5 Analyse
5.3 Ressurser
Desde os primeiros anos do período em análise que há referências a filmes didáticos utilizados nas aulas dos estagiários: “fez-se um breve resumo da reacção dos alunos duma turma do 4.º ano, depois de terem assistido à passagem destes filmes que serviam de introdução ao estudo de ângulos inscritos numa circunferência” (Pinto, 1959, p. 96). Alguns estagiários usam-nos nos trabalhos para as suas Conferências Pedagógicas, nomeadamente, as estagiárias Leonor Maria Vieira (1960) e Maria Odette Rodrigues (1961). Esta última estagiária, referindo-se em particular aos filmes de Nicolet, diz que:
É dos modelos mais indicados em questões em que o movimento é parte integrante da situação. É particularmente expressivo em problemas de geração de lugares geométricos, de ilustração de propriedades; invariantes quando modificamos posições e grandezas de certos elementos, ou quando aumentamos e diminuímos o número de condições a que determinadas figuras geométricas obedeciam. (Rodrigues, 1961, p. 21, ponto e vírgula no original)
Como podemos observar, esta descrição é um pouco vaga, mas estava acompanhada do visionamento dos próprios filmes aquando da apresentação da respetiva Conferência Pedagógica. No ano anterior, uma colega de estágio cita o próprio Nicolet para indicar o verdadeiro objetivo destes filmes: “Segundo Nicolet, ‘o filme
163
matemático tem por exclusiva missão o deslumbramento do feliz momento em que a intuição descobre uma verdade matemática, para o que contribui eficazmente a síntese expressiva do movimento e da sequência’ “(Domingues, 1960, p. 15). Duas outras características importantes expostas pelos estagiários sobre os filmes, que se ligam diretamente ao dinamismo da imagem, são a sua beleza e a capacidade de prender a atenção do espetador.
Não são apenas referidos os filmes de Nicolet. Também são referidos, entre outros, os filmes de Fletcher, embora com indicação de que o público alvo não serão os alunos liceais portugueses:
Os filmes de Fletcher possuem características um pouco diferentes [dos de Nicolet] e destinam-se a alunos de nível superior. A maior parte dos filmes ingleses, franceses e americanos não tratam de assuntos dos nossos programas, têm durações que vão de 3 a 20 minutos e muitos são sonoros. (Viegas, 1960, p. 22)
Um estagiário, em 1962, faz uma lista dos filmes pedidos aos Estados Unidos da América, França e Reino Unido, embora alguns deles tenham proveniência de outros países, como elucida a tabela 5.2 que transcrevemos:
Tabela 5.2. Lista de filmes sobre matemática (Gomes, 1962, pp. 74-75).
Relação de Filmes Duração
A - Filmes americanos: (sonoros, comentados em inglês); 16mm
1. The Slide Rule (I): Multiplicação e divisão
2. The Slide Rule (II): Proporções e percentagens. Raízes quadradas Pedidos a: L’Office of Education
Washington D.C. Estados Unidos
24 m. 21 m.
B - Filmes franceses feitos por Cautegrel, Jacquemart e Motard
1. Família de rectas e de parábolas – mudo; 16 mm 2. Polygones Réguliers – mudo; 16 mm
3. Lieux Géometriques – sonoro (inglês ou francês); 16 mm Pedidos ao: Le Ministère de L´Éducation Nationale
Paris VII
20 m. 20 m. 15 m.
C – Filmes suíços por J. L. Nicolet; mudos; 16mm 2 a 7 m. 1. Circunferência passando por três pontos
164
3. Lugar dos centros de círculos tangentes a um círculo dado e passando por um centro
4. O círculo como lugar do vértice dum ângulo de medida fixa e cujos lados passam por dois pontos fixos
5. Arco capaz de um ângulo dado
6. Propriedades das bissetrizes interiores de um triângulo 7. Propriedades das bissetrizes exteriores de um triângulo 8. Propriedades dos ângulos inscritos numa circunferência
9. Lugar dos pontos de contacto de tangentes de direcção dada a círculos iguais passando por um ponto fixo
10. Construção do pentágono regular 11. A secção áurea e o pentágono regular
12. Teorema de Eudoxe (triângulos cujos lados pertencem a três polígonos regulares)
13. Lugar dos pontos donde se vêm dois círculos sob um mesmo ângulo 14. Movimento hipocicloidal (círculos de raios dados na razão 1/2) 15. A secção áurea e a estrofóide
16. Polos e polares num círculo
17. Geração da elipse ponto por ponto (I e II) 18. Geração de um ramo da hipérbole 19. Geração da parábola (I e II) 20. Geração comum de três cónicas
Pedidos a: The Mathematics Film Cp, 225 High Street
Hampton Hill (Midlesex) Angleterre
O estagiário Mário Augusto Dias refere que usou a projeção de filmes em turmas suas, uma do 2.º ano e outra do 4.º ano, com a intenção de tornar o ensino mais intuitivo e acessível, reforçando o apelo ao concreto, o que diz ter vindo a ser uma prática com muito boa aceitação. No 2.º ano foi projetado um filme “sobre o estudo da circunferência e (...) no 4.º ano foi projectado um filme para estudo dos ângulos inscritos” (Dias, 1963, p. 12). Atendendo à tabela 5.2, talvez este estagiário se esteja a referir aos filmes de Nicolet listados em 1.º e 8.º lugares. Diz que ambos os resultados foram muito proveitosos “conforma se verificou pela discussão posta em jogo depois da exibição” (Dias, 1963, p. 12). E acrescenta: “Além disso, o professor pode dispor de um modo cómodo e eficaz para, em aulas de recapitulação, inquirir do aproveitamento dos alunos, esclarecendo os pontos que eles não tenham interpretado convenientemente” (Dias, 1963, p. 12).
165
Um outro aspeto que também sobressai de entre as preocupações de vários estagiários é a necessidade da demonstração dos resultados:
Com a utilização do filme de matemática, não se pretende substituir a demonstração rigorosa, mas criar uma situação que, explorada convenientemente, levará o aluno a sentir a necessidade de uma tal demonstração. O filme poderá apenas sugerir uma propriedade, ou a resolução de um problema. Ele é, portanto, um auxiliar da intuição, é um “meio de criar situações matemática dinâmicas”, como diz Gattegno,(1) a propósito dos filmes de Nicolet. (Vieira, 1960, p. 16)
A nota (1) que surge na citação é a referência à página 106 do livro Le matériel pour l’enseigment des mathématiques. Esta estagiária, à semelhança do estagiário anterior, mostra uma preocupação com abordagens de ensino que incluam o concreto e o apelo à intuição do aluno, não descorando a necessidade e o papel das devidas demonstrações de resultados: “os filmes não constituem uma demonstração, antes pelo contrário, sugerem o enunciado dum teorema, dum problema ou despertam no subconsciente do aluno o encadeado lógico de uma demonstração” (Dias, 1963, pp. 12-13). Ilustramos esta situação com mais um exemplo da preocupação com a demonstração de resultados depois do visionamento dos filmes: “O filme não demonstra, quando muito sugere; à apresentação do filme deve seguir-se a justificação ou a demonstração das noções ou teoremas adquiridos, quando o método escolhido para o ensino fôr o dedutivo” (Viegas, 1960, p. 23).
Como a tabela 5.2 sugere, os filmes podiam ser mudos ou sonoros e eram utilizados essencialmente em geometria e em situações que envolviam movimento ou variação de parâmetros.
Embora só se referindo aos filmes mudos de Nicolet, a estagiária Maria Odette Rodrigues (1961) encara como vantagem apreciável os filmes serem “muito curtos, para permitir que o aluno os retenha facilmente” (p. 21) e sem legendas “para que este se concentre sobre a imagem e livremente o interprete” (p. 21). Ainda sobre a vantagem da ausência de legendas, a estagiária Leonor Maria Vieira (1960) já tinha referido que: “As legendas provocam sempre uma certa distracção momentânea e, além disso, cortam a liberdade de interpretação do aluno, que é uma parte essencial do ensino pelo filme” (p. 16).
166
Para além das referências aos filmes didáticos, também encontramos nos trabalhos dos estagiários indicações metodológicas para uma boa utilização deste material e, mais uma vez, as vantagens dos filmes mudos, curtos e sem legendas de Nicolet:
Depois de uma sessão, na qual se projecta um filme tantas quantas as vezes necessárias, pede-se para fazerem exercícios de redacção sobre o que o filme lhes sugeriu podendo na aula imediata proceder-se a uma conversa com os alunos acêrca do que viram, analisando a atenção da criança e sua percepção. Os filmes de Nicolet são mudos e curtos, tendo portanto a vantagem de falarem a cada um na sua própria língua, sugerindo, sem impôr, e criando a situação por consciência do que se está observando. (Domingues, 1960, p. 15)
Ou, como diz outra estagiária:
Como se pode utilizar o filme?
Depois de uma primeira projecção pergunta-se ao aluno, o que é que aquele lhe sugeriu e pede-se um resumo do assunto do mesmo.
Uma segunda projecção permitirá corrigir e complementar o resumo feito. Uma terceira projecção, quando necessário, permitirá pôr o problema. (Viegas, 1960, p. 22)
Como se pode verificar, e não só por estas três passagens (Domingues, 1960; Viegas, 1960; Vieira, 1960), as estagiárias do mesmo ano, como é o caso, bem como de anos diferentes dizem coisas análogas, mas não iguais, o que deixa transparecer que participavam das mesmas discussões e recorriam aos mesmos textos de referência.
Ainda sobre a metodologia a adotar na utilização dos filmes didáticos, que eram essencialmente realizados com a técnica de desenhos animados, deixamos mais um relato de uma estagiária que refere que algumas vezes os professores podiam ser surpreendidos pelos alunos:
Depois da projecção, e antes de qualquer comentário, há toda a conveniência em pedir aos alunos um breve relatório, por escrito, das suas observações, especialmente se se tratar de um filme sem legendas. Esses relatórios contêm, por vezes, observações muito curiosas.
No passado ano lectivo, um aluno deste liceu apresentou, espontâneamente, um modelo, que ele próprio concebeu e construiu, por
167
sugestão do filme que se projectara na aula anterior. Registamos este facto, porque nos parece um índice do interesse que é capaz de provocar, no aluno, o filme de matemática. (Vieira, 1960, p. 17)
Esta estagiária acrescenta que, quer a projeção fixa, quer o filme, apresentam o inconveniente de não poderem “ser ‘fabricados’ pelo aluno. A construção de um modelo matemático pelo aluno é, só por si, um problema extramente proveitoso. Também cremos, como Servais, que ‘nada pode substituir o esforço pessoal de concepção e criação’.(2)” (Vieira, 1960, p. 18). A nota (2) é a referência aos Cahiers Pédagogiques – 15/VI/1956. Esta ideia é coincidente com a relatada em entrevista pelo estagiário de 1963, Joaquim Simões Redinha (2010), sobre a aula de Emma Castelnuovo.
No entanto, não será bem verdade que não é possível os alunos produzirem filmes, como ilustra o caso, na verdade excecional, da estagiária Maria de Lourdes Ruiz, em 1964, no episódio com o atual Presidente da República Portuguesa, Marcelo Rebelo de Sousa, seu aluno à época e que passamos a descrever.
Em entrevista no ano de 2010, a estagiária Maria de Lourdes Ruiz relata que Marcelo Rebelo de Sousa foi seu aluno no ano letivo de 1963/196498, ano do início da experiência de modernização do ensino da Matemática para o 3.º ciclo liceal, era o melhor aluno do Liceu Normal de Pedro Nunes, muito vivaço e entusiasta:
Agora vou dizer-lhe que no 2.º ciclo, no 3.º ou 4.º ano, já não sei (...), fazia parte da turma aquele rapaz que é hoje... uma pessoa muito conhecida que faz a crítica dos livros, o Marcelo Rebelo de Sousa. Fui amiga e colega de colégio da mãe. Que era a Maria das Neves. Mas o Marcelo Rebelo de Sousa, conheço desde (...). Com doze anos. Estava lá aquele rapazinho, estava inscrito no 4.º ano, mas eu sabia que aquele aluno era o melhor do Pedro Nunes. E foi sempre o melhor aluno do Pedro Nunes. E então encontrei aquele rapazinho na primeira aula, ainda o estou a ver. E ele começa a ver a Matemática Moderna toda estranha, porque não teve no 1.º ano, 2.º ano esses conceitos, nasceram agora para ele. E começa e começa, com aqueles olhos, encantado, encantado... A páginas tantas há uma aula, há uma coisa que abria uns filmes de matemática franceses. Eram figurativos, mas tinham noções de matemática engraçadas e ele gostava... e eu projetei-o e ele: —
98
168
Ah! — É muito expressivo, doze anos. Gostou. E ele disse: — E se nós fizéssemos um filme de matemática com os novos conceitos? — E ele levanta-se e diz assim: — Olha, vamos fazer! — Ora bem, precisamos de um técnico de filmagem. Há aqui alguém dos alunos que tenha jeito e dê umas horinhas para fazer umas filmagens? Nós compomos um texto, compomos umas imagens... Mas precisamos de alguém que... — Eu e o meu pai. — E nasceu um filme. Nasceu um filme e eu apresentei o filme depois na minha Conferência. Penso que pode estar para lá [no arquivo da Escola Secundária de Pedro Nunes](…). Sei que foi filmado de rabo para o ar assim no chão, algumas coisas foram na mesa. Foi feito com os alunos. O Rebelo de Sousa deve-se lembrar disso. Porque ele foi um dos entusiastas. De forma que é isto. (entrevista pessoal, Casa dos Cedros, Vila Real de Trás-os-Montes, 22 de Setembro de 2010)
Marcelo vivia num ambiente familiar privilegiado, o seu pai foi ministro de várias pastas de Marcello Caetano, que governou o país, por nomeação, de 27 de setembro de 1968 a 25 de abril de 1974, altura em que foi exonerado. Marcello Caetano foi padrinho de casamento dos seus pais e a ele se deverá o seu próprio nome de Marcelo. Existia na sua casa familiar, à época, uma câmara de filmar que foi trazida para o Liceu e utilizada para fazer filmes sobre geometria dinâmica, que não encontrámos até ao momento, mas sabemos os seus argumentos, como ilustram as quatro figuras 5. 8, 5. 9, 5. 10 e 5. 1199.
Os argumentos dos filmes produzidos com a participação da turma constam da Conferência Pedagógica da estagiária, que não foi totalmente publicada na revista Palestra. As imagens das figuras que ilustram os argumentos dos filmes, entre outras, não foram publicadas. Os filmes, que terão sido motivado pelos filmes de Jean Louis Nicolet100 e que se enquadra no desenvolvimento de novos materiais pelos estagiários, alia a teoria dos conjuntos à geometria: “As aplicações da teoria dos conjuntos (…) constituem o argumento do filme a cor que produzimos e ilustra o presente trabalho. Sugere ainda esse filme a abstracção que pode atingir o conceito de polígono.” (Ruiz, 1964a, p. 145). A estagiária esclarece esta última afirmação:
99
A estagiária Maria Manuela Pais usou, no ano letivo anterior, cartolina preta com desenhos a giz de cor pela primeira vez em trabalhos para as Conferências Pedagógicas.
100
169
Figura 5.8. Argumento do filme sobre aplicações da teoria dos conjuntos à geometria (Ruiz, 1964b, sem p.).
170
Figura 5.9. O filme produzido sugere a abstração do conceito de polígono (Ruiz, 1964b, sem p.).
171
172
Figura 5.11. Argumento do filme sobre demonstrações baseadas numa axiomática de movimento (Ruiz, 1964b, sem p.).
173
A definição de Choquet — “Polígono <=> Conjunto de não pontos” na interpretação vectorial que lhe atribuímos, apresenta-se-nos como a mais completa, não só porque inclui a orientação, mas também porque não distingue entre polígonos convexos, côncavos ou estrelados.
Efectivamente, como um par ordenado de pontos é um vector, n pontos dão origem a nA2 = n . (n – 1) vectores e estes a nA2/n = n – 1 polígonos diferentemente orientados (côncavos, convexos ou estrelados). (Ruiz, 1964a, p. 145)
A estas demonstrações a estagiária chama de “demonstrações experimentais” (Ruiz, 1964b, p. 17). Estas palavras não se encontram no texto do trabalho da estagiária publicado na revista Palestra que é um resumo do trabalho original que se encontra no arquivo, não catalogado, do Liceu Normal de Pedro Nunes.
Para além dos filmes que os estagiários usavam, também a televisão com fins pedagógicos é referida nos trabalhos para as Conferências Pedagógicas. Maria dos Reis Bento (1964) refere que também a televisão é utilizada em alguns países com a tripla intenção de provocar nos alunos motivação, intuição e precisão com a demonstração de resultados e Mário Augusto Dias escreve: “Tal como o cinema, e quanto a mim, a televisão podia e devia, como técnica moderna, ser posta ao serviço da escola.” (1963, p. 14).
Os relatos recolhidos sobre materiais e modelos matemáticos recaem essencialmente sobre os primeiros anos do período em análise, mais exatamente até ao ano letivo de 1963/1964. A partir desta altura, os relatos direcionam-se essencialmente para reflexões e apreciações sobre a experiência pedagógica em curso e, nos últimos anos, os relatos incidem sobre conceitos matemáticos como sejam os de isomorfismo em 1969, transformações geométricas em 1970 e espaço vetorial em 1971.
175