Nas últimas décadas, o ensino dos números e do sistema de numeração decimal no ensino fundamental tem sofrido mudanças, provocadas por diferentes tendências didáticas e pedagógicas.
Programas oficiais, propostas curriculares, documentos subsidiários e livros didáticos são documentos importantes para analisar essas mudanças e procurar identificar as teorias que as fundamentam, para compreender melhor o que se propõe e o que se faz na sala de aula.
Tomando como referência o sistema estadual de ensino público do Estado de São Paulo, em 1949, verificamos que foram lançados programas oficiais cuja vigência se estendeu até 1968, ano em que foi elaborado um novo programa. Nesses programas, em que se apresentava o estudo de Aritmética e de Geometria, o ponto central do trabalho com a numeração era a aprendizagem da seqüência numérica, baseada numa progressão de etapas que levava em conta a grandeza dos números envolvidos e uma hierarquização de prováveis dificuldades. O trabalho era apoiado na memorização das escritas, com exercícios em que se propunha ao aluno copiar várias vezes a seqüência numérica de 1 a 10, de 1 a 20, de 1 a 100.
Os programas de 1ª a 4ª séries enfatizavam o trabalho com resolução de problemas, jogos, e uma conexão íntima com o ensino da leitura e da linguagem, a fim de despertar o interesse infantil e favorecer o desenvolvimento geral do aluno.
Nesses programas, já se propunha, para os primeiros dias de aula, uma investigação dos conhecimentos numéricos que as crianças traziam ao entrar na escola, a fim de proporcionar, concomitantemente, um início de adaptação da criança ao ambiente escolar e, ao professor, a faculdade de conhecer qualidades de atenção e compreensão de seus alunos, e promover o desenvolvimento dessas qualidades durante o ano letivo. (Anexo 1)
No período de 66 a 76, sob grande influência da Matemática Moderna, novas orientações fizeram surgir novas práticas. Os Guias Curriculares (1974) para as matérias do núcleo-comum (Comunicação e Expressão, Estudos Sociais e Ciências) do ensino do 1º grau traziam orientações que, de certo modo, já haviam chegado aos professores por meio de livros didáticos.
A marca desse período foi a inclusão de elementos da teoria dos conjuntos para o trabalho com números e a exploração do processo de agrupamentos e trocas em diferentes bases, difundindo-se a idéia de que seria aconselhável trabalhar com bases menores, como as bases 2, 3, 4, 5, etc., anteriormente à base 10, dando ênfase ao material conhecido como multibase. Jogos como nunca 2, nunca 3, nunca 5, etc., antecediam o nunca 10, que era usado como mote para a exploração das regras do sistema de numeração decimal.
Raramente as atividades sobre o assunto eram abordadas a partir de resolução de problemas ligados ao cotidiano. A justificativa da importância do domínio do SND para uma boa compreensão das operações já era muito forte.
Como os Guias Curriculares se mostraram um documento complexo e insuficiente para o trabalho dos professores, foram elaborados os Subsídios
para a Implementação do Guia Curricular de Matemática.
Além de explicitar os princípios apresentados nos guias, esses documentos procuravam fornecer informações para professor sobre os conteúdos matemáticos, com algumas sugestões sobre como abordar esses conteúdos em sala de aula. O Material Dourado, as caixinhas de contagem, os palitos amarradinhos, eram uma forte tendência apresentada nesse material, para que os alunos pudessem se apropriar do sistema de numeração.
Objetivos, pré-requisitos, material e atividades dos Subsídios, sobre o sistema de numeração decimal de 1ª a 4ª séries, encontram-se no anexo 2.
Como os Subsídios foram considerados ainda insuficientes para atender à grande demanda do professor sobre como ensinar, a Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, através do Centro de Estudos e Normas Pedagógicas, elaborou os documentos Atividades Matemáticas, que ainda hoje são material de apoio ao trabalho do professor.
Esse material subsidiário ao trabalho do professor, acompanhado da orientação realizada por monitores e supervisores, em discussões relativas à elaboração e implementação da Proposta Curricular de Matemática, destinava- se a apoiar as decisões didáticas, oferecendo embasamento teórico que promovesse o atendimento às necessidades e interesses das crianças.
Uma das marcas do trabalho com as operações, nesse material, residia no rompimento com a abordagem dos números e das operações pela via da teoria de conjuntos. As atividades propostas usavam como recurso a resolução de situações-problema, visando a desafiar o aluno à reflexão, discussão em grupo, elaboração de hipóteses e procedimentos, bem como à aplicação do aprendido em situações novas.
Faziam parte do material atividades sobre o sistema numeração decimal, que visavam a proporcionar experiências com agrupamentos e trocas, também em bases diferentes da decimal, a fim de promover a compreensão do processo de agrupamentos e trocas que caracterizam o sistema posicional de numeração decimal. Com essas atividades procurava-se desenvolver a compreensão do aluno de que é possível designar o número de objetos de uma coleção finita, fazendo agrupamentos e nomeando-os ou realizando trocas com valores pré-estabelecidos.
Outra idéia introduzida foi a de analisar outros sistemas de numeração, como o dos egípcios, o dos romanos, o dos maias, para que, no processo de comparação, o aluno tivesse mais clareza do sistema hindu-arábico.(ANEXO 3) A Proposta Curricular para o Ensino de Matemática no Ensino de 1º grau é o documento orientador das práticas da década de 86/96 para a rede estadual de ensino em São Paulo. Nela reafirmam-se os pressupostos do trabalho com as operações apresentados nos Atividades Matemáticas.
Na Proposta Curricular de Matemática, o professor encontra ainda a distribuição dos conteúdos por séries e observações de ordem metodológica. (ANEXO 4)
Mais recentemente (1998), no Brasil todo, os sistemas de ensino dispõem dos Parâmetros Curriculares Nacionais - os PCN.
Nos PCN, encontra-se a constatação de que, embora o estudo dos números e das operações seja um tema importante nos currículos do ensino fundamental, com freqüência, muitos alunos chegam ao final do Ensino
Fundamental com um conhecimento insuficiente dos números, sobre como eles são utilizados, e sem terem desenvolvido a compreensão dos diferentes significados das operações.
O documento indica, ainda, a possibilidade de este fato ocorrer em função de uma abordagem inadequada para o tratamento dos números e das operações e da pouca ênfase que tradicionalmente é dada a este assunto nos terceiro e quarto ciclos. Ressalta-se que, mesmo os alunos das séries mais adiantadas, que calculam corretamente, muitas vezes não sabem interpretar os números obtidos para dar resposta a um problema.
O Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo, SARESP, criado em 1996, com a intenção de gerar uma cultura de avaliação que agilizasse tomadas de decisão de melhoria no ensino, em uma de suas avaliações, mostra o seguinte exemplo:
Em situações como: “Quantos ônibus de 36 lugares são necessários, no mínimo, para transportar 1128 passageiros, se nenhum ônibus pode transportar mais que 36 pessoas?” são freqüentes respostas como 31,333... ou 31, e não 32 que, no caso, é a correta. Além de não saberem interpretar os números, os alunos demonstram não saber o significado da operação envolvida. Também é comum apresentarem dificuldade para ler, escrever e comparar números com vários dígitos.
Os PCN destacam, também, que no terceiro e quarto ciclos, o trabalho com os conteúdos relacionados aos números e às operações deve privilegiar atividades que possibilitem ampliar o sentido numérico e a compreensão do significado das operações, ou seja, atividades que permitam estabelecer e reconhecer relações entre os diferentes tipos de números e entre as diferentes operações. Sugerem que, no terceiro e quarto ciclos, os problemas relacionados à evolução histórica dos números podem ser usados como interessantes contextos para ampliar a visão dos alunos sobre os números naturais, não apenas relatando como se deu essa evolução, mas explorando as situações com as quais as civilizações antigas se defrontaram, como: as limitações dos sistemas não-posicionais, os problemas com a representação numérica antes do surgimento do zero, os procedimentos de cálculo utilizados pelas civilizações suméria, egípcia, grega, maia, chinesa, etc.
está ligada às necessidades e preocupações de povos que, ao buscar recensear seus membros, seus bens, suas perdas, ao procurar datar a fundação de suas cidades e as suas vitórias, usando os meios disponíveis, construíram interessantes sistemas de numeração. Quando foram além e se impuseram a obrigação de representar grandes quantidades, como exprimir a quantidade de dias, meses e anos, a partir de uma data específica, ou de tentar fazer cálculos, utilizando os próprios símbolos do sistema, foram colocados no caminho da numeração posicional.
Com relação aos números naturais, destacamos dos PCN alguns fatores que, provavelmente, têm concorrido para que sua aprendizagem acabe não se consolidando ao longo do ensino fundamental. Apontamos os aspectos relacionados à complexidade do conteúdo envolvido, tais como:
• compreensão das relações de inclusão — que caracterizam o sistema decimal — como saber quantos agrupamentos de dezenas ou de centenas são necessários para se construir a dezena de milhar;
• leitura dos números — que implica a compreensão de regras estabelecidas para a formação das classes — agrupamentos de mil (milhares, milhões, bilhões, trilhões...);
• valor posicional dos algarismos na escrita numérica – que nem sempre é percebido: mesmo alunos que sabem escrever números corretamente, muitas vezes, não sabem interpreta-los, afirmando, por exemplo, que 2.343 é próximo de 2.340, mas não reconhecendo que em 2.343 há 234 dezenas.
Discutimos, também, alguns aspectos do tratamento habitualmente dado ao estudo dos números naturais nos ciclos finais do ensino fundamental, que também comprometem sua aprendizagem:
• ausência de situações-problema que envolvam números grandes; • desestímulo ao uso dos procedimentos aritméticos, considerados
raciocínios inferiores quando comparados aos procedimentos
algébricos;
• ausência de um trabalho com estimativas e com cálculo mental e o abandono da exploração dos algoritmos das operações fundamentais;
• trabalho centrado nos algoritmos, como o cálculo do mmc e do mdc, sem a compreensão dos conceitos e das relações envolvidas, ou identificação de regularidades que possibilitem ampliar a compreensão acerca dos números.
Diante dessas dificuldades, a compreensão dos números naturais, de acordo com os PCN, acontece por um processo de sucessivas aproximações. Para que sua aprendizagem se consolide é necessário explorar, ao longo do primeiro e segundo ciclos, situações-problema que, inicialmente precisam apoiar-se em recursos como materiais de contagem (fichas, palitos, reprodução de cédulas e moedas), instrumentos de medida, calendários, embalagens, para que, de forma progressiva, os alunos realizem ações mentalmente. Para que a linguagem matemática deixe de ser um código indecifrável, os alunos destes ciclos devem ser incentivados a falar sobre matemática, escrever textos sobre conclusões, comunicar os resultados, usando, para tanto, elementos da língua materna e alguns símbolos matemáticos.
Deve-se levar em conta, também, que as capacidades cognitivas dos alunos sofrem avanços significativos e, por isso, devem ser incentivados a começar a estabelecer relações de casualidade, a fim de buscarem explicações e finalidades para as ocorrências. A reversibilidade do pensamento deve ser estimulada, de modo a permitir ao aluno a percepção das transformações. Ao longo dos terceiro e quarto ciclos, é necessário desenvolver um trabalho sistemático de exploração das funções dos naturais (quantificar, ordenar, codificar), de análise e produção de números que expressem diferentes ordens de grandeza e do reconhecimento da característica posicional de sua escrita, de interpretação de suas variadas formas de representação (canônica, decomposta, fatorada, polinomial, científica).
O documento ressalta que embora as representações fracionárias e decimais dos números racionais sejam conteúdos desenvolvidos nos ciclos iniciais, o que se constata é que os alunos chegam ao terceiro ciclo sem compreender os diferentes significados associados a esse tipo de número ou os procedimentos de cálculo, em especial os que envolvem os racionais na forma decimal.
fato de que a aprendizagem dos números racionais supõe rupturas com idéias construídas para os números naturais. Ao trabalhar com os números racionais, os alunos têm de enfrentar vários obstáculos, dentre os quais se destaca:
• se a seqüência dos números naturais permite estabelecer sucessor e antecessor, para os racionais isso não faz sentido, uma vez que entre dois números racionais quaisquer é sempre possível encontrar outro racional; assim, o aluno deverá perceber que entre 0,8 e 0,9 estão números como 0,81, 0,815 ou 0,87.
A abordagem dos números racionais, conforme sugerido nos PCN, deveria incluir os problemas históricos que envolvem medidas e que deram origem a esses números, por oferecerem bons contextos para essa aprendizagem.
O documento ressalta ainda que, ao abordar os racionais pelo seu reconhecimento no contexto diário, deve-se observar que eles aparecem muito mais na forma decimal do que na forma fracionária.
Embora o contato com representações fracionárias seja bem menos freqüente nas situações do cotidiano, seu estudo também se justifica, entre outras razões, por ser fundamental para o desenvolvimento de outros conteúdos matemáticos (proporções, equações, cálculo algébrico). Também nas situações que envolvem cálculos com dízimas periódicas, a representação na forma fracionária favorece a obtenção dos resultados com maior precisão, uma vez que na forma decimal é preciso fazer aproximações.
O estudo do cálculo com números racionais na forma decimal pode ser facilitado se os alunos forem levados a compreender que as regras do sistema de numeração decimal, utilizadas para representar os números naturais, podem ser estendidas para os números racionais na forma decimal. Além disso, é importante que as atividades com números decimais estejam vinculadas a situações contextualizadas, de modo que seja possível fazer uma estimativa ou enquadramento do resultado, utilizando números naturais mais próximos. Ao tentar encontrar o valor da área de uma figura retangular que mede 7,9cm por 5,7cm, o aluno pode recorrer à estimativa, calculando mentalmente um resultado aproximado (8 x 6), que lhe pode dar uma razoável referência para conferir o resultado exato, obtido por um procedimento de cálculo escrito.
Também é importante que os alunos compreendam as regularidades das multiplicações de números racionais na forma decimal por 10, 100, 1.000... O domínio desse conhecimento é importante para dar sentido aos procedimentos de cálculo com esses números, como por exemplo, as multiplicações do tipo: 32,7 x 2,74 .