Antes de iniciarmos nossa investigação, lemos e analisamos alguns trabalhos de pesquisa sobre o assunto, como os de Fayol (1996), Lerner e Sadovsky (1995), Coulibaly (1987), e as colocações apresentadas em documentos do INRP de Paris (1988), que estimulam professores a trabalhar com os chamados números familiares (como os que indicam sua idade, o número da casa, ou o número do telefone), e com os denominados freqüentes (como os dias do mês, o do ano em que estão).
Em seu trabalho, Lerner e Sadovsky relatam entrevistas, feitas em duplas, com 50 crianças, em que os integrantes de cada dupla pertenciam à mesma série. O objetivo dessas pesquisadoras era o de averiguar como as crianças se aproximavam do conhecimento do sistema de numeração, para projetar situações didáticas que lhes desse oportunidade de colocar em jogo suas próprias conceituações, compará-las com as de outras crianças e permitir que elaborassem diversos procedimentos.
Tinham a intenção de que as crianças, ao explicitarem argumentos para justificar suas decisões, pudessem descobrir lacunas e contradições em suas suposições. Poderiam detectar seus próprios erros e questionar e reformular suas idéias a fim de aproximarem-se progressivamente da compreensão da notação convencional.
As autoras, preliminarmente, realizaram estudos com o intuito de descobrir quais aspectos do sistema de numeração as crianças consideravam relevantes ou de seu interesse, que idéias elaboravam sobre os números, que tipo de problema formulavam, como construíam suas hipóteses e soluções, quais conflitos poderiam ser gerados pelas suas próprias conceitualizações ou entre seus conceitos e determinadas características do objeto que estavam tentando compreender.
As entrevistas clínicas foram realizadas com duplas de crianças de cinco a oito anos e, desde o começo da análise dos dados, as pesquisadoras conseguiram estabelecer certas regularidades. A aparição e reaparição, por parte das crianças, de determinadas respostas em forma de idéias, justificativas, conflitos, estabelecimento de relações, perguntas e procedimentos impulsionaram linhas de trabalho didático antes do previsto.
Ao iniciar a pesquisa, as autoras tinham como questões:
• que conclusões poderiam as crianças tirar a partir de seu contato cotidiano com a numeração escrita?
• que informações relevantes poderiam obter ao escutar seus pais queixarem-se do aumento dos preços, ao tentar entender como é que sua mãe sabe qual das marcas de determinado produto é mais barata, ao ver que seu irmão recorre ao calendário para calcular os dias que ainda faltam para seu aniversário, etc.
Dito de outro modo: o que poderiam aprender as crianças ao presenciar situações nas quais os usuários do sistema de escrita denominam, escrevem e comparam números?
Para essas pesquisadoras, as crianças constroem, desde cedo, critérios para comparar números; muito antes de suspeitarem da existência de unidades, dezenas e centenas, estabelecem alguma relação entre a posição dos algarismos e o valor que eles representam; detectam regularidades ao interagirem com a escrita de fragmentos da seqüência numérica.
Repetidas vezes as autoras observaram, em aulas, algumas produções não-convencionais e, formularam duas suposições:
• as crianças elaboram critérios próprios para produzir representações numéricas;
• a construção não segue a ordem da seqüência (numérica), ainda que esta desempenhe um papel importante nessa construção.
A fim de verificarem e validarem essas suposições, planejaram uma situação experimental focada na comparação de números, e outra, na produção de números.
As autoras observaram a comparação com números, trabalhando com crianças de 5 a 6 anos que cursavam o jardim de infância ou a primeira série. Alina (6 anos, primeira série) afirma “que 23 é maior que 5, (sem nomear o
número 23, apenas apontando-o) porque esse (número) tem dois números e o 5 (apontando-o) tem só um número”.
Segundo as pesquisadoras, as afirmações das crianças entrevistadas mostram que elas elaboram uma hipótese que poderia ser explicitada assim: “quanto maior a quantidade de algarismos de um número, maior é o número”. Esse critério elaborado pela criança, a partir da interação com a numeração escrita e relativamente independente da manipulação da seqüência dos nomes dos números, é uma ferramenta usada por ela para comparar qualquer par de números cuja quantidade de algarismos seja diferente, mas essa ferramenta, usada por todas as crianças observadas, não se generaliza de maneira imediata a todas as situações.
A comparação entre números de igual quantidade de algarismos também gerou hipóteses bem interessantes entre as crianças. Elas demonstraram descobrir que a posição dos algarismos cumpre uma função relevante em nosso sistema de numeração.
Segundo as autoras, essas hipóteses levantadas pelas crianças sobre o critério de comparação, baseado na posição dos algarismos, estão longe de construir-se de uma vez só e para sempre, pois sua generalização requer a superação de alguns obstáculos.
As crianças pesquisadas por elas ainda não descobriram as regras do sistema (agrupamentos de 10 em 10), porém isso não impede que elas elaborem hipóteses referentes às conseqüências dessa regra – a posição e a base 10 – e as empreguem como critérios válidos de comparação entre números. Tendo como ponto de partida essas hipóteses e o auxilio do professor ao formular questões que levem à reflexão sobre essas hipóteses, a criança descobre a regra do sistema.
Quanto à produção dos números, as pesquisadoras perceberam que a apropriação da escrita convencional dos números não segue a ordem da série numérica, pois as crianças manipulam primeiro a escrita das dezenas, centenas, unidades de mil..., exatas, denominadas por elas de “nós”, e só depois elaboram a escrita dos números que se posicionam nos intervalos entre esses nós.
As crianças, para produzir números cuja escrita convencional ainda não dominam, elaboram conceitualizações a respeito da escrita, baseando-se nas
informações que extraem da numeração falada. A hipótese que as crianças fazem, ao corresponder a numeração escrita à falada deve-se ao fato de a numeração falada não ser posicional.
Outra questão que precisa ser levada em conta é a de que a numeração escrita envolve operações de raciocínio. A numeração falada, em alguns casos, utiliza-se de uma adição, como é o caso de mil e sete, que significa 1000 + 7. Em outros, utiliza-se de uma multiplicação, como é o caso de três mil, que significa 3 X 1000 e, em outros, essas operações aparecem combinadas, isto é, utiliza-se de uma multiplicação e de uma adição, como em cinco mil quatrocentos e cinco, que significa 5 X 1000 + 4 X 100 + 5. Entretanto, não é tarefa fácil descobrir o que está por trás da numeração falada e o que está por trás da numeração escrita.
Das conceitualizações apresentadas pelas crianças entrevistadas e do questionamento das pesquisadoras, alguns conflitos foram gerados. Um deles diz respeito à numeração escrita estar relacionada com a numeração falada. O outro foi a percepção de que, em nosso sistema de numeração, a quantidade de algarismos está relacionada à grandeza do número representado. Isto porque escreve-se convencionalmente 2 000 e 3 000, percebendo que ambos os números possuem quatro algarismos, mas, ao registrarem, por exemplo, dois mil quatrocentos e cinqüenta e sete, o fazem assim: 2000400507, ou assim, 21000410057. A criança poderia até aceitar que esse número é maior do que 2 000, mas entra em conflito quando tem que comparar com o 3 000, pois, por hipótese, três mil é maior que dois mil quatrocentos e cinqüenta e sete, mas, no registro, três mil fica menor. Mas este conflito só é percebido pela criança quando faz o registro do número e é questionada por alguém, ou tem que fazer comparação com a escrita de outra criança. Como dizem as pesquisadoras: “tomar consciência deste conflito e elaborar ferramentas para
superá-lo parecem ser passos necessários para progredir até a notação convencional”.
Em suas pesquisas, Fayol analisa questões como seqüência numérica verbal, procedimentos de quantificação, conservação, algoritmos e resolução de problemas. Ele destaca que, mesmo que exista uma certa autonomia de cada domínio, não há compreensão da sintaxe da numeração falada e escrita sem se fazer alusão à decomposição aditiva e multiplicativa dos números, e
nem a compreensão da percepção imediata do cardinal de uma coleção, sem se fazer alusão à enumeração. O fato de os primeiros problemas significativos para a criança envolverem números pequenos e transformações de uma ou duas unidades a mais ou a menos não basta para fazer dos números algo mais do que uma seqüência ordenada. Para o autor, o que dá sentido ao conceito de número é um conjunto relativamente grande e diversificado de situações e práticas sociais, nas quais a quantificação e comparação, transformação e combinação, quantificações de comparações (ter a mais, ou a menos, do que), e composições de transformações (ganhar dois, depois cinco), desempenham, todas, um certo papel.
Ele mostra que as atividades numéricas apresentam um duplo aspecto. Por um lado, remetem à numeração como sistema organizado, elaborado e desenvolvido no cerne de uma determinada cultura, como um produto sócio- histórico exterior à criança, mas que dele deve apropriar-se, interiorizando-o para resolver problemas com os quais se defronta. Por outro lado, recorrem a um certo número de noções lógico-matemáticas (seriação, equivalência, interação, adição, subtração, etc), que estruturam o sistema de maneira subjacente e que condicionam sua organização interna. Esses fenômenos trabalham com operações relativas aos fundamentos lógicos do número e da numeração, e só podem ser socialmente transmitidos da mesma maneira que a cadeia numérica verbal. Eles devem compor o objeto de uma construção da própria criança, sendo apenas indireta a intervenção das dimensões sociais e culturais.
Segundo Fayol, da aquisição para a enumeração verbal, que se instala entre dois e seis anos, observa-se que as seqüências verbais obtidas a partir da instrução “diga até quanto você sabe contar”, deixam-se decompor em aproximadamente três partes: estável (reencontrada em cada experiência), e
convencional (correspondendo às regras adultas); estável (relativamente),
mas não convencional (quer porque a ordem dos itens não seja a adotada pelos adultos, quer porque faltem elementos) e, nem estável nem
convencional (varia, no mesmo sujeito, de uma experiência a outra). Uma das
razões dessas diferenças depende da diversidade dos estímulos fornecidos pelo ambiente, desde as interações com a mãe até aquela com outros adultos ou crianças maiores.
A aprendizagem “decorada” da corrente numérica verbal, além de exigir um esforço enorme, não permitiria a enumeração de uma coleção qualquer de cardinal até então desconhecido. O armazenamento dos princípios de construção lingüística da cadeia numérica, às vezes, alivia a tarefa e autoriza a etiquetagem verbal de todo conjunto numérico, seja qual for seu tamanho e a freqüência de sua ocorrência. Para a criança, o problema em descobrir essas regras é do mesmo tipo daquelas que regem o conjunto dos fatos da linguagem.
Fayol demostra que em estudos recentes sobre a aquisição da numeração escrita, três ordens de fenômenos são apresentadas:
• As crianças parecem perceber muito cedo a diversidade das funções do número, mesmo sem compreendê-las completamente.
• As dificuldades surgem com a utilização da notação posicional e, principalmente na sua compreensão.
• Os obstáculos mais árduos e difíceis de serem eliminados são os relativos à compreensão e ao emprego dos sinais de operações. Para o autor, existem duas problemáticas diferentes, uma que evidencia mais a aquisição da cadeia numérica e suas propriedades, aquela em que se constata, e a outra, relacionada ao desenvolvimento das noções lógicas, aquela em que se conclui. Essas duas concepções coexistem, apresentando muitas dificuldades para se coordenarem mas o estudo do desenvolvimento dessas noções obriga a criança a efetuar uma certa síntese, pois permite, em parte, dissociar o que provém da cultura daquilo que tem relação com os fatores endógenos. Há que se levar, também, em consideração a diversidade das conquistas cognitivas das crianças, suas reorganizações sucessivas dos esquemas e das concepções, a modulação dos processos e dos objetos de pensamento, e o lugar sempre renovado das novas conceituações. A experiência da criança é uma experiência social e suas competências dependem de algumas características culturais e sociais.
Em seu trabalho, Fayol destaca uma interessante citação de Vergnaud: ”... é preciso entregar-se à evidência: o conceito de número não se reduz nem ao critério da conservação, nem à atividade de enumeração, nem à resolução de uma classe de problemas, nem a alguns procedimentos automatizáveis, nem à compreensão e à
manipulação de sinais no papel. Mas é desse conjunto de elementos diversos que emerge, com a ajuda do ambiente familiar e escolar, uma das construções cognitivas mais impressionantes”. (Fayol, p. 11)
Em um dos trabalhos de pesquisa da equipe de matemática do INRP, “Os números: um trabalho para crianças”, há um destaque quanto à apropriação dos números pela criança. A equipe comenta que as crianças empregam procedimentos diversos para resolver problemas que envolvam o pensamento numérico, porém levam em conta o tamanho dos números. Em análise de pesquisas com crianças do jardim de infância e da primeira série, distinguem-se 4 domínios numéricos:
• O domínio dos números “visuais”. São os números reconhecidos rapidamente e/ou globalmente como o 3, 4 ou 5. Nesse domínio, é possível que a criança lembre, mentalmente, a quantidade de objetos que compõe uma coleção com uma dessas quantidades.
• O domínio dos números “familiares”. O uso social dos números é relativamente freqüente, como o número da casa.
• O domínio dos números “freqüentes”. São os números que representam a quantidade de alunos na classe, os números do calendário, etc.
• O domínio dos números “grandes”. Este é um procedimento de enumerar ou de ler escritas numéricas (agrupar, comparar), em que ela, a criança, coloca todo o seu interesse no tamanho, para fazer as comparações.
Dentre os trabalhos de pesquisa lidos e analisados sobre a representação decimal de números racionais, destacamos o de Coulibaly, em seu trabalho “Les décimaux en quatrième: analyse des conceptions” (1987), no qual evidenciou dois tipos de concepções sobre esses números:
I. Um número racional na forma decimal é considerado como número inteiro com vírgula.
II. Um número racional na forma decimal são dois números inteiros separados por vírgula.
Em seu trabalho, destacou que os conhecimentos adquiridos no domínio dos números naturais são levados para outro domínio numérico, o dos racionais. Por exemplo:
“todo número natural tem sucessor e, se ele é não nulo, um antecessor”;
“o produto de dois números naturais não nulos é maior ou igual a cada um deles”.
Os erros dos alunos, relativos a estas concepções, são de diferentes tipos, dentre os quais o autor evidenciou:
1. Erros relativos à densidade e/ou o discreto, identificados em
exercícios como, por exemplo:
a) Numa lista, os números são colocados do menor para o maior. Escreva um número no espaço vazio.
5,2 XXX 5,3
b) Um número misterioso está entre 5 e 6. Se ele for multiplicado por 10, obtém-se 57. Qual é esse número?
c) Será que existe um número decimal entre 2,746 e 2, 747?” Esses estudos mostraram que 37% de 126 alunos franceses do primeiro ano do segundo grau, pesquisados, responderam que é impossível encontrar o número solicitado no item c.
O fato de que entre dois números racionais existem infinitos números racionais não é utilizado pelos alunos, mostrando que a densidade que caracteriza o conjunto dos números racionais não é percebida facilmente por eles. É mais forte para eles a ordem que vem do conjunto dos números naturais.
2. Erros relativos às operações como a multiplicação por 10,
identificados em exercícios como, por exemplo: a) 10 X 5,13 = XXX
Uma resposta freqüente é 5,130 na qual a regra da multiplicação de um natural por 10 está aplicada aos números racionais na forma decimal, sem levar em conta a vírgula.
b) Comparar: 8 X 0,4 com 8 : 0,4 0,8 X 0,4 com 0,8 : 0,4
É freqüente obter respostas do tipo: 8 X 0,4 > 8 : 0,4 e 0,8 X 0,4 > 0,8 : 0,4
na qual a idéia de que “a multiplicação aumenta e a divisão diminui”, é transportada pelos alunos às situações que envolvem números racionais na forma decimal.
3. Erros relativos à ordem.
Dentre os erros relativos à ordem, podem ser observados alguns de naturezas diversas pela aplicação de diferentes regras, como:
a) O número maior é aquele cujo número “inteiro” formado pelos dígitos depois da vírgula é maior. Esse tipo de erro é evidenciado em registros tais como :
• 12,8 < 12,17 “pois” 8 < 17 • 12,4 < 12,113 “pois” 4 < 113
Os alunos consideram a parte decimal como um número “diferente” que tem também, centenas, dezenas, unidades. Esta regra permite classificar corretamente os números racionais cuja parte decimal tem mesmo comprimento, mas evidentemente não vale no geral.
b) O número que tem um número maior de “casas” decimais é o número racional menor. Esse tipo de erro pode ser constatado em produções tais como:
• 12,289 < 12,18 • 4,249 < 4,06
c) O número menor é aquele em que o primeiro número após a vírgula é nulo; os outros números ficam classificados segundo a regra tipo a). Esse tipo de erro pode ser constatado em produções tais como: • 4,06 < 4,3 < 4,249
• 11,09 < 11,8 < 11,98 < 11,898