittel 2 Matematikk i PISA – matematikkdidaktiske perspektiver
2.2 Matematisk kompetanse i PISA
Med PISA-undersøkelsen ønsker man å få innsikt i hvordan elevenes skolegang forbereder dem til å bruke sin matematiske kompetanse videre i livet. Det betyr at elevene i PISA-undersøkelsen skal vise hvordan de bruker matematiske kunnskaper og ferdigheter tilegnet gjennom opplæring i skolen sammen med generelle ferdigheter, til å løse oppgaver som krever matematisk kompetanse.
Elevenes evne til å sette seg inn i og trekke slutninger fra tekster3 med matema-tisk innhold er for eksempel en sentral del av det å ha matemamatema-tisk kompetanse.
Elevene skal også vise at de kan analysere tekster og stille opp en matematisk modell, identifisere hvilke matematiske metoder som må brukes for å løse pro-blemet, og kunne vurdere gyldigheten av svar de har kommet fram til.
Elevene skal også vise at de kan løse mer tradisjonelle oppgaver tilsvarende dem man kan finne i lærebøker og på prøver, men dette er ikke sentralt i PISA-undersøkelsen. Elevene møter for eksempel ikke det vi tradisjonelt kaller «opp-stilte oppgaver».
2.2.1 Definisjon av matematikk i PISA
Matematikk er et verktøy vi tar i bruk for å løse konkrete oppgaver og utfordrin-ger. Unge mennesker trenger matematisk kompetanse for å være godt forberedt til å delta i et moderne samfunnsliv (Niss og Jensen 2002). I mange situasjoner er det nødvendig å gjøre et matematisk resonnement eller en vurdering for å kunne håndtere situasjonen. Hvor stor medisindose skal et barn ha? Hvordan kan jeg i praksis på en effektiv måte beregne arealet av gulvet i leiligheten jeg akkurat har kjøpt? Er det et bedre kjøp i butikken å velge en stor pakning med pålegg framfor en liten? Klarer jeg meg med lån og stipend når jeg skal begynne å studere, eller må jeg ha en inntekt ved siden av? Kompetanse som gjør oss i stand til å svare på slike spørsmål, er det som i PISA-rammeverket holdes fram som matematisk kompetanse.
PISA har følgende definisjon av matematisk kompetanse:
Mathematical literacy is an individual’s capacity to formulate, employ, and interpret mathematics in a variety of contexts. It includes reasoning mathematically and using
3. Tekst forstås bredt i PISA. Med tekst menes ikke kun skrevet, sammenhengende tekst. Tekst inkluderer også elementer som bilder, grafer, figurer, kart, illustrasjoner, tabeller osv.
2.2 MATEMATISK KOMPETANSE I PISA 45
mathematical concepts, procedures, facts and tools to describe, explain and predict phenomena. It assists individuals to recognice the role that mathematics plays in the world and to make the well-founded judgments and decisions needed by con-structive, engaged and reflective citizens (OECD, 2013a, p. 25).
I PISA brukes termen mathematical literacy (OECD 2013a, OECD 2013b).
Mathematical literacy er et begrep som ikke er helt enkelt å oversette. Vi vil bruke omskrivinger som «matematisk kompetanse» eller «matematikken i PISA» videre i denne boka. I matematikkrammeverket til PISA 2012 beskrives elever som aktive problemløsere. Definisjonen over forteller om elever som ser muligheter til å bruke matematikk for å analysere, regne og tolke. Matematisk kompetanse må forstås bredt. Den inkluderer å kunne bruke matematikk til å modellere og forstå verden rundt oss. Oversatt til norsk vil vi si at matematisk kompetanse i henhold til definisjonen er å kunne formulere, bruke og vurdere matematikk i et bredt spekter av kontekster. Dette inkluderer å kunne gjøre matematiske resonnement, bruke matematiske begreper, prosedyrer, fakta og verktøy til å beskrive, forklare og forutsi eller predikere fenomener. Matema-tisk kompetanse knyttes i PISA til å kunne bruke matematikk. Ikke bare til å løse oppgaver, men også til å forstå hvilken rolle matematikken spiller i sam-funnet, til demokratisk deltakelse og til å treffe beslutninger. Det er slik mate-matisk kompetanse en person trenger for å kunne gjennomføre de vurderinger og beslutninger et konstruktivt, engasjert og reflektert individ har behov for å gjøre i sitt møte med verden.
Matematisk kompetanse handler først og fremst om å løse oppgaver i kon-tekst. Figur 2.1 viser innledningen (stimulusen) til en av oppgavene som ble brukt i PISA 2012.
DRYPPHASTIGHET
Infusjon (eller intravenøst drypp) brukes for å gi pasienter væsker og flytende medisiner.
Sykepleiere må regne ut drypphastigheten, D, i dråper per minutt for intravenøse drypp.
De bruker formelen der
d er dråpefaktoren målt i dråper per milliliter (ml) v er volumet i ml av den intravenøse væsken n er antall timer det vil ta å tilføre den intravenøse væsken
Figur 2.1: Innledning til oppgaven Drypphastighet, frigjort oppgave, PISA 2012.
D dv
= n 60
Oppgaven har en autentisk kontekst hentet fra yrkeslivet: Teksten beskriver hvordan sykepleiere tar i bruk sin matematiske kompetanse ved medisinering.
Den handler om infusjoner eller intravenøse drypp, og om hvordan drypphas-tigheten beregnes når det gis infusjoner. Teksten er knapp og til dels kompakt.
Infusjon er forklart gjennom tekst og bilde. En vesentlig del av teksten er for-melen med korte, forklarende tillegg. Selve forfor-melen er skrevet ved hjelp av matematisk symbolspråk. Eleven må beherske både hverdagsspråk og matema-tisk språk og overgangene mellom disse for å kunne lese og forstå innledningen og spørsmålene som skal besvares (se vedlegg der hele oppgaven framstilles).
Når vi skal beskrive hvordan elevene bruker sin matematiske kompetanse for å løse virkelighetsnære oppgaver, kan vi ta for oss ulike sider ved den mate-matiske aktiviteten. Vi kan beskrive aspekter ved elevenes aktivitet som proses-ser de arbeider seg gjennom i sin problemløsing, vi kan beskrive hvilke mate-matiske kompetanser de tar i bruk, eller vi kan beskrive hvilke matemate-matiske ideer eller innholdsområder de anvender. Nedenfor presenteres tre dimensjoner som brukes for å avgrense definisjonen av matematisk kompetanse i PISA.
Avslutningsvis gir vi et eksempel for å vise hvordan disse tre dimensjonene til sammen kan gi et rikt bilde av hvilken kompetanse en elev viser ved å løse opp-gaven i eksemplet korrekt.
2.2.2 Tre problemløsingsprosesser
Matematisk handling i form av problemløsing og modellering består av tre pro-sesser som eleven må arbeide seg gjennom for å løse oppgaven, se figur 2.2.
Den første prosessen, Gjenkjenne og formulere, består i å omforme det opprin-nelige problemet til et matematisk problem. I dette ligger det å lese, tolke og bruke informasjon i teksten og representere problemet i form av en matematisk representasjon eller modell. Den neste prosessen, Bearbeide og bruke, består i å bruke de metodene og ferdighetene man har til å gjennomføre nødvendige mate-matiske operasjoner, beregninger og resonnement for å løse problemet. Da får vi et matematisk resultat som må forstås og vurderes i lys av den opprinnelige konteksten. Denne tolkningen og vurderingen av svaret er den siste prosessen, Tolke og vurdere, som i figur 2.2 er framstilt som to ledd (de lysegrønne pilene).
Figur 2.2 viser hvordan de tre prosessene til sammen utgjør problemløsings-prosessen fra å ha et problem i en virkelig kontekst, via en matematisk modell og en matematisk løsning til en løsning på det virkelige problemet. Denne modellen kjenner vi igjen både fra tidligere PISA-undersøkelser (Kjærnsli, Lie, Olsen, Roe og Turmo 2004; Olsen 2010) og fra tilsvarende modeller i annen lit-teratur om matematisk modellering og problemløsing (se for eksempel Lesh og Doerr 2003; Pólya 1957). Beskrivelsen av de tre prosessene bygger på beskri-velsene som finnes i rammeverket for PISA 2012 og i den internasjonale PISA 2012-rapporten (OECD 2013a, 2013b). Nedenfor beskrives de tre prosessene mer detaljert.
2.2 MATEMATISK KOMPETANSE I PISA 47
Gjenkjenne og formulere (Formulere)
Termen Formulere i definisjonen av matematisk kompetanse (se 2.2.1) viser til et individs evne til å gjenkjenne og identifisere muligheter til å bruke tikk ved å gi en problemstilling som oppstår i en virkelig situasjon, en matema-tisk struktur. Dette handler blant annet om å kunne identifisere matemamatema-tisk inn-hold og problemstillinger i praktiske situasjoner, identifisere vesentlige variabler, skille relevant fra irrelevant informasjon og forenkle en kompleks situasjon for å gi det en matematisk form. Dette kaller vi ofte å matematisere situasjonen. Elever må også kunne resonnere og argumentere for modellen sin, for eksempel ved å diskutere antakelser og begrensninger. For å lage en mate-matisk modell som representerer et virkelig problem, må eleven ofte oversette hverdagsspråk til matematisk språk og terminologi. En matematisk modell kan for eksempel bestå av likninger, formler, grafer eller tabeller.
Bearbeide og bruke (Bruke)
Termen Bruke i definisjonen av matematisk kompetanse viser at et individ må bruke begreper, matematiske fakta og prosedyrer, og resonnere rundt dette for å kunne løse et problem som har fått sin matematiske form. Da først kommer vi fram til en matematisk løsning. Dette innebærer for eksempel å bruke de fire regningsartene, løse en likning, lese ut informasjon fra en grafisk framstilling, analysere data og så videre. Denne delen av problemløsingsprosessen krever at eleven kan finne fram til og bruke en strategi som passer til den matematiske situasjonen, at man kan bruke matematiske verktøy som symboler, representa-sjoner og matematisk språk. Ofte kan hjelpemidler som passer, linjal og ulike digitale verktøy være til hjelp i denne delen av prosessen.
Tolke og vurdere (Vurdere)
Termen Vurdere i definisjonen av matematisk kompetanse viser til et individs evne til å reflektere over matematiske løsninger, til å tolke og vurdere dem opp
Virkelig løsning
Virkelig problem Matematisk problem
Matematisk løsning Bearbeide
og bruke
Tolke Gjenkjenne og formulere
Vurdere
Figur 2.2: Modellerings- og problemløsingssyklusen.
mot den konteksten som problemet de er løsning på, oppstod i. Dette innebærer for eksempel å kunne oversette resultater fra et matematisk språk til hverdags-språk. Samtidig må eleven vurdere hvor relevant løsningen er, og hvordan resultatet kan brukes i den reelle situasjonen. Dette inkluderer å identifisere begrensninger i den modellen som ligger til grunn for resultatene, og modellens egnethet i den reelle situasjonen. Noen ganger må man også kunne forklare hvorfor resultatet på det matematiske problemet ikke gir mening i den reelle situasjonen.
2.2.3 Sju kompetanser
Elevene trenger matematiske begreper og ferdigheter for å være aktive pro-blemsløsere. I dette avsnittet beskrives kort det som ofte kalles matematiske kompetanser (Niss og Jensen 2002). I PISA har man med utgangspunkt i arbei-det til Mogens Niss definert sju slike områder som man kaller «mathematical capabilities» (OECD 2013a). Vi vil videre i denne boka bruke begrepet «kom-petanser» slik det er tradisjon for i de nordiske landene også når vi henviser til kompetansene slik de er definert i PISA.
De sju kompetansene i PISA er å kunne:
– kommunisere med, i og om matematikk
– matematisere og modellere både matematiske og virkelige situasjoner – representere matematiske størrelser, velge, veksle mellom og bruke
mate-matiske representasjoner i oppgaveløsing – resonnere og argumentere matematisk
– planlegge, velge ut og bruke problemløsingsstrategier
– bruke symbol- og formalspråk, regler og formelle matematiske metoder – velge ut og bruke matematiske verktøy og hjelpemidler
Det vil variere fra situasjon til situasjon i hvilken grad de ulike kompetansene tas i bruk for å løse problemet, men hver av de sju kompetansene kan tas i bruk i alle de tre prosessene. Representasjonskompetanse kan for eksempel involve-res i prosessen Formulere ved at eleven må finne en matematisk repinvolve-resentasjon for et virkelig fenomen. En slik representasjon kan være en brøk eller en geo-metrisk figur. Elever manipulerer, bruker og veksler mellom ulike matematiske representasjoner når de tar i bruk matematiske metoder for å løse problemet i fasen Bruke. Når eleven skal Vurdere resultatet av denne aktiviteten, kan dette for eksempel innebære å sammenligne og velge mellom to eller flere represen-tasjoner for matematiske forhold som er relevante for den praktiske situasjonen problemet oppstod i.
Likeledes kan man tenke seg at matematiske verktøy er aktuelle i alle fasene av problemløsing. Matematiske verktøy kan brukes til å strukturere situasjonen som skal modelleres. Videre kan verktøyene brukes til å manipulere og
bear-2.2 MATEMATISK KOMPETANSE I PISA 49
beide et materiale fram til en løsning som siden tolkes og vurderes i forhold til hvor rimelig resultatet er, gitt de begrensninger man hadde i den opprinnelige situasjonen. De sju kompetansene er ikke rapporteringskategorier.
2.2.4 Fire sentrale ideer
Matematikk har også innholdselementer. I læreplaner for skolens matematikk-fag er innholdselementene tradisjonelt utformet som matematiske hovedområ-der, for eksempel tall og algebra eller geometri. Dette er vanlig i mange land. I PISA har man valgt en litt annen inndeling. I rammeverket deles matematikk inn i de fire innholdsområdene Forandring og sammenheng, Rom og form, Tall og mål og Usikkerhet. Disse områdene, eller sentrale ideer, avgrenser og beskriver det matematiske innholdet i PISA-prøvene. Inndelingen av matema-tikk i fire sentrale ideer forteller samtidig noe om hvilke grunnleggende feno-mener, der den reelle verden møter den matematiske verden, som anses viktige for 15-åringer. Beskrivelsen nedenfor av de fire innholdsområdene bygger på den internasjonale PISA-rapporten for 2012 og den norske rapporten fra 2009 (OECD 2013a; Olsen 2010).
Forandring og sammenheng
I mange situasjoner møter vi fenomener som endrer seg, der utviklingen synes å følge et underliggende mønster. Dette er grunnleggende mønstre som opptrer i mange ulike fenomener. Befolkningsveksten i et land er et eksempel på en slik situasjon der veksten følger et mønster. Vi opplever ofte at når en størrelse endrer seg, påvirker dette en annen størrelse, slik mengden CO2 i atmosfæren påvirker temperaturen. Mange slike hendelser kan modelleres matematisk ved hjelp av grafiske og algebraiske representasjoner, med tall i tabeller eller ver-bale beskrivelser og uttrykk. Kjennskap til noen fundamentale matematiske relasjoner, som for eksempel proporsjonale størrelser, er til stor hjelp når vi skal beskrive og forstå forandring og sammenheng mellom størrelser.
Rom og form
Denne sentrale ideen knytter seg til den visuelle verden, det rommet vi lever i.
Ved å klassifisere objekter og relasjoner mellom objekter i geometriske møn-stre og former, kan vi beskrive og analysere mange fenomener. Ved å bruke geometriske representasjoner blir problemstillinger knyttet til slike fenomener løsbare. En planskisse av et rom er for eksempel en todimensjonal representa-sjon av et tredimenrepresenta-sjonalt fenomen. Denne transformarepresenta-sjonen er resultatet av en matematisk aktivitet som bidrar til å redusere kompleksiteten til det reelle feno-menet, slik at vi lettere kan forstå og bearbeide det. Kunnskaper i geometri er vesentlig for å kunne forstå rom og form, men ikke tilstrekkelig. Det er også viktig å ha god innsikt i matematiske temaer som algebra og måling. Å kunne bruke digitale verktøy er en vesentlig del av rom og form.
Tall og mål
Svært mange fenomener krever at vi har grunnleggende tallforståelse, beher-sker og forstår de fire regningsartene, og at vi har utviklet god intuisjon for hva som er rimelige verdier for ulike størrelser i en gitt kontekst. Forhold mellom tall, relative størrelser og andeler og ulike måter å representere tall på, er sen-trale elementer i god tallforståelse. Det vil ofte være nyttig å bruke algebraiske representasjonsformer for tall når vi skal forstå fenomener eller løse matema-tiske problemer.
Usikkerhet
Denne sentrale ideen inneholder to hovedtemaer eller ideer: 1) identifikasjon og beskrivelse av ulike former for data (mengder), og 2) analyse og vurdering av variasjon og usikkerhet. Dette er forhold som hører inn under det som i lærepla-nene dekkes av statistikk og sannsynlighet. Usikkerhet handler om vitenskape-lige metoder, om resultater av undersøkelser og utforsking, for eksempel vær-melding og økonomiske modeller. Det er en grunnleggende aktivitet å kunne beskrive verden ved hjelp av måling av størrelser, og slike målinger er alltid beheftet med usikkerheter. Fenomener i naturen eller i sosiale og samfunnsmes-sige sammenhenger opptrer som regel med en viss naturlig variasjon. I konkrete og virkelighetsnære problemstillinger må vi derfor kunne håndtere både varia-sjon og usikkerhet.
Også beskrivelsen av de fire sentrale ideene kommuniserer det sentrale i mate-matikkforståelsen i PISA: at matematikken er et redskap for å forenkle, model-lere og fortolke fenomener i verden. Det er sjelden at det matematiske innholdet i en realistisk problemstilling kun er knyttet til ett av de fire områdene. For eksempel vil mange av oppgavene innen Rom og form involvere elevens tall-forståelse, og ofte må man bruke sammenhenger mellom størrelser for å løse problemer også i dette innholdsområdet. Likevel er det slik at selv om innholdet i en oppgave er sammensatt, er det i hovedsak knyttet til én av de fire sentrale ideene. Innholdsområdene er altså ikke gjensidig utelukkende kategorier. De må snarere forstås som et verktøy for å sikre en faglig bredde i PISA-under-søkelsene.
PISA har siden 2000 benyttet denne noe utradisjonelle organiseringen av det matematiske innholdet gjennom kategorier av fenomener snarere enn en tradi-sjonell inndeling i temaer som tall og algebra, geometri og så videre. Det er like-vel en relativt sterk sammenheng mellom de fire sentrale ideene og en mer tra-disjonell innholdskategorisering av matematikk. Oppgaver innen geometri vil for eksempel i hovedsak være å finne under den sentrale ideen Rom og form, og oppgaver som inkluderer sannsynlighetsregning, kombinatorikk eller statistisk analyse, er gjerne kategorisert som Usikkerhet. Innholdselementene i PISA og den norske læreplanen drøftes i kapittel 2.5.