O trabalho foi realizado com professoras dos anos iniciais do Ensino Fundamental de uma escola pública de Fortaleza. A escola foi escolhida pela disponibilidade e interesse em trabalhar com o tema proposto e por possuir um laboratório de informática, pois durante o estudo utilizam-se atividades com computadores.
Antes da realização da pesquisa, propusemos à escola encontros em que as professoras discutissem juntamente com a pesquisadora o contexto de ensino e aprendizagem de conceitos algébricos nos anos iniciais, familiarizando-se com as atividades manipulativas e recursos digitais. A proposta inicial era fazer uma formação continuada com vinte horas de duração, mas não foi possível devido à dinâmica e atividades da escola que ajustava o calendário escolar devido a uma greve no decorrente ano. Em busca de compreender a dinâmica da escola ajustamos os encontros e conseguimos somente 08 horas para o momento da formação. Por esse motivo, chamaremos esse encontro com as professoras de oficina de formação, na qual discutimos as propostas para um ensino de conceitos algébricos nos anos iniciais.
Participaram da oficina 11 (onze) professoras, sendo 09 (nove) professoras do Ensino Fundamental e 02 (duas) professoras da educação infantil. No primeiro dia, as professoras mostraram-se muito interessadas em fazer uma formação mais ampla para ter uma certificação. Explicamos para as docentes que seria preciso fazer um curso de no mínimo 40 horas para conseguirmos aprovar a certificação. A direção e coordenação concordaram que as professoras não teriam tempo para realizar um curso com essa carga horária na escola, já estavam com seus horários semanais lotados, assim como aos sábados, que eram exclusivos às atividades escolares como reposição de aulas, planejamento e atividades festivas da escola.
Em conjunto com as professoras, propomos uma parte do curso presencial e outra à distância; no entanto, algumas professoras (pelos menos sete delas) discordaram em fazer o curso na modalidade semipresencial e outras explicaram que não queriam fazer por diversos motivos, dentre eles: chegam às suas casas enfadadas e com dor de cabeça; “não tem paciência de ver letras pequenas”; não possuem computador ou internet em casa; o computador é exclusivamente dos filhos; esqueceu o endereço de email e não gosta de entrar na Internet e outros.
As oito horas de encontro para a oficina foram distribuídas em três dias de acordo com a disponibilidade da escola (espaço físico e horário das professoras) e com o calendário de atividades escolares. Os dias da oficina foram distribuídos da seguinte maneira: dia 02 de outubro (duração de 04 horas), dia 15 de outubro (duração 02 horas) e por fim dia 17 de novembro (duração de 02 horas). Os conteúdos da oficina foram organizados com objetivos de fazer que as professoras: (1) identificassem as funções da educação algébrica no ensino básico; (2) diferenciassem o pensamento aritmético do algébrico; (3) refletissem como esses
conteúdos apóiam um ao outro; (4) refletissem a forma mecânica do ensino e como isso pode prejudicar o pensamento aritmético e consequentemente o algébrico; (4) refletissem sobre o ensino para o desenvolvimento do pensamento algébrico.
Após este momento, discutimos as atividades, realizamos um acompanhamento e planejamento com uma professora sobre as atividades que ela queria realizar em sala de aula. Para compreender como elas foram desenvolvidas, observamos a atitude e o conhecimento da professora na realização das atividades. No tópico seguinte, apresentaremos as atividades desempenhadas nos encontros com a professora e como elas se relacionam com o pensamento algébrico.
3.3 ATIVIDADES
As atividades planejadas para serem aplicadas durante a pesquisa serão explicadas a seguir.
(1) Situações problemas;
(2) Objeto de aprendizagem (OA) Balança Interativa; (3) Objeto de aprendizagem (OA) Feira dos pesos;
(4) Balança de dois pratos para encontrar o valor do peso de objetos com formatos diferentes; (5) Balança de dois pratos para comparar potes de formatos iguais com pesos diferentes.
A primeira atividade foi fundamentada no estudo de Schliemann, Carraher, Brizuela, Jones (1998) e as outras foram elaboradas a partir dos estudos de Freire (2007).
A primeira atividade é composta por oito situações-problema dividida em dois grupos. O primeiro grupo consta de quatro questões baseadas em problemas nas quais as quantidades das transformações aparecem no problema (ver o primeiro até o quarto problema, anexo D). Já o segundo grupo é composto de quatro questões nas quais as quantidades das transformações do problema não são descritas na situação (ver o quinto até oitavo problema, anexo D). O objetivo principal dessa atividade é examinar a relação de uma equação ao adicionarmos ou subtrairmos quantidades iguais para cada lado de uma equação. No entanto,
se as quantidades adicionadas ou subtraídas foram diferentes, encontraremos uma inequação, ou seja, os membros da equação serão diferentes.
A primeira questão envolve uma subtração de duas quantidades iguais; ao final, as duas pessoas envolvidas na situação problema terão a mesma quantidade. Na segunda questão temos uma adição de duas quantidades diferentes; logo, ao final da situação problema as quantidades serão diferentes. Na terceira questão encontramos novamente uma subtração, no entanto, retirando duas quantidades diferentes. Na quarta questão encontramos novamente uma adição, no entanto, acrescentando quantidades iguais. No segundo grupo de questão (da quinta a oitava) as quantidades desaparecem, fazendo que o aluno pense de forma mais intuitiva.
Durante a aplicação dessa atividade foi observado como a professora criava relações algébricas com seus alunos ao diminuir ou aumentar quantidades em dois membros de uma equação. As outras atividades consistiram em utilizar os objetos de aprendizagem (OA)
Balança Interativa2 e Feira dos Pesos3 cujo objetivo é trabalhar com conceitos algébricos, como maior, menor, igualdade, desigualdade e comparação entre valores desconhecidos. Esses OA foram criados e implementados pelo Grupo de Pesquisa e Produção em Ambientes Interativos e Objetos de Aprendizagem (PROATIVA4).
Os Objetos de Aprendizagem (OA) são recursos digitais para uso educacional disponíveis na Internet e podem ajudar na elaboração de conceitos por parte dos alunos e na prática docente (DIRENE, CARVALHO, CASTILHO, MARCZAL et al, 2009; WILEY, 2000; LTSC, 2000). Os OA fornecem aos alunos um contexto rico de aprendizagem, mas para isso é necessário que o professor tenha o conhecimento do uso dessas tecnologias em sala de aula, sabendo das suas possibilidades ao planejar. (KENSKI, 2007). As atividades, utilizando ambientes computacionais, foram agrupadas neste estudo, pois em outras pesquisas não encontramos como professores trabalham com álgebra inicial durante a utilização desses ambientes.
O OA Balança Interativa (figura 01) baseia-se na manipulação simulada de uma balança de dois pratos na forma de um jogo, o qual consiste em descobrir os valores desconhecidos que são associados às letras. Na tela do programa além de simular uma balança de dois pratos, temos também desenhos de pesos com letras que representam os pesos
2 http://www.vdl.ufc.br/ativa/programas/balanca.html
3 http://www.proativa.vdl.ufc.br/oa/feiradosPesos/feiradosPesos.html 4 http://www.proativa.vdl.ufc.br/
desconhecidos e desenhos de pesos com números que representam os pesos conhecidos. O usuário deverá utilizar o OA para pesar os pesos conhecidos e desconhecidos, podendo encontrar seus valores através do equilíbrio ou desequilíbrio na balança. A balança fica em equilíbrio quando os pesos dos dois lados forem iguais, o desequilíbrio acontece quando um dos pratos da balança fica mais pesado do que outro. Uma descrição mais completa do OA
Balança Interativa pode ser encontrada no Apêndice A.
Figura 1 – Tela do OA Balança Interativa no primeiro nível
Assim como na Balança Interativa, o OA Feira dos Pesos (figura 02) simula uma balança de dois pratos. O OA possui cinco níveis e tem como objetivo fazer comparações entre os pesos nos quais os alunos não conhecem seus valores, colocando na ordem do menor para o maior de acordo com suas manipulações. Por exemplo, se o peso A é maior do que B e maior do que C, e C é menor do que B e menor do que A, a ordem dos pesos será: C, B e A.
No primeiro nível o OA oferece três pesos desconhecidos, todos do mesmo tamanho, mas com peso diferente para que o usuário possa classificar do maior para o menor ou do menor para o maior. No segundo, terceiro e quarto nível temos que ordenar do maior para o menor ou vice-versa quatro, cinco, seis pesos todos com o mesmo tamanho. No último nível o OA continua a oferecer seis pesos, no entanto, eles possuem formatos e pesos diferentes.
Figura 2 – Tela do OA Feira dos Pesos no terceiro nível
O OA conta o número de movimentos realizados com o objetivo de observar a quantidade de manipulações que o aluno fez para descobrir a sequência dos pesos desconhecidos. Esse OA não conta a quantidade de erros, pois o objetivo principal é saber se, ao final das manipulações, os alunos conseguem descobrir a real sequência entre os pesos desconhecidos.
Duas outras atividades fizeram parte deste estudo. Para isso, utilizamos uma balança de dois pratos idêntica àquelas que eram utilizadas em feiras (figura 03). Na primeira delas, os professores deveriam descobrir quanto pesam diferentes potes, utilizando os pesos que a balança oferece (50g, 100g, 200g, 500g, 1 kg e 2kg).
Os pesos dos potes que os professores tentaram descobrir foram de: 150g, 300g, 350g, 400g, 450g e 900g (figura 04). Esses valores foram distribuídos dessa forma para que, durante as atividades, o usuário possa colocar mais de um peso em um lado da balança e, em algumas vezes, como no caso de 400g, 450g e 900g coloquem pesos nos dois pratos da balança. Por exemplo, para descobrir o peso de 400g, os professores tiveram que colocar no prato do peso desconhecido, o peso de 100g e no outro prato o peso 500g.
Figura 4 – Potes confeccionados pesando 150, 300, 350, 400, 450 e 900 gramas respectivamente
A proposta de segunda atividade é colocar os potes em sequências, considerando os pesos do menor para o maior. Os professores não tiveram acesso aos pesos conhecidos para descobrir o valor dos potes, apenas tiveram que compará-los entre si e ordenar em uma sequência do menor para o maior. O objetivo dessa atividade é similar à atividade com o OA
Feira dos Pesos.
Essas atividades têm o objetivo de introduzir conceitos e notações algébricas guiadas na ideia de que devemos criar oportunidades e apresentar aos professores a proposta de como trabalhar equivalência. Essas atividades trabalham com o conceito de equivalência entre quantidades conhecidas e desconhecidas.
A balança de dois pratos tem sido usada como um material concreto para dar sentido às equações em situações didáticas (CORTES, KAVAFIAN, VERGNAUD, 1990; FILLOY, ROJANO, 1984) ou para analisar o entendimento de igualdades e manipulação de incógnitas (CARRAHER, SCHLIEMANN, 1987; SCHLIENANN, CARRAHER, BRIZUELA, 2005).
Entendemos que o uso de uma balança de dois pratos pode não trazer um modelo completo para o pensamento algébrico, mas é uma situação significativa para promover e
analisar a compreensão inicial de equações e de regras de manipulação algébrica. No entanto, o conjunto das atividades nos mostrou como as professoras explicavam e entendiam o conceito de igualdade, desigualdade, comparação e relação entre quantidades. A presença de números conhecidos (pesos da balança) e objetos concretos desconhecidos pode ser um convite para que professores estimulem seus alunos a realizar cálculos com quantidades desconhecidas e estabelecer comparações diretas entre os objetos na balança. Após entender as atividades da oficina de formação, explicaremos no próximo tópico como a pesquisa se desenvolveu.