No primeiro volume dos Principia Mathematica, Russell† introduz a no¸c˜ao de fun¸c˜ao
proposicional do seguinte modo: “Seja φx uma senten¸ca contendo uma vari´avel x e tal que ela se torna uma proposi¸c˜ao quando a x ´e dado algum significado determinado fixo. Ent˜ao, φx ´e chamada de “fun¸c˜ao proposicional”‡. Um pouco adiante, Russell
esclarece que as fun¸c˜oes proposicionais s˜ao primitivas e, a partir delas, todas as outras fun¸c˜oes s˜ao derivadas. Fun¸c˜oes como “seno de x”, “log x” ou “o pai de x” s˜ao derivadas
∗Como, para Frege, um objeto pode ser denotado por uma express˜ao descritiva, resulta disso que
as referˆencias das partes de uma express˜ao n˜ao s˜ao partes da referˆencia da express˜ao. Na camada
do sentido, no entanto, ´e permitido dizer que os sentidos das partes de uma express˜ao s˜ao partes do
sentido da express˜ao. Cf. Erich H. Reck/Steve Awodey (eds.): Frege’s Lectures on Logic: Carnap’s
Student Notes 1910-1914 , based on the German text, edited, with introduction and annotations, by
Gottfried Gabriel, Chicago: Open Court, 2004, p. 87.
†Os Principia Mathematica foram escritos em parceria com Alfred North Whitehead. ´E comum,
no entanto, atribuir a parte da obra que constitui seu alicerce como sendo da responsabilidade de Russell. Cf., p. ex., Peter Hylton: Functions, Operations, and Sense in Wittgenstein’s Tractatus, em:
Propositions, Functions, and Analysis: Selected Essays on Russell’s Philosophy, Oxford: Clarendon
Press, 2005, pp. 138–52, p. 139 (nota de rodap´e).
‡Bertrand Russell/Alfred North Whitehead: Principia Mathematica, vol. I, Cambridge: Cam-
a partir de fun¸c˜oes proposicionais e s˜ao chamadas de fun¸c˜oes descritivas. Al´em disso, os conectivos ou constantes∗ l´ogicas (que Russell chama de functions of propositions)
s˜ao, de acordo com Russell, casos particulares de fun¸c˜oes proposicionais†. O nome
“fun¸c˜ao proposicional” ´e, na verdade, um tanto quanto capcioso, pois n˜ao se trata de uma diferen¸ca espec´ıfica do gˆenero das “fun¸c˜oes”. Pelo contr´ario, s˜ao as fun¸c˜oes que se caracterizam por serem definidas a partir de fun¸c˜oes proposicionais. Qual seria a raz˜ao desta invers˜ao conceitual?
Pelos motivos citados na Se¸c˜ao precedente, Russell n˜ao pode aceitar a gene- raliza¸c˜ao fregiana do conceito de fun¸c˜ao matem´atica para o restante da linguagem. Se Russell introduz a fun¸c˜ao proposicional como no¸c˜ao primitiva ´e devido a certas caracter´ısticas que estas possuem e que n˜ao s˜ao compartilhadas pelas fun¸c˜oes ma- tem´aticas em seu uso ordin´ario. A principal delas ´e que, na concep¸c˜ao de Russell, o valor de uma fun¸c˜ao proposicional ´e uma proposi¸c˜ao em que a fun¸c˜ao e o argumento que a engendraram ocorrem de algum modo essencial, seja como parte constituinte (como no caso do argumento), seja como parte da estrutura da proposi¸c˜ao (como no caso da fun¸c˜ao). No caso do argumento, pode-se muito bem dizer que a proposi¸c˜ao o cont´em‡. O caso da fun¸c˜ao ´e um tanto quanto distinto, j´a que Russell nega que ela
seja parte constituinte da proposi¸c˜ao§. A fun¸c˜ao proposicional e a proposi¸c˜ao mantˆem,
entretanto, uma semelhan¸ca estrutural: a fun¸c˜ao “x ´e s´abio”, quando saturada pelo argumento Plat˜ao, engendra a proposi¸c˜ao “Plat˜ao ´e s´abio”, e n˜ao uma outra proposi¸c˜ao qualquer como, p. ex., “Einstein ´e um grande homem”. Nesse sentido, tanto a fun¸c˜ao como o argumento marcam presen¸ca de algum modo essencial na proposi¸c˜ao resultante (o argumento, em particular, como constituinte da proposi¸c˜ao). No caso de fun¸c˜oes matem´aticas – assim como elas s˜ao usualmente empregadas –, esta caracter´ıstica n˜ao est´a presente: a fun¸c˜ao √x, quando saturada pelo argumento 4, resulta no n´umero 2, mas em que sentido o n´umero quatro estaria contido no n´umero dois? O mesmo ocorre na generaliza¸c˜ao que Frege estabelece para as fun¸c˜oes da linguagem: a fun¸c˜ao “pai de x”, quando saturada pelo argumento Alexandre Magno, resulta no rei Filipe II, mas seria at´e mesmo cˆomico dizer que o rei Filipe II cont´em Alexandre Magno como uma
∗Ser´a prefer´ıvel o uso da express˜ao “constante l´ogica” para abarcar, juntamente com conectivos
l´ogicos como “e”, “ou” etc., tamb´em a nega¸c˜ao de uma proposi¸c˜ao, a qual n˜ao ´e propriamente um “conectivo”.
†Ibid., p. 15.
‡Cf. Peter Hylton: Functions and Propositional Functions in Principia Mathematica, em: Propo-
sitions, Functions, and Analysis: Selected Essays on Russell’s Philosophy, Oxford: Clarendon Press,
2005, p. 132: “If a propositional function is applied to an object to yield a proposition, then the
proposition preserves the relevant complexity. For example, the propositional function ˆx is wise
applied to Socrates yields the proposition that Socrates is wise, which contains Socrates. This is true quite generally: if a proposition is the value of a propositional function for a given argument then the proposition will contain that argument”.
§Para uma discuss˜ao acerca deste aspecto da l´ogica dos Principia Mathematica, Cf. idem: Russell,
de suas partes constituintes.
Na nomenclatura de Russell, a fun¸c˜ao proposicional denota, de modo amb´ıguo, um de seus valores. ´E a propriedade que as proposi¸c˜oes tˆem de possu´ırem partes comuns entre si que ´e fundamental para a no¸c˜ao de fun¸c˜ao proposicional, pois esta ´
ultima nada mais ´e sen˜ao a express˜ao desta forma comum que ´e compartilhada por uma classe de proposi¸c˜oes. Esta no¸c˜ao, vale acentuar, ´e primitiva n˜ao apenas em rela¸c˜ao a outros tipos de fun¸c˜oes, mas tamb´em em rela¸c˜ao a classes ou conjuntos. Nos Principia Mathematica, todo enunciado sobre uma classe ´e, na verdade, um enunciado sobre uma fun¸c˜ao proposicional, sobre um conceito∗. Nesse sentido, pode-se dizer que os
Principia Mathematica implementam uma concep¸c˜ao intensional das classes. Fun¸c˜oes n˜ao proposicionais s˜ao definidas, na Se¸c˜ao *30 dos Principia Mathematica, a partir de fun¸c˜oes proposicionais. Russell inicia a Se¸c˜ao *30, intitulada Descriptive Functions, do seguinte modo:
As fun¸c˜oes at´e ent˜ao consideradas (...) eram proposicionais, i.e., tinham proposi¸c˜oes como seus valores. Mas as fun¸c˜oes ordin´arias da matem´atica, tais como x2, seno de
x, log x, n˜ao s˜ao proposicionais. Fun¸c˜oes deste tipo sempre significam “o termo que
mant´em certa rela¸c˜ao com x.” Por esta raz˜ao, elas podem ser chamadas de fun¸c˜oes
descritivas, pois elas descrevem certo termo por interm´edio de sua rela¸c˜ao com seu
argumento. Deste modo, “sin π/2” descreve o n´umero 1.†
Em seguida, a forma geral de uma fun¸c˜ao descritiva ´e definida como:
R‘y = ( ι x)(xRy) Df.,
em que o definiens significa “o (´unico) termo x que mant´em a rela¸c˜ao R com y”. Um pouco adiante, Russell faz quest˜ao de assinalar que todas as fun¸c˜oes que ocorrem na matem´atica s˜ao instˆancias da defini¸c˜ao acima‡. Considere, por exemplo, a fun¸c˜ao “seno
de x”. Ela pode ser tomada como caso particular da defini¸c˜ao acima para a rela¸c˜ao “x = seno de y”. Outro exemplo ´e a fun¸c˜ao “sucessor de x”, que pode ser obtida a partir da rela¸c˜ao “x = y + 1”. De modo geral, a fun¸c˜ao matem´atica sempre ´e obtida por meio de uma rela¸c˜ao que faz uso do sinal de identidade. Assim, fun¸c˜oes que aparentemente nomeavam um objeto quando saturadas por um argumento (como ocorria na teoria de Frege) s˜ao transformadas, na teoria dos Principia Mathematica, em casos particulares de descri¸c˜oes definidas.
∗Russell/Whitehead: Principia Mathematica, p. 197 (defini¸c˜ao *20.01).
†ibid., p. 245 .