A inexistˆencia de uma vari´avel que percorre todos os n´umeros torna imposs´ıvel que as proposi¸c˜oes da ´algebra sejam concebidas como proposi¸c˜oes quantificadas sobre a totalidade dos n´umeros naturais. Isso seria certamente pressupor a concep¸c˜ao extensional do infinito. As ressalvas de Wittgenstein em rela¸c˜ao `a prova de Skolem da lei da associatividade§ou, de modo mais geral, em rela¸c˜ao a uma “prova indutiva”, podem ser
entendidas como uma tentativa de manter a todo custo a ideia de que a indu¸c˜ao apenas mostra a possibilidade de se dar um passo a mais, mas n˜ao realiza esta s´erie infinita de possibilidades. A conclus˜ao a que Wittgenstein chega nas PhBm ´e que ´e preciso separar os sistemas aritm´etico e alg´ebrico, de modo que as proposi¸c˜oes sobre n´umeros e as proposi¸c˜oes sobre caracteres sejam governadas cada uma por suas pr´oprias regras. A regra alg´ebrica da associatividade ´e vista, ent˜ao, como uma defini¸c˜ao, uma regra b´asica do c´alculo com caracteres e, enquanto tal, ela n˜ao pode ser negada:
∗ibid., XIII−149b .
†ibid., PhBm XVI−180a-b .
‡Ibid., XII−143b.
§Para uma exposi¸c˜ao detalhada dos coment´arios de Wittgenstein sobre a prova de Skolem, Cf.
“a + (b + c) = (a + b) + c”...A(c) pode ser entendida como uma regra b´asica de um sistema. Enquanto tal, s´o pode ser prescrita mas n˜ao asserida ou negada (portanto, nada de lei do terceiro exclu´ıdo).∗
Naturalmente, eu n˜ao posso negar uma defini¸c˜ao. Portanto, ela tamb´em n˜ao tem sentido. Ela ´e uma regra por meio da qual posso proceder (ou tenho de proceder).†
N˜ao posso negar as regras b´asicas de um sistema.‡
Vimos anteriormente que uma indu¸c˜ao tamb´em n˜ao pode ser negada, dado o seu car´ater n˜ao assert´orico. Aqui, Wittgenstein deixa claro que o mesmo ocorre com as regras b´asicas de um sistema que, enquanto estipula¸c˜oes, nada asserem e, portanto, n˜ao podem ser negadas. Evidentemente, outras f´ormulas do sistema alg´ebrico como, p. ex., (a + b)2 = a2+ 2ab + b2, podem ser negadas, j´a que elas expressam algo calcul´avel
de acordo com as regras do sistema alg´ebrico. A nega¸c˜ao de tal f´ormula, no entanto, n˜ao ´e concebida como a asser¸c˜ao existencial de que ao menos um n´umero natural n˜ao obedece `a f´ormula, mas simplesmente como a asser¸c˜ao de que o c´alculo do lado esquerdo da equa¸c˜ao fornece algo diferente do lado direito da equa¸c˜ao, do mesmo modo que a inequa¸c˜ao 25 × 25 = 620 afirma que o c´alculo do lado esquerdo da equa¸c˜ao fornece algo diferente do lado direito. Nesse sentido, as proposi¸c˜oes da ´algebra s˜ao t˜ao particulares – i.e., n˜ao gerais – quanto as proposi¸c˜oes da aritm´etica.
A separa¸c˜ao dos sistemas alg´ebrico e aritm´etico p˜oe imediatamente a quest˜ao de saber como o sistema alg´ebrico pode ser aplicado enquanto um sistema de regras sint´aticas da linguagem. Lembremos que o sentido de uma regra (sua finalidade) ´e, segundo Wittgenstein, ela poder ser aplicada enquanto uma regra sint´atica. O c´alculo aritm´etico, na medida em que ´e um “tipo de geometria”, n˜ao tem nenhum problema de aplicabilidade, pois ele ´e sua pr´opria aplica¸c˜ao, isto ´e, ele trabalha imediatamente com uma aplica¸c˜ao de si mesmo. A aritm´etica governa as regras da descri¸c˜ao de manipula¸c˜oes de classes de objetos com um simbolismo que espelha estas manipula¸c˜oes, isto ´e, que possui a mesma forma l´ogica de suas poss´ıveis aplica¸c˜oes. O caso ´e diferente em rela¸c˜ao `a ´algebra, j´a que sua aplica¸c˜ao n˜ao se justifica pela comunidade de forma l´ogica do esquema alg´ebrico com suas aplica¸c˜oes. O esquema alg´ebrico, digamos, a + b = b + a, pretende ser aplicado a cada par arbitr´ario de n´umeros, mas cada um destes pares determina uma forma distinta; cada n´umero ´e um n´umero individual, cada n´umero determina uma estrutura singular e irredut´ıvel. Nesse sentido, n˜ao basta, para a aplica¸c˜ao das regras alg´ebricas, o fato de elas constitu´ırem um sistema com certa multiplicidade, pois sua aplica¸c˜ao n˜ao depende apenas de um isomorfismo estrutural.
Para que a ´algebra, ent˜ao, possa ser aplicada `a aritm´etica, suas regras b´asicas devem corresponder a generalidades aritm´eticas (indu¸c˜oes). A indu¸c˜ao ´e tamb´em um
∗PhBm, XIV−163a .
†ibid., XIV−163h .
instrumento destinado a mostrar a aplicabilidade de um sistema em outro: ela faz o papel de uma ponte entre a aritm´etica e a ´algebra e, com isso, as regras da ´algebra ganham um sentido:
A indu¸c˜ao n˜ao prova a proposi¸c˜ao alg´ebrica, pois apenas uma equa¸c˜ao pode provar uma equa¸c˜ao. Mas ela justifica o estabelecimento de equa¸c˜oes alg´ebricas do ponto de vista da aplica¸c˜ao `a aritm´etica. / Isto ´e, elas obtˆem atrav´es da indu¸c˜ao somente seu sentido, n˜ao sua verdade.∗
Wittgenstein emprega, nesta passagem, o par “sentido/verdade” para afirmar que a equa¸c˜ao alg´ebrica n˜ao ´e provada pela indu¸c˜ao e, portanto, n˜ao adquire sua verdade por meio dela; por outro lado, a indu¸c˜ao fornece sentido `a equa¸c˜ao alg´ebrica, enquanto regra: ela torna poss´ıvel a aplica¸c˜ao da ´algebra `a aritm´etica. Ainda no mesmo par´agrafo, Wittgenstein se serve de outro par, a saber, “signo/designado” para caracterizar a rela¸c˜ao entre a proposi¸c˜ao alg´ebrica e a indu¸c˜ao: esta n˜ao se relaciona `aquela como a prova ao conte´udo por ela provado, mas como o signo ao conte´udo por ele designado†.
Isto ´e, uma regra b´asica da ´algebra, enquanto estipula¸c˜ao, se assemelha mais a um nome do que a uma proposi¸c˜ao; entretanto, ´e apenas por “nomear” algo que ela ganha um “sentido”, que ela passa a ter um “conte´udo”.
A NEGAC¸ ˜AO E O FALSO NA ARITM´ETICA
O v´ınculo feito por Wittgenstein entre, de um lado, a prova de uma proposi¸c˜ao matem´atica e, de outro lado, sua an´alise completa nos permite concluir que, em um simbolismo completamente transparente, a mera express˜ao de um conte´udo matem´atico, constru´ıdo por meio da manipula¸c˜ao de elementos do c´alculo, j´a ´e sua prova, j´a ´e sua an´alise completa. Uma vez que ´e condi¸c˜ao para a existˆencia de uma “proposi¸c˜ao” a presen¸ca de um hiato entre sentido e verdade, ´e poss´ıvel inferir que s´o pode haver quest˜oes e proposi¸c˜oes na aritm´etica quando h´a uma opacidade no simbolismo, opacidade que se transforma em perspicuidade pela atividade do c´alculo que ´e, tamb´em, uma atividade de an´alise. Este conte´udo latente na proposi¸c˜ao matem´atica ´e, por assim dizer, desvelado pelo processo calculat´orio. O ato de calcular a solu¸c˜ao de uma quest˜ao na matem´atica ´e, deste modo, tamb´em um ato de elucidar o seu simbolismo.
As constru¸c˜oes que operam em um simbolismo com a multiplicidade correta s˜ao, entretanto, sempre constru¸c˜oes positivas, e s´o elas podem ter algum papel na prova de uma proposi¸c˜ao matem´atica. A ausˆencia de certa constru¸c˜ao jamais pode ter um papel relevante no edif´ıcio matem´atico, j´a que, neste caso, nada foi feito: a ausˆencia de uma prova para p n˜ao justifica, evidentemente, a asser¸c˜ao ¬p. Deste car´ater essencialmente
∗ibid., XIV−167d-e .
positivo do saber matem´atico decorrer´a a presen¸ca de duas assimetrias: uma, na rela¸c˜ao entre afirma¸c˜ao e nega¸c˜ao; outra, na rela¸c˜ao entre o verdadeiro e o falso na matem´atica. Estas duas assimetrias, objetos do cap´ıtulo XIX das PhBm, ser˜ao o alvo das duas pr´oximas Se¸c˜oes.