The domain of obligation and necessity

O conhecimento sistematizado, ensinado na escola, é estruturado progressivamente por meio de conceitos ordenados e subordinados. Esses conceitos estão organizados com base em critérios lógicos e, segundo Bruner (citado por Pilleti, 1997), a organização do conteúdo de cada matéria deve ser determinada pela compreensão dos princípios básicos que dão estrutura à própria matéria.

Esses conceitos ordenados e subordinados vinculados a um dado conceito mais geral demonstram, hierarquicamente, a construção sistêmica que determina o conceito principal. Por outro lado, indica os conhecimentos prévios necessários à aquisição do conteúdo que se pretende ensinar, além de revelar os níveis de abstração e generalização concebidos como pressupostos para o ensino e aprendizagem do conteúdo escolar. A estrutura e a organização dos conceitos relativos a um determinado conteúdo é questão fundamental para se discutir a formalização do conhecimento.

Desta forma, para identificar se a estrutura de formalização do conhecimento, mais especificamente, o conceito de Sistema Monetário Brasileiro, sistematizado e ensinado na escola, pode gerar dificuldade de aprendizagem em alunos de 3ª. Série do Ensino Fundamental, estruturou-se uma rede de conceitos sobre o conteúdo (Fig.1), tendo-se como referência os PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais) e o Currículo Básico das Escolas Públicas do Distrito Federal.

Fig. 1 - Rede de Conteúdos Formais

A denominação rede conceitual foi adotada, uma vez que não se tratava apenas de uma hierarquização, mas de uma organização lógica, que gera uma relação de reciprocidade e reversibilidade entre os conceitos. No mapa de conceitual convencional, não é permitida esta disposição dialética entre os conceitos, tão necessária à construção de conteúdo de forte relevância social e de caráter prático utilitário, como o Sistema Monetário Brasileiro. A relação, disposta na rede de conceitos, caracteriza um sistema de conceitos, em que as relações de generalidade entre os conceitos ordenados e subordinados ao supraconceito em destaque, asseguram a dinâmica do processo de aquisição trilhado pelo aluno. Explicar quais são os conceitos ordenados, subordinados e sua ligação ao supraconceito.

As cores atribuídas às caixas contendo os elementos que compõem a rede de conceitos também mantêm uma mesclagem conceitual. Na medida em que a cor verde é produto da sobreposição das cores azul e amarelo, o conceito sobre o sistema monetário é produto do mesclamento dos conceitos cotidianos do aluno sobre o dinheiro e os conceitos formais científicos ensinados na escola. A noção de quantidade, o conceito de número e de base decimal, que constituem o Sistema de Numeração Decimal, dão suporte à compreensão da formação dos números racionais decimais e fracionários. As operações aritméticas – adição, subtração, multiplicação e divisão sustentam as noções de estimativa e de geometria, permitindo que se preveja uma possível quantidade e a espacialização do número.

Entretanto, esta rede conceitual não foi suficiente para servir como base de análise da estrutura formal do SMB, pois se tratava de uma estrutura apoiada numa visão pessoal de

Bases Decimais

Multiplicação Divisão

Adição Subtração Nºs. Racionais

Conceito de Número Geometria

Noção Quantidade Conceito Cotidiano E S T I M A T I V A

como o conteúdo poderia ser ensinado. Para que essa rede pudesse ser validada, entendeu-se como necessária sua apreciação por especialistas no ensino da Matemática, para as séries iniciais de escolarização. Para tanto, recorreu-se a contatos diretos, nos moldes de entrevistas, com o Prof. Dr. Cristiano Muniz e a Profa. Dra. Solange Amato, professores da área de Matemática, na Faculdade de Educação, vinculada à Universidade de Brasília. Os dois professores são pesquisadores que orientam a formação inicial e continuada de educadores matemáticos, tanto em nível de graduação como de pós-graduação.

1.2.5.1 Considerações do Prof. Dr. Cristiano Muniz sobre a Rede de Conteúdos Formais

Para Muniz, falar de SMB é falar do valor que as coisas representam – as coisas valem o que elas representam. Na perspectiva piagetiana, trata-se da dimensão do conhecimento social lógico-matemático - 2 cédulas iguais têm valores diferentes: a de 5 reais e de 1 real. No sistema monetário, não se trabalha com as quantidades, mas com os valores atribuídos às quantidades. Assim, exige-se um nível de abstração, na dimensão da construção do simbólico, que não é elementar na criança, pois ela conta: 1 dinheiro, dois dinheiros, etc. Neste ponto, a criança necessita primeiramente aprender o valor das coisas, uma vez que duas coisas parecem iguais, mas podem ter valores socialmente diferentes.

O valor necessita ser diferenciado em quantidade e quantia. A quantidade 1 é igual a 1 e 1 é diferente de dois. A quantia 1 é diferente de 1, pois uma cédula de 1 real é diferente de uma nota de 5 reais, por exemplo. A quantia 1 é igual a 2, uma vez que, uma cédula de 2 reais é igual a 2 de 1 real. Este tipo de construção, na opinião do professor, não pode ser negligenciado e tem de ser pedagogicamente trabalhada de forma gradativa.

Em relação aos valores, ao se trabalhar o conceito e a construção da representação do simbólico, consegue-se resgatar algo que não está presente: “O que uma cédula de 10 reais consegue comprar?”. Trata-se de explorar os valores do trabalho, de produção, de aquisição e de troca. A partir da representação do valor, pode-se ter a expansão do Sistema de Numeração Decimal, pois o nosso SMB é exclusivamente decimal.

No que concerne à comparação de quantidade e quantia. Na representação, há dois níveis de conhecimento: o espontâneo, socialmente construído, e o legal ou científico que devem estar ligados a situações-problema significativas e à ação efetiva – o aluno agindo

sobre o SMB, comprando e vendendo simuladamente. Desta forma, conceitos sobre o valor do dinheiro são construídos, por meio da resolução de problemas significativos e da ação efetiva do sujeito.

Na perspectiva do conceito científico, o resgate da dimensão cultural da criança, por exemplo, quanto à pesquisa de coisas que custam entre 1 e 2 reais, disparará procedimentos que farão com que o aluno reflita sobre o que acontece com o concreto, levando-o a abstrair. Precisa-se do concreto, mas não é por meio dele que se constrói o conceito e sim refletindo sobre ele, no procedimento executado sobre o concreto.

Esta discussão, sobre construção de conceito foi suscitada a partir do conceito de geometria inserido na rede conceitual apresentada, como conhecimento necessário à construção do conceito sobre SMB. A título de justificativa, a geometria tem sua participação na rede de conceitos, inicialmente elaborada, uma vez que, mediante a identificação e operacionalização de formas e figuras geométricas, torna-se possível representar volumes, superfícies, linhas e pontos, além de possibilitar, mesmo que intuitivamente, o conceito de medida e a espacialização do número. Desta forma, no processo de construção da estrutura espacial, parte-se do espaço percebido para a representação geométrica e, em seguida, para a utilização de representações (números naturais, racionais, etc.) notacionais deste espaço.

Na opinião de Muniz, de fato, entre o número 1 e o 2 há infinitos pontos, constituindo- se a passagem de um conjunto direto para um conjunto denso. Contudo, não existe material concreto que permita mostrar isso. Podemos dividir o inteiro em 2, sucessivamente, a criança percebe que isso é possível pela bisseção, procedimento infinito de divisão, que leva o aluno a identificar esta divisão na reflexão do procedimento, mas não na própria coisa. Há necessidade de se provocar na criança a possibilidade e a impossibilidade de repartir coisas. A divisão da unidade cúbica em subunidades faz a estrutura de pensamento da criança mergulhar num outro campo de conhecimento sem proximidade com o sistema monetário, que tem base numérica e não, geométrica.

Ajuntou que discutir o ensino do Sistema Monetário Brasileiro implica considerar três obstáculos à aprendizagem. O primeiro faz referência ao obstáculo ontológico, que revela o desenvolvimento alcançado pelo sujeito a partir de suas interações sócio-históricas, ou seja, a forma como o sujeito representa socialmente o dinheiro. O segundo, diz respeito à questão epistemológica, ao próprio conhecimento relacionado à ordem de grandeza e à noção de valor

do dinheiro. O terceiro, refere-se aos procedimentos didáticos, criados em função de como se faz a proposta didático-pedagógica. Esses obstáculos deverão ser ponderados, uma vez que estão imbricados no processo de construção do conceito que sustenta o conteúdo a respeito do Sistema Monetário Brasileiro.

Assim, a rede conceitual sobre o SMB (Fig.2), estruturada pelo prof. Cristiano Muniz apresenta níveis de formalização do ponto de vista genético, especialmente sobre o processo representacional, revelando ponto de concentração entre o nível de formalização alto e conceito cotidiano.

Fig. 2 - Rede Genética de Conceitos

1.2.5.2 Considerações da Profa. Dra. Solange Amato sobre a Rede de Conteúdos Formais

As considerações de Amato sobre a rede conceitual para o ensino do SMB apresentada e proposta (Fig. 1), foram pautadas, especificamente, na discussão a cerca do conceito de geometria e de número, da noção de quantidade, das bases decimais e dos números racionais, dispostos na rede e entendidos como suporte para a compreensão do conteúdo sobre sistema monetário.

Sistema Monetário Brasileiro

Valores Conceito Representação Quantia 1 ≠ 1 1 = 2 Conceito Cotidiano Socialmente Construído 1R 50 Quantidade 1 = 1 1 ≠ 2 Conceito Legal e Científico R$ 1,50

Construção da .Valor Produção Representação .Valor Aquisição Simbólica .Valor Troca

Comparação

Operações Expansão do Sistema de

Numeração Decimal No. Racionais Decimais

S I T U A Ç Õ E S - P R O B L E M A S I G N I F I C A T I V A S A Ç Ã O E F E T I V A

Para a professora, a geometria não tem conexão com o SMB, mas identifica uma relação direta entre SMB e conceitos pertinentes a grandezas e medidas. A única e possível conexão que poderia haver com geometria, em sua opinião, estaria relacionada à idéia de valor posicional, ou seja, a posição variar sob o aspecto espacial. O número 5 pode ser identificado na centena, na dezena, etc. A posição é a única conexão possível que se pode fazer entre SMB e a geometria. Mesmo havendo esta possível conexão, o conceito de geometria não estabelece condição de possibilidade para aprendizagem do conteúdo sobre dinheiro e, por isso, não justificaria sua manutenção na rede conceitual básica, que dá sustentação ao ensino do sistema monetário brasileiro.

Amato assegura que o SMB não permite mostrar sua equivalência física, como ocorre com a medida de comprimento (1m = 10 decímetros). O dinheiro é uma representação compactada do Sistema de Numeração Decimal, principalmente, quando se tratam dos números racionais - 10 centavos são iguais a 1 décimo da unidade de Real. A presença da vírgula no número racional decimal é explicada por meio da representação convencional do dinheiro, isto é, a vírgula indica o valor posicional dos números na notação do padrão monetário.

Quanto ao conceito de número e de números racionais, noção de quantidade e de bases decimais, expostos na rede apresentada, a professora sugere que o conceito de número forme um só bloco envolvendo os demais conceitos a ele subordinados. Isto é, o conceito de número pressupõe a conglomeração de: noção de quantidade, bases decimais e noção de números racionais decimais. Porque o conceito de número presume que sejam conhecidas sua forma, composição, representação.

Diante deste ajustes, a professora acredita que a nova rede conceitual estaria adequada para servir de parâmetro de comparação com o ensino do conceito sobre o Sistema Monetário Brasileiro (Fig. 3), na medida em que atende aos quesitos mínimos necessários à compreensão plena da composição essencial do padrão monetário.

Fig. 3 - Rede de Conteúdos Formais

1.2.5.3 Rede Genética Conceitual do Conteúdo Sistema Monetário Brasileiro

A partir dessas inestimáveis contribuições, foi possível reestruturar e formar uma nova rede de conceitos que serviria de base analítica da formalização do conceito sobre o sistema monetário. Para tanto, agregamos os conceitos de valor e a forma de representação do dinheiro, extraímos o conceito de geometria e detalhamos as ações a serem desenvolvidas tendo como base os conceitos cotidianos. Com o objetivo de complementar e aumentar a dimensão da nova rede, o novo sistema de conceitos alicerçou-se em base genética e estruturado por infraconceitos formais significados pelos conceitos cotidianos do aluno. (Fig.4)

Multiplicação Divisão

Adição Subtração

Conceito de . Noção de Quantidade

Número . Bases Decimais . Números Racionais Conceito Cotidiano E S T I M A T I V A

Fig. 4 - Rede Genética Conceitual do Sistema Monetário Brasileiro

A nova rede tem como base o conceito cotidiano, principalmente, em relação às representações do conceito socialmente construído de dinheiro, tanto sob o aspecto do poder de aquisição, com também sobre o que realmente significa. Esses conceitos encontram, na figura dos conceitos formais apresentados pela escola, “moldes” que irão dar forma e validade cultural aos conceitos extraídos do dia-a-dia.

O balizamento do conhecimento sobre o sistema de numeração decimal, as noções de estimativa, a comparação entre quantia e quantidade e as operações aritméticas auxiliam a consolidação do conceito cotidiano, especialmente, quando o conceito for experimentado em ações efetivas de compra, solucionando situações problemáticas. A construção do conceito de sistema monetário demanda solicitações do meio e materializa-se nas lides cotidianas.

Este novo entrelaçamento de conceitos permite um olhar dialético que demanda idas e vindas em relação à abrangência da generalização e da abstração dos conceitos nele envolvidos. Generalização significa a formação de um conceito supra-ordenado, ou seja, a generalização de um conceito pressupõe, além da existência de uma série de conceitos

Sistema Monetário Brasileiro

Valores Quantidade 1 = 1 1 ≠ 2 Quantia 1 ≠ 1 1 = 2 Conceito Construção da .Valor Produção Representação .Valor Aquisição Simbólica .Valor Troca

Representação Conceito Científico R$ 1,50

Conceito Cotidiano Socialmente Construído 1R 50

Comparação

Operações Sistema de Numeração Decimal

No. Racionais Decimais S I T U A Ç Õ E S - P R O B L E M A S I G N I F I C A T I V A S A Ç Ã O E F E T I V A Conceito Cotidiano E S T I M A T I V A

subordinados, uma hierarquia de conceitos de diferentes níveis de generalidade que eleva o grau de abstração do conceito maior (Vygotsky, 2001).

A formalização do conhecimento científico ensinado na escola tem a ver com seu teor de abstração. Maior formalização significa maior abstração dos conceitos. A estrutura de formalização é uma função do nível de generalização dos conceitos, na medida em que dá forma e substitui conceitos e relações de um sistema por símbolos generalizados, que se sujeitam a regras previamente definidas. A análise da evolução dos conceitos implica exame da evolução das estruturas de generalização e das relações de generalidade dos elementos que formam o supraconceito. As relações de generalidade implicam ordenamentos hierárquicos entre conceitos segundo as relações de um sistema.

Assim, a estrutura formal de um conceito está relacionada ao seu nível de generalização. O aumento do grau de generalização significa utilizar linguagem com pouca degeneração1, ou seja, a utilização de significados que estão distanciados do contexto concreto. Por isso, a análise da estrutura de formalização se dá a partir da análise do grau de generalidade.

A rede de conceitos elaborada a partir das intervenções teóricas dos estudiosos em Matemática deverá guardar uma estrutura tal que atenda às pré-determinações da construção dos conceitos, isto é, os movimentos de ascendência e descendência percorridos pelo sujeito na construção dos conceitos cotidiano e conceitos científicos. A nova rede conceitual é formada por um imbricado sistema conceitual que vai dar forma ao supraconceito de sistema monetário brasileiro.

1

Rossi (1998) Degeneração - significados próximos ao contexto. Utilização de signos menos desenvolvidos. Constatação da existência da conexão considerando o signo degenerado em seu mais alto grau. O que se apresenta é uma simples qualidade, qualidade reduzida em si mesma.

CAPÍTULO 2 – METODOLOGIA