Didàctica de la geometria plana a secundària

T rabajo F in de G ra do

GRADO DE MATEMÁTICAS

Didáctica de la geometría plana en secundaria

MARTA OTEIZA BETELU

Tutores

Mercè Llabrés Ana Belén Petro

Escola Politècnica Superior

Universitat de les Illes Balears

Í NDICE GENERAL

Índice general i

Resumen iii

1 Introducción 1

2 Marco Teórico 3

2.1 Historia de la geometría . . . 3

2.2 Origen de la didáctica de las matemáticas . . . 4

2.3 Teorías de aprendizaje . . . 6

2.4 Introducción Modelo de Van Hiele . . . 8

2.5 Aplicación Modelo de Van Hiele . . . 12

2.5.1 Test Usiskin . . . 13

2.5.2 Estudio 1 . . . 13

2.5.3 Estudio 2 . . . 14

2.6 Estudios sobre didáctica de la geometría . . . 15

3 Propuesta actividades 19 3.1 Introducción . . . 19

3.2 Contenidos . . . 19

3.3 Actividades . . . 20

3.3.1 Clasificación de cuadriláteros a partir del geoplano . . . 21

3.3.2 Cálculo de áreas . . . 24

3.3.3 WODB: cuadriláteros y triángulos . . . 25

3.3.4 Estudio de simetrías . . . 27

3.3.5 Three-Acts: Vuelta Matemática . . . 29

3.3.6 Playmobil Tales . . . 32

3.3.7 Descubriendoπ . . . 34

3.3.8 Simplificando figuras . . . 36

3.4 Clasificación según los aspectos trabajados . . . 38

4 Práctica colegio 41 4.1 Introducción . . . 41

4.2 Actividades . . . 41

4.2.1 Clasificación cuadriláteros a partir del geoplano . . . 41

4.2.2 WODB: cuadriláteros y triángulos . . . 43

4.2.3 Three Acts: Vuelta Matemática . . . 43

4.3 Conclusiones . . . 44

5 Conclusiones 47 A Preguntas cuestionarios 49 A.1 Test Usiskin . . . 49

A.2 Estudio 1 . . . 50

A.3 Estudio 2 . . . 51

B Actividades 53 B.1 Soluciones Actividad WODB . . . 53

B.1.1 WODB Cuadriláteros . . . 53

B.1.2 WODB Triángulos . . . 54

B.2 Simetrías . . . 55

B.2.1 Simetría axial . . . 55

B.3 Three Acts: Vuelta matemática . . . 55

B.3.1 Datos . . . 55

B.3.2 Geogebra triángulo . . . 57

Bibliografía 59

R ^ESUMEN

Mediante este trabajo se pretende estudiar el recorrido de la didáctica de la geometría e introducir algunas propuestas que van en la línea de las corrientes más innovadoras.

En primer lugar se presenta un marco teórico donde se explica la historia de la geo- metría, algunas de sus teorías de aprendizaje más importantes, el modelo de Van Hiele, en el cual nos centraremos, y ejemplos de algunos trabajos realizados en didáctica de la geometría.

Seguidamente presentamos un conjunto de actividades en las que aplicamos la matemática realista y el modelo de Van Hiele. Además, presentamos una clasificación de estas actividades según los aspectos que se pretenden trabajar en ellas.

Finalmente, se exponen algunos de los resultados, conclusiones y recomendaciones obtenidos tras haber llevado a cabo, en un aula real y con la finalidad de evaluar el funcionamiento de estas, algunas de las actividades propuestas.

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I NTRODUCCIÓN

Después de cursar todas las asignaturas del grado, aquella con la que más he disfrutado ha sido con la asignaturaDidàctica de les matemàtiques. En ella confirmé mi pasión por la enseñanza de las matemáticas. También fui consciente de que los métodos utilizados en mi etapa educativa distan bastante de los vistos en esta asignatura. En particular, observé que la geometría está bastante olvidada en el ámbito de la educación actual- mente y que su metodología por norma general es mejorable. También considero que es una de las partes más visuales de las matemáticas y pueden observar aplicaciones en su entorno. Estas razones me han llevado a realizar este trabajo sobre didáctica de la geometría.

A pesar de que en sus inicios surge para el cálculo de medidas en la vida real, se puede observar, como comenta Brian Bolt [1], que la geometría se ha enseñado de un modo teórico en las escuelas como si no tuviera aplicación en la realidad. La enseñanza de esta rama se lleva a cabo mediante la memorización de fórmulas y teoremas que posteriormente se aplican a ejercicios concretos sin llegar a comprender el significado de los resultados utilizados. En consecuencia, mediante este trabajo intentaré proponer una serie de modelos y actividades que se alejan de la metodología clásica con la finali- dad de conseguir un aprendizaje más profundo, basado en la intuición en contrapartida del basado en la memorización y la repetición. Para ello, he dividido este trabajo en tres partes.

En la primera parte, contextualizaré el trabajo. Para ello expondré un poco de histo- ria de la geometría así como el origen y la evolución de la didáctica de esta. Además, presentaré el modelo más importante en didáctica de la geometría, el Modelo de Van Hiele. Finalmente, mostraremos algunos estudios, anteriores a este trabajo, sobre este área.

En la segunda parte del trabajo, presentaré una propuesta de actividades mediante las cuales se pretende cubrir los contenidos, relacionados con la geometría, del currí-

culum. Para realizar este trabajo, he decidido centrarme en los cursos de 1^◦y 2^◦de ESO, ya que es donde se forma la base de toda la geometría que estudiarán en su etapa educativa y por tanto, es fundamental que los alumnos adquieran una base sólida sobre la que se puedan ir construyendo los conocimientos posteriores. Así mismo, presentaré también una clasificación de estas según los aspectos que se pretenden trabajar en cada una de ellas.

Finalmente, en la última parte del trabajo presentaré la experiencia de aula donde se llevan a cabo algunas de las actividades propuestas en este trabajo.

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2

M ^ARCO T ^EÓRICO

2.1 Historia de la geometría

En primer lugar, vamos a definir el concepto de geometría. La definición propuesta por J.L.Heibron es “la rama de las matemáticas que se ocupa de la forma de los objetos individuales, las relaciones espaciales entre varios objetos y las propiedades del espacio” Heibron (2001)[2]. El nombre de este campo de las matemáticas, se debe al hecho de que originalmente, la geometría, se centró en la medición de la tierra.

Los primeros escritos de los que se tiene constancia sobre geometría y que fueron hallados en Egipto y Mesopotamia, datan del siglo XXX a.C. La geometría fue la rama más desarrollada por los egipcios. Esto se debe a que con las inundaciones anuales provocadas por el desbordamiento del Nilo, necesitaban calcular las dimensiones de los campos de cultivo. Por otro lado, con las construcciones que hacían, por ejem- plo las pirámides, podemos observar que hicieron grandes avances en este campo. A pesar de ello, no hay prácticamente constancia escrita de los conocimientos que se desarrollaron, ya que, de esa época, únicamente se conservan dos papiros. Uno de los conocimientos, de los egipcios, de los que sí tenemos constancia es el cálculo de áreas.

Entre sus cálculos, se puede observar que ya dieron una aproximación del númeroπ como 3.1605. Por otro lado, también calculaban volúmenes de figuras, pero no se han encontrado los métodos que utilizaban para ello.

El otro gran núcleo donde se originó la geometría fue Mesopotamia. Debido a la importancia de la agricultura, definieron medidas de longitud y superficie para poder medir los campos de cultivo. Los babilonios intentaron aproximar el valor dep

2 y estu- diaron la relación entre los lados de un cuadrado y su diagonal, llegando a la relación que actualmente se conoce como el teorema de Pitágoras (Katz, 2009)[3].

Toda la geometría que se hizo hasta el siglo VI a.C. era de carácter práctico, pero en Grecia se pusieron los cimientos de la geometría teórica. Los matemáticos que tuvieron

mayor relevancia en esa época son Pitágoras de Samos e Hipócrates de Chios. Aunque los matemáticos mencionados fueron quienes empezaron con la matemática teórica, no fue hasta el siglo III a.C., con la aportación de Euclides, cuando se crearon las bases de la geometría que actualmente se estudia en los colegios.

Uno de los estudios más importante en geometría plana, es el formado porLos elementos de Euclidesque consta de 13 libros. En él, plantea cinco postulados que son los que definen la geometría estudiada en la época de los Egipcios y los Babilonios (Katz,2009)[3]. Los cinco postulados son:

1) Por dos puntos se puede trazar una línea recta.

2) Un segmento se puede prolongar de manera continua hasta tener una recta.

3) Se puede trazar una circunferencia a partir de un centro y un radio.

4) Todos los ángulos rectos son iguales entre ellos.

5) Si a una recta la intersecan dos rectas formando al mismo lado ángulos interiores tal que su suma es menor que dos ángulos rectos, si se prolongan las dos rectas indefinidamente, se cortarán en el lado donde se encuentran los dos ángulos cuya suma es menor que dos rectos.

El quinto postulado, es equivalente al Axioma de Fairplay:

Por un punto solo se puede construir una recta paralela a una recta dada.

Generalmente, en enseñanza, este axioma se utiliza más que el quinto postulado.

Finalmente, cabe destacar, que existen geometrías que niegan el quinto postulado centrándose únicamente en los otros cuatro. Estas son las llamadas geometrías no Eu- clides, las cuales no consideraremos, ya que no se trabajan en la educación obligatoria.

2.2 Origen de la didáctica de las matemáticas

En el siglo XIX, en Prusia, se empieza a investigar sobre la didáctica de las matemáticas en las universidades. Aunque la primera plaza de investigación sobre didáctica se creó en 1779 en la Universidad de Halle, no es hasta finales del siglo XIX cuando se reconoce la importancia de su estudio y se empieza a investigar sobre ello en las universidades (Kilpatrick, Gómez & Rico, 1998)[4].

En esa época, en los estudios universitarios, no se daba importancia a la prepara- ción de los futuros profesores. No es hasta finales de este siglo, que se empiezan a crear sistemas educativos. Con la creación de estos, surge la necesidad de formar a los futuros docentes en el ámbito de la enseñanza. Fue en 1871 cuando se creóThe Associaton for the Improvement of Geometrical Teaching, la primera organización que se creó para mejorar la enseñanza, principalmente en el ámbito de la geometría. En la transición del siglo XIX al siglo XX, se empezaron a ofrecer cursos y conferencias sobre enseñanza de las matemáticas[4]. Uno de los principales impulsores fue Félix Klein, quién escribió

2.2. Origen de la didáctica de las matemáticas

en 1908 la obraMatemática Elemental desde el punto de vista superior. Esta obra fue traducida a varios idiomas. En España, la influencia de esta obra se empieza a apreciar a partir de 1927 cuando Ramón Pastor tradujo la obra al español (de Guzmán, 1992)[5].

Mediante esta obra, Klein pretendía conectar los estudios que se habían hecho a lo largo del siglo XIX sobre educación con la enseñanza de las matemáticas fuera de la universidad (Recio,2009)[6].

Las dos causas principales de que se produzca este cambio son: por una parte, el interés que ha habido históricamente por parte de los matemáticos para enseñar esta rama a la población. Por otra parte, el surgimiento, principalmente en Estados Unidos y Alemania a principios del siglo XX, de la psicología conductivista, que se caracteriza por el interés en el estudio de la enseñanza.

El estudio se llevó a cabo con el objetivo de comprender el fracaso escolar y el re- chazo que provocan las matemáticas en los alumnos. A partir de los diferentes estudios, se produjo una modificación del currículum que llevó a un cambio de enfoque de las matemáticas, que intentaba llegar a toda la sociedad. Con esta modificación, se dio más importancia al descubrimiento y la construcción de los conocimientos por parte del alumno en contraposición de los métodos convencionales. En esta época, además, se produjo un avance de las nuevas tecnologías y esto se vio reflejado con la introducción de estas en las aulas, así como en el currículum.

Después de los resultados obtenidos de la investigación, se cambiaron las priori- dades de la enseñanza, dando mayor importancia a la imaginación y la intuición en contraposición a la memorización. Por este motivo, se decidió dar cada vez menos importancia a los resultados y más al procedimiento. Así mismo, al introducir nuevos métodos de enseñanza, se observó que estos no eran compatibles con los métodos de evaluación existentes hasta el momento. Por este motivo, se plantearon la creación de nuevos métodos de evaluación. Del mismo modo, se cuestionaron los conocimientos necesarios que debe tener el docente sobre la materia, así como, sobre la pedagogía en el aula.

En España, el interés por la enseñanza de las ciencias y en concreto las matemáticas llegó a finales del siglo XX. Este interés estuvo influenciado por el cambio político, producido por el final de la dictadura y la transición a la democracia; los cambios económicos, provocados por la entrada de España en la Unión Europea; y el aumento de la población en las ciudades. Todo esto supuso un mayor acceso a la enseñanza por parte de la población, y provoca una necesidad de difusión y divulgación de las matemáticas, así como la enseñanza de estas.

A raíz de esta necesidad, surgen una serie de elementos de difusión de los estudios hechos sobre enseñanza de las matemáticas. En particular, por un lado, aparecen re- vistas con temáticas específicas sobre enseñanza y matemáticas. Algunos ejemplos de estas son: Suma, Thales y Epsilon. Gracias a las revistas, se favorece el intercambio de información entre los diferentes estudios y el avance en este campo. Por otro lado, se empiezan a organizar una serie de jornadas y conferencias centradas en estos temas.

En particular, en 1981, surgen las Jornadas para el Aprendizaje y la Enseñanza de las

Matemáticas, JAEM. En estas jornadas, hay diferentes actividades para poner en co- mún todo aquello que se ha desarrollado en el ámbito de la educación matemática.

Inicialmente, estas jornadas se llevaban a cabo anualmente, organizadas por diferentes sociedades de matemáticas. Posteriormente, en 1988, se funda la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas, FESPM. En el momento de su fundación, únicamente formaban parte de ella cuatro sociedades, pero actualmente forman parte de ella más de veinte. Desde su fundación, es la federación la que organiza las JAEM y pasan a llevarse a cabo cada dos años[7].

Una de las personas que influyó en la didáctica de la geometría en España fue Emma Castelnuovo, matemática que en 1939 empezó a ejercer como profesora en Roma[8]. A pesar de que tuvo bastantes dificultades para ejercer por el hecho de ser judía, en 1948 publicó su primer libroGeometría Intuitiva, que se publicó en español en 1963. Otras de sus obras más importantes sonDidáctica de la matemática moderna yDe viaje con la matemática: imaginación y razonamiento matemático, que se pu- blicaron en español en 1971 y 2001, respectivamente (Ortiz & Ramírez, 2014)[9]. Por otro lado, también se implicó en mejorar el aprendizaje de los alumnos y en 1951 fue nombrada miembro de la CIEAEM, Comisión Internacional para el Estado y Mejora de la Enseñanza de las Matemáticas. En lo referente a España, participó en diferentes en- cuentros relacionados con la didáctica de las matemáticas entre los que se encuentran las II Jornadas Regionales de Didáctica de la Matemática celebradas en 1987 en Zamora.

A pesar del interés puesto en mejorar la enseñanza de las matemáticas, actual- mente, en la mayoría de centros se siguen utilizando los métodos tradicionales de enseñanza donde el profesor imparte clases magistrales y los alumnos se limitan a observar, escuchar y tomar apuntes sin participar activamente en el intercambio de conocimientos. Además, a pesar de la amplia gama de materiales manipulables y la can- tidad de actividades diseñadas para el aprendizaje mediante estos, no es muy frecuente su uso en el día a día de las aulas (Vargas & Gamboa, 2013)[10].

2.3 Teorías de aprendizaje

A lo largo de la historia de la enseñanza de las matemáticas ha habido diferentes teorías.

En la segunda mitad del siglo XX aparece el estructuralismo, corriente también llamada matemática moderna. Como expone Miguel de Guzmán [11], en los años 60 hay un movimiento que provoca una renovación de la educación. La principal característica de esta corriente es: la importancia del formalismo por encima de la manipulación.

Además en el siglo XX aparecieron las primeras estructuras algebraicas, este hecho, junto con la aparición de las geometrías no Euclideas, provocó un cambio en la visión de las matemáticas como se menciona en Bombal(2015)[12]. Uno de los máximos representantes de esta visión fue David Hilbert. En su obraGrundlagen der Geometrie propone 20 axiomas a partir de los cuales se demuestran los teoremas de la geometría euclídea. El enfoque teórico provocado por la importancia del rigor en la fundamenta- ción del conocimiento matemático supuso el auge del álgebra y de la teoría de números.

En cambio, la geometría pierde gran importancia en la educación debido a que como comenta en el artículo, Guzman(2007)[11], “la geometría es mucho más difícil de fun-

2.3. Teorías de aprendizaje

damentar rigurosamente”.

En los años 70 se empezó a observar que el modelo anterior no funcionaba ya que se perdió la intuición a la hora de enfrentarse a los problemas matemáticos debido principalmente a la importancia del álgebra sobre la geometría en la formación de los alumnos.

Frente a la problemática anterior surge una nueva corriente, el constructivismo (Waldegg, 1998) [13]. Principalmente hay dos vertientes cuyos reprentantes son Piaget y Vygotsky. Las principales características de la teoría constructivista es el estudio del conocimiento, la evolución de este y a quién afecta. Esta corriente defiende que el conocimiento lo va desarrollando cada persona. La función del profesor es plantear a los alumnos situaciones nuevas que tengan que resolver, guiarles y fomentar que inter- actúen entre ellos con el objetivo de que vayan adquiriendo estrategias para obtener los nuevos conocimientos. Por otro lado, los alumnos tendrán que intentar resolver las situaciones que se les presentan utilizando su experiencia y los conocimientos que ya tienen. Deben ser capaces de contrastar los conocimientos que van adquiriendo con el resto de compañeros y adaptarlos a los que ya tenían. Inspirado en el constructivismo de Piaget surge el modelo de Van Hiele, modelo sobre la enseñanza de la geometría, en el que basaremos nuestro estudio.

Otra teoría que se pone en práctica en esa época es el mecanicismo (García Cruz, 2011)[14], que principalmente se basa en proporcionar a los alumnos una serie de algoritmos que se aplican a ejemplos concretos. El alumno, va adquiriendo los co- nocimientos mediante la repetición de estos algoritmos en otros ejemplos concretos.

Los problemas derivados de aplicar este método son: por una parte, que los alumnos memorizan los conceptos en lugar de entenderlos, y por otra parte, que se da una visión teórica de las matemáticas y no se da su aplicación en la vida real.

En los últimos años se está imponiendo la matemática realista, cuyo máximo repre- sentante es Hans Freudenthal. La matemática realista, tiene como objetivo principal el acercamiento de las matemáticas a la realidad. Es decir, a situaciones que el alumno se pueda imaginar (Heuvel-Panhuizen, 2003). Como expuso Hans Freudenthal “Lo que los humanos tienen que aprender no son las matemáticas como un sistema cerrado, sino más bien como una actividad, el proceso de matematizar la realidad y si es posible, incluso la de matematizar las matemáticas”. Freudenthal llama matematización al proceso de búsqueda de resolución de los problemas presentados matemáticamen- te. Existen dos tipos de matematización, matematización horizontal, que consiste en transformar un problema de la vida real al lenguaje matemático, es decir, mediante símbolos, y matematización vertical, que consiste en utilizar estrategias matemáticas para la resolución del problema relacionando conceptos ya conocidos.

La matemática realista está basada en seis principios (Alsina, 2009)[15]:

• Principio de actividad: este principio consiste en concebir el estudio de las ma- temáticas como un proceso activo en el que el alumno debe buscar estrategias para llegar al conocimiento.

• Principio de realidad: este principio plantea que los problemas se deben presen- tar en un contexto real donde el alumno pueda imaginar la situación que se le presenta y hacer uso de la intuición.

• Principio de niveles: este principio propone que los alumnos deben pasar por diferentes niveles. Los niveles son:

– Situacional, donde se sitúa en el contexto en el que se está trabajando.

– Referencial, donde se presentan los modelos que se van a utilizar.

– General, donde se lleva a cabo el estudio, reflexión sobre el problema y finalmente se intenta generalizar.

– Formal, donde se presenta la resolución utilizando la notación matemática clásica.

• Principio de reinvención guiada: consiste en presentar a los alumnos situaciones nuevas con la finalidad de que vayan desarrollando nuevas estrategias para su resolución y posteriormente evaluar las estrategias utilizadas.

• Principio de interacción: defiende un intercambio de conocimientos entre el profesor y los alumnos, así como entre los propios alumnos, mediante el trabajo en grupo, la puesta en común y la defensa de diferentes ideas y estrategias.

• Principio de interconexión: trata de ofrecer una visión de las diferentes ramas de las matemáticas, así como de las diferentes asignaturas como áreas conecta- das. Es decir, plantear situaciones en las que se deban utilizar estrategias de los distintos bloques.

De las cuatro corrientes expuestas en este trabajo, nos centraremos en la matemáti- ca realista. Aún así, como ya hemos mencionado, el modelo que presentaremos para la enseñanza de geometría, el modelo de Van Hiele, recibe una gran influencia de la teoría constructivista de Piaget. Como veremos a continuación, este modelo encaja perfectamente en la matemática realista, ya que cumple los seis principios fundamen- tales de esta.

2.4 Introducción Modelo de Van Hiele

El matrimonio Van Hiele, profesores de matemáticas en Holanda en los cursos equi- valentes a secundaria en España, observaron que los alumnos no asimilaban los con- ceptos. A pesar de que habían probado diferentes técnicas para enseñar geometría, el aprendizaje por parte de los estudiantes no mejoraba. Por tanto, empezaron a estudiar el proceso de aprendizaje de la geometría. En el estudio observaron que se pretendía que los alumnos supieran resolver problemas de un nivel elevado cuando no tenían claras las bases sobre las que se construyen los razonamientos exigidos. Por otra parte, observaron que no todos los alumnos en una misma aula razonaban de la misma manera. Debido a las necesidades anteriores, surgió el modelo de Van Hiele (López de Silanes, 2013)[16].

2.4. Introducción Modelo de Van Hiele

El modelo de Van Hiele, es el modelo más utilizado para la enseñanza de la geo- metría, tanto en primaria como en secundaria. Este modelo fue creado en Holanda, en los años 50, por Dina van Hiele-Geldof y Pierre van Hiele, bajo la influencia del psicólogo suizo Jean Piaget cuya teoría va orientada principalmente al desarrollo y no tanto a la enseñanza. Las ideas principales que comparten la teoría de Piaget y el modelo de Van Hiele son dos. Por un lado, el hecho de que los dos centran su interés en la geometría. Por otro lado, ambos comparten la idea de que la transición desde un conocimiento intuitivo a un conocimiento abstracto debe ser mediante el paso por diferentes etapas. A pesar de compartir estas dos ideas, tienen algunas diferencias im- portantes. Por una parte, la teoría de Piaget va orientada principalmente al desarrollo y no tanto a la enseñanza. Por otra parte, Piaget no da importancia al lenguaje, en cambio el modelo de Van Hiele le otorga gran importancia. Para acabar, bajo el punto de vista de Piaget, el alumno tiene el conocimiento y tiene que descubrirlo mientras que los Van Hiele consideran que el conocimiento se va construyendo (Vargas & Gamboa, 2013)[10].

El modelo de Van Hiele, a pesar de surgir en los años 50, no se empezó a aplicar en Europa hasta 1974. Fue ese año cuando Izaak Wirszup, en la conferencia anual del National Council of Teachers of Mathematics, dió la conferencia titulada:Some Breakth- roughs in the Psychology of Learning and Teaching Geometrydonde explicó el modelo de Van Hiele. Fue a partir de ese momento cuando empezó a aplicarse en el resto de países occidentales. Posteriormente, matemáticos como Hans Freudenthal o Alan Hoffer ayudaron con sus artículos a la difusión de este modelo (de la Torre, 2003)[17].

El objetivo de este modelo es, por una parte, dar algunas ideas de como explicar esta rama de las matemáticas para que asimilen los conceptos y se pueda ir avanzando, y por otra parte, proporcionar herramientas que nos permitan detectar en qué fase del conocimiento están los estudiantes y hacer un seguimiento del progreso que van haciendo a lo largo de las clases. Aunque el modelo se puede aplicar a todas las partes de la geometría, se centra principalmente en la clasificación de figuras.

De este modelo se podrían destacar tres partes. Por una parte, el llamadoInsight, que hace referencia a la comprensión que se desea que obtenga el alumno. La doctora Prat (2015)[18] define el concepto deInsightcomo “el reconocimiento de la estructura del problema, que tiene como propósito ayudar a los estudiantes a desarrollar la per- cepción”, es lo que actualmente se llama la competencia matemática. Por otra parte, para adquirir el nivel de comprensión deseado, expone los niveles de razonamiento, que son las diferentes etapas por las que va pasando un alumno en el aprendizaje de un concepto desde que empieza hasta que llega al nivel máximo de este. Cada nivel tiene unos determinados parámetros. Mediante los niveles, se clasifica a los alumnos según el nivel que les corresponde. Finalmente, el modelo propone, las llamadas fases de aprendizaje, que son las etapas que debe ir superando el alumno para poder acceder del nivel en el que se encuentra al nivel de razonamiento superior. Esta última parte, ofrece al docente una serie de pautas para facilitar la transición entre los niveles [19].

A continuación se explican primero los niveles de razonamiento propuestos por el model y posteriormente, las fases de aprendizaje. Para ello me he basado en los ar- tículos: Jaime y Gutiérrez (1990)[19], López de Silanes (2013)[16], de la Torre (2003)[17],

Fouz (2005)[20].

El modelo de Van Hiele afirma que existen cinco niveles diferentes de razonamien- to. Estos dependen de la manera como los alumnos entienden la geometría y como clasifican las figuras. Los niveles propuestos son los siguientes:

• Nivel 1: Reconocimiento o visualización.

Se reconocen las figuras basándose en el parecido con aquellas ya conocidas.

De esta manera, no se tienen en cuenta las propiedades geométricas que cada figura cumple. El hecho de dejarse llevar por la visualización puede conducir al alumno a razonamientos erróneos, como por ejemplo confundir dos figuras con propiedades diferentes pero visualmente semejantes. Los alumnos en este nivel aún no comprenden qué es una demostración.

• Nivel 2: Análisis.

Se conocen las propiedades de las figuras pero no se relacionan unas figuras con otras, por tanto, no se hace ningún tipo de clasificación entre figuras. Las figuras se definen a partir de propiedades aprendidas. La demostración de que ciertas figuras cumplen determinadas propiedades se hace comprobando que se satisfacen para algún caso concreto y posteriormente, se generaliza.

• Nivel 3: Clasificación o abstracción.

Se relacionan las diferentes propiedades de las figuras y se ve cuáles comparten entre ellas. Por tanto, por primera vez se tiene una clasificación de las figuras a partir de las propiedades. La demostración de las propiedades se hace engloban- do todas las figuras de un mismo tipo. En este nivel todavía no se relacionan unas propiedades con otras mediante implicaciones, porque aún no se llega al nivel de abstracción necesario para hacer ese tipo de razonamientos.

• Nivel 4: Deducción.

Las demostraciones hechas en este nivel ya son formales. El alumno es capaz de distinguir los teoremas de las definiciones. Se observa cómo se puede llegar a una misma conclusión mediante diferentes razonamientos. El lenguaje utilizado es más formal que en los niveles anteriores. Aún así, no se ve la necesidad de ser riguroso.

• Nivel 5: Rigor.

Es el nivel más alto de razonamiento. En este momento se ha llegado a un ni- vel muy elevado de abstracción. Se es capaz de trabajar con otras geometrías diferentes de la euclídea que es la que se ha utilizado en los niveles anteriores y por tanto tenemos axiomas diferentes asociados a estas geometrías. Este nivel es bastante elevado, de hecho, en España, los alumnos de educación secundaria no llegan a este nivel de razonamiento.

La notación más extendida para numerar los niveles es la que se ha presentado aunque hay autores, Fouz (2005)[20], que utilizan los números del 0 al 4 para referirse a los cinco niveles. En un primer momento, cuando el matrimonio Van Hiele presentó el modelo, solo había tres niveles, que coinciden con los niveles 2, 3 y 4 utilizando la notación

2.4. Introducción Modelo de Van Hiele

más extendida. Posteriormente, debido a las aportaciones de diferentes profesores y a la problemática encontrada al poner en práctica el modelo, añadieron los otros dos niveles, uno anterior al segundo y otro para cuando se supera el cuarto nivel.

De este modelo, es interesante observar, como comentan sus autores, que no se pue- de pasar a un nivel superior sin haber superado el nivel anterior. De hecho, ese es uno de los problemas de la enseñanza de la geometría que los Van Hiele presentaron. Ya que, si a un alumno se le dan conocimientos de un nivel superior no puede comprenderlos y recurre a la memorización de estos. Por tanto, es muy importante que el profesor tenga claro en qué nivel se encuentran sus alumnos. Para ello, tendrán que tener en cuenta, que en un mismo aula no todos los estudiantes tienen por qué estar en un mismo nivel de razonamiento. También se puede observar, que un alumno puede estar,en un momento dado, en niveles de aprendizaje diferentes dependiendo del concepto que se esté evaluando en cada momento. Aunque como se comenta en (Jaime y Gutiérrez, 1990)[19], esta diversidad de niveles se encuentra en los niveles inferiores al cuarto.

Ya que, una vez que un estudiante alcanza el cuarto nivel de razonamiento, aunque tenga que aprender un concepto nuevo, superará sin dificultad los tres primeros niveles.

Una vez vistos los diferentes niveles de aprendizaje, el modelo propone cinco fases de aprendizaje. Estas fases permiten que los alumnos hagan la transición de un nivel de conocimiento al siguiente.

• Información.

El profesor interactúa con los alumnos para saber qué conocimientos previos tienen los alumnos sobre los conceptos a tratar. Para mejorar el aprendizaje, hay que tomar como punto de partida los conocimientos que tienen los alum- nos sobre el tema que se va a estudiar. En esta fase, también se presentan los conocimientos que se van a trabajar y los materiales que se van a utilizar para ello.

• Orientación dirigida.

El profesor mediante actividades dirigidas ayuda a los alumnos a ir descubriendo el tema a estudiar. Se trata de poner actividades cortas para que se vayan fami- liarizando con el tema y comprendan los conceptos básicos. Esta, es la fase más importante, ya que es donde se construirá la base de conocimiento del tema en el nivel en el que se encuentren los alumnos.

• Explicitación.

Se proponen actividades para que los alumnos interactúen entre ellos y discutan con la finalidad de que asimilen los conceptos y sean capaces de explicarlos. En esta fase, el profesor no tiene protagonismo como en las anteriores. Simplemente se limita a guiar a los alumnos, corregir el lenguaje y la manera de expresarse.

Sobre todo cuando se encuentran en niveles más altos.

• Orientación libre.

Se trata de consolidar los conceptos. Para ello, se les tienen que proponer proble- mas abiertos en los que tengan que poner en práctica los conceptos aprendidos.

Sin embargo, serán problemas en los que tengan que buscar ellos la manera de

resolverlos. Es decir, que la resolución no siga unos patrones vistos en clase y que no haya una única manera de resolverlos. Las actividades propuestas no tienen por qué tener una única solución, pueden tener más de una o no tener.

• Integración.

En esta fase no se deben introducir conceptos nuevos. El objetivo es que el alumno adquiera una visión global de los conceptos aprendidos a lo largo de las diferentes fases. Además, se intentará que reflexionen sobre los métodos utiliza- dos para la resolución de ejercicios que les pueden servir en niveles posteriores o en el aprendizaje de nuevos conceptos.

No es necesario hacer actividades específicas para cada fase, ya que no se tienen que entender como etapas aisladas, sino que con una misma actividad podemos tra- bajar diferentes etapas. Pero hay que tener en cuenta que el orden de las etapas es importante. Por tanto, en la actividad se tienen que ir trabajando de manera secuencial.

Es decir, hasta que no se supere una fase, los alumnos no pueden pasar a hacer la parte de la actividad que corresponde a la siguiente.

El profesor tiene que proponer actividades y guiar a los alumnos para que adquieran los conocimientos. Aunque deben ser los estudiantes quienes lleguen a ellos, ya que so- lo así, asimilan los conceptos y podemos observar cuál es su nivel de razonamiento. Es importante tener en cuenta que un alumno, mediante la memorización y la utilización de algoritmos aprendidos, puede dar la sensación de estar en un nivel de razonamiento superior al que debería estar. El hecho de estar en un nivel superior es un problema, ya que no comprenderá los conceptos que se están trabajando. Esto es debido a que no tiene claros conceptos y métodos de razonamiento necesarios para entender los correspondientes al nuevo nivel.

Como podemos observar tanto las fases como los niveles propuestos en el modelo de Van Hiele se cumplen las siguientes propiedades: secuencialidad, integración y descripción lógica, que corresponden con las propiedades principales de la teoría de Piaget.

Este modelo se ha intentado aplicar a otras ramas de las matemáticas. De hecho, el mismo Pierre Van Hiele lo intentó. Sin embargo, no se ha obtenido ningún resultado interesante de los estudios realizados que se haya podido aplicar posteriormente(Jaime

& Gutiérrez,1990)[19].

2.5 Aplicación Modelo de Van Hiele

En esta sección, presentaremos diferentes propuestas de aplicación del método de Van Hiele.

Para saber el nivel de razonamiento en el que se encuentra cada alumno, general- mente se utilizan dos métodos (Jaime & Gutiérrez)[19]. El primero, se basa en llevar a cabo una entrevista con cada alumno. En ella, el profesor propone al alumno una serie de actividades, realizadas oralmente, a partir de las cuales, mediante la observación de

2.5. Aplicación Modelo de Van Hiele

los métodos de resolución utilizados y los razonamientos hechos, el profesor puede determinar el nivel en el que se encuentra el alumno. El segundo método, consiste en la realización por parte de los alumnos, de una serie de actividades por escrito. Como se comenta en el artículo, el primer método es más efectivo, ya que en una prueba oral e individual el profesor puede obtener mucha más información. Sin embargo, la más utilizada es la segunda. El motivo es que, debido a la gran cantidad de alumnos que hay en un aula, el profesor, habitualmente, no dispone del tiempo necesario para hacer las entrevistas.

A la hora de realizar los ejercicios para obtener el nivel de Van Hiele de cada alumno, se debe tener en cuenta que lo que se pretende es observar el razonamiento que llevan a cabo los alumnos. Por tanto deben ser actividades en las que se exijan ciertos razo- namientos. Además, se debe valorar el procedimiento llevado a cabo por el alumno, independientemente de si el resultado final obtenido es correcto o no.

Seguidamente, expondremos tres modelos de cuestionario diferentes. En primer lugar, el test de Usiskin y posteriormente, dos cuestionarios, aplicados en la Universidad de Cantabria y en la Universidad de Valencia, respectivamente.

2.5.1 Test Usiskin

El cuestionario más importante diseñado sobre el modelo de Van Hiele es el llamado Test de Usiskin, realizado por Zalman Usiskin y Susan Senk en 1982, para el proyecto llamadothe Cognitive Development and Achievement in Secondary School Geometry (CDASSG).

Este cuestionario, que consta de 25 preguntas con cinco opciones cada una, se centra en la clasificación de figuras planas. Este test se diseñó para realizarse de ma- nera individual. Se estimó que tendría una duración de 35 minutos por alumno. Las preguntas se podrían dividir en dos grupos. Por una parte, las preguntas en las que se presentan unas gráficas y se hacen preguntas sobre ellas. Por otra parte, las preguntas en las que se presentan ciertos enunciados y a partir de ellos hay que deducir cuáles de las afirmaciones que se presentan son ciertas. En el anexo A.1 podemos ver dos ejemplos de preguntas de cada tipo.

El ejemplo de cuestionario mencionado se podría utilizar para determinar en que nivel de Van Hiele se encuentran los alumnos respecto del tema de geometría plana. A continuación, veremos dos estudios. El primero con preguntas de carácter general y el segundo, con preguntas de carácter especifico, en este caso, hacen referencia a la parte de áreas.

2.5.2 Estudio 1

Hecho por María Venegas Pérez en 2015 en la Universidad de Cantabria [21].

Seleccionaron a 31 alumnos, con edades entre 13 y 16 años, de los cuales 17 cur- saban 2º de ESO y 14 cursaban 4º de ESO. Diseñaron un cuestionario con preguntas

abiertas. De esta manera, se obtiene más información que con preguntas de respuesta cerrada, ya que, como se ha comentado, el interés está en los razonamientos realizados.

El objetivo es determinar el nivel en el que se encuentra cada uno de los alumnos.

Para ello, se mira qué características, correspondientes a cada uno de los niveles, cum- ple la respuesta. Con esta información, se determina el nivel cuyas características se cumplen mayoritariamente en la respuesta del alumno. El cuestionario, constaba de tres preguntas. Cada una de ellas, centradas en diferenciar los cuatro primeros niveles de Van Hiele. En el anexo A.2 se pueden observar las preguntas realizadas a los alumnos.

En Venegas (2015)[21] se explica que a pesar de que se les especificó a los alumnos que justificaran las respuestas, no todos los alumnos lo hicieron. Por este motivo, se decidió preguntarles, de manera individual, a aquellos alumnos de los que no se había obtenido información, qué razonamientos habían utilizado.

En la primera pregunta, podemos diferenciar entre los razonamientos correspon- dientes a los tres primeros niveles dependiendo de los razonamientos llevados a cabo por los alumnos. A partir de la segunda, podemos diferenciar entre los dos primeros ni- veles, según si el alumno hace referencia a las propiedades de las figuras correctamente.

En ese caso los razonamientos pertenecerán al segundo nivel o en caso contrario, al primer nivel. Mediante la última pregunta, que trata la demostración, podemos distin- guir entre todos los niveles dependiendo de las respuestas de cada alumnos.

Después de realizar el estudio, la autora llega, principalmente, a dos conclusiones.

Por una parte, que los alumnos se encuentran principalmente entre los niveles 1 y 2.

Por otra parte, que el razonamiento observado en los alumnos de 4º es superior. La autora remarca que la pregunta de la que más información se ha obtenido ha sido la pregunta 3. Eso es debido a que la manera de enfrentarse a una demostración nos da bastante información de la manera de razonar del alumno.

2.5.3 Estudio 2

Hecho por Mónica Prat Villar en 2015 en la Universidad de Valencia [18]. El estudio se ha realizado con 21 alumnos, de edades comprendidas entre los 16 y los 20 años, de los cuales, 10 estaban en bachiller y 11 en los primeros cursos de la universidad.

Este estudio se ha hecho según el primer método comentado, es decir, realizando una entrevista individual. Se informó a los alumnos de que era una prueba para un estudio y que no repercutiría en sus calificaciones.

Así como el estudio anterior es de carácter general, este estudio está centrado, úni- camente, en la sección de áreas.

El cuestionario constaba de 16 preguntas. Mediante este, no solo se pretendía obser- var en qué nivel se encontraban los alumnos, sino también orientar a los alumnos para que fueran desarrollando estrategias para la resolución de actividades más complicadas.

Por este motivo, consta de cuatro partes.

2.6. Estudios sobre didáctica de la geometría

En la primera, se plantean figuras simples para que el alumno calcule su área, corresponde a las preguntas 1-5.

En la segunda, se plantea calcular áreas de figuras que no son cuadriláteros. Así que, el alumno tendrá que buscar nuevas estrategias, ya que no puede aplicar ninguna fórmula conocida, corresponden a esta parte las preguntas 6-9.

En la tercera, se plantea una función que no conocen y a partir de ella se plantean diferentes cálculos de áreas.

La cuarta parte consta de una única pregunta, la pregunta 16, donde se trata de que el alumno generalice el concepto de área.

En el anexo A.3 exponemos cuatro preguntas, correspondientes a cada uno de los tipos de preguntas.

Después de realizar el cuestionario, la autora concluyó que tres alumnos se encon- traban en el nivel 1, ocho se encontraban en el nivel 2, nueve en el nivel 3 y uno en la transición del nivel 2 al nivel 3. Resulta sorprendente encontrar alumnos en bachiller con un nivel tan bajo de razonamiento como el nivel 1. La autora destaca que la mayo- ría de alumnos desconocen el concepto de infinito. También remarca, que el nivel de Van Hiele no está directamente relacionado con el curso en el que se encuentran los alumnos, ya que alumnos que se encuentran en bachiller usan razonamientos propios de primaria.

Hemos podido observar tres cuestionarios con el mismo objetivo, pero completa- mente diferentes. En los dos últimos, las preguntas son abiertas, en cambio en el de Usiskin, las preguntas tienen opciones. Por otra parte, los cuestionarios 2.5.1 y 2.5.3 han sido diseñados para llevarse a cabo mediante el método oral. En cambio en test 2.5.2, únicamente se lleva a cabo este método en los casos de falta de información. En el caso del test 2.5.2, también podemos observar que las preguntas son de carácter general. En cambio, en los otros dos casos se centran en un tema en concreto.

2.6 Estudios sobre didáctica de la geometría

En esta sección presentaremos algunos ejemplos de estudios realizados sobre didáctica de la geometría hechos en este campo. El primer estudio que se expone es el realizado por Adoración Peña en su tesis doctoral[22]. El estudio está centrado en la utilización de las TIC, tecnologías de la información y la comunicación, para enseñar geometría en secundaria. Inicialmente, la autora expone las ventajas e inconvenientes de la utili- zación de estas. Entre las ventajas se pueden destacar la motivación para los alumnos y la adaptación de estas al aprendizaje de cada alumno, ya que, como se ha comentado en la sección 2.4 cada alumno tiene un ritmo de aprendizaje diferente. Los principales inconvenientes de la utilización de las TIC según la autora, vienen dados por el hecho de que hasta la última reforma del currículum, las TIC no se contemplaban en este. Esta carencia curricular propicia una falta de formación por parte del profesorado y falta de tiempo para su uso. Peña presenta diferentes tipos de TIC que se pueden aplicar. Entre

los recursos expuestos por la autora podemos encontrar emuladores de tangram, de geoplano o las WebQuests.

Finalmente, Peña presenta una propuesta que consiste en cómo elaborar una pági- na web, para utilizarla como material de aprendizaje para los alumnos. La web creada por la autora como ejemplo, Geometría en ESO[23], consta de diferentes secciones.

Aunque actualmente no está disponible, expondremos las diferentes secciones que expone Peña en su tesis. Hay una primera sección de unidades didácticas, en la que Peña presenta cada una de las unidades que van a realizarse referentes al bloque de geometría. De cada unidad, propone incluir el material correspondiente, es decir, los apuntes, recursos que se pueden utilizar y actividades referentes a la unidad. Hay una sección donde se pueden encontrar los diferentes recursos didácticos que pueden utilizarse para llevar a cabo la unidad didáctica. Otra sección que presenta la autora era la de Geometría y el mundo real. En esta sección, se pueden observar diferentes pre- sentaciones de situaciones de la vida real donde se utilizaban los diferentes conceptos de geometría estudiados y construcciones con Geogebra. Estas secciones, junto con otras en las que no vamos a entrar, se pueden encontrar en la tesis de la autora o en el artículo de la revista Suma[24], referente a la tesis.

La autora propone que a partir de la página web elaborada por el profesor, se lleve a los alumnos a un aula de informática. El objetivo de la actividad es que, a partir de los recursos presentados en la web y las construcciones en Geogebra, los alumnos aprendan de manera autónoma los conceptos y sean capaces de deducir las fórmulas, por ejemplo en el caso de áreas. Una vez que se hayan familiarizado con los contenidos, Peña propone explicar la parte teórica del tema introduciendo ejercicios y ejemplos para facilitar la comprensión de este. Finalmente, propone dar una visión realista del tema, exponiendo aplicaciones del uso de lo aprendido en la vida real, para intentar aumentar el interés por parte de los alumnos.

El segundo estudio que presentaremos está realizado por Josep Gascón (2004)[25].

En este, Gascón critica el método utilizado en los libros de texto para clasificar los cuadriláteros convexos, ya que, las características en las que se basan para realizar la clasificación son, únicamente, el paralelismo de los lados y su longitud, o en su defecto en la amplitud de los ángulos. Esta clasificación según la opinión de Gascón, no es intuitiva y se propone como una clasificación cerrada.

Gascón propone diferentes criterios para llevar a cabo la clasificación de los cua- driláteros convexos. La primera propuesta se basa en hacer la clasificación a partir de cuatro propiedades:

• D1: Las dos diagonales tienen la misma longitud.

• D2: Las diagonales se cortan perpendicularmente.

• D3: El punto de intersección de las diagonales divide a ambas en dos partes iguales.

• D4: El punto de intersección divide a una de las diagonales en dos partes iguales.

2.6. Estudios sobre didáctica de la geometría

Como se puede observar en el artículo haciendo combinaciones de las cuatro pro- piedades anteriores se obtiene una clasificación de cuadriláteros donde existe una relación entre ellos de inclusión.

La segunda propuesta es hacer la clasificación a partir de los tipos de simetría que tiene cada figura. Mediante esta clasificación obtiene cinco categorías:

• Cuadriláteros con simetría diédrica.

• Cuadriláteros con simetría compuesta de orden 2.

• Cuadriláteros con simetría rotatoria de orden 2.

• Cuadriláteros con simetría bilateral.

• Cuadriláteros sin ningún tipo de simetría.

Y la última clasificación se basa en la posición de la figura, como dice Gascón: “se considera la posición de una figura, como la que viene dada por la posición de los elementos que la determinan (por ejemplo, los vértices en el caso de polígonos)”. Para ello presenta siete propiedades:

1. La posición de los cuatro vértices del cuadrilátero.

2. La posición, ordenada, de los cuatro vértices.

3. Las longitudes, ordenadas, de los cuatro lados.

4. Las amplitudes de los ángulos, ordenadas.

5. La amplitud de tres ángulos y la longitud de un lado.

6. La amplitud de tres ángulos y las longitudes de sus lados opuestos.

7. La amplitud de tres ángulos y las longitudes de dos lados consecutivos.

A partir de las propiedades anteriores propone cuatro axiomas a partir de los cuales creará la clasificación.

C

3

P ROPUESTA ACTIVIDADES

3.1 Introducción

Después de exponer el marco teórico en el que vamos a trabajar y haber presentado algunos ejemplos de estudios hechos en este área, vamos a presentar una propuesta de actividades. El objetivo de esta propuesta es cubrir los contenidos que se mencionan en el apartado 3.2. A partir de las actividades propuestas se pretende que los alumnos adquieran los conocimientos de manera intuitiva, lo que se conseguirá mediante la utilización de materiales manipulables, y observando, mediante estas, el nivel de Van Hiele en el que se encuentran cada uno de los alumnos para poder dirigir mejor las actividades y facilitar el aprendizaje.

Algunas de las actividades se presentaran adaptadas a los diferentes niveles. Cabe destacar que únicamente nos centraremos en los tres primeros niveles, ya que en un aula de 1^◦de ESO no tendremos alumnos de niveles superiores al nivel 3. Finalmente, presentaremos una clasificación de las actividades según los contenidos a trabajar en estas que es la siguiente:

• Propiedades de figuras planas.

• Clasificación de figuras planas.

• Cálculo de áreas y perímetros de figuras planas.

3.2 Contenidos

Para la propuesta de las actividades nos vamos a basar en los contenidos del currícu- lum de las Islas Baleares. En particular, del bloque de geometría nos centraremos en la parte de geometría plana. En referencia al nivel, nos vamos a centrar en 1^◦y 2^◦de ESO.

Los contenidos de esta temática correspondientes a estos niveles que aparecen en el currículum son:

• Elementos básicos de la geometría plana. Relaciones y propiedades de figuras en el plano.

• Paralelismo y perpendicularidad.

• Ángulos y sus relaciones.

• Figuras planas elementales: triángulo, cuadrado, figuras poligonales.

• Clasificación de triángulos y cuadriláteros. Propiedades y relaciones.

• Medición y cálculo de ángulos de figuras planas.

• Cálculo de áreas y perímetros de figuras planas. Cálculo de áreas para descompo- sición en figuras simples.

• Circunferencia, círculo, arcos y sectores circulares.

• Triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras. Justificación geométrica y apli- caciones.

• Semejanza: figuras semejantes. Criterios de semejanza. Razón de semejanza y escala.

• Razón entre longitudes y áreas.

• Uso de herramientas informáticas para estudiar formas, configuraciones y rela- ciones geométricas.

3.3 Actividades

Para algunas de las actividades que presentaremos a continuación utilizamos el progra- ma Geogebra. Los archivos de dichos programas se pueden descargar en el siguiente enlace:

https://drive.google.com/drive/folders/

1jbul7NnKOoCRxLMV0C6C10Tjm8hxTkI8?usp=sharing

En las actividades propuestas aparece con frecuencia el concepto de estimación.

Las ideas principales para realizar una estimación son:

• No se pueden hacer cálculos.

• Hay que dar un valor por exceso y un valor por defecto.

• Se deben intentar que los dos valores estén lo más cerca posible del valor real.

A continuación presentamos las diferentes actividades.

3.3. Actividades 3.3.1 Clasificación de cuadriláteros a partir del geoplano

Introducción de la actividad.

Esta actividad se basa en algunas ideas extraídas de la asignaturaDidàctica de les mate- màtiques. Está pensada para llevarse a cabo al inicio de la unidad de geometría plana.

La finalidad es que los alumnos repasen los conceptos vistos en primaria, amplíen los cuadriláteros que conocen y obtengan una clasificación de estos a partir de la ma- nipulación. Esta actividad se podría adaptar a cada uno de los niveles de Van Hiele dando más importancia a unas partes de la actividad u otras según los conceptos en los que deseamos centrarnos, en el apartado de descripción de la actividad veremos un ejemplo de adaptación. La parte de la actividad que priorizaremos vendrá dada por el nivel en el que se encuentra cada grupo de alumnos. Esta actividad se puede realizar en la fase de información y en la de orientación dirigida del modelo de Van Hiele. En la primera parte de la actividad, el profesor interactúa con los alumnos y en la segunda parte se les guía para que vayan descubriendo las diferentes figuras.

Objetivos.

• Obtener una clasificación de los cuadriláteros.

• Hacer uso de las nuevas tecnologías para visualizar y manipular las diferentes figuras.

• Desarrollar el espíritu crítico haciéndoles reflexionar sobre los resultados obteni- dos.

Contenidos.

• Elementos básicos de la geometría plana. Relaciones y propiedades de figuras en el plano.

• Paralelismo y perpendicularidad.

• Figuras planas elementales: cuadriláteros.

• Clasificación de cuadriláteros. Propiedades y relaciones.

• Uso de herramientas informáticas para estudiar formas, configuraciones y rela- ciones geométricas (únicamente en el caso que utilicen el geoplano virtual para el desarrollo de la actividad).

Material.

Para llevar a cabo la actividad será necesario:

• Ordenadores (en caso de utilizar el geoplano virtual).

• Una plantilla de geoplano en papel o una plantilla de geoplano en Geogebra.

• Cuadriláteros plastificados.

Descripción de la actividad.

Esta actividad se puede dividir en tres partes: las dos primeras consisten en la utiliza- ción de materiales para el descubrimiento y la visualización de las propiedades de los cuadriláteros y la tercera consiste en crear una clasificación de estos.

Inicialmente se les presenta el geoplano virtual[26] y se hace una breve introduc- ción de qué es y como funciona. En el caso que los alumnos estén familiarizados con este material omitiremos esta parte.

Se les propone que construyan, de manera individual, todos los cuadriláteros sim- ples diferentes que se les ocurran utilizando una cuadrícula 3×3 del geoplano. Después de 5-10 minutos se divide a los alumnos en grupos de 2 o 3 personas intentando formar los grupos teniendo en cuenta la cantidad de cuadriláteros que ha encontrado cada alumno. Una vez que estén en grupo, se les propone que pongan en común los cua- driláteros encontrados y que a partir de los obtenidos que intenten encontrar alguno más. Cuando hayan acabado, el profesor va seleccionando diferentes alumnos para que expongan los cuadriláteros obtenidos y se van dibujando en una plantilla de geogebra.

Es importante hacerles ver cuando dos cuadriláteros son diferentes. En el momento que ya se tienen en la plantilla todos los cuadriláteros propuestos por los alumnos, si falta algún cuadrilátero de los 16 que se pueden construir se intenta que los encuentren guiándoles a través de preguntas. Por ejemplo: modificando un lado del cuadrilátero A,

¿podríamos obtener algún cuadrilátero a parte del B? (A y B cuadriláteros ya construi- dos). Finalmente, se proporciona la solución, que puede observarse en la Figura 3.1.

Se les pregunta cómo clasificarían los cuadriláteros en dos clases. En caso de que no lleguen a la solución se les señalan los tres cuadriláteros cóncavos y se les pregunta qué diferencias ven entre estos tres y los demás. La idea es que lleguen a la definición de cuadriláteros cóncavos y convexos. Una vez definidos se argumenta que la clasificación se centrará únicamente en los convexos. A continuación, se pueden observar los 16 cuadriláteros obtenidos.

Figura 3.1: Cuadriláteros.

3.3. Actividades

La segunda parte de la actividad consiste en proporcionar a los alumnos plantillas de diferentes cuadriláteros hechas con cartulina. A partir de ellas, se pretende que los alumnos propongan por parejas que propiedades les parecen importantes a la hora de clasificar los cuadriláteros. Posteriormente, se les propone que comparen las propiedades que se les han ocurrido a cada una de las parejas con otra pareja.

Finalmente, se ponen en común todas las características obtenidas, se crea una tabla con estas y se les propone, para hacer en casa, que rellenen la tabla con cada uno de los cuadriláteros vistos y que intenten crear una clasificación de estos. En la siguiente sesión, se rellena la tabla mediante la ayuda de los alumnos. Posteriormente, se presenta una propuesta de clasificación y se les hace comentar, a los alumnos, las diferencias con sus clasificaciones.

En el caso de los alumnos que se encuentran en el primer nivel de Van Hiele se propone centrar la actividad en las propiedades de los cuadriláteros y en saber di- ferenciarlos, en lugar de hacerlo para crear una clasificación. Para ello se propone presentarles diferentes cuadriláteros como por ejemplo los representados en la Figura 3.2.

Figura 3.2: Ejemplo cuadriláteros.

En este caso lo importante es que se fijen en las propiedades de los cuadriláteros y que sean capaces de diferenciar cuadriláteros diferentes, como los de la Figura 3.2, que a simple vista puede parecer que pertenecen a la misma clase, en este caso rom- bos. Una vez han debatido sobre los cuadriláteros mostrados mediante la imagen es interesante proporcionarles esos mismos cuadriláteros plastificados y que vean que los dos cuadriláteros de la izquierda son cuadrados iguales. Posteriormente se les pueden proporcionar más cuadriláteros para que rellenen la tabla de las propiedades de los cuadriláteros.

Temporalización.

Se dedicarán dos sesiones de 55 minutos para hacer la actividad.

3.3.2 Cálculo de áreas Introducción de la actividad.

Esta actividad, se puede realizar como una continuación de la actividad 3.3.1. También se puede presentar a partir de figuras dadas sobre una cuadrícula o sobre un geoplano.

Desde el punto de vista del modelo de Van Hiele, esta actividad pertenece a la fase de orientación dirigida del modelo de Van Hiele. En ella, el profesor va guiando a los alumnos para que descubran el área de las figuras dadas.

Objetivos.

• Calcular áreas de figuras de manera intuitiva.

• Observar la relación entre los resultados obtenidos empíricamente y los obteni- dos de manera teórica.

• Desarrollar el espíritu crítico haciéndoles reflexionar sobre los resultados obteni- dos.

Contenidos.

• Cálculo de áreas y perímetros de figuras planas. Cálculo de áreas por descompo- sición en figuras simples.

• Uso de herramientas informáticas para estudiar formas, configuraciones y rela- ciones geométricas (únicamente en el caso de utilizar Geogebra para el desarrollo de la actividad).

Material.

Para llevar a cabo la actividad será necesario:

• Una hoja de papel cuadriculada, un geoplano o un ordenador con una herra- mienta de visualización como puede ser Geogebra.

Descripción de la actividad.

Inicialmente se presentan a los alumnos diferentes cuadriláteros sobre una cuadrícula.

Se les propone que, individualmente, intenten calcular el área de los cuadriláteros presentados. Para ello, les haremos tomar una unidad de referencia acordada, esta puede ser un cuadrado de la cuadrícula o como en nuestro caso, el cuadrado más pequeño que se puede formar con cuatro puntos del Geoplano. Después se les propone juntarse por parejas y discutir los resultados obtenidos. Finalmente, se eligen diferentes alumnos para que expongan los razonamientos realizados para el cálculo de cada una de las áreas. En la Figura 3.3, podemos ver el resultado del cálculo de las áreas de los 16 cuadriláteros de la actividad 3.3.1.

Esta actividad también la podríamos realizar con el resto de figuras planas.

3.3. Actividades

Figura 3.3: Áreas cuadriláteros.

Temporalización.

Se dedicarán entre 20 y 55 minutos para realizar la actividad, dependiendo de la dificul- tad de las figuras presentadas. En el ejemplo presentado se dedicarán 20 minutos.

3.3.3 WODB: cuadriláteros y triángulos Introducción de la actividad.

Esta actividad es un ejemplo de WODB, which one doesn’t belong, que son actividades en las que se presentan cuatro imágenes o figuras y cada una de ellas se puede excluir por un motivo diferente. Esta actividad se puede presentar después de haber explicado los conceptos, para que los alumnos apliquen los conocimientos que han adquirido o como introducción para que repasen los conceptos que ya conocen de cursos inferiores.

Aplicando el modelo de Van Hiele a esta actividad, ésta se puede incluir en la fase de explicitación. El objetivo es que los alumnos debatan sobre los argumentos para excluir cada una de las imágenes y así lleguen entre todos a las soluciones.

Objetivos.

• Repasar propiedades de los triángulos y los cuadriláteros.

• Utilizar las nuevas tecnologías para la visualización de las figuras planas.

Contenidos.

• Elementos básicos de la geometría plana. Relaciones y propiedades de figuras en el plano.

• Paralelismo y perpendicularidad.

• Ángulos y sus relaciones.

• Figuras planas elementales: triángulo, cuadrado.

• Clasificación de triángulos. Propiedades y relaciones.

Material.

Para llevar a cabo la actividad será necesario:

• Un ordenador con el programa Geogebra.

• Un proyector o una pizarra digital.

Descripción de la actividad.

Se presentan cuatro cuadriláteros y se les pide que escriban de manera individual, qué cuadrilátero creen que sobra y por qué (ver Figura 3.4).

Figura 3.4: WODB de Cuadriláteros.

Después se les coloca en parejas y se les hace comparar y discutir los resultados.

Para acabar esta parte se forman grupos de cuatro personas y se les propone hacer lo mismo. En el momento en que están en grupos de cuatro se darán cuenta, si no se ha- bían dado cuenta antes, que no hay una única figura que sobra. Por tanto, manteniendo los grupos les pedimos que den un motivo por el cual cada uno de los cuadriláteros es el que no comparte la propiedad con los demás. Una vez que hemos realizado la actividad con cuadriláteros presentamos los cuatro polígonos, ver figura 3.5. Seguimos el mismo procedimiento que en el caso de los cuadriláteros pero ahora se les pide que desde el principio intenten encontrar el motivo por el que podemos excluir cada polígono.

Cuando se ponen en común las propiedades por las que se puede excluir cada figura se puede aprovechar para introducir conceptos nuevos como las simetrías o en el caso de los triángulos, hacerles observar que podemos hacer la clasificación teniendo en cuenta el número de lados que tienen de igual longitud o teniendo en cuenta la amplitud de los ángulos. Hay que tener en cuenta que la solución no es única. También podría realizarse presentando primero la actividad de los triángulos y posteriormente

3.3. Actividades

Figura 3.5: WODB de Triángulos.

la de los cuadriláteros.

Las soluciones de esta actividad se pueden encontrar en el anexo B.1.

Temporalización.

Se dedicarán 40 minutos para realizar la actividad.

3.3.4 Estudio de simetrías Introducción de la actividad.

Esta actividad consiste en presentar el concepto de simetría a partir de imágenes y objetos de la vida real. Según el modelo de Van Hiele esta actividad se encuentra en la fase de orientación dirigida. El profesor va orientando a los alumnos para que comprendan el concepto de simetría. A pesar de ello, el final de la actividad podría clasificarse en la fase de orientación libre porque en este caso el objetivo es que los alumnos consoliden los conceptos aprendidos.

Objetivos.

• Estudiar las simetrías mediante el uso de materiales manipulables.

• Relacionar los conceptos aprendidos con la vida real.

Contenidos.

• Elementos básicos de la geometría plana. Relaciones y propiedades de figuras en el plano.

• Figuras planas elementales: triángulo, cuadrado, figuras poligonales.

Material.

Para llevar a cabo la actividad será necesario:

• Un ordenador con proyector.

• Pattern Blocks¹. Descripción de la actividad.

Se presentan una serie de imágenes de figuras hechas con Pattern Blocks y se les pre- gunta a los alumnos qué destacarían de las figuras mostradas. Una vez que llegan a que tienen simetrías se les pide que busquen los ejes de simetría. Por parejas se les hace construir figuras con un determinado número de piezas y forzamos a que utilicen un número mínimo de piezas diferentes. Es importante determinar si se considera el color de la pieza o no a la hora de mirar los ejes de simetría. En la figura 3.6 se pueden ver algunos ejemplos.

Figura 3.6: Pattern Blocks Simetrías.

Una vez realizada esta primera parte de la actividad se les presentan diferentes figuras hechas a partir de los Pattern Blocks que no tengan simetría respecto de ningún eje. Se les sugiere a los alumnos que busquen la manera de completar la figura, utili- zando el mínimo número de piezas posible, de tal forma que la figura tenga un número

1Los Pattern Blocks son un conjunto de polígonos de plástico formados por seis tipos de polígonos diferentes: triángulo equilátero, cuadrado, rombo con ánglos de 60^◦y 120^◦, rombo con ánglos de 30^◦y 150^◦, trapecio isósceles con ángulos de 60^◦y 120^◦y hexágono regular.

3.3. Actividades

determinado de ejes de simetría.

La primera parte de la actividad también se puede realizar a partir de los cuadrilá- teros de la actividad 3.3.1. En este caso se podría aprovechar para hacer las actividades como continuación unas de las otras. Las soluciones, de los ejes de simetría, en caso de existir, de los cuadriláteros mencionados, se pueden ver en el anexo B.2.

Finalmente, se les puede preguntar a los alumnos qué figuras con simetrías pode- mos encontrar en la vida real y cuáles son sus respectivos ejes de simetría. Se presentan algunas imágenes y se les hace realizar la actividad de buscar los ejes de simetrías pero, en este caso, de situaciones reales.

Temporalización.

Se dedicarán 30 minutos de una sesión para hacer la actividad.

3.3.5 Three-Acts: Vuelta Matemática Introducción de la actividad.

Para realizar esta actividad hemos cogido ideas de dos actividades. Por una parte, hemos cogido la idea del Three-Acts de Dan Meyer[27]. Esta actividad consta de tres actos, de ahí su nombre.

• Acto 1:Consiste en presentar una imagen o un vídeo a partir del cual los alumnos deben crear su propio enunciado. Entre todas las propuestas de preguntas a responder se llega a un consenso de aquella que se va a intentar responder. Es tarea del profesor guiar a los alumnos hacia la pregunta que se desea trabajar.

• Acto 2:Los alumnos solicitan al profesor aquellos datos que consideran necesa- rios para responder a la pregunta acordada en el acto 1. Por su parte, el profesor, proporcionará a los alumnos únicamente aquellos datos que sean necesarios.

Los datos se suelen proporcionar a partir de imágenes. En caso de que el primer acto se haya desarrollado a partir de un vídeo, normalmente las imágenes de los datos corresponden a capturas de pantalla de este vídeo.

• Acto 3:A partir de los datos proporcionados los alumnos resuelven el problema propuesto efectuando los cálculos necesarios. Finalmente, el profesor presenta la imagen o vídeo presentados en el primer acto con la solución del problema.

Por otra parte, nos hemos inspirado en la idea que genera un conjunto de activi- dades en las que a partir del mapa de Nueva York, calculan distancias aplicando el teorema de Pitágoras. Esta idea viene de aprovechar los ángulos rectos que forman algunas de las calles de esta ciudad.

Presentaremos dos alternativas. Una primera dirigida a los alumnos que conocen el teorema de Pitagoras, y una segunda dirigida a aquellos que aún no conocen el teorema antes de la realización de la actividad.

Las imágenes y el vídeo de la actividad se pueden descargar en el siguiente enlace:

https://drive.google.com/drive/folders/

1hov-fQT9uAZ8x8kyJIH-WF8uSpx7LCUM?usp=sharing

Esta actividad, en el caso de que los alumnos ya conozcan el Teorema de Pitágoras, se puede realizar en la fase de orientación libre del modelo de Van Hiele. Se pretende que los alumnos apliquen los conceptos adquiridos mediante un problema abierto. En el caso de que aún no conozcan el teorema, la actividad se puede incluir en la fase de explicitación.

Objetivos.

• Trabajar la reinvención guiada.

• Hacer uso de las nuevas tecnologías para visualizar y manipular triángulos.

• Observar una aplicación del teorema de Pitágoras en la vida real.

• Desarrollar el espíritu crítico haciéndoles reflexionar sobre los resultados obteni- dos.

Contenidos.

• Elementos básicos de la geometría plana. Relaciones y propiedades de figuras en el plano.

• Ángulos y sus relaciones.

• Figuras planas elementales: triángulo.

• Triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras. Justificación geométrica y apli- caciones.

• Uso de herramientas informáticas para estudiar formas, configuraciones y rela- ciones geométricas.

Material.

Para llevar a cabo la actividad será necesario:

• Un proyector.

• Ordenadores con el programa Geogebra.

Descripción de la actividad.

Esta actividad consta de tres partes, correspondientes a los tres actos propuestos por Dan Meyer. Para la realización de las dos primeras partes no es necesario conocer el teorema de Pitágoras. Por este motivo, únicamente haremos dos versiones para la parte correspondiente al tercer acto.