EXTENSO
Para compreender os principais desdobramentos das reflex˜oes de Wittgenstein sobre a aritm´etica nas PhBm (sobretudo nos cap´ıtulos X e XI ), ´e preciso, antes de tudo, atentar-se para o interesse de Wittgenstein em uma teoria extensional das classes. J´a no cap´ıtulo IX, no contexto de uma cr´ıtica `a generalidade das palavras “conceito” e “objeto” na doutrina fregiana, ele nota que “´e particularmente claro que, assim que come¸camos com a aritm´etica, n˜ao nos importamos mais com fun¸c˜oes e objetos. De fato, mesmo quando resolvemos trabalhar somente com extens˜oes, continuamos, o que, no entanto, ´e muito estranho, a ignorar por completo a forma dos objetos”∗. Deixando
de lado esta “estranheza”, o fato ´e que ao menos h´a a possibilidade de se trabalhar, na aritm´etica, com extens˜oes. J´a a parte intensional, a parte que cabe `as fun¸c˜oes proposicionais e aos objetos que as satisfazem, ´e afastada completamente do dom´ınio da aritm´etica: uma vez que come¸camos a trabalhar com aritm´etica, n˜ao nos importamos mais com fun¸c˜oes e objetos. ´E not´avel que Wittgenstein fale, neste par´agrafo, de uma “resolu¸c˜ao” (Entschließung), pois d´a a impress˜ao de que a decis˜ao de trabalhar apenas com extens˜oes ´e o resultado de uma tentativa frustrada de trabalhar com fun¸c˜oes na aritm´etica. E, na verdade, trata-se de uma impress˜ao correta, j´a que Wittgenstein havia trabalhado, ao longo de diversas p´aginas†, em uma teoria frege-russelliana do n´umero,
em uma teoria na qual a atribui¸c˜ao num´erica (Zahlangabe) ´e sempre uma senten¸ca sobre um conceito. Nesse sentido, ´e preciso ler a suposta “clareza” de que a aritm´etica n˜ao se importa com fun¸c˜oes e objetos cum grano salis. Afinal, n˜ao se trata de uma clareza pr´opria ao assunto, mas apenas de uma clareza que ´e resultado de uma investiga¸c˜ao, de
∗PhBm, IX−94a .
um percurso. Uma p´agina ap´os ter trabalhado em uma reconstru¸c˜ao frege-russelliana do conceito de n´umero, Wittgenstein afirma ter um “desejo instintivo de operar apenas com as extens˜oes de conceito e de n˜ao reconhecer fun¸c˜oes na aritm´etica”∗. ´E esse
“desejo instintivo” que adquire, ao longo dos manuscritos, uma fundamenta¸c˜ao filos´ofica relevante.
As evidˆencias ao longo do cap´ıtulo X que apontam para um interesse em uma teoria extensional das classes s˜ao ainda mais fortes. A mudan¸ca necess´aria na caracteriza¸c˜ao do n´umero, lembremos, reside no fato de que o n´umero deve caracterizar o sentido de uma proposi¸c˜ao, e n˜ao apenas seu modo de apresenta¸c˜ao. ´E por meio da implementa¸c˜ao de uma teoria extensional das classes que esta mudan¸ca se concretiza. No par´agrafo 105 das PhBm, Wittgenstein conclui: “E agora mostra-se claramente – creio eu – a rela¸c˜ao entre a concep¸c˜ao extensional das classes e a concep¸c˜ao do n´umero como tra¸co caracter´ıstico de uma estrutura l´ogica: uma extens˜ao (Extension) ´e uma caracter´ıstica do sentido de uma proposi¸c˜ao”†. Pressup˜oe-se, ´e claro, que o n´umero
j´a esteja “atrelado” de algum modo `a no¸c˜ao de “extens˜ao”, j´a que, de outro modo, n˜ao seria poss´ıvel explicar como o fato de uma extens˜ao ser uma caracter´ıstica do sentido proposicional poderia servir de elo entre a concep¸c˜ao extensional das classes e a concep¸c˜ao do n´umero como tra¸co caracter´ıstico de uma estrutura l´ogica. Esse “atrelamento” ´e o alvo dos par´agrafos iniciais do cap´ıtulo X.
Na primeira al´ınea do par´agrafo 99, Wittgenstein contrasta duas concep¸c˜oes do n´umero: uma intensional e outra extensional. Com o intuito de facilitar o reconhecimento da estrutura do texto, bem como o acesso a referˆencias futuras, esta al´ınea ser´a apresentada abaixo no formato de uma tabela.
PhBm X−99a
Quest˜ao Pode-se perguntar: os n´umeros dizem respeito essencialmente a con- ceitos?
Retorno a outra indaga¸c˜ao
Creio que isso remonte `a quest˜ao se tem sentido falar de um n´umero de objetos que n˜ao foram reunidos em um conceito.
Exemplo Por exemplo, significa algo dizer “a e b e c s˜ao trˆes objetos”? Resposta
negativa
Penso que, evidentemente, n˜ao.
Continua na pr´oxima p´agina
∗ibid., p. 31 .
†
PhBm, X−105a . Cf. tb. WAii, p. 6: “Ich glaube – wie ich schon fr¨uher andeuten wollte –
wenn man die extensionale Auffassung der Klassen durchf¨uhrt muß man zu der Auffassung kommen
daß die Zahl ein Charakteristikum einer Satzform ist, also zu meiner Auffassung. / Umgekehrt k¨onnte
Continua¸c˜ao da p´agina anterior PhBm X−99a Argumento a favor da concep¸c˜ao extensional ´
E claro que h´a uma sensa¸c˜ao presente que nos diz: por que falar de conceitos; o n´umero depende certamente apenas da extens˜ao (Umfang)
do conceito e, assim que esta ´e determinada, o conceito pode, por assim dizer, se retirar. O conceito ´e somente um m´etodo para determinar uma extens˜ao, mas a extens˜ao ´e autˆonoma e, em sua essˆencia, independe do conceito; pois ´e inteiramente irrelevante que conceito usamos para determinar a extens˜ao. Esse ´e o argumento a favor da concep¸c˜ao extensional.
Obje¸c˜ao Contra isto, pode-se primeiramente dizer: se o conceito ´e realmente apenas um expediente para se obter uma extens˜ao, ent˜ao n˜ao h´a nenhum lugar para conceitos na aritm´etica; nesse caso, devemos, ent˜ao, separar completamente a classe do conceito que por acaso se acha acidentalmente associado a ela.
Contraste com a concep¸c˜ao oposta
No caso oposto, por´em, uma extens˜ao independente de um conceito n˜ao ´e mais que uma quimera e ´e melhor, ent˜ao, n˜ao falar de modo algum dela, mas somente do conceito.∗
A quest˜ao inicial ´e o divisor de ´aguas entre uma concep¸c˜ao intensional – que a responde positivamente – e uma concep¸c˜ao extensional – que a responde negativamente. No retorno `a indaga¸c˜ao acerca do sentido da atribui¸c˜ao num´erica a objetos que n˜ao foram reunidos em um conceito, h´a prima facie uma invers˜ao do sentido da quest˜ao inicial: ´e a concep¸c˜ao intensional que parece reivindicar uma resposta negativa, enquanto cabe, `a concep¸c˜ao extensional, respondˆe-la afirmativamente. Deste modo, ao responder com um “n˜ao” a segunda indaga¸c˜ao, Wittgenstein parece jogar ´agua no moinho da concep¸c˜ao intensional. Esta conclus˜ao, entretanto, seria precipitada, e por diversas raz˜oes: em primeiro lugar, pois, caso a concep¸c˜ao intensional seja de fato aquela vindicada por Wittgenstein, seria preciso que ele aceitasse a conclus˜ao do par´agrafo (o contraste com a concep¸c˜ao oposta): neste caso, ´e melhor n˜ao falar de modo algum da extens˜ao, mas somente do conceito. Mas n˜ao ´e o que se observa no decorrer do cap´ıtulo: os pr´oprios n´umeros ser˜ao caracterizados como figura¸c˜oes (Bilder) de extens˜oes de conceito†. Al´em disso, h´a diversos exemplos (e.g., os do par´agrafo 102) que procuram mostrar, contra a concep¸c˜ao intensional, que nem sempre uma atribui¸c˜ao num´erica se refere a um conceito. Finalmente, pois seria incompreens´ıvel que, nos manuscritos, uma p´agina ap´os supostamente reconhecer o triunfo da concep¸c˜ao intensional, ele mencione um desejo instintivo de trabalhar somente com extens˜oes e de n˜ao reconhecer fun¸c˜oes (e, portanto, conceitos) na aritm´etica. Nesse sentido, interpretar a negativa dada `a segunda
∗PhBm, X−99a .
indaga¸c˜ao como um veredito incontest´avel a favor da concep¸c˜ao intensional teria como consequˆencia a impossibilidade de se entender n˜ao somente a gˆenese, mas tamb´em o conte´udo das discuss˜oes acerca da aritm´etica nas PhBm.
´
E poss´ıvel interpretar, por´em, a recusa de reconhecer um sentido na asser¸c˜ao “a e b e c s˜ao trˆes objetos” de outro modo. Dizer de uma extens˜ao que a ela conv´em certo n´umero ´e um contrassenso, j´a que o n´umero ´e uma propriedade interna da extens˜ao∗.
Nesse sentido, dizer “a e b e c s˜ao trˆes objetos” ´e o mesmo que dizer “a e b e c”, j´a que a propriedade interna n˜ao “acrescenta” nada ao conte´udo do “objeto”. Deste modo, a recusa de reconhecer um sentido em uma asser¸c˜ao do tipo “a e b e c” ´e bastante compreens´ıvel, j´a que se trata mais de um nome (para a extens˜ao) do que de uma proposi¸c˜ao. Que “a e b e c” n˜ao tenha sentido, isto n˜ao quer dizer que o n´umero diz respeito essencialmente a um conceito, e n˜ao a sua extens˜ao, mas quer dizer apenas que o n´umero ´e uma propriedade constitutiva – um tra¸co – da extens˜ao e que, portanto, n˜ao pode ser descrita por uma proposi¸c˜ao. De acordo com esta interpreta¸c˜ao, portanto, ´e preciso recusar que a indaga¸c˜ao feita ap´os a quest˜ao inicial, que soa quase como uma par´afrase da quest˜ao, seja de fato uma par´afrase. Isto ´e, se o que se defende ´e a compatibilidade entre i) afirmar que ´e um contrassenso dizer “a e b e c s˜ao trˆes objetos” e ii) negar que o n´umero diz respeito essencialmente a um conceito, ent˜ao deve-se necessariamente negar que a segunda quest˜ao, colocada no par´agrafo 99, diz o mesmo que a primeira, apenas com outras palavras (e, como sublinhado anteriormente,
com um sentido invertido).
Na segunda al´ınea do par´agrafo 100, Wittgenstein observa que seria poss´ıvel “tratar a extens˜ao de um conceito como um objeto cujo nome certamente tamb´em tem sentido (Sinn)† apenas no contexto de uma proposi¸c˜ao. ‘a e b e c’ n˜ao tem certamente nenhum sentido, n˜ao ´e uma proposi¸c˜ao. Mas ‘a’ tamb´em n˜ao ´e uma proposi¸c˜ao”‡. A
conjun¸c˜ao adversativa no in´ıcio da ´ultima ora¸c˜ao, ao mesmo tempo que parece atenuar a cr´ıtica `a extens˜ao, tem a fun¸c˜ao de deslocar o problema da extens˜ao para um objeto singular (o que, na verdade, j´a se encontra na sugest˜ao, feita no in´ıcio da al´ınea, de tratar a extens˜ao como um objeto). Nesse sentido, a sugest˜ao parece ser a de que a quest˜ao da “autonomia” da extens˜ao em rela¸c˜ao ao conceito possa ser pensada de modo an´alogo `a quest˜ao da “autonomia” de um nome em rela¸c˜ao a uma senten¸ca da qual ele possivelmente faz parte.
Relembremos como esta quest˜ao ´e discutida no Tractatus. De acordo com o
∗Ibid., XI−119e.
†O uso de “Sinn” (no lugar de “Bedeutung”) ´e obscuro. Tanto no Tractatus quanto nas PhBm, ao
recuperar o ‘princ´ıpio do contexto’ fregiano, Wittgenstein utiliza o termo “Bedeutung”. Cf. Tractatus, aforismo 3.3; PhBm, II−14a. O pr´oprio Frege utiliza o termo “bedeuten”. Cf. Frege: Os fundamentos da aritm´etica, p. 247 (§62).
aforismo 3.3, o nome s´o tem significado (Bedeutung) no contexto de uma proposi¸c˜ao. Deste modo, para poder cumprir sua fun¸c˜ao (a de designar um objeto), ele depende de um contexto proposicional. Por´em, na medida em que um mesmo nome pode aparecer em diversos contextos proposicionais∗, ele n˜ao precisa depender de um contexto
espec´ıfico, afinal, ele poderia cumprir sua fun¸c˜ao em outro contexto proposicional. Assim, ´e poss´ıvel dizer que o nome ´e autˆonomo em rela¸c˜ao a cada um dos contextos proposicionais dos quais ele pode fazer parte, embora precise estar vinculado a um deles para exercer sua fun¸c˜ao designativa. No entanto, pode ocorrer que um nome s´o apare¸ca em um ´unico contexto proposicional. Isto acontece quando o nome designa um objeto que s´o faz parte de um estado-de-coisas poss´ıvel† ou quando este objeto pode fazer
parte de diversos estados-de-coisas que compartilham a mesma forma l´ogica. Neste caso, o nome ´e essencialmente dependente deste contexto proposicional espec´ıfico.
Salvo engano, Wittgenstein quer chamar a aten¸c˜ao para o fato de que esta mesma situa¸c˜ao ocorre em rela¸c˜ao ao par extens˜ao/conceito. Assim, podem-se distinguir dois casos. No primeiro, a extens˜ao, enquanto um “objeto”, s´o se vincula, para formar um “estado-de-coisas”, a um conceito. Neste caso, haveria uma forma l´ogica espec´ıfica que caracterizaria todo uso do nome de uma extens˜ao. Assim, mesmo que o n´umero s´o dependa da extens˜ao, ele diria respeito essencialmente a um conceito (toda atribui¸c˜ao num´erica seria uma asser¸c˜ao sobre um conceito). No segundo, o nome da extens˜ao pode ser utilizado em diversos contextos proposicionais. Assim, se a teoria de Frege faz parecer que a atribui¸c˜ao num´erica ´e uma asser¸c˜ao sobre um conceito, ela s´o o pode fazer mediante um processo de “amorfiza¸c˜ao” de estruturas l´ogicas inteiramente distintas, as quais s˜ao agrupadas em um r´otulo gen´erico denominado de “conceito”. Mostraremos que ´e precisamente este caso que ser´a defendido por Wittgenstein ao longo dos cap´ıtulos X e XI das PhBm.
Voltemos agora para a primeira al´ınea do par´agrafo 99 das PhBm, em particular `a obje¸c˜ao ao argumento a favor da concep¸c˜ao extensional. A obje¸c˜ao era a seguinte: “se o conceito ´e realmente apenas um expediente para se obter uma extens˜ao, ent˜ao n˜ao
h´a nenhum lugar para conceitos na aritm´etica”. Ora, Wittgenstein j´a havia enfatizado que “assim que come¸camos com a aritm´etica, n˜ao nos importamos mais com fun¸c˜oes”‡.
O conceito, enquanto uma fun¸c˜ao, n˜ao tem lugar na aritm´etica. Nesse sentido, essa obje¸c˜ao parece ir ao encontro da concep¸c˜ao pr´opria que se procura esbo¸car no quadro das PhBm. Por outro lado, essa obje¸c˜ao n˜ao parece ir contra a concep¸c˜ao extensional
∗No artigo Como negar um nome, Gallerani Cuter chama estes diversos contextos proposicionais
dos quais um nome pode fazer parte de “se¸c˜oes” de um nome. Nestes termos, a senten¸ca acima diz simplesmente que um nome, no Tractatus, pode muito bem ter diversas “se¸c˜oes”. Cf. Jo˜ao Verg´ılio
Gallerani Cuter: Como negar um nome, em: Phil´osophos, 14.2 (2009), p. 45.
†O que parece ser imposs´ıvel, no cen´ario do Tractatus, j´a que n˜ao haveria outro fato que pudesse
servir como figura¸c˜ao deste estado-de-coisas.
tal como a caracterizamos anteriormente. O fato de n˜ao haver nenhum lugar para conceitos na aritm´etica deve ser visto como um ponto a favor da concep¸c˜ao extensional, e n˜ao contra ela, j´a que o conceito ´e o instrumento intensional par excellence. Se Wittgenstein afirma que este argumento ´e contra a concep¸c˜ao extensional, ´e porque ele tem em mente certa concep¸c˜ao extensional cuja implementa¸c˜ao n˜ao fora levada `as ´ultimas consequˆencias. Uma concep¸c˜ao que, de um lado, reconhece que nem toda extens˜ao ´e dada por meio de uma fun¸c˜ao material e, de outro lado, n˜ao pode excluir por completo a no¸c˜ao de “conceito” da aritm´etica. Uma concep¸c˜ao que precisa introduzir conceitos que s˜ao apenas “expedientes para se obter uma extens˜ao”. Tais expedientes, as chamadas “fun¸c˜oes em extens˜ao”, funcionariam como “suplentes” de fun¸c˜oes materiais, caso estas n˜ao “comparecessem” para fornecer uma extens˜ao. Como ficar´a claro na Se¸c˜ao seguinte, ´e a teoria de Ramsey que ´e caracterizada como uma concep¸c˜ao extensional que n˜ao ´e levada a seus ´ultimos termos.