Three-Acts: Vuelta Matemática

Para realizar esta actividad hemos cogido ideas de dos actividades. Por una parte, hemos cogido la idea del Three-Acts de Dan Meyer[27]. Esta actividad consta de tres actos, de ahí su nombre.

• Acto 1:Consiste en presentar una imagen o un vídeo a partir del cual los alumnos deben crear su propio enunciado. Entre todas las propuestas de preguntas a responder se llega a un consenso de aquella que se va a intentar responder. Es tarea del profesor guiar a los alumnos hacia la pregunta que se desea trabajar.

• Acto 2:Los alumnos solicitan al profesor aquellos datos que consideran necesa-rios para responder a la pregunta acordada en el acto 1. Por su parte, el profesor, proporcionará a los alumnos únicamente aquellos datos que sean necesarios.

Los datos se suelen proporcionar a partir de imágenes. En caso de que el primer acto se haya desarrollado a partir de un vídeo, normalmente las imágenes de los datos corresponden a capturas de pantalla de este vídeo.

• Acto 3:A partir de los datos proporcionados los alumnos resuelven el problema propuesto efectuando los cálculos necesarios. Finalmente, el profesor presenta la imagen o vídeo presentados en el primer acto con la solución del problema.

Por otra parte, nos hemos inspirado en la idea que genera un conjunto de activi-dades en las que a partir del mapa de Nueva York, calculan distancias aplicando el teorema de Pitágoras. Esta idea viene de aprovechar los ángulos rectos que forman algunas de las calles de esta ciudad.

Presentaremos dos alternativas. Una primera dirigida a los alumnos que conocen el teorema de Pitagoras, y una segunda dirigida a aquellos que aún no conocen el teorema antes de la realización de la actividad.

Las imágenes y el vídeo de la actividad se pueden descargar en el siguiente enlace:

https://drive.google.com/drive/folders/

1hov-fQT9uAZ8x8kyJIH-WF8uSpx7LCUM?usp=sharing

Esta actividad, en el caso de que los alumnos ya conozcan el Teorema de Pitágoras, se puede realizar en la fase de orientación libre del modelo de Van Hiele. Se pretende que los alumnos apliquen los conceptos adquiridos mediante un problema abierto. En el caso de que aún no conozcan el teorema, la actividad se puede incluir en la fase de explicitación.

Objetivos.

• Trabajar la reinvención guiada.

• Hacer uso de las nuevas tecnologías para visualizar y manipular triángulos.

• Observar una aplicación del teorema de Pitágoras en la vida real.

• Desarrollar el espíritu crítico haciéndoles reflexionar sobre los resultados obteni-dos.

Contenidos.

• Elementos básicos de la geometría plana. Relaciones y propiedades de figuras en el plano.

• Ángulos y sus relaciones.

• Figuras planas elementales: triángulo.

• Triángulos rectángulos. El teorema de Pitágoras. Justificación geométrica y apli-caciones.

• Uso de herramientas informáticas para estudiar formas, configuraciones y rela-ciones geométricas.

Material.

Para llevar a cabo la actividad será necesario:

• Un proyector.

• Ordenadores con el programa Geogebra.

Descripción de la actividad.

Esta actividad consta de tres partes, correspondientes a los tres actos propuestos por Dan Meyer. Para la realización de las dos primeras partes no es necesario conocer el teorema de Pitágoras. Por este motivo, únicamente haremos dos versiones para la parte correspondiente al tercer acto.

3.3. Actividades

• Acto 1:Se muestra el vídeoVueltaMatematica, que se encuentra en la carpeta llamada Acto 1 del drive[28]. En él se ve una chica corriendo, el recorrido que va haciendo y su podómetro de pulsera, donde se puede observar la distancia recorrida en cada instante, como se muestra en la imagen 3.7. En un momento dado se acaba la batería del reloj y posteriormente, la chica llega al punto de inicio.

Una vez visto el vídeo dos o tres veces se les pide qué pregunta se harían después de ver el vídeo. En este caso algunas de las preguntas que podrían aparecer son:

– ¿Qué distancia ha recorrido la chica?

– ¿Qué distancia le faltaba por recorrer cuando se acaba la batería del podó-metro?

Esta actividad está pensada para responder la primera pregunta. A pesar de ello, se podría responder la segunda pregunta añadiendo el dato necesario de la distancia recorrida en el instante en que se le acaba la batería. Este dato se proporciona en la carpeta con el material (ver carpeta Acto 2 del drive[28]).

Una vez que se tiene la pregunta se les hace hacer una pequeña estimación del resultado que creen que se obtendrá.

Figura 3.7: Imagen vídeo Vuelta Matemática.

• Acto 2:Una vez que se llega a la pregunta que se busca para la actividad, se les pregunta qué datos necesitan para responderla. Se les orienta sobre que datos de los que piden son realmente necesarios y cuales no. En este caso los datos necesarios son la distancia recorrida cuando pasa por los dos vértices del triángulo que no son el inicial y el ángulo que forman los dos segmentos, como se puede ver en el anexo B.3. En el anexo también se puede encontrar el dato necesario por si se decide llevar a cabo la actividad a partir de la segunda pregunta.

• Acto 3:Como se ha comentado, presentamos dos versiones en función de si se conoce o no el teorema de Pitágoras.

Si se conoce el teorema se les pide a los alumnos que resuelvan el problema. Es importante hacerles ver que a la hora de redondear se pueden cometer pequeños errores que pueden hacer que varíe el resultado. Una vez resuelto, se les presenta el archivo de GeogebraTriángulo.ggb. En el archivo se presenta el triángulo del ejercicio anterior con cuadrados sobre cada uno de los lados del triángulo y al lado la suma de las áreas de los dos cuadrados correspondientes a los catetos del triángulo y el área del cuadrado correspondiente a la hipotenusa. Se les pide que, por parejas, manipulen el triángulo y saquen conclusiones. La idea es que lleguen a observar que el teorema, únicamente se cumple en el caso que el triángulo es rectángulo. Podemos observar un ejemplo en el anexo B.3.2. También resulta interesante que los alumnos observen que, cuando el triángulo es acutángulo, la suma de las áreas de los cuadrados correspondientes a los lados de menor longitud es menor que el área del cuadrado que corresponde al lado de mayor longitud. En el caso en que el triángulo es obtusángulo el área del cuadrado del lado de mayor longitud es mayor que la suma de los otros dos.

Si no se conoce el teorema de Pitágoras se les muestra el archivo de Geogebra Pitagoras.ggbdonde se puede observar que la suma de las áreas de los cuadra-dos correspondientes a los lacuadra-dos más pequeños del triángulo es igual al área del cuadrado correspondiente al lado más largo. Se les anima a que manipulen el triángulo y saquen conclusiones. Seguramente no vuelvan a conseguir que las dos áreas coincidan, ya que es difícil que sin buscarlo consigan un ángulo de 90 grados. Después de que hayan hecho manipulaciones se intenta razonar con ellos hasta llegar a la conclusión de que esta propiedad solo se cumple si el triángulo es rectángulo. Una vez llegado a este punto, se presenta el teorema de Pitágoras y se retoma el Three Acts para que puedan finalizarlo, el vídeo con la solución se puede encontrar en la carpeta Acto 3 del drive[28].

Finalmente, en cualquiera de los dos casos se les anima a los alumnos a proponer otras preguntas que se podrían hacer a partir del vídeo. También es importan-te comentar la diferencia que ha habido entre las estimaciones y el resultado obtenido.

Temporalización.

Se dedicará una sesión de 55 minutos para hacer la actividad.

3.3.6 Playmobil Tales