A ´ultima observa¸c˜ao do trecho supracitado, referente `a p´agina 16 do WAi, segundo a qual “uma prova ´e tamb´em chamada, com raz˜ao, de uma demonstra¸c˜ao” parece sugerir a existˆencia de uma distin¸c˜ao semˆantica entre as no¸c˜oes de “prova” e “demonstra¸c˜ao”, sem a qual a observa¸c˜ao seria meramente a express˜ao de uma identidade sem conte´udo. Embora esta distin¸c˜ao n˜ao seja utilizada sistematicamente, ela ´e conveniente para fixar os termos da discuss˜ao. Dado o contexto em que a observa¸c˜ao est´a inserida (imediatamente ap´os a constru¸c˜ao diagram´atica da proposi¸c˜ao “5 ´e um n´umero primo”),
arriscamos a seguinte caracteriza¸c˜ao: uma demonstra¸c˜ao ´e uma prova que ocorre em um simbolismo com a multiplicidade correta, tal como ocorre nas provas diagram´aticas acima. Uma prova que n˜ao ´e uma demonstra¸c˜ao ´e, por sua vez, simplesmente a prova em uma nota¸c˜ao com uma multiplicidade distinta (com o acr´escimo de outras regras sint´aticas que recuperam a multiplicidade correta) ou a redu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao a outras equa¸c˜oes j´a provadas do mesmo sistema∗. Este m´etodo ´e utilizado, intuitivamente,
quando um c´alculo ´e feito, por exemplo, atrav´es de regras tabuladas sem que, para isso, seja preciso voltar `as defini¸c˜oes recursivas das opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao.
A tematiza¸c˜ao deste tipo de c´alculo ´e feita no par´agrafo 110 das PhBm, par´agrafo que se encontra entre dois par´agrafos que procuram tratar da aritm´etica como um “tipo de geometria”†. De acordo com o racioc´ınio desenvolvido na Se¸c˜ao anterior, a
compara¸c˜ao da aritm´etica com a geometria pode ser entendida nos seguintes termos: do mesmo modo que uma constru¸c˜ao geom´etrica ´e um esquema simb´olico que apresenta, na superf´ıcie do sinal, uma forma que ser´a compartilhada por todas as suas aplica¸c˜oes, tamb´em as constru¸c˜oes aritm´eticas, tais como aquelas que apresentamos acima, s˜ao esquemas simb´olicos de suas poss´ıveis aplica¸c˜oes. A conclus˜ao que Wittgenstein tira desta compara¸c˜ao ´e que a aritm´etica, assim como a geometria, ´e sua pr´opria aplica¸c˜ao. Salvo engano, esta tese – bastante enigm´atica – ´e simplesmente um corol´ario extra´ıdo da no¸c˜ao de “esquema”. ´E da natureza de um esquema que ele seja apresentado juntamente com uma aplica¸c˜ao imediata dele pr´oprio, dada pelos sinais que o apresentam. O esquema n˜ao ´e a constru¸c˜ao particular que se efetuou hic et nunc, mas aquilo que esta constru¸c˜ao tem em comum com todas as constru¸c˜oes que compartilham a mesma forma. Este aspecto comum a uma classe de constru¸c˜oes, no entanto, s´o pode ser apresentado por uma destas constru¸c˜oes, a qual serve tanto como aplica¸c˜ao do esquema quanto como seu paradigma. Em outras palavras, n˜ao importa se o que estamos somando s˜ao tra¸cos, c´ırculos ou ma¸c˜as, o que importa ´e aquilo que estas constru¸c˜oes tˆem em comum,
∗Essa distin¸c˜ao ´e an´aloga, em muitos aspectos, `a diferen¸ca, presente no Tractatus, entre o reconhe-
cimento de uma tautologia por meio do “m´etodo intuitivo” – apresentado no aforismo 6.1203 – e por meio da redu¸c˜ao a outras tautologias (a “leis primitivas”).
†Esta compara¸c˜ao tamb´em ´e feita em rela¸c˜ao `a “teoria do xadrez”, como ilustra a passagem citada
o que n˜ao se pode apresentar sem trabalhar com tra¸cos, ou c´ırculos, ou ma¸cas etc. Para utilizar uma express˜ao de Waismann, a matem´atica ´e a mesma em toda parte∗, e a sua
aplica¸c˜ao tamb´em ´e a mesma em toda parte (pois a forma n˜ao ´e representada, mas simplesmente ´e†).
Esta propriedade de ser imediatamente a sua pr´opria aplica¸c˜ao s´o ocorre, por´em, em um simbolismo com a multiplicidade correta. No sistema decimal, por exemplo, isto n˜ao ocorre: assim como o d´ıgito 7 deixa de ser a representa¸c˜ao paradigm´atica de uma classe com sete elementos, a manipula¸c˜ao dos signos no sistema decimal deixa de ser imediatamente um esquema de suas poss´ıveis aplica¸c˜oes. H´a, no sistema decimal, uma opacidade notacional que cria um hiato entre o c´alculo e suas poss´ıveis aplica¸c˜oes. Wittgenstein, por´em, insiste no fato de que todo c´alculo da matem´atica (e n˜ao apenas os que ocorrem em um simbolismo completamente persp´ıcuo) ´e uma aplica¸c˜ao de si pr´oprio e apenas enquanto tal tem um sentido‡. Eis a importˆancia do par´agrafo 110, situado
entre os dois par´agrafos que reivindicam o car´ater autoaplic´avel da aritm´etica: neste par´agrafo, trata-se de mostrar que, embora os c´alculos feitos, p. ex., no sistema decimal n˜ao sejam imediatamente uma aplica¸c˜ao de si pr´oprios, eles o s˜ao de modo mediado (poder-se-ia dizer: o sistema decimal ´e um traje que disfar¸ca o car´ater essencialmente
autoaplic´avel do c´alculo aritm´etico).
No Cap´ıtulo seguinte, veremos que ´e precisamente esta opacidade notacional que torna poss´ıvel a ideia de um “experimento aritm´etico”. Vale observar, desde j´a, que esta ideia ´e tematizada, no in´ıcio do par´agrafo, juntamente com um c´alculo executado de acordo com as regras da tabuada da adi¸c˜ao:
Gostariam de dizer: “Veja, sempre resulta, de fato, no mesmo”. Entendido assim, fizemos um experimento. Aplicamos as regras da tabuada da adi¸c˜ao e a partir delas n˜ao se vˆe imediatamente que elas conduzem nos 3 casos ao mesmo resultado. / ´E como se nos surpreendˆessemos com o fato de que os d´ıgitos, desassociados de suas defini¸c˜oes, funcionam t˜ao corretamente. Ou melhor: que as regras dos d´ıgitos funcionam t˜ao corretamente (quando elas n˜ao s˜ao controladas pelas defini¸c˜oes).§
Como j´a era claro desde o Tractatus, s´o pode haver surpresas quando se trata de um experimento, mas n˜ao na l´ogica e na matem´atica, j´a que, nestas disciplinas, processo
∗WWK, p. 225.
†Cf. ibid., pp. 34-5:“Die Mathematik ist ihre eigene Anwendung. Das ist kolossal wichtig. Daraus
folgt sehr viel. Wenn ich sage: 3 Pflaumen + 4 Pflaumen = 7 Pflaumen, 3 Menschen + 4 Menschen = 7 Menschen, etc., so habe ich nicht die Zahlen auf verschiedene Gegenst¨ande angewendet, sondern ich habe immer dieselbe Anwendung vor mir. Die Zahlen werden nicht vertreten, sondern sind. Vertreten werden nur die Gegenst¨ande”.
‡PhBm, X−109e.
e resultado s˜ao idˆenticos. Se, neste caso, nos surpreendemos com a identidade do resultado, isto n˜ao se deve ao conte´udo propriamente matem´atico presente, mas a uma peculiaridade do sistema notacional empregado que, pelo fato de n˜ao ser completamente transparente, n˜ao permite que se veja imediatamente que os trˆes casos conduzem ao mesmo resultado.
A continua¸c˜ao do par´agrafo procura deixar manifesto que as regras de d´ıgitos no sistema decimal pressup˜oem as defini¸c˜oes, de modo que, mesmo que o c´alculo n˜ao se efetue em um simbolismo com a multiplicidade correta, sempre ´e poss´ıvel traduzi-lo para tal simbolismo:
Isto tem a ver (estranhamente) com a consistˆencia interna da geometria. Pode-se dizer que as regras dos d´ıgitos sempre pressup˜oem as defini¸c˜oes. Mas em que sentido? O que quer dizer que um signo pressup˜oe outro que no momento n˜ao est´a l´a? Ele pressup˜oe sua possibilidade; a possibilidade no espa¸co dos signos (no espa¸co gramatical).∗
Consequentemente, toda prova na aritm´etica, incluindo as que recorrem a atalhos sint´aticos ao inv´es de retornar `as defini¸c˜oes recursivas das opera¸c˜oes sobre os n´umeros, ´e tamb´em, de modo imediato ou mediado, uma demonstra¸c˜ao. Dito em outros termos, toda prova deve poder ser traduzida para um simbolismo em que ela ´e uma demonstra¸c˜ao; toda prova, assim, tem a mesma multiplicidade de uma demonstra¸c˜ao. Deste modo, n˜ao s´o os d´ıgitos singulares do sistema decimal s˜ao, como elucida Waismann, instru¸c˜oes para a constru¸c˜ao de um s´ımbolo figurativo (bildhaften Symbols)†, mas o mesmo
ocorre com as equa¸c˜oes. Assim como o Tractatus resolvia, pela distin¸c˜ao entre sinal e s´ımbolo, o problema de como a linguagem comum, cuja superf´ıcie n˜ao possui a mesma multiplicidade do mundo, podia figur´a-lo, aqui tamb´em se resolve, de modo an´alogo, o problema de como o c´alculo no sistema decimal, embora n˜ao tenha a multiplicidade correta, pode ser corretamente aplicado.