El matrimonio Van Hiele, profesores de matemáticas en Holanda en los cursos equi-valentes a secundaria en España, observaron que los alumnos no asimilaban los con-ceptos. A pesar de que habían probado diferentes técnicas para enseñar geometría, el aprendizaje por parte de los estudiantes no mejoraba. Por tanto, empezaron a estudiar el proceso de aprendizaje de la geometría. En el estudio observaron que se pretendía que los alumnos supieran resolver problemas de un nivel elevado cuando no tenían claras las bases sobre las que se construyen los razonamientos exigidos. Por otra parte, observaron que no todos los alumnos en una misma aula razonaban de la misma manera. Debido a las necesidades anteriores, surgió el modelo de Van Hiele (López de Silanes, 2013)[16].
2.4. Introducción Modelo de Van Hiele
El modelo de Van Hiele, es el modelo más utilizado para la enseñanza de la geo-metría, tanto en primaria como en secundaria. Este modelo fue creado en Holanda, en los años 50, por Dina van Hiele-Geldof y Pierre van Hiele, bajo la influencia del psicólogo suizo Jean Piaget cuya teoría va orientada principalmente al desarrollo y no tanto a la enseñanza. Las ideas principales que comparten la teoría de Piaget y el modelo de Van Hiele son dos. Por un lado, el hecho de que los dos centran su interés en la geometría. Por otro lado, ambos comparten la idea de que la transición desde un conocimiento intuitivo a un conocimiento abstracto debe ser mediante el paso por diferentes etapas. A pesar de compartir estas dos ideas, tienen algunas diferencias im-portantes. Por una parte, la teoría de Piaget va orientada principalmente al desarrollo y no tanto a la enseñanza. Por otra parte, Piaget no da importancia al lenguaje, en cambio el modelo de Van Hiele le otorga gran importancia. Para acabar, bajo el punto de vista de Piaget, el alumno tiene el conocimiento y tiene que descubrirlo mientras que los Van Hiele consideran que el conocimiento se va construyendo (Vargas & Gamboa, 2013)[10].
El modelo de Van Hiele, a pesar de surgir en los años 50, no se empezó a aplicar en Europa hasta 1974. Fue ese año cuando Izaak Wirszup, en la conferencia anual del National Council of Teachers of Mathematics, dió la conferencia titulada:Some Breakth-roughs in the Psychology of Learning and Teaching Geometrydonde explicó el modelo de Van Hiele. Fue a partir de ese momento cuando empezó a aplicarse en el resto de países occidentales. Posteriormente, matemáticos como Hans Freudenthal o Alan Hoffer ayudaron con sus artículos a la difusión de este modelo (de la Torre, 2003)[17].
El objetivo de este modelo es, por una parte, dar algunas ideas de como explicar esta rama de las matemáticas para que asimilen los conceptos y se pueda ir avanzando, y por otra parte, proporcionar herramientas que nos permitan detectar en qué fase del conocimiento están los estudiantes y hacer un seguimiento del progreso que van haciendo a lo largo de las clases. Aunque el modelo se puede aplicar a todas las partes de la geometría, se centra principalmente en la clasificación de figuras.
De este modelo se podrían destacar tres partes. Por una parte, el llamadoInsight, que hace referencia a la comprensión que se desea que obtenga el alumno. La doctora Prat (2015)[18] define el concepto deInsightcomo “el reconocimiento de la estructura del problema, que tiene como propósito ayudar a los estudiantes a desarrollar la per-cepción”, es lo que actualmente se llama la competencia matemática. Por otra parte, para adquirir el nivel de comprensión deseado, expone los niveles de razonamiento, que son las diferentes etapas por las que va pasando un alumno en el aprendizaje de un concepto desde que empieza hasta que llega al nivel máximo de este. Cada nivel tiene unos determinados parámetros. Mediante los niveles, se clasifica a los alumnos según el nivel que les corresponde. Finalmente, el modelo propone, las llamadas fases de aprendizaje, que son las etapas que debe ir superando el alumno para poder acceder del nivel en el que se encuentra al nivel de razonamiento superior. Esta última parte, ofrece al docente una serie de pautas para facilitar la transición entre los niveles [19].
A continuación se explican primero los niveles de razonamiento propuestos por el model y posteriormente, las fases de aprendizaje. Para ello me he basado en los ar-tículos: Jaime y Gutiérrez (1990)[19], López de Silanes (2013)[16], de la Torre (2003)[17],
Fouz (2005)[20].
El modelo de Van Hiele afirma que existen cinco niveles diferentes de razonamien-to. Estos dependen de la manera como los alumnos entienden la geometría y como clasifican las figuras. Los niveles propuestos son los siguientes:
• Nivel 1: Reconocimiento o visualización.
Se reconocen las figuras basándose en el parecido con aquellas ya conocidas.
De esta manera, no se tienen en cuenta las propiedades geométricas que cada figura cumple. El hecho de dejarse llevar por la visualización puede conducir al alumno a razonamientos erróneos, como por ejemplo confundir dos figuras con propiedades diferentes pero visualmente semejantes. Los alumnos en este nivel aún no comprenden qué es una demostración.
• Nivel 2: Análisis.
Se conocen las propiedades de las figuras pero no se relacionan unas figuras con otras, por tanto, no se hace ningún tipo de clasificación entre figuras. Las figuras se definen a partir de propiedades aprendidas. La demostración de que ciertas figuras cumplen determinadas propiedades se hace comprobando que se satisfacen para algún caso concreto y posteriormente, se generaliza.
• Nivel 3: Clasificación o abstracción.
Se relacionan las diferentes propiedades de las figuras y se ve cuáles comparten entre ellas. Por tanto, por primera vez se tiene una clasificación de las figuras a partir de las propiedades. La demostración de las propiedades se hace engloban-do todas las figuras de un mismo tipo. En este nivel todavía no se relacionan unas propiedades con otras mediante implicaciones, porque aún no se llega al nivel de abstracción necesario para hacer ese tipo de razonamientos.
• Nivel 4: Deducción.
Las demostraciones hechas en este nivel ya son formales. El alumno es capaz de distinguir los teoremas de las definiciones. Se observa cómo se puede llegar a una misma conclusión mediante diferentes razonamientos. El lenguaje utilizado es más formal que en los niveles anteriores. Aún así, no se ve la necesidad de ser riguroso.
• Nivel 5: Rigor.
Es el nivel más alto de razonamiento. En este momento se ha llegado a un ni-vel muy elevado de abstracción. Se es capaz de trabajar con otras geometrías diferentes de la euclídea que es la que se ha utilizado en los niveles anteriores y por tanto tenemos axiomas diferentes asociados a estas geometrías. Este nivel es bastante elevado, de hecho, en España, los alumnos de educación secundaria no llegan a este nivel de razonamiento.
La notación más extendida para numerar los niveles es la que se ha presentado aunque hay autores, Fouz (2005)[20], que utilizan los números del 0 al 4 para referirse a los cinco niveles. En un primer momento, cuando el matrimonio Van Hiele presentó el modelo, solo había tres niveles, que coinciden con los niveles 2, 3 y 4 utilizando la notación
2.4. Introducción Modelo de Van Hiele
más extendida. Posteriormente, debido a las aportaciones de diferentes profesores y a la problemática encontrada al poner en práctica el modelo, añadieron los otros dos niveles, uno anterior al segundo y otro para cuando se supera el cuarto nivel.
De este modelo, es interesante observar, como comentan sus autores, que no se pue-de pasar a un nivel superior sin haber superado el nivel anterior. De hecho, ese es uno de los problemas de la enseñanza de la geometría que los Van Hiele presentaron. Ya que, si a un alumno se le dan conocimientos de un nivel superior no puede comprenderlos y recurre a la memorización de estos. Por tanto, es muy importante que el profesor tenga claro en qué nivel se encuentran sus alumnos. Para ello, tendrán que tener en cuenta, que en un mismo aula no todos los estudiantes tienen por qué estar en un mismo nivel de razonamiento. También se puede observar, que un alumno puede estar,en un momento dado, en niveles de aprendizaje diferentes dependiendo del concepto que se esté evaluando en cada momento. Aunque como se comenta en (Jaime y Gutiérrez, 1990)[19], esta diversidad de niveles se encuentra en los niveles inferiores al cuarto.
Ya que, una vez que un estudiante alcanza el cuarto nivel de razonamiento, aunque tenga que aprender un concepto nuevo, superará sin dificultad los tres primeros niveles.
Una vez vistos los diferentes niveles de aprendizaje, el modelo propone cinco fases de aprendizaje. Estas fases permiten que los alumnos hagan la transición de un nivel de conocimiento al siguiente.
• Información.
El profesor interactúa con los alumnos para saber qué conocimientos previos tienen los alumnos sobre los conceptos a tratar. Para mejorar el aprendizaje, hay que tomar como punto de partida los conocimientos que tienen los alum-nos sobre el tema que se va a estudiar. En esta fase, también se presentan los conocimientos que se van a trabajar y los materiales que se van a utilizar para ello.
• Orientación dirigida.
El profesor mediante actividades dirigidas ayuda a los alumnos a ir descubriendo el tema a estudiar. Se trata de poner actividades cortas para que se vayan fami-liarizando con el tema y comprendan los conceptos básicos. Esta, es la fase más importante, ya que es donde se construirá la base de conocimiento del tema en el nivel en el que se encuentren los alumnos.
• Explicitación.
Se proponen actividades para que los alumnos interactúen entre ellos y discutan con la finalidad de que asimilen los conceptos y sean capaces de explicarlos. En esta fase, el profesor no tiene protagonismo como en las anteriores. Simplemente se limita a guiar a los alumnos, corregir el lenguaje y la manera de expresarse.
Sobre todo cuando se encuentran en niveles más altos.
• Orientación libre.
Se trata de consolidar los conceptos. Para ello, se les tienen que proponer proble-mas abiertos en los que tengan que poner en práctica los conceptos aprendidos.
Sin embargo, serán problemas en los que tengan que buscar ellos la manera de
resolverlos. Es decir, que la resolución no siga unos patrones vistos en clase y que no haya una única manera de resolverlos. Las actividades propuestas no tienen por qué tener una única solución, pueden tener más de una o no tener.
• Integración.
En esta fase no se deben introducir conceptos nuevos. El objetivo es que el alumno adquiera una visión global de los conceptos aprendidos a lo largo de las diferentes fases. Además, se intentará que reflexionen sobre los métodos utiliza-dos para la resolución de ejercicios que les pueden servir en niveles posteriores o en el aprendizaje de nuevos conceptos.
No es necesario hacer actividades específicas para cada fase, ya que no se tienen que entender como etapas aisladas, sino que con una misma actividad podemos tra-bajar diferentes etapas. Pero hay que tener en cuenta que el orden de las etapas es importante. Por tanto, en la actividad se tienen que ir trabajando de manera secuencial.
Es decir, hasta que no se supere una fase, los alumnos no pueden pasar a hacer la parte de la actividad que corresponde a la siguiente.
El profesor tiene que proponer actividades y guiar a los alumnos para que adquieran los conocimientos. Aunque deben ser los estudiantes quienes lleguen a ellos, ya que so-lo así, asimilan so-los conceptos y podemos observar cuál es su nivel de razonamiento. Es importante tener en cuenta que un alumno, mediante la memorización y la utilización de algoritmos aprendidos, puede dar la sensación de estar en un nivel de razonamiento superior al que debería estar. El hecho de estar en un nivel superior es un problema, ya que no comprenderá los conceptos que se están trabajando. Esto es debido a que no tiene claros conceptos y métodos de razonamiento necesarios para entender los correspondientes al nuevo nivel.
Como podemos observar tanto las fases como los niveles propuestos en el modelo de Van Hiele se cumplen las siguientes propiedades: secuencialidad, integración y descripción lógica, que corresponden con las propiedades principales de la teoría de Piaget.
Este modelo se ha intentado aplicar a otras ramas de las matemáticas. De hecho, el mismo Pierre Van Hiele lo intentó. Sin embargo, no se ha obtenido ningún resultado interesante de los estudios realizados que se haya podido aplicar posteriormente(Jaime
& Gutiérrez,1990)[19].