4 Metode
4.5 Transkripsjon
Desde os primeiros anos dos trabalhos de estágio em estudo, é referida a importância da introdução da lógica com vista ao bem raciocinar dos alunos: “Não devemos esquecer também a lógica simbólica, pelo auxílio que ela nos pode dar, se quisermos habituar efectivamente os alunos a um modo de pensamento correcto” (Vieira, 1960, p. 12). Ao mesmo tempo que é referida a imprecisão de sugestões apresentadas ao professor, dando-lhe
grande liberdade (...) para experimentar, para adaptar, tendo em conta o nível mental dos alunos. Uma exigência se impõe, no entanto, com bastante nitidez: a premente necessidade de uma actualização do professor de matemática, para que possa ir impregnando o ensino daquele grau de rigor que hoje se exige. (Vieira, 1960, p. 12)
Ou seja, espera-se do professor da disciplina escolar de Matemática sabedoria e habilidade para lidar com os novos conhecimentos dentro da sala de aula, quer matemáticos, quer do domínio da psicologia, ao mesmo tempo que se verifica alguma falta de formação desses mesmos professores. Estagiários e metodólogos tem disto consciência e são desenvolvidos esforços no Liceu Normal de Pedro Nunes para minimizar este problema. De 7 de janeiro a 4 de março de 1959, Sebastião e Silva ministra um curso de “Introdução à Lógica Simbólica e aos Fundamentos da Matemática” no Liceu Normal de Pedro Nunes e parte das lições do curso são publicadas na Separata da revista Palestra n.º 6, ocupando as páginas do número 3 ao número 65, no ano de 1959. “Disse o Professor Doutor Sebastião e Silva numas lições, que fez no nosso liceu há 6 anos que os professores de Matemática deviam ensinar lógica nos liceus, tão necessária é a aprendizagem daquela ciência. Felizmente já alguns professores têm essa felicidade” (Marques, 1965, p. 9).
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Distinta do estudo do raciocínio ou da estrutura lógica da argumentação feita pelos filósofos da antiguidade, nomeadamente Aristóteles, a lógica matemática ou lógica simbólica criada em meados do século XIX é, na opinião partilhada pelos estagiários, consequência da crítica dos fundamentos, da axiomatização e do apelo e necessidade de um maior rigor lógico. Entre outros autores, fundamentam-se em De Morgan, Boole, Russell e Sebastião e Silva. A utilização de símbolos lógicos é considerada como chave para alcançar “uma maior precisão de linguagem” (M. A. Santos, 1967, p. 10) ou para a “clarificação do raciocínio matemático” (Vieira, 1960, p. 7). Os símbolos em geral são considerados como bem acolhidos pelos alunos: “são eles mesmos a pedir símbolos. Perguntam por exemplo: ‘como havemos de indicar que duas rectas, r e t, se encontram?’ E chegam a achar engraçado marcar três pontinhos, em triângulo, em vez de ‘portanto’ ” (Nogueira, 1960, p. 38). Esta estagiária vai mais longe e cita Sebastião e Silva92 para referir-se ao interesse do formalismo:
“de grande interesse que o aluno liceal se habituasse a traduzir, na linguagem da lógica simbólica, proposições (axiomas, teoremas, definições), assim como problemas”, “Na verdade a matemática é essencialmente uma linguagem de tipo especial, que como qualquer idioma estrangeiro, se adquire, usando-a e fazendo traduções, assim como retroversões”.
O pôr em equação problemas, o traduzir analiticamente certas propriedades geométricas é já um começo, mas seria para desejar avançar um pouco mais no processo de formalização. O nosso objectivo [do professor de Matemática], afinal, é que o aluno saiba jogar com um simbolismo, que lhe sinta as vantagens e vá ficando com a ideia “de que toda a teoria dedutiva pode ser formalizada”. (Nogueira, 1960, p. 38)
Como escreve uma outra estagiária, o estudo desta "nova lógica — a lógica matemática ou lógica simbólica" (Martins, 1962, p. 53) tem como finalidade "descobrir e formular, com clareza e rigor, as leis do pensamento. O seu estudo, no início, assenta
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O primeiro capítulo do primeiro livro da coleção de livros Compêndio de Matemática para o curso complementar do ensino secundário da autoria de Sebastião e Silva, editado pelo Gabinete de Estudos e Planeamento (GEP) do Ministério da Educação e Investigação Científica, é “Introdução à lógica matemática”.
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portanto sobre questões de conteúdo e linguagem, pois é esta que fornece ao pensamento os seus meios de expressão habituais" (Martins, 1962, p. 53).
No mesmo ano, outro estagiário diz que o estudo da lógica matemática é "útil e indispensável no campo dedutivo fazendo-se o seu estudo pelo enunciar de princípios referentes à lógica proposicional e à lógica funcional" (Gomes, 1962, p. 21). No texto do trabalho no âmbito das Conferências Pedagógicas, este estagiário dedica várias páginas à apresentação de tabelas de verdade (às quais chama tabuadas e estão a explorá-las pela primeira vez no ensino) das operações lógicas de negação, conjunção, disjunção, implicação e suas propriedades, algumas delas demonstradas à custa de tabelas de verdade, como ilustram as figuras 5.1 e 5.2.
Figura 5.1. Tabuada da negação (Gomes, 1962, p. 24).
Figura 5.2. Tabuada da conjunção (Gomes, 1962, p. 26).
Apresenta, também na forma de tabelas de verdade as tautologias do terceiro excluído e da não contradição, como mostra a figura 5.3:
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Figura 5.3. Tautologias (Gomes, 1962, p. 35).
Este estagiário apresenta um exemplo de aplicação do estudo da lógica simbólica num raciocínio dedutivo, neste caso um silogismo aristotélico, no contexto da geometria, sobre paralelismo de retas num plano, como se vê na figura 5.4:
Figura 5.4. Silogismo (Gomes, 1962, p. 31).
A mesma situação é apresentada de outra forma por outra estagiária que prova, com recurso a uma tabela de verdade, o quanto faz sentido a demonstração por conversão, diz ela:
Recordemos, por exemplo, as demonstrações pela regra da conversão que os alunos utilizam no 2.º ciclo. A ideia que os alunos têm destas demonstrações pode ter sido apenas motivada por alguns exemplos. Mas agora, por uma simples tabela de verdade, pode demonstrar-se a equivalência das implicações (H => T) e (~T => ~H). (Ribeiro, 1966, pp. 7-8) Os estagiários defendem a aposta na lógica simbólica, como ferramenta para expressar bem o raciocínio: “A lógica matemática cria então uma linguagem simbólica
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destinada a estabelecer uma correlação íntima e perfeita entre o raciocínio e o meio de expressão” (Martins, 1962, pp. 53-54). Creem na sua universalidade: "Os alunos postos em presença das ideias modernas apresentam possibilidades superiores às que têm em face de problemas do ensino tradicional (…) essas ideias abraçam um campo mais vasto, uma maior universalidade" (Pais, 1963, p. 108) e que, por exemplo, as operações lógicas de conjunção e de disjunção "existem latentes na criança; fazem parte das suas próprias estruturas mentais" (Pais, 1963, p. 108). Gattegno é citado para atestar que as crianças têm a sua própria lógica e que no ensino se devem usar aproximações com recurso a " ‘substitutos’ das verdades" matemáticas para se chegar mais tarde à edificação da lógica (Rua, 1966, p. 11). Neste ano, uma outra estagiária relata como foi introduzida a lógica na sua turma:
Inicialmente apresentamos os assuntos a estudar com exemplos concretos do mundo real. A generalização e a abstracção virão a seguir quase espontâneamente.
A Lógica está na base de todo o raciocínio; começamos o nosso programa por um estudo de Lógica em termos de proposições e em termos de condições. Depois deste capítulo, os alunos ficam esclarecidos sobre o rigor dos métodos de demonstração, já usados no 2.º ciclo, mas sem possibilidade de serem compreendidos completamente.
Não nos interessa demonstrar muitos teoremas; interessa-nos especialmente fazer compreender os métodos e o rigor usados, criar nos alunos o interesse pela discussão, hábitos de reflexão e raciocínios lógicos. (Leitão, 1966, pp. 10-11)
Exemplificando e explicando um pouco melhor o que quererá dizer o aumento de rigor que se obtém fazendo uso da lógica simbólica, que é uma opinião quase unânime entre todos os estagiários, um outro esclarece:
Esta matemática nova, chamemos-lhe assim, exige uma linguagem nova, um novo simbolismo que torne a transmissão e captação de conhecimentos mais frutuosa.
O emprego na ocasião devida de palavras chave, como não – e – ou – algum – todos – existe – etc., deve merecer um cuidado muito especial pois tem grande interesse na boa compreensão de muitas situações. Essas palavras chave merecem símbolos especiais na escrita matemática, que serão
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utilizados todos os dias, em todas as aulas. (Valente, 1965, pp. 6-7, sublinhados no original)
Três anos antes, já uma outra estagiária confirmava que os próprios alunos já começavam a sentir vantagens no uso desta simbologia: “Os nossos alunos do 3.º ciclo têm sido lenta e progressivamente iniciados na aplicação de alguns símbolos lógicos e já começam a notar-lhes as vantagens. As demonstrações tornam-se mais claras e concisas” (Dias, 1962, p. 27). No seu trabalho, esta estagiária expõe sobre tautologias, contradições, leis de De Morgan, funções proposicionais, quantificadores, entre outros. Usa os caracteres V e F nas tabelas de verdade, designação que também já adota, ao contrário do colega estagiário do mesmo ano, como já mostrámos.
Sobre a utilização dos quantificadores, há uma opinião generalizada da sua importância, entendendo-se que: “Os quantificadores transformam as funções proposicionais em proposições. Assim, antepondo a uma condição em x um qualquer dos símbolos ou obtém-se uma proposição cujo valor lógico não depende de x” (Viegas, 1965, pp. 3-4, sublinhados no original). E fazendo-se uma analogia com o Português e a gramática: “o professor actual da Matemática, ao ensinar lógica, deve tornar-se virtualmente um continuador do professor de Português, na medida em que exige que os alunos precisem o seu pensamento e redijam correctamente” (Rua, 1966, p. 15). Esta estagiária continua dizendo que:
No início do 6.º ano, a partir de exemplos muito simples extraídos geralmente da vida corrente, tomam os alunos contacto com algumas noções de lógica matemática, e uma simbologia reduzida e simples, instrumentos que lhes permitirão, por exemplo, dissecar um teorema em proposições elementares da forma A => B. (Rua, 1966, p. 15)
E exemplifica: “Os termos ambíguos são esclarecidos ou eliminados. Por exemplo, a palavra ‘Um’ pode, segundo os casos, precisar-se dizendo: Um, pelo menos; Um, quando muito; ou Um e um só.” (Rua, 1966, p. 15). Em expressões onde ocorre mais de uma variável e aparece mais de um quantificador, uma outra estagiária alerta para a importância da ordem da escrita: “Na verdade, a ordem na escrita e na leitura não pode deixar de ser a indicada. (...) Não se pode apenas substituir palavras por símbolos; é também necessário fazer a coordenação dos raciocínios” (Ribeiro, 1966, p. 11).
Sobre o interesse e gosto dos alunos pela lógica, a estagiária Marília Rua refere que estes “realizaram voluntàriamente e de modo hábil alguns circuitos elétricos que
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efetuam algumas operações lógicas, como sejam o caso da conjunção, disjunção, negação e implicação” (1966, p. 19). Uma outra estagiária apresenta um exemplo de simplificação de um circuito que corresponde à simplificação de expressões por meio das propriedades das operações lógicas, como ilustra a figura 5.5:
Figura 5.5. Circuito lógico (Leitão, 1966, p. 11).
No texto do seu trabalho no âmbito das Conferências Pedagógicas, esta estagiária usa o humor e a lógica para provar que não é fácil chegar a Professor efetivo, como ilustra a figura 5.6. Só os professores que possuíam o estágio é que podiam aceder à categoria de Professor efetivo:
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Figura 5.6. Chegar a professor efetivo (Leitão, 1966, p. 13).
Até aqui: “A lógica referida é a Lógica Matemática que é no fundo uma álgebra de proposições e de condições que toma como axiomas os princípios da não contradição e do terceiro excluído da lógica bivalente de Aristóteles.” (Marques, 1965, p. 9). E até aqui só são referidas as vantagens da sua utilização. Mas esta lógica tem as suas limitações, que só aparecem referidas, em 1967, por meio de duas estagiárias:
os dois princípios fundamentais da lógica bivalente: o princípio de não contradição e o princípio do 3.º excluído, não têm uma rigidez absoluta, quando passamos do campo da Matemática Pura à Matemática Aplicada. A todo o momento fazemos afirmações que são aproximadamente verdadeiras, sem que o sejam rigorosamente.
Por meio de exemplificações também se chamou a atenção dos nossos alunos para o carácter subjectivo e relativo de certas afirmações. (M. I. Santos, 1967, p. 14, sublinhados no original)
A outra estagiária refere:
Na nossa vida diária, são frequentes os exemplos que mostram ser o esquema rígido da lógica bivalente insuficiente para descrever todas as situações, que se nos apresentam. Os dois princípios a que aludimos podem não se verificar.
Analisando a proposição “Faro está próximo de Lisboa” vemos que é verdadeira para alguém que vive no Brasil, mas é falsa, para quem gosta das praias algarvias, e vive em Lisboa. O que acontece é que a proposição não é verdadeira nem falsa; é aproximadamente verdadeira e a
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aproximação utilizada pelo habitante do Brasil é muito menor que a do lisboeta. (M. A. Santos, 1967, p. 25)
No entanto, mesmo que “a lógica bivalente não tem aplicação senão reduzida na vida prática o mesmo acontecendo portanto na matemática aplicada” (M. A. Santos, 1967, p. 25), esta estagiária refere a facilidade de aprendizagem e o gosto dos alunos das turmas experimentais que estudaram no início do 6.º ano, uma introdução à lógica matemática. Para justificar esta sua afirmação, a estagiária refere que nos “seis períodos (3 do 6.º ano e 3 do 7.º ano) é em geral a [nota] do 1.º período do 6.º ano — época em que estudam a lógica — a mais elevada” (M. A. Santos, 1967, p. 25, sublinhados no original).