Um modelo linear-frágil foi desenvolvido por Neubauer e Rostasy [40] (Figura 2.20). Este modelo de aderência não considera o comportamento de redução da resistência da ligação que se traduz num tramo descendente. Desta forma, a carga de rotura calculada usando este modelo de aderência é a carga correspondente ao início das microfissuras interfaciais, o que na realidade pode ser menor que a carga de rotura da ligação.
Há que referir que nos modelos bond-slip a área abaixo da linha do gráfico corresponde à energia de fractura da ligação entre o FRP e o betão ( ).
Figura 2.20: Modelo bond-slip [40].
O modelo bond-slip deverá ter um tramo ascendente e um tramo descendente, [41] [42], (Figura 2.21). O pico do gráfico é a transição do tramo linear ascendente com o descendente e corresponde à tensão de aderência máxima ( .
Figura 2.21: Curva bond-slip [41] e [42].
As leis bond-slip pretendem descrever, com maior ou menor aproximação à realidade, o comportamento local das tensões de aderência e do escorregamento entre o FRP e o betão. Estas
leis são definidas por diversas e distintas funções e são, geralmente, determinadas através de ensaios de corte [37].
De seguida são apresentados modelos bond-slip propostos por Neubauer e Rostasy [40], Nakaba et al. [41], Savioa et al. [42], Monti et al. [43] e por Lu et al. [37] que podem ser encontrados na literatura.
Modelo bond-slip proposto por Neubauer e Rostasy [40]O modelo proposto por Neubauer e Rostasy [40] é do tipo linear-frágil (Figura 2.22) e não considera o comportamento de redução da resistência da ligação que se traduz num tramo descendente. Os parâmetros para definição do modelo bond-slip foram obtidos através de ensaios com CFRP.
O modelo proposto por Neubauer e Rostasy [40] é descrito pela equação:
2.1
onde a tensão de aderência máxima é dada por , o escorregamento local para a tensão de aderência máxima é dado por e a relação do efeito largura é dado por
√ ⁄ ⁄ ⁄ , sendo a tensão de rotura à tracção do betão.
Modelo bond-slip proposto por Nakaba et al. [41]O modelo de Nakaba et al. [41] é composto por uma só curva obtida através de uma função exponencial com um troço ascendente e um troço descendente (Figura 2.22). Os parâmetros para definição do modelo bond-slip foram obtidos através de ensaios com CFRP e AFRP.
O modelo proposto por Nakaba et al. [41] é descrito pela equação:
[ ( (⁄ ) )] 2.2
onde a tensão de aderência máxima é dada por e o escorregamento local para a tensão de aderência máxima é dado por , sendo a resistência média à compressão do cilindro de betão.
Modelo bond-slip proposto por Savioa et al. [42]O modelo de Savioa et al. [42] foi obtido com umas pequenas modificações no modelo de Nakaba et al. [41] e também se caracteriza por apenas uma curva obtida através de uma função exponencial com um troço ascendente e um troço descendente (Figura 2.22) onde os parâmetros para definição do modelo bond-slip foram obtidos através de ensaios com CFRP
O modelo proposto por Savioa et al. [42] é descrito pela equação: [ ( ( )
)
⁄ ] 2.3
onde a tensão de aderência máxima é dada por e o escorregamento local para a tensão de aderência máxima é dado por , sendo a resistência média à compressão do cilindro de betão.
Modelo bond-slip proposto por Monti et al. [43]O modelo bond-slip proposto por Monti et al. [43] é um modelo bilinear. (Figura 2.22) descrito pela seguinte equação:
para 2.4
para o troço ascendente e pela equação:
para 2.5
para o troço descendente. Onde a tensão de aderência máxima é dada por , o escorregamento local para a tensão de aderência máxima é dado por ⁄ ⁄ , o escorregamento quando a tensão de aderência se reduz para zero e a relação do efeito largura é dado por √ ⁄ ⁄ ⁄ . Sendo, a tensão de rotura à tracção do betão, a espessura do adesivo, o módulo de elasticidade do adesivo e o módulo de elasticidade do betão.
Figura 2.22: Leis bond-slip propostas por Neubauer e Rostasy [40], Nakaba et al. [41], Savioa et al. [42] e por Monti et al. [43].
Modelos bond-slip propostos por Lu et al. [37]Lu et al. [37] simularam o comportamento do ensaio de arrancamento por tracção através do método dos elementos finitos utilizando um modelo “meso-scale”. Este modelo (“meso-scale”) consiste numa malha de elementos finitos com elementos rectangulares muitos pequenos (0,25- 0,5 mm de dimensão) para captar o desenvolvimento e propagação de fendas na camada de betão adjacente à camada adesiva. A tensão de aderência e a energia de fractura da ligação entre o FRP e o betão foram obtidos pela calibração do modelo com a distribuição de tensão ao longo do laminado de FRP e da carga de rotura através de uma longa base de dados de resultados experimentais de ensaios “pull-off”.
As curvas para a relação entre as tensões de aderência e o escorregamento (τ-s) propostas por Lu et al. [28] são: o modelo preciso; o modelo simplificado e o modelo bilinear (Figura 2.23).
Figura 2.23: Curvas bond-slip, modelo preciso, modelo simplificado e modelo bilinear [37]. Lu et al. [37] concluíram que o modelo bond-slip preciso consiste num tramo ascendente curvo e um tramo descendente também curvo, mas, outras formas mais simples como o modelo simplificado ou bilinear sem prejuízo para a precisão dos resultados quando comparados com os valores experimentais [37].
O modelo preciso é o modelo mais exacto, mas mais complicado. As equações que descrevem o modelo bond-slip preciso são [37]:
(√ ) para s 2.6
⁄ para 2.7
onde,
2.8
B 2.9
sendo a tensão de aderência local, a tensão de aderência local máxima, o escorregamento local e o escorregamento local para a tensão de aderência máxima, , é obtido por:
2.10
onde é a resistência à tracção do betão e é a relação do efeito largura (expressão 2.13). Os parâmetros , e , ao longo destas expressões, são parâmetros calculados pelos autores com base no MEF e validados através dos resultados de uma vasta base de dados de ensaios experimentais. Através de um processo iterativo, Lu et al. [37] chegaram aos seguintes valores: , e .
O parâmetro é a componente elástica do escorregamento local e depende da tensão de aderência local máxima e da rigidez inicial do modelo bond-slip: ⁄ . Considerando com e . Onde é o módulo de corte do adesivo, é a espessura do adesivo, é o módulo de elasticidade de corte do betão e é a espessura de betão cuja deformação faz parte integrante do escorregamento interfacial, e que, pode ser tomada com 5 mm a menos que seja medida experimentalmente. O parâmetro é geralmente muito pequeno e a sua inclusão na expressão 2.10 tem pouco efeito [37].
O parâmetro controla a a forma do tramo descendente, segundo a expressão:
⁄ 2.11
A energia de fractura, , pode ser definida como a energia necessária para romper uma área unitária de interface e obtém-se através de:
√ 2.12
onde é uma função apenas usada para ajustar a curva no caso de adesivos de menor qualidade. Para adesivos correntes, .
O coeficiente é a relação do efeito largura e é dado por:
√ ( ⁄ ) ( ⁄ ⁄ ) 2.13 sendo, a largura da superfície de betão e é a largura do laminado de FRP.
A energia de fractura do tramo ascendente, é obtida através de:
∫ [ ( ) ] 2.14
e a tensão de aderência máxima, , é dada pela expressão:
2.15
A curva do modelo simplificado é muito similar à do modelo preciso para adesivos com boa qualidade e é uma curva muito mais simples de aplicar. Assim o modelo simplificado, onde não há uma perda significativa de precisão segundo os autores, é descrito pelas equações:
(√ ) para 2.16
⁄ para 2.17
O escorregamento local para a tensão de aderência máxima, , é obtido por:
onde é a relação do efeito largura calculado segundo a expressão 2.13 e segundo a expressão 2.15.
O parâmetro controla a a forma do tramo descendente, segundo a expressão:
2.19
A energia de fractura, , obtém-se através de:
√ 2.20
Como se pode observar a diferença na energia de fractura entre os modelos preciso e simplificado, está na função que apenas é usada para ajustar a curva no caso de adesivos de menor qualidade, já que para os adesivos correntes, .
Uma maior simplificação pode ainda ser feita do modelo simplificado através de uma curva
bond-slip bilinear. Este modelo bilinear tem a mesma tensão de aderência local máxima e
energia de fractura total, de modo que a tensão de aderência não é afectada por esta simplificação, se o comprimento de colagem ( for maior que o comprimento de transferência ( . Onde comprimento de transferência ( é o comprimento capaz de absorver a força máxima do reforço, a partir do qual não se consegue transmitir mais força ao FRP [2]. Quando se aumenta o comprimento de colagem ( do reforço consegue-se também aumentar a força que ele consegue absorver porém, este aumento estabiliza a partir de um determinado comprimento de colagem não se conseguindo, a partir daqui, transmitir mais força ao FRP com mais comprimento de colagem, Figura 2.24.
Figura 2.24: Relação entre a máxima força transmitida ao FRP e o comprimento de colagem [2]. O modelo bilinear proposto por Lu et al. [37] é descrito pelas seguintes equações:
para 2.21
para 2.22
para 2.23
2.24
A tensão de aderência máxima, , é obtida através da expressão 2.15, o escorregamento local para a tensão de aderência máxima, , segundo a expressão 2.10, a energia de fractura, , segundo a expressão 2.12 e é o escorregamento quando a tensão de aderência se reduz para zero.
Os três novos modelos bond-slip de Lu et al. [37] (modelos preciso, simplificado e bilinear) com base numa combinação de resultados de elementos finitos e os resultados de ensaios experimentais são os recomendados pelos autores para a modelação numérica de estruturas de betão reforçadas com FRP. Estes modelos permitem boas aproximações para a resistência da ligação entre o betão e o FRP, tal como a distribuição de tensões ao longo dos laminados.