O elo entre prova e proposi¸c˜ao matem´atica completamente analisada ´e costurado j´a na p´agina 17 do WAi: “Poder-se-ia tamb´em dizer: a proposi¸c˜ao matem´atica completamente analisada ´e sua pr´opria prova. / Ou tamb´em: a proposi¸c˜ao matem´atica ´e apenas a superf´ıcie imediatamente vis´ıvel do corpo total da prova que nela se confina. / A assim chamada proposi¸c˜ao matem´atica ´e – em contraste com uma proposi¸c˜ao genu´ına – essencialmente o ´ultimo membro de uma demonstra¸c˜ao que a torna visivelmente correta ou incorreta”†. Nesta ocasi˜ao, Wittgenstein se debru¸cava sobre a quest˜ao de como
expressar de modo persp´ıcuo a proposi¸c˜ao aritm´etica de que um n´umero ´e primo. H´a, neste contexto, uma passagem, incorporada parcialmente `as PhBm por Rush Rhees em uma nota de rodap´e‡, que traz novamente a ideia de que o diagrama, ao mesmo tempo
que expressa, tamb´em prova a proposi¸c˜ao matem´atica:
Posso, ent˜ao, por exemplo, escrever o n´umero 5 de modo que se veja claramente que ele ´e divis´ıvel apenas por 1 e por ele mesmo. Algo como:
Este aspecto poderia dizer algo como: “5 ´e um n´umero primo”; ou: “Veja, 5 ´e um n´umero primo!”. / Isto levaria, talvez, `a mesma coisa que eu disse anteriormente, a saber, que a proposi¸c˜ao matem´atica propriamente dita ´e uma prova de uma proposi¸c˜ao matem´atica tal como a chamamos. A proposi¸c˜ao matem´atica propriamente dita ´e a prova: isto ´e, a que mostra como as coisas s˜ao. / Uma prova ´e tamb´em chamada, com raz˜ao, de uma demonstra¸c˜ao.§
A no¸c˜ao de prova enquanto an´alise¶ da proposi¸c˜ao aparecer´a tamb´em, em
outras passagens (como, p. ex., em XIII−153a), com o intuito de mostrar que a
∗Cf. PhBm, XIII−162b.
†WAi, p. 17; PhBm, XIII−162b .
‡Cf. PhBm, p. 184.
§WAi, p. 16 .
¶N˜ao ´e de se surpreender que Wittgenstein chame a prova ora de “an´alise” (querendo indicar,
aparentemente, o processo pelo qual a proposi¸c˜ao ´e provada), ora de “resultado da an´alise” (a proposi¸c˜ao
proposi¸c˜ao matem´atica cont´em, nela pr´opria, todas as ferramentas necess´arias para prov´a-la. Do mesmo modo que a an´alise de uma proposi¸c˜ao emp´ırica, no Tractatus, mostrava que o seu sentido estava completamente determinado por ela pr´opria, e n˜ao por outros fundamentos de verdade que se acrescentariam de fora `a proposi¸c˜ao, aqui a an´alise tamb´em mostra que aqueles signos usados para expressar a proposi¸c˜ao matem´atica s´o veiculam um sentido se forem pressupostas defini¸c˜oes e regras que a eles se aplicam enquanto constituintes de um c´alculo, e que nenhum conhecimento “externo” `a proposi¸c˜ao ´e necess´ario para prov´a-la.
A insistˆencia no fato de que os diagramas apresentam e, ao mesmo tempo, provam a proposi¸c˜ao matem´atica parece indicar, no entanto, que a equivalˆencia entre a prova de uma proposi¸c˜ao e sua an´alise tem consequˆencias que v˜ao al´em do fato de que a prova mostra que o sentido da proposi¸c˜ao j´a estava, desde o in´ıcio, completamente determinado por ela pr´opria; que h´a outras semelhan¸cas entre as no¸c˜oes de an´alise completa de uma proposi¸c˜ao matem´atica e de uma proposi¸c˜ao emp´ırica a serem observadas. A prova diagram´atica parece trazer, na superf´ıcie do sinal, a verdadeira “forma” da proposi¸c˜ao que, quando mediada por defini¸c˜oes e outras regras do c´alculo, n˜ao a exibe de modo imediato. Isto ´e, assim como no caso da an´alise completa de uma proposi¸c˜ao emp´ırica no Tractatus, a an´alise de uma proposi¸c˜ao matem´atica procura substituir um simbolismo
opaco por um simbolismo transparente.
O diagrama, ao contr´ario da proposi¸c˜ao matem´atica formulada, digamos, no sistema decimal, permite que se reconhe¸ca, de imediato, a verdade da proposi¸c˜ao. Assim formulada, ´e claro que a no¸c˜ao de an´alise de uma proposi¸c˜ao matem´atica se distancia completamente (e ´e este o ponto em que a analogia entre proposi¸c˜ao matem´atica e emp´ırica faz ´agua) da no¸c˜ao de an´alise completa de uma proposi¸c˜ao emp´ırica. Neste ´
ultimo caso, a an´alise jamais chega `a verdade da proposi¸c˜ao. Al´em disso, a an´alise de uma proposi¸c˜ao matem´atica, expressa nesses termos, faz tamb´em com que ela deixe de ser uma proposi¸c˜ao, por deixar de ser a express˜ao de algo calcul´avel (como os diagramas acima mostram claramente), o que jamais ocorre no caso de uma proposi¸c˜ao emp´ırica. No caso da proposi¸c˜ao emp´ırica, a an´alise mant´em seu sentido intacto; j´a a an´alise de uma proposi¸c˜ao matem´atica substitui o seu sentido pelo seu valor de verdade.
Al´em deste descompasso entre as no¸c˜oes de an´alise para os caso da proposi¸c˜ao matem´atica e da proposi¸c˜ao emp´ırica, h´a ainda, como problema para a aproxima¸c˜ao entre estas duas no¸c˜oes, o fato de que a no¸c˜ao de an´alise completa de uma proposi¸c˜ao emp´ırica sofre mudan¸cas na passagem do Tractatus para as PhBm. Como esclarece Ferraz Neto, os primeiros par´agrafos das PhBm descrevem o abandono do projeto de uma linguagem fenomenol´ogica, vinculando-o a uma altera¸c˜ao da no¸c˜ao tractariana de an´alise completa de uma proposi¸c˜ao. A an´alise completa de uma proposi¸c˜ao, agora, ´e t˜ao somente a elucida¸c˜ao de sua gram´atica, ao passo que, para o Tractatus, a an´alise
completa de uma proposi¸c˜ao remetia `a constru¸c˜ao de uma linguagem privilegiada∗.
Esta linguagem, segundo Ferraz Neto, “refletiria na superf´ıcie de seus sinais a forma daquilo que ela representa, a forma do mundo”†. Com isto, o int´erprete n˜ao quer dizer
que a forma desta linguagem manteria certa rela¸c˜ao interna com a forma do mundo, mas que se trataria essencialmente da mesma forma. Parafraseando uma express˜ao que Wittgenstein utilizar´a no contexto da aritm´etica, poder-se-ia dizer: segundo a teoria da figura¸c˜ao do Tractatus, a forma n˜ao ´e representada (vertreten), mas ela ´e; apenas os objetos s˜ao representados. A ´unica diferen¸ca ´e que, na proposi¸c˜ao, a forma ´e dada enquanto estrutura, enquanto concatena¸c˜ao efetiva, ao passo que, na situa¸c˜ao afigurada, ´e apenas a possibilidade da estrutura (que ´e, precisamente, a sua forma) que est´a em jogo. A proposi¸c˜ao exibe esta possibilidade efetivando, no plano do sinal, aquilo que no plano do significado ´e apenas uma possibilidade.
A despeito destas dificuldades, parece haver certas semelhan¸cas interessantes entre a no¸c˜ao tractariana de an´alise e a no¸c˜ao invocada nas PhBm para elucidar o conceito de prova que s˜ao ´uteis para entender a rela¸c˜ao entre a prova de uma proposi¸c˜ao matem´atica e o papel sint´atico da equa¸c˜ao correspondente. De modo mais espec´ıfico, a ideia de que a prova ´e a an´alise completa da proposi¸c˜ao matem´atica ´e importante para jogar uma luz na concep¸c˜ao wittgensteiniana segundo a qual a distin¸c˜ao entre o verdadeiro e o falso, na matem´atica, corresponde, na aplica¸c˜ao da matem´atica a proposi¸c˜oes emp´ıricas, `a distin¸c˜ao entre sentido e contrassenso. Com rela¸c˜ao `a altera¸c˜ao do conceito de “an´alise completa” feita pelas PhBm, assumiremos que esta altera¸c˜ao n˜ao afeta os casos em que ´e poss´ıvel a constru¸c˜ao de um simbolismo completamente transparente, o que ocorre, segundo Wittgenstein, mesmo em casos relativamente complexos como a apresenta¸c˜ao da no¸c˜ao aritm´etica de “indivisibilidade”‡.
A aproxima¸c˜ao entre estas no¸c˜oes pode ser feita do seguinte modo: uma prova, enquanto an´alise da proposi¸c˜ao matem´atica, ´e tamb´em uma an´alise l´ogica da proposi¸c˜ao a que a equa¸c˜ao, em seu papel sint´atico, ´e aplicada de modo imediato (i.e., sem estar vinculada ao c´alculo l´ogico de tautologias e contradi¸c˜oes). H´a, assim, uma comunidade entre a forma exibida, na superf´ıcie do sinal, pela an´alise completa da equa¸c˜ao e destas proposi¸c˜oes. Neste dom´ınio em que o sinal possui a multiplicidade correta, a regra sint´atica se torna sup´erflua. Inversamente, a regra sint´atica ´e necess´aria – e acompanha o sinal proposicional, sendo constitutiva do s´ımbolo – quando a proposi¸c˜ao n˜ao est´a
∗Cf. Bento Prado de Almeida Ferraz Neto: Time, Homogeneity and Phenomenology, em: Beitr¨age
des 28. Internationalen Wittgenstein Symposiums: Zeit und Geschichte, vol. XIII, Austrian Ludwig
Wittgenstein Society, 2005, p. 216.
†Idem: O tempo nas Philosophische Bemerkungen, em: Cadernos PET-Filosofia (UFPR, 4 (2002),
p. 81.
‡Segundo Wittgenstein, ´e poss´ıvel apresentar a indivisibilidade de modo persp´ıcuo (augenf¨allig),
por meio da constru¸c˜ao do crivo de Erast´otenes. Nesta constru¸c˜ao, observa Wittgenstein, ´e poss´ıvel
ver como todos os n´umeros divis´ıveis repousam acima ou abaixo do n´umero considerado (Cf. PhBm, XIX−200b).
expressa em uma nota¸c˜ao com a multiplicidade correta. ´E assim que as regras sint´aticas governam o dom´ınio do sentido: elas auxiliam a constituir um s´ımbolo. Um conjunto de sinais obtidos por meio da aplica¸c˜ao de uma equa¸c˜ao falsa ´e, neste caso, sintaticamente ileg´ıtimo, pois deixa de constituir um s´ımbolo. Este conjunto de sinais parece ser uma proposi¸c˜ao e n˜ao o ´e: ´e um contrassenso. Isto ocorre, por exemplo, no caso da (pseudo) proposi¸c˜ao: “Agrupei estas quatro coisas em duas coisas e trˆes coisas”. Isso parece ser uma proposi¸c˜ao, mas ´e, na verdade, um contrassenso. Dito de outro modo, assim como uma equa¸c˜ao incorreta n˜ao possui uma an´alise completa (pois neste caso ela seria correta), uma pseudoproposi¸c˜ao que faz uso de uma equa¸c˜ao incorreta tamb´em n˜ao possui, em consequˆencia disto, uma an´alise completa e, portanto, ela ´e um contrassenso. Em um simbolismo com a multiplicidade adequada, este perigo ´e afastado, j´a que, em tal simbolismo, a equa¸c˜ao correta ´e, por assim dizer, incorporada `a estrutura da nota¸c˜ao e se torna sup´erflua, n˜ao compondo mais o “corpo” do sinal. E ´e assim que as constru¸c˜oes diagram´aticas, feitas em um simbolismo com a multiplicidade correta, provam as equa¸c˜oes correspondentes, pois no simbolismo do diagrama n˜ao h´a uma constru¸c˜ao que possa ser a express˜ao de uma equa¸c˜ao incorreta. Em um simbolismo adequado, as proposi¸c˜oes aritm´eticas adquirem a propriedade que Wittgenstein havia atribu´ıdo ao Axioma do Infinito de Russell∗: na medida em que elas s˜ao expressas, isto
j´a prova que elas s˜ao verdadeiras†.
Este uso sint´atico da equa¸c˜ao difere, no entanto, consideravelmente de usos comuns em que utilizamos uma equa¸c˜ao aritm´etica para inferir, de certas proposi¸c˜oes assumidas como verdadeiras, outras proposi¸c˜oes tamb´em verdadeiras. Como exemplo, ´e poss´ıvel recorrer `a equa¸c˜ao 2 + 2 = 4 para inferir que h´a exatamente quatro ma¸c˜as em minhas m˜aos direita e esquerda a partir do fato de que h´a exatamente duas ma¸c˜as em minha m˜ao esquerda e exatamente duas em minha m˜ao direita. Para isso, basta que conectemos o c´alculo equacional da aritm´etica com o c´alculo l´ogico de tautologias e contradi¸c˜oes e, a partir disso, todo o aparato matem´atico das equa¸c˜oes passa a estar dispon´ıvel para que realizemos inferˆencias com estes s´ımbolos matem´aticos na l´ogica. Neste caso, o uso de uma equa¸c˜ao incorreta n˜ao levaria a um contrassenso, mas a uma contradi¸c˜ao: se digo que tenho duas ma¸c˜as em cada m˜ao e tamb´em digo que tenho cinco ma¸c˜as em ambas as m˜aos, ent˜ao eu me contradigo. Ora, n˜ao seria poss´ıvel reduzir toda aplica¸c˜ao do c´alculo aritm´etico, na linguagem, a este tipo de aplica¸c˜ao? Aparentemente sim, desde que sejamos suficientemente engenhosos ao estabelecer rela¸c˜oes entre equa¸c˜oes aritm´eticas e inferˆencias l´ogicas. ´E preciso lembrar, por´em, que Wittgenstein j´a considera esta conex˜ao entre o c´alculo aritm´etico e o c´alculo l´ogico de tautologias como uma
∗Ibid., X−100f.
†Isso n˜ao quer dizer, ´e claro, que o Axioma do Infinito seja verdadeiro, mas que ele pressup˜oe aquilo
que ele quer asserir e que, portanto, a significatividade de sua asser¸c˜ao j´a pressuporia a existˆencia de
aplica¸c˜ao da aritm´etica, e, portanto, tal aplica¸c˜ao deve ser entendida – sob pena de um regresso ao infinito – independentemente de um complemento l´ogico/intensional que pudesse ser acrescentado `as equa¸c˜oes aritm´eticas. Al´em disso, o que Wittgenstein defende ´e que o estabelecimento destas rela¸c˜oes n˜ao ´e de modo algum necess´ario para que a equa¸c˜ao exer¸ca o papel sint´atico de permitir, na linguagem, o uso de certas formas de express˜ao e de excluir, da linguagem, outras formas de express˜ao; que a equa¸c˜ao, enfim, admite uma aplica¸c˜ao imediata na linguagem, sem que seja necess´ario algum tipo de prepara¸c˜ao para esta aplica¸c˜ao (como ocorria no Tractatus atrav´es da forma geral da opera¸c˜ao l´ogica). Como isto ocorre?
Consideremos, como exemplo, a pseudoproposi¸c˜ao “estes 3 c´ırculos foram corre- lacionados biunivocamente com aquelas 2 cruzes”. Aqui, o n´umero 3 ´e uma propriedade interna da lista de c´ırculos e o n´umero 2 ´e uma propriedade interna da lista de cruzes. A impossibilidade de correla¸c˜ao biun´ıvoca ´e, por sua vez, fundada em uma rela¸c˜ao interna (a desigualdade num´erica) entre as duas listas, e essa impossibilidade ´e inteiramente an´aloga `a impossibilidade, p. ex., de que uma cor e um som estejam vinculados em um estado-de-coisas∗. Do mesmo modo que no caso do par cor/som, isto se mostra
pelo fato de que ´e imposs´ıvel at´e mesmo que se constitua um s´ımbolo proposicional apto a descrever tal “situa¸c˜ao”. Neste caso, a falta de sentido da pseudoproposi¸c˜ao acima ´e consequˆencia da incapacidade exibida por um dos sinais de exercer uma fun¸c˜ao simb´olica; a an´alise da proposi¸c˜ao mostraria, em algum momento, que um dos seus sinais n˜ao constitui um s´ımbolo e que, portanto, ela ´e destitu´ıda de qualquer sentido. N˜ao ´e que a raz˜ao tenha entrado em conflito consigo mesma: ela sequer chegou a exprimir algo†.
Retornemos ao exemplo do par´agrafo 102, que sugere que a equa¸c˜ao 2 + 2 = 4 seja tratada como uma regra sint´atica que diz: “sempre que tenho 4 objetos, existe a possibilidade de agrup´a-los em dois e dois”. Essa possibilidade, segundo Wittgenstein,
∗Na p´agina 69 do WAi, Wittgenstein menciona a possibilidade de se tratar extens˜oes como “formas
de objetos” (Gegenstandsformen). Salvo engano, isto remonta a dizer que o modo pelo qual as extens˜oes
se “concatenam” (i.e., o modo pelo qual os elementos de uma extens˜ao se correlacionam biunivocamente
com os elementos de outra extens˜ao, ou se dividem em duas outras extens˜oes, ou ainda se combinam
para formar uma nova extens˜ao etc.) pode ser tratado de maneira an´aloga ao modo pelo qual os objetos tractarianos se concatenavam, e que esta possibilidade de concatena¸c˜ao ´e fundada, assim como no Tractatus, em propriedades internas dos “objetos” (das extens˜oes).
†Seria poss´ıvel, naturalmente, entender a mesma pseudoproposi¸c˜ao como uma contradi¸c˜ao. Su-
ponhamos que a lista de 3 c´ırculos seja [a1, a2, a3] e que a lista de cruzes seja [b1, b2]. Assim,
a pseudoproposi¸c˜ao “estes 3 c´ırculos foram correlacionados biunivocamente com aquelas 2 cruzes”
poderia ser traduzida na seguinte express˜ao (supondo que R seja uma rela¸c˜ao essencialmente sim´etrica):
(a1Rb1⊕a1Rb2) ·(a2Rb1⊕a2Rb2) ·(a3Rb1⊕a1Rb2) ·(b1Ra1⊕b1Ra2⊕b1Ra3) ·(b2Ra1⊕b2Ra2⊕b2Ra3).
O que Wittgenstein diria, no entanto, ´e que esta transcri¸c˜ao j´a pressup˜oe o reconhecimento imediato de
que duas coisas n˜ao podem ser correlacionadas biunivocamente com trˆes coisas, e que o mesmo racioc´ınio que impede que se veja, na tautologia A (cf. Cap´ıtulo anterior), a express˜ao da equa¸c˜ao 5 + 7 = 12,
tamb´em impede que se veja, na contradi¸c˜ao acima (ou em qualquer outra forma proposicional), a
n˜ao quer dizer nada mais que uma proposi¸c˜ao p como “eu realmente agrupei estes quatro objetos em dois e dois” tem sentido. O papel sint´atico da equa¸c˜ao acima n˜ao precisa se vincular de modo algum ao c´alculo l´ogico de tautologias e contradi¸c˜oes. O sentido da proposi¸c˜ao p n˜ao precisa provir do fato de que se mostrou que ela n˜ao ´e nem uma contradi¸c˜ao nem uma tautologia. ´E poss´ıvel mostrar, por meio da prova diagram´atica da equa¸c˜ao 2 + 2 = 4, que a proposi¸c˜ao p tem um sentido, pois, neste caso, a prova constr´oi um esquema figurativo que poderia ser utilizado como sinal proposicional∗ para
descrever a situa¸c˜ao acima:
O esquema atua, neste caso, como uma esp´ecie de “simula¸c˜ao simb´olica” da situa¸c˜ao descrita por p, e nele fazemos, no plano do simbolismo, as mesmas coisas que podem ocorrer no plano do significado†: agrupamos quatro coisas em duas e duas e,
com isso, o simbolismo apresenta, enquanto estrutura – isto ´e, enquanto combina¸c˜ao efetiva –, aquilo que no plano do significado ´e apenas uma possibilidade.
Outro exemplo ´e a prova de certa possibilidade no jogo de xadrez pela “teoria do xadrez”. Essa possibilidade, mais uma vez, n˜ao quer dizer nada mais que uma proposi¸c˜ao que assere a sua efetividade ou a sua n˜ao efetividade tem sentido. Que isto seja o caso, por´em, mostra-se pelo fato de que a prova faz, com os s´ımbolos da teoria do xadrez, as mesmas coisas que o jogador faz com as pe¸cas do jogo. Em uma conversa com Waismann, datada de dezembro de 1930, Wittgenstein deixa claro que a “prova” de uma possibilidade pode ser feita mediante a constru¸c˜ao de uma “r´eplica” no plano simb´olico‡:
Aquilo que ´e chamado de “teoria do jogo de xadrez” n˜ao ´e uma teoria que descreve algo, e sim um tipo de geometria. Naturalmente, ela ´e novamente um c´alculo e n˜ao uma
∗Para uma exposi¸c˜ao mais precisa, ter´ıamos que levar em considera¸c˜ao o fato de que h´a uma
indetermina¸c˜ao na proposi¸c˜ao acima; a proposi¸c˜ao diz que quatro coisas foram divididas em duas e
duas, mas n˜ao diz quais ficaram juntas ou separadas etc., o que poderia ser expresso por uma disjun¸c˜ao de todos os modos de combinar quatro elementos em dois e dois. A complica¸c˜ao do exemplo, longe de
invalid´a-lo, refor¸ca ainda mais a ideia de que h´a um saber propriamente matem´atico que ´e aplicado
antes mesmo de saber se a proposi¸c˜ao n˜ao ´e nem uma tautologia, nem uma contradi¸c˜ao; o fato de
serem 3 os modos de combinar 4 elementos em 2 e 2 (e, portanto, o n´umero de termos da disjun¸c˜ao
tamb´em ser trˆes) s´o pode ser mostrado por um aspecto propriamente matem´atico presente nas rela¸c˜oes
internas vigentes entre a extens˜ao composta de quatro elementos e as combina¸c˜oes de elementos de
dois em dois.
†E claro que este uso do c´alculo ´e apenas poss´ıvel em decorrˆencia de uma mudan¸ca na caracteriza¸c˜ao´
do n´umero em rela¸c˜ao ao Tractatus, tal como delineamos nos dois cap´ıtulos anteriores. Pois aqui o
n´umero e, em geral, os elementos do c´alculo, caracterizam, evidentemente, o sentido da proposi¸c˜ao,
uma vez que participam de sua forma l´ogica.
‡A mesma id´eia ´e encontrada, no par´agrafo 100 das PhBm, no que diz respeito `a no¸c˜ao de
“correla¸c˜ao biun´ıvoca”: “Im Symbolismus wird tats¨achlich zugeordnet, w¨ahrend in der Bedeutung nur
teoria.
Para tornar isto claro, eu te pergunto: existe, na tua opini˜ao, uma diferen¸ca entre as duas proposi¸c˜oes seguintes “Eu posso chegar l´a em oito movimentos” e “Eu provei, por meio da teoria, que eu posso chegar l´a em oito movimentos”? N˜ao! Pois se eu utilizo, na teoria, ao inv´es do tabuleiro de xadrez com suas figuras, um simbolismo, ent˜ao a prova de que eu posso chegar l´a em oito movimentos consiste certamente no fato de que eu realmente chego l´a no simbolismo, que eu agora fa¸co com os signos aquilo que eu fa¸co no tabuleiro com as figuras. Se eu executo os movimentos e provo sua possibilidade – ent˜ao eu fiz, na prova, o mesmo novamente. Eu executei os movimentos apenas simbolicamente. O que falta ´e, na verdade, apenas o movimento efetivo; e