As turmas experimentais93 da introdução da Matemática Moderna no ensino liceal português começam no ano letivo de 1963/1964, pelo 3.º ciclo. No entanto, os estagiários contemplam a introdução da Matemática Moderna em todas as suas turmas, do 1.º ao 3.º ciclos do ensino liceal, e os seus trabalhos começam, a partir desta data, a incluir alguma reflexão sobre estas alterações pedagógicas. A maior crítica recai sobre o ensino da geometria no 2.º ciclo liceal focando que:
O ensino actualmente realizado numa base puramente dedutiva, a partir de um sistema euclidiano de axiomas, provoca um mal-estar de parte de muitos alunos e professores (...). Esse mal-estar resulta da inadaptabilidade do processo dedutivo puro, à totalidade ou grande maioria dos alunos do segundo ciclo.
Um novo programa de Geometria terá portanto que atender ao processo psicológico dos alunos que o vão seguir e àquilo que de Geometria se estuda no programa experimental do 3.º ciclo.
Os alunos que chegam ao terceiro ano do liceu, têm 12 ou 13 anos (...) e vão sofrer em breve a crise da puberdade (...).
O processo do pensamento deixa de ser intuitivo para progressivamente se tornar mais dedutivo.
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Portanto, ao iniciar o terceiro ano, a grande maioria dos alunos não tem um desenvolvimento mental que permita fazer uma axiomatização ordenada da geometria.
Mas pouco a pouco, o aluno começa a compreender o que é uma demonstração; começa a despertar nele uma verdadeira sede de lógica, indicando que chegou a altura de abordar a sério o raciocínio dedutivo. (M. A. Santos, 1967, pp. 46-47)
A expressão sede de lógica, como já vimos, também é utilizada pela colega de estágio Maria Inês Santos, 1967. Este texto revela, para além de uma análise crítica do ensino da geometria à época, a influência e o conhecimento da psicologia do aluno. A estagiária assume a inadaptabilidade do processo dedutivo, mas referindo-se (apenas) ao processo puro, para a totalidade dos alunos, passando logo de seguida, corrigindo ou amenizando, para a grande maioria deles. De qualquer forma, o texto termina com a crença de que não é bom nem desejável abordar a sério o raciocínio dedutivo com alunos de 12 ou 13 anos de idade, mas um pouco mais tarde, não fazendo menção se neste caso será ou não para todos os alunos. Não sabemos a razão, mas no ano de 1967 não foi publicado qualquer um dos dois trabalhos para as Conferências Pedagógicas com o tema: “O 7.º ano das turmas experimentais: alguns conteúdos e respectivas didácticas. Contribuição deste programa para uma nova estrutura da geometria liceal”. Nem este trabalho da Maria Alzira Santos nem o da sua colega de estágio Maria Inês Santos (que eram amigas, mas não familiares). No geral, era publicado um trabalho de estágio do 8.º grupo liceal, por ano, na revista Palestra do Liceu, com as exceções de no primeiro ano, 1958, serem publicados dois trabalhos, assim como em 1963 e 1964. Não foram publicados trabalhos em 1967, como já referimos, nem em 1961, 1965 e 196994.
Voltando à reflexão sobre as alterações pedagógicas em curso e ao balanço sobre a axiomatização da matemática e o rigor lógico no ensino liceal, e na mesma linha do pensamento atrás exposto, a outra colega de estágio, também sobre o 2.º ciclo, acrescenta
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Nestes anos os temas das Conferências Pedagógicas foram:
- “A Didática Actual da Matemática no 2.º Ciclo Liceal: Preocupação de Rigor Lógico; Movimento e Percepção” (1961);
- “Intersecção da Matemática Moderna com a Álgebra elementar, exemplificada com situações sugeridas pelo programa do 2.º ciclo e pelo programa experimental do 3.º ciclo” (1965);
- “O primado da Forma sobre a Matéria nos diversos universos matemáticos. Como estruturar o ensino de alguns assuntos de matemática clássica, em face do conceito moderno de isomorfismo” (1969).
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a inadequação da utilização do método de demonstração por redução ao absurdo: “Partirem do não evidente para chegarem ao evidente, não lhes parece muito natural!” (M. I. Santos, 1967, p. 31).
Dois anos antes, quando também não foram publicados os trabalhos realizados no âmbito das Conferências Pedagógicas, outro estagiário também defendia esta opinião, fundamentando-se na falta de modelos onde os alunos se pudessem apoiar, e exemplifica:
Na realidade é incompreensível ao garoto de 11 ou 12 anos a demonstração duma verdade que para ele é evidente apoiando-se noutras ainda mais evidentes. Há uma impossibilidade da sua parte em seguir raciocínios abstractos sem modelos em que se possa apoiar.
Estamos a pensar por exemplo na demonstração da igualdade de triângulos a garotos do 3.º ano e também naquelas demonstrações por redução ao absurdo em que as premissas desligadas da realidade sensível são até contrárias a ela mesmo. (Marques, 1965, p. 3)
E em 1961, outra estagiária também referia que: “Perante duas verdades ainda há pouco tempo por ele tidas como igualmente evidentes, não perceberá porque tem de deduzir uma da outra” (Rodrigues, 1961, p. 9).
A estagiária Maria Alzira Santos continua a sua exposição dizendo que compete à matemática abordar a sério o raciocínio dedutivo, mas que para isso há idades certas a ser respeitadas, caso contrário, “faria morrer o tal gosto pelo raciocínio dedutivo, em vez de o desenvolver, como é nosso desejo.” (1967, p. 47). Esta estagiária, baseando-se em Puig Adam e em Rey Pastor, defende uma (quase) solução que já foi aqui abordada, deixar cair a independência dos axiomas, e dizemos quase solução porque ela também refere o problema desta opção: “Mas resulta daí que se tem que considerar um número demasiado grande de axiomas o que baseia o jogo matemático em excessivas regras, tornando-o complexo e aborrecido, e dando-lhe um ar de incerteza e fragilidade” (1967, p. 47). Em alternativa, quer para Maria Inês Santos (1967), quer para Maria Alzira Santos (1967), outra hipótese de abordagem é a de Choquet, a de uma axiomática simples de axiomas fortes e intuitivos, que traduzam as propriedades do espaço envolvente, fáceis de verificar.
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Mas uma coisa parece certa e a opinião dos estagiários é unânime desde o início destes estágios, a axiomática base deve manter-se implícita e não formal antes do 3.º ciclo do ensino liceal:
O professor deve portanto, saber dosear o concreto e o abstracto, de acordo com a idade do jovem, até que em pleno terceiro ciclo, o seu raciocínio e a sua reflexão estejam firmemente formados e possa desligar-se do concreto para caminhar mais [para] o abstracto no desenvolvimento lógico da matemática, compreendendo a fecundidade de uma axiomática. (Domingues, 1960, p. 16)
acrescida da justificação seguinte produzida mais tarde: “A compreensão de um sistema abstracto é um processo lento. Uma longa reflexão é necessária para que o conceito de demonstração se faça sentir.” (Ruiz, 1964a, p. 148). Maria de Lourdes Ruiz no seu 2.º ano de estágio teve uma das primeiras turmas experimentais da qual fazia parte Marcelo Rebelo de Sousa. O atual Presidente da República Portuguesa foi aluno do Liceu Normal de Pedro Nunes de 1959 a 1966 (Gomes, 2010, p. 14) e participou na realização de um vídeo de geometria dinâmica (Ruiz, entrevista pessoal, na sua casa em Vila Real de Trás-os-Montes, Casa dos Cedros, 22 de Setembro de 2010).
A impressão com que ficamos depois desta análise é que se estava a viver um conflito entre o que alguns autores defendiam publicamente como desejável para o ensino da disciplina escolar de Matemática, nomeadamente sobre a introdução de um maior rigor por via do uso de axiomáticas, e a prática destas intenções na sala de aula relativamente às reais capacidades dos alunos.