En la primera, se plantean figuras simples para que el alumno calcule su área, corresponde a las preguntas 1-5.
En la segunda, se plantea calcular áreas de figuras que no son cuadriláteros. Así que, el alumno tendrá que buscar nuevas estrategias, ya que no puede aplicar ninguna fórmula conocida, corresponden a esta parte las preguntas 6-9.
En la tercera, se plantea una función que no conocen y a partir de ella se plantean diferentes cálculos de áreas.
La cuarta parte consta de una única pregunta, la pregunta 16, donde se trata de que el alumno generalice el concepto de área.
En el anexo A.3 exponemos cuatro preguntas, correspondientes a cada uno de los tipos de preguntas.
Después de realizar el cuestionario, la autora concluyó que tres alumnos se encon-traban en el nivel 1, ocho se enconencon-traban en el nivel 2, nueve en el nivel 3 y uno en la transición del nivel 2 al nivel 3. Resulta sorprendente encontrar alumnos en bachiller con un nivel tan bajo de razonamiento como el nivel 1. La autora destaca que la mayo-ría de alumnos desconocen el concepto de infinito. También remarca, que el nivel de Van Hiele no está directamente relacionado con el curso en el que se encuentran los alumnos, ya que alumnos que se encuentran en bachiller usan razonamientos propios de primaria.
Hemos podido observar tres cuestionarios con el mismo objetivo, pero completa-mente diferentes. En los dos últimos, las preguntas son abiertas, en cambio en el de Usiskin, las preguntas tienen opciones. Por otra parte, los cuestionarios 2.5.1 y 2.5.3 han sido diseñados para llevarse a cabo mediante el método oral. En cambio en test 2.5.2, únicamente se lleva a cabo este método en los casos de falta de información. En el caso del test 2.5.2, también podemos observar que las preguntas son de carácter general. En cambio, en los otros dos casos se centran en un tema en concreto.
2.6 Estudios sobre didáctica de la geometría
En esta sección presentaremos algunos ejemplos de estudios realizados sobre didáctica de la geometría hechos en este campo. El primer estudio que se expone es el realizado por Adoración Peña en su tesis doctoral[22]. El estudio está centrado en la utilización de las TIC, tecnologías de la información y la comunicación, para enseñar geometría en secundaria. Inicialmente, la autora expone las ventajas e inconvenientes de la utili-zación de estas. Entre las ventajas se pueden destacar la motivación para los alumnos y la adaptación de estas al aprendizaje de cada alumno, ya que, como se ha comentado en la sección 2.4 cada alumno tiene un ritmo de aprendizaje diferente. Los principales inconvenientes de la utilización de las TIC según la autora, vienen dados por el hecho de que hasta la última reforma del currículum, las TIC no se contemplaban en este. Esta carencia curricular propicia una falta de formación por parte del profesorado y falta de tiempo para su uso. Peña presenta diferentes tipos de TIC que se pueden aplicar. Entre
los recursos expuestos por la autora podemos encontrar emuladores de tangram, de geoplano o las WebQuests.
Finalmente, Peña presenta una propuesta que consiste en cómo elaborar una pági-na web, para utilizarla como material de aprendizaje para los alumnos. La web creada por la autora como ejemplo, Geometría en ESO[23], consta de diferentes secciones.
Aunque actualmente no está disponible, expondremos las diferentes secciones que expone Peña en su tesis. Hay una primera sección de unidades didácticas, en la que Peña presenta cada una de las unidades que van a realizarse referentes al bloque de geometría. De cada unidad, propone incluir el material correspondiente, es decir, los apuntes, recursos que se pueden utilizar y actividades referentes a la unidad. Hay una sección donde se pueden encontrar los diferentes recursos didácticos que pueden utilizarse para llevar a cabo la unidad didáctica. Otra sección que presenta la autora era la de Geometría y el mundo real. En esta sección, se pueden observar diferentes pre-sentaciones de situaciones de la vida real donde se utilizaban los diferentes conceptos de geometría estudiados y construcciones con Geogebra. Estas secciones, junto con otras en las que no vamos a entrar, se pueden encontrar en la tesis de la autora o en el artículo de la revista Suma[24], referente a la tesis.
La autora propone que a partir de la página web elaborada por el profesor, se lleve a los alumnos a un aula de informática. El objetivo de la actividad es que, a partir de los recursos presentados en la web y las construcciones en Geogebra, los alumnos aprendan de manera autónoma los conceptos y sean capaces de deducir las fórmulas, por ejemplo en el caso de áreas. Una vez que se hayan familiarizado con los contenidos, Peña propone explicar la parte teórica del tema introduciendo ejercicios y ejemplos para facilitar la comprensión de este. Finalmente, propone dar una visión realista del tema, exponiendo aplicaciones del uso de lo aprendido en la vida real, para intentar aumentar el interés por parte de los alumnos.
El segundo estudio que presentaremos está realizado por Josep Gascón (2004)[25].
En este, Gascón critica el método utilizado en los libros de texto para clasificar los cuadriláteros convexos, ya que, las características en las que se basan para realizar la clasificación son, únicamente, el paralelismo de los lados y su longitud, o en su defecto en la amplitud de los ángulos. Esta clasificación según la opinión de Gascón, no es intuitiva y se propone como una clasificación cerrada.
Gascón propone diferentes criterios para llevar a cabo la clasificación de los cua-driláteros convexos. La primera propuesta se basa en hacer la clasificación a partir de cuatro propiedades:
• D1: Las dos diagonales tienen la misma longitud.
• D2: Las diagonales se cortan perpendicularmente.
• D3: El punto de intersección de las diagonales divide a ambas en dos partes iguales.
• D4: El punto de intersección divide a una de las diagonales en dos partes iguales.
2.6. Estudios sobre didáctica de la geometría
Como se puede observar en el artículo haciendo combinaciones de las cuatro pro-piedades anteriores se obtiene una clasificación de cuadriláteros donde existe una relación entre ellos de inclusión.
La segunda propuesta es hacer la clasificación a partir de los tipos de simetría que tiene cada figura. Mediante esta clasificación obtiene cinco categorías:
• Cuadriláteros con simetría diédrica.
• Cuadriláteros con simetría compuesta de orden 2.
• Cuadriláteros con simetría rotatoria de orden 2.
• Cuadriláteros con simetría bilateral.
• Cuadriláteros sin ningún tipo de simetría.
Y la última clasificación se basa en la posición de la figura, como dice Gascón: “se considera la posición de una figura, como la que viene dada por la posición de los elementos que la determinan (por ejemplo, los vértices en el caso de polígonos)”. Para ello presenta siete propiedades:
1. La posición de los cuatro vértices del cuadrilátero.
2. La posición, ordenada, de los cuatro vértices.
3. Las longitudes, ordenadas, de los cuatro lados.
4. Las amplitudes de los ángulos, ordenadas.
5. La amplitud de tres ángulos y la longitud de un lado.
6. La amplitud de tres ángulos y las longitudes de sus lados opuestos.
7. La amplitud de tres ángulos y las longitudes de dos lados consecutivos.
A partir de las propiedades anteriores propone cuatro axiomas a partir de los cuales creará la clasificación.