Estudi de les propietats matemàtiques dels sistemes Massive MIMO: canals amb esvaïments de tipus Rice espacialment correlats

T reba ll F i de G rau

DOBLE TITULACIÓ: GRAU DE MATEMÀTIQUES I GRAU D’ENGINYERIA TELEMÀTICA

Estudi de les propietats matemàtiques dels sistemes Massive MIMO:

canals amb esvaïments de tipus Rice espacialment correlats

ANTONI ENRIC HEINRICHS MAQUILÓN

Tutor

Guillem Femenias Nadal

Escola Politècnica Superior

Universitat de les Illes Balears

Palma, 3 de setembre de 2020

Dedicat a tothom que ha hagut d’escoltar-me donar una definició de massive MIMO sense haver-la demanada primer

S ^UMARI

Sumari iii

Índex de figures v

Acrònims vii

Resum ix

1 Introducció 1

1.1 Treballs previs . . . 2

1.2 Objectius del treball . . . 2

1.3 Estructura del TFG . . . 3

2 Model del sistema 5 2.1 Xarxes Massive MIMO . . . 5

2.2 Protocol TDD . . . 7

2.3 Model de canal . . . 8

3 Estimació de canal 11 3.1 Estimació de canal . . . 11

3.2 Estimador de canal MMSE . . . 12

3.3 Estimador de canal EW-MMSE . . . 15

3.4 Estimador de canal LS . . . 18

3.5 Estimador de canal MO . . . 20

3.6 Resultats numèrics . . . 21

4 Uplink 27 4.1 Eficiència espectral a l’enllaç de pujada amb combinació MR . . . 27

4.2 Eficiència espectral a l’enllaç de pujada amb l’estimador MMSE . . . 29

4.3 Eficiència espectral a l’enllaç de pujada amb l’estimador EW-MMSE . . 33

4.4 Eficiència espectral a l’enllaç de pujada amb l’estimador LS . . . 38

4.5 Eficiència espectral a l’enllaç de pujada amb l’estimador MO . . . 42

5 Downlink 43 5.1 Eficiència espectral a l’enllaç de baixada amb precodificació MR . . . . 43

5.2 Eficiència espectral a l’enllaç de baixada amb l’estimador MMSE . . . . 44

5.3 Eficiència espectral a l’enllaç de baixada amb l’estimador EW-MMSE . 48 5.4 Eficiència espectral a l’enllaç de baixada amb l’estimador LS . . . 50

5.5 Eficiència espectral a l’enllaç de baixada amb l’estimador MO . . . 53

6 Anàlisi asimptòtica 55 6.1 Supòsits . . . 55

6.2 Anàlisi asimptòtica de l’eficiència espectral amb l’estimador MMSE . . 57

6.3 Anàlisi asimptòtica de l’eficiència espectral amb l’estimador EW-MMSE 59 6.4 Anàlisi asimptòtica de l’eficiència espectral amb l’estimador LS . . . . 61

6.5 Anàlisi asimptòtica de l’eficiència espectral amb l’estimador MO . . . . 64

7 Resultats 67 7.1 Paràmetres de la simulació . . . 67

7.2 Resultats . . . 69

8 Conclusions 75 A Resultats matemàtics preliminars 77 A.1 La distribució Gaussiana complexa . . . 77

A.1.1 Simetria circular . . . 77

A.1.2 Càlcul d’esperances . . . 77

A.2 Estimadors Bayesians . . . 81

A.3 Estimador MMSE . . . 82

A.4 Altres propietats . . . 86

A.5 Desigualtats . . . 86

Bibliografia 87

Í NDEX DE FIGURES

2.1 [1, Secció 1.1] Xarxa cel·lular amb BSs amb multi-antena i UEs amb una sola antena. . . 6 2.2 [1, Secció 2.1] Esquema de modulació multiportadora TDD d’una xarxa

Massive MIMO canònica. El pla temps-freqüència es divideix en blocs de coherència dins els quals cada canal és invariant en el temps ifrequency flat. 7 2.3 [1, Secció 2.1] Cada bloc de coherència es divideix en 3 etapes: transmissió

de pilots, transmissió UL i transmissió DL. Cada etapa compta ambτp,τui τdmostres respectivament i la seva suma dónaτc. . . 8 2.4 [1, Secció 2.1] Dins cada bloc hi ha diferents subportadores sobre les quals

es transmeten les diferents mostres, en total dins cada bloc tenimτc=TcBc

mostres complexes. . . 8 2.5 [1, Secció 1.3] Model de propagació LoS entre un UE i una BS equipada amb

una ULA ambMantenes. . . 9 2.6 [1, Secció 2.6] Model de propagació NLoS entre un UE i una BS equipada

amb una ULA ambMantenes. . . 10 3.1 [1, Secció 3.2] Dos UEs que transmeten la mateixa seqüència pilot es provo-

quen interferències durant la fase d’entrenament. Atès que les BS no poden separar completament els dos senyals, els seus estimadors estaran correlats. 13 3.2 [1, Secció 4.1] Topologia de la xarxa simulada, centrada en un dels quadrats

de 16 cel·les. Com podem veure, dins cada cel·la trobam una BS i 10 UEs. . 21 3.3 MSE de l’estimador de canal MMSE en funció del nombre d’antenes de les

BSs. . . 23 3.4 MSE de l’estimador de canal EW-MMSE en funció del nombre d’antenes de

les BSs. . . 24 3.5 MSE de l’estimador de canal LS en funció del nombre d’antenes de les BSs. 25 4.1 [1, Secció 2.3] Transmissió UL entre l’UEkde la cel·lali la BSj. . . . 28 5.1 [1, Secció 2.3] Transmissió DL entre la BSji l’UEkde la cel·lal. . . . 44 7.1 SE mitjana a l’UL ambK =10 en funció del nombre d’antenes a les BSs

utilitzant diferents estimadors de canal. . . 69 7.2 SE mitjana al DL ambK =10 en funció del nombre d’antenes a les BSs

utilitzant diferents estimadors de canal. . . 70

7.3 SE mitjana a l’UL ambK =10 en funció del nombre d’antenes a les BSs utilitzant diferents estimadors de canal on no tots els canals presenten una component LoS. . . 71 7.4 SE mitjana a l’UL ambK =10 en funció del nombre d’antenes a les BSs

utilitzant diferents estimadors de canal on tots els canals presenten una component LoS. . . 72 7.5 SE mitjana a l’UL ambK =10 i M_j =100 en funció de l’ASD utilitzant

diferents estimadors de canal. . . 73 7.6 SE mitjana a l’UL ambK=10 iMj=100 en funció del factor de reutilització

dels pilots utilitzant diferents estimadors de canal. . . 74

A ^CRÒNIMS

AoA Angle d’incidència (angle of arrival)

ASD Desviació estàndard angular (angular standard deviation)

BS Estació base (base station)

CSI Informació sobre l’estat del canal (channel state information)

DL Enllaç de baixada (downlink)

EW-MMSE Element-wise MMSE

IoT Internet of Things

LoS Visió directa (line of sight)

LS Least-squares

MIMO Multiple-Input Multiple-Output

MMSE Minimum mean squared error

MO Mean only

MR Màxim guany (maximum ratio)

MSE Error quadràtic mitjà (mean squared error)

NLoS Visió no directa (non line of sight)

OFDM Orthogonal Frequency Division Multiplexing

QoS Quality of Service

SE Eficiència espectral (spectral efficiency)

SINR Relació entre senyal i interferència més renou (signal-to-interference-plus-noise ratio)

SNR Relació entre senyal i renou (signal-to-noise ratio)

TDD Time Division Duplexing

TFG Treball Final de Grau

UatF Use-and-then-forget

UE Equip d’usuari (user equipment)

UL Enllaç de pujada (uplink)

ULA Matriu linealment uniforme (uniform linear array)

ZF Zero-forcing

R ^ESUM

El creixement continu de les noves tecnologies i la seva expansió cada vegada a més àmbits de la vida quotidiana gràcies a l’Internet of Things (IoT) provoquen un augment del trànsit de dades a les xarxes mòbils. Per tal de fer front a aquest augment de la demanda i poder augmentar el rendiment de la xarxa, les noves generacions de xarxes mòbils (5G) pretenen explotar l’eficiència espectral (SE) i així, poder transmetre un major volum de dades sense haver d’augmentar les bandes de l’espectre freqüencial dedicades a les comunicacions mòbils o haver d’instal·lar un major nombre d’estacions base (BSs). La peça clau per poder dur a terme aquesta tasca és el Massive Multiple- Input Multiple-Output (MIMO); aquests sistemes es basen en augmentar el nombre d’antenes de cada BS i en la realització de transmissions de senyals simultànies per tal de multiplicar la SE de la xarxa respecte als sistemes de generacions anteriors, amb un nombre reduït d’antenes per BS.

Per això, l’estudi de les xarxes Massive MIMO es presenta com un tema adequat per realitzar un Treball Final de Grau (TFG) que ha de posar en pràctica les competències adquirides tant al Grau d’ Enginyeria Telemàtica com al Grau de Matemàtiques. Per una banda, treballam amb conceptes propis dels sistemes de comunicacions i, per una altra banda, utilitzam eines matemàtiques per modelitzar tant els canals com els sistemes de comunicacions i per caracteritzar les seves prestacions en termes de SE. Així, començam descrivint l’estructura de les xarxes Massive MIMO i el protocol Time Division Duplexing (TDD) que utilitzen per transmetre les dades entre els equips d’usuari (UEs) i les BSs. Després, ens centram en l’estudi dels canals espacialment correlats amb un model amb esvaïments tipus Rice, els quals estan composts per una component de visió directa (LoS) i una component de visió no directa (NLoS). Per aquest tipus de canal arribam a les expressions dels estimadors de canal minimum mean squared error (MMSE), element-wise MMSE (EW-MMSE) i least-squares (LS) i calculam quin és l’error quadràtic mitjà (MSE) d’aquests estimadors mitjançant unes simulacions de Monte Carlo. A més, suposant l’ús de cada un d’aquests estimadors i utilitzant un esquema de processament de màxim guany (MR), arribam a expressions analítiques tancades per expressar les SEs assolibles sobre el sistema tant per a l’enllaç de pujada (UL) com per a l’enllaç de baixada (DL) i analitzam aquestes expressions.

També analitzam el comportament asimptòtic de la xarxa i veim com evoluciona la SE en augmentar el nombre d’antenes de les BSs. Finalment, duim a terme un seguit de simulacions de Monte Carlo per validar les expressions analítiques obtingudes en aquest document i observam com obtenim les majors taxes de SE utilitzant l’estimador MMSE i com augmenta aquesta taxa a mesura que les BSs compten amb un major nombre d’antenes.

C

1

I ^NTRODUCCIÓ

Als anys 90, Martin Cooper va enunciar la Llei de Cooper [2], segons la qual, cada dos anys i mig es duplica el nombre de connexions de veu i dades, aquest fet s’ha pogut comprovar des de les primeres connexions de finals del segle XIX. L’era de les platafor- mes d’streaming, els videojocs online i l’increment del nombre mitjà de dispositius per usuari (smartphones,tablets,wearables...), a més de la introducció de nous dispositius de l’IoT han provocat un increment encara major en aquesta demanda de trànsit de dades; segons un informe de l’empresa Ericsson [3] s’espera un creixement anual del 42% entre els anys 2016 i 2022. Per altra banda, la situació que esteim vivint actualment respecte al COVID-19 i els períodes de confinament que ha provocat aquesta situació han fet evident les limitacions actuals de la xarxa de telecomunicacions, tant fixa com mòbil, prova d’això és el comunicat que van haver de realitzar les operadores espanyo- les [4] aconsellant fer un ús responsable de les xarxes per tal de prioritzar el teletreball i el tele-estudi, per tant es fa necessari estudiar les tecnologies que ens permetran millorar les xarxes actuals per fer front a les noves mecàniques de treball i estudi que apareixeran en el futur.

Si ens centram en les xarxes mòbils, tenim que és necessari augmentar el rendiment de la xarxa per tal de cobrir la demanda actual. La mètrica més utilitzada per descriure el rendiment de la xarxa és l’area throughput, aquest paràmetre ens permetrà conéixer la quantitat d’informació que la xarxa pot transmetre per unitat de temps i àrea i ve donada per la següent fórmula:

Area throughput £

bit/s/km²¤

=B £ Hz¤

·Dh

cells/km²i

·SE£

bit/s/Hz/cell¤

, (1.1) onBrepresenta l’amplada de banda del sistema,Dés la densitat cel·lular i laSEés la SE per cel·la. La SE es defineix com la quantitat d’informació que es pot transmetre per segon i per Hz. De forma simplificada, tenim que per tal d’incrementar el rendi- ment d’una xarxa podem augmentar l’amplada de banda, la densitat cel·lular, és a dir, incrementar el nombre de BSs o bé augmentar la SE.

Tal i com es diu a [1], històricament hem duit a terme l’evolució de les xarxes incrementant l’amplada de banda i augmentant la densitat cel·lular, és per això que ens estem apropant cada vegada més a un punt de saturació a partir del qual dur a terme més millores suposa grans complicacions i despeses econòmiques. És en aquest moment en el qual veim la necessitat d’explorar noves estratègies per explotar la SE per tal de millorar el rendiment de la xarxa i poder donar servei a un major nombre de dispositius preservant la Quality of Service (QoS) a la qual ja estan avesats els usuaris. En aquest context, el Massive MIMO es presenta com un dels pilars tecnològics de la nova generació de xarxes mòbils 5G, aquest tipus d’esquema permet utilitzar un gran nombre d’antenes per dur a terme transmissions i recepcions de senyals de forma simultània, substituint així les BSs de les generacions anteriors que compten amb un nombre reduït d’antenes que operen a la vegada i, per tant, multiplicant les taxes de SE assolibles. A més, aquesta tecnologia és molt escalable ja que sempre podem augmentar el nombre d’antenes sense la necessitat d’augmentar el nombre de BSs o haver d’ampliar les bandes de freqüències sobre les quals es duen a terme les comunicacions.

1.1 Treballs previs

L’estudi de les xarxes Massive MIMO té moltes variants, nosaltres ens basarem en la definició canònica que es dona a [1]. Per aquests tipus de xarxes s’ha arribat a expressi- ons analítiques tancades per descriure SEs assolibles sobre canals amb esvaïments de tipus Rayleigh espacialment correlats [1] i espacialment incorrelats [5]. Per altra banda, també s’han estudiat els canalsfading-freeLoS [6]. A la pràctica, tal i com diu [7], els canals poden consistir en una combinació d’un camí LoS i múltiples camins NLoS i poden ser modelats amb el model amb esvaïments de tipus Rice. Quan aprofundim dins els estudis de les xarxes modelades amb canals Rice trobam unes primeres pu- blicacions on s’utilitza un model de canal espacialment incorrelat i un esquema de processament zero-forcing (ZF) a partir de les quals es van obtenir expressions per a la SE tant a l’UL [8] com al DL [9]. Amb tot aquest rerefons, trobam un article de l’any 2019, el qual seguirem per dur a terme aquest TFG, [10]. En aquest document els seus autors consideren xarxes amb canals amb esvaïments de tipus Rice i deriven expressions de diversos estimadors i utilitzant un esquema de processament MR arriben a expressions analítiques tancades de SEs assolibles, a més, estudien el comportament asimptòtic de la SE i duen a terme una sèrie de simulacions per tal de comparar el comportament dels canals Rayleigh i Rice descrits als treballs anteriors.

1.2 Objectius del treball

A l’hora de realitzar aquest TFG ens trobàvem davant la necessitat de cobrir un tema que permetés utilitzar les competències adquirides tant al grau d’Enginyeria Telemà- tica com al grau de Matemàtiques. L’estudi analític de les xarxes Massive MIMO es presenta com una bona oportunitat per treballar per una banda, els conceptes propis dels sistemes de comunicacions i per altra banda, utilitzar eines matemàtiques per modelitzar tant els canals com els sistemes de comunicacions (estimadors de canal, esquemes de precodificació, esquemes de detecció MIMO,...) i caracteritzar les seves prestacions en termes de SE.

1.3. Estructura del TFG

En aquesta memòria estudiarem la definició de xarxa Massive MIMO canònica i plantejarem escenaris amb canals espacialment correlats de tipus Rice. Per aquests tipus de canals, trobarem diferents estimadors de canals que utilitzarem per arribar a expressions analítiques tancadas de la SE tant a l’UL com al DL utilitzant un esquema de combinació/precodificació MR i analitzarem el seu comportament asimptòtic a mesura que augmenta el nombre d’antenes a les BSs.

A més, completarem aquest treball amb la realització d’una sèrie de simulacions de Monte Carlo. Amb aquestes simulacions dissenyarem escenaris que ens permetran validar les expressions analítiques a les quals haurem arribat als capítols anteriors.

Utilitzarem els recursos de [11] ja que són els que es van fer servir a la secció de resultats numèrics de [10]. En resum, per una banda el nostre TFG té com a objectiu reproduir la recerca que es va dur a terme a [10], posant un major detall en algunes demostracions matemàtiques, i per altra banda, estudiar els conceptes més generals de les xarxes Massive MIMO i el seu protocol de transmissió TDD.

1.3 Estructura del TFG

Començam amb un primer capítol on explicam les definicions bàsiques de les Xarxes Massive MIMO, els protocols que s’utilitzen per transmetre les dades i el model del canal que utilitzam per poder modelar la xarxa. A continuació, seguim una estructura similar a l’article de [10]: en primer lloc, al Capítol 3 deduïm les expressions dels estimadors de canal MMSE, EW-MMSE, LS i mean only (MO), aquests estimadors els utilitzarem als Capítols 4 i 5 per arribar a expressions analítiques tancades de la SE tant a l’UL com al DL a partir d’un esquema de processament MR, després, al Capítol 6 durem a terme una anàlisi asimptòtica del comportament de la xarxa quan augmenta el nombre d’antenes a les BSs i acabarem amb un conjunt de simulacions de Monte Carlo al capítol 7 amb les quals validarem les expressions a les quals hem arribat als capítols anteriors. Finalment, al Capítol 8 recapitularem i comentarem els punts més importants que hem assolit i plantejarem diferents maneres per continuar amb aquesta línia d’investigació.

C

2

M ODEL DEL SISTEMA

En aquest capítol donarem la definció d’una Xarxa Massive MIMO canònica i estu- diarem alguns dels conceptes necessaris per entendre el seu funcionament. A més, descriurem el protocol TDD que implementarà la xarxa amb la que treballarem als següents capítols. Finalment, analitzarem el model que utilitzarem per modelar el canal entre cada estació base (BS) i cada equip d’usuari (UE) del sistema.

2.1 Xarxes Massive MIMO

D’acord amb la línia de les publicacions de Marzetta, Björson va donar la següent definició de xarxa Massive MIMO canònica a [1].

Una xarxa Massive MIMO canònica és una xarxa cel·lular multiportadora ambL cel·les que operen d’acord amb un protocol síncron TDD. La BSj es troba equipada ambMjÀ1 antenes per tal d’aconseguirchannel hardening. La BS jes comunica amb KjUEs amb una sola antena de forma simultània a cada mostra en temps/freqüència, amb un ratio antena-UEMj/Kj>1. Cada BS opera de forma individual i processa els seus senyals emprant un esquema de recepció lineal i transmet els senyals emprant un esquema de precodificació lineal. A la Figura 2.1podem observar l’estructura cel·lular d’aquest tipus de xarxes, juntament amb les BSs i els UEs.

Anem a descriure alguns conceptes de la definició anterior, en primer lloc tenim el fenòmen conegut com achannel hardening, segons el qual, a mesura que augmenta el nombre d’antenes a les BSs d’un sistema massive MIMO, la variància de la resposta equivalent del canal (incloent el precodificador/combinador, els coeficients de control de potència i els errors d’estimació de canal) tendeix a anul·lar-se. En segon lloc, hem d’entendre què és una transmissió multiportadora. Tot i que podem trobar altres esque- mes de transmissió multiportadora, ens centrarem en els sistemes basats en Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM). En aquest cas, l’amplada de banda global del sistema es subdivideix en múltiples subbandes freqüencials sobre les quals es poden

Figura 2.1:[1, Secció 1.1] Xarxa cel·lular amb BSs amb multi-antena i UEs amb una sola antena.

transmetre símbols de manera independent utilitzant subportadores ortogonals. El més important és que la separació entre portadores i la durada dels símbols OFDM es seleccioni de manera que l’amplada de cadascuna de les subbandes sigui molt inferior a l’amplada de banda de coherència del canal i la durada dels símbols OFDM sigui molt inferior al temps de coherència del canal. D’aquesta manera es pot garantir que s’està treballant sobre canals amb esvaïments freqüencials plans (flat fading) i que no es produeix interferència intersimbólica.

És important recordar que l’amplada de banda de coherènciaB_ces defineix com l’interval freqüencial sobre el qual les respostes del canal són aproximadament cons- tants. Aquest interval es pot ocupar amb múltiples subportadores, per això el canal observat en portadores veïnes o bé és igual o es troba directament relacionat a través d’alguna transformació determinística. D’aquesta manera, no és necessari estimar el canal a cada subportadora. Per altra banda, durant el temps de coherènciaTces consi- dera que les respostes del canal són aproximadament constants ja que les variacions temporals dels canals són petites entre mostres adjecents.

A partir d’aquestes dues definicions podem definir el bloc de coherència com el nombre de subportadores i mostres temporals sobre les quals les respostes del canal són aproximadament constants i amb esvaïments plans. Cada bloc de coherència contéτc= BcTcmostres complexes (Figura 2.4). A la Figura 2.2 podem veure com el pla temporal- freqüencial es divideix en mútliples blocs de coherència. Gràcies a la suposicióblock fading[1] podem estudiar cada bloc de coherència de forma independent, això no vol dir que no existeixi alguna correlació entre diferents blocs sinó que no la utilitzam a l’hora d’analitzar el comportament del canal. Per processar el senyal utilitzarem la informació sobre l’estat del canal (CSI) de llarg termini i la informació que ens aporti cada bloc de coherència que processam.

Respecte al tamany del bloc de coherència, aquest dependrà de les condicions de la xarxa, la movilitat dels UEs i la freqüència de les portadores. Cada usuari compta amb un bloc de coherència propi però, com que hem d’implementar un protocol TDD síncron, hem de dimensionar els blocs de coherència de forma que les transmissions de

2.2. Protocol TDD

Figura 2.2:[1, Secció 2.1] Esquema de modulació multiportadora TDD d’una xarxa Massive MIMO canònica. El pla temps-freqüència es divideix en blocs de coherència dins els quals cada canal és invariant en el temps ifrequency flat.

UL i DL es puguin dur a terme de forma sincronizada a les diferents cel·les de la xarxa i per tots els UEs. Una solució pràctica és dimensionar el bloc de coherència considerant el pitjor cas que la xarxa hauria de permetre. A més, aquesta solució permet que usuaris que comptin amb un bloc de coherència molt major puguin estalviar-se en alguns casos la transmissió de la seqüència pilot. Un altre punt que hem de tenir en compte és que l’assumpció de la transmissió síncrona dels UEs de la xarxa representa el pitjor escenari des del punt de vista de la interferència intercel·lular[12].

2.2 Protocol TDD

Tal i com veim a la Figura 2.3, les transmissions sobre cadascun dels blocs de cohe- rència s’estructuren utilitzant un protocol TDD de tres fases: transmissió de pilots o fase d’entrenament, transmissió UL i transmissió DL. La transmissió de pilots és el mecanisme que tenen les BSs per actualitzar la seva CSI, aquesta part de la transmissió serà estudiada al Capítol 3, la transmissió UL l’estudiarem al Capítol 4 i la darrera fase d’aquest protocol l’estudiarem al Capítol 5. La durada d’aquestes 3 fases pot variar en funció de les necessitats de la xarxa, per exemple, si tenim un major volum de trànsit DL augmentaríem el nombre deτdmostres i reduiríem el nombre deτumostres.

Per acabar amb aquesta secció, volem incidir sobre el concepte de la CSI, aquesta informació és necessària quan volem estimar la resposta del canalhdurant cada bloc de coherència ja que tenir un coneixement real d’aquesta resposta en cada moment no és una tasca que es pugui realitzar a la pràctica. Així, gràcies a la CSI, les BSs adquireixen coneixement sobre l’estat del canal, que es basa en un conjunt de realitzacions del canal.

Distingirem dos tipus de CSI: per una banda tenim la CSI estadística o de llarg termini, que està disponible a tota la xarxa i conté informació respecte a les distribucions estadístiques de variables aleatòries del sistema; i per altra banda la CSI instantània, que aporta informació sobre les realitzacions actuals dels canals i que s’actualitza a mesura que canvien els canals. El mètode principal per rebre actualizacions de la CSI és la tranmssió de seqüències pilot, a la primera etapa del protocol TDD. Un avantatge

Figura 2.3:[1, Secció 2.1] Cada bloc de coherència es divideix en 3 etapes: transmissió de pilots, transmissió UL i transmissió DL. Cada etapa compta ambτp,τuiτdmostres respectivament i la seva suma dónaτc.

Figura 2.4:[1, Secció 2.1] Dins cada bloc hi ha diferents subportadores sobre les quals es transmeten les diferents mostres, en total dins cada bloc tenimτc=TcBcmostres complexes.

important d’utilitzar un protocol TDD és la reducció de l’overheadde la transmissió de pilots ja que únicament hem de transmetre pilots al principi de cada bloc de coherència ja que els canals de pujada i baixada són recíprocs, és a dir, la resposta del canal és la mateixa en ambdues direccions.

2.3 Model de canal

A continuació, donarem la definició d’un canal espacialment incorrelat: un canal amb esvaïments h∈C^M és espacialment incorrelat si la seva matriu de covariàncies és igual a la matriu identitatIM. Si no es compleix aquesta condició, aleshores el canal és espacialment correlat.

A la pràctica, de forma general els canals són espacialment correlats a causa dels patrons de radiació de les antenes, que no són uniformes, i de l’entorn físic a través del qual es propaguen els senyals; aquestes condicions fan que algunes direccions espacials tenguin major probabilitat de transmetre un senyal més fort que les altres direccions.

Seguint l’article [10], en aquest treball, considerarem canals amb esvaïments de tipus Rice espacialment correlats, seguint la seva notació, utilitzaremh_{l i}^j ∈C^Mj per

2.3. Model de canal

Figura 2.5:[1, Secció 1.3] Model de propagació LoS entre un UE i una BS equipada amb una ULA ambMantenes.

representar la resposta del canal entre l’usuarikde la cel·lali la BSj. Concretament, empramh_{l i}^j (vector columna) pel canal de pujada i (h_{l i}^j)^H (vector fila) pel canal de baixada. Cada vector de canalh_{l i}^j es modela segons una realització d’una distribució Gaussiana complexa circularment simètrica

h_{l i}^j ∼NC( ¯h_{l i}^j,R_{l i}^j), (2.1) on ¯h_{l i}^j és la mitjana corresponent a la component LoS iR_{l i}^j és la matriu de covariàncies semi-definida positiva corresponent a la correlació espacial de les components NLoS.

Estrictament parlant, el terme distribució Gaussiana complexa circularment simètrica s’aplica només a variables amb mitjana zero, però en aquest cas emprarem l’extensió comuna seguint [10]. El guany del canal el determinam a partir de la traça normalitzada, és a dir,

β_{l i}^j = 1 M_jtr³

R_{l i}^j ´

, (2.2)

onβ_{l i}^j deim que és el factor d’esvaïment de gran escala.

Quant als models que utilitzarem a les simulacions per calcular els canals, per una banda tenim que la component LoS es modela com

h¯_{l i}^j =

qβ_{l i}^j,LoS

·

1 e^j2πdHsin

³ϕ_{l i}^j´

· · · e^j2πdH(^M−1)^sin³ϕ_{l i}^j´¸T

, (2.3)

onβ_{l i}^j,LoSés el coeficient d’esvaïment de gran escala,dH≤0.5 és l’espai entre antenes

expressat en fraccions de longitud d’ona iϕ_{l i}^j és l’angle d’incidència (AoA) a l’UE des de la BS, tal i com podem veure a la Figura 2.5.

Per altra banda, per representar la correlació espacial del canal utilitzarem un model simple (dels anys 1990) que ens permetrá reflectir les característiques bàsiques d’a- questa propietat[1, Sec 2.6]. Així seguint el model Gaussià de dispersió local, l’element

Figura 2.6:[1, Secció 2.6] Model de propagació NLoS entre un UE i una BS equipada amb una ULA ambMantenes.

de la filasi la columnamde la matriuR_{l i}^j té l’expressió h

R_{l i}^ji

s,m=β_{l i}^j,NLoS N

N

X

n=1

e^{j2πdH(s−m) sin}

³ϕ_{l i}^j_,n´

·e⁻

σ²_ϕ 2

µ

2πd_H(s−m) cos³ ϕ_{l i,n}^j ´¶2

, (2.4)

onβ_{l i}^j,NLoSés el coeficient d’esvaïment de gran escala,dH≤0.5 és l’espai entre antenes

expressat en fraccions de longitud d’ona iϕ_{l i,n}^j ∼U h

ϕ_{l i}^j_,n−40^◦,ϕ_{l i}^j_,n+40^◦i

és l’AoA nominal de l’n-èsim clúster. Al voltant d’aquest AoA nominal es distribueixen els AoA de les components multicamí del clúster amb una desviació estàndard angular (ASD) σϕ. Cada element del sumatori de (2.4), es correspon amb cadascun dels clústers de dispersió del canal, és a dir, amb cada conjunt d’obstacles sobre els quals es dispersarà, reflectirà o difractarà el senyal transmès. A la Figura 2.6 veim com es distribueixen els diferents angles descrits per un clúster de dispersió.

C

3

E STIMACIÓ DE CANAL

En aquest capítol descriurem i analitzarem les diferents passes que es duen a terme a cada BS per estimar els canals dels diferents usuaris a partir dels senyals rebuts durant la fase d’entrenament i la informació prèviament estimada, en general, es tractarà d’informació que varia molt lentament i que la BS ha estimat a través d’estratègies a llarg termini i que pot incloure, totalment o en part, les pèrdues de propagació o les matrius de covariàncies del canal.

Depenent de quina sigui la informació a llarg termini de la qual disposi la BS, es podrà implementar un mètode d’estimació o un altre. En aquesta memòria analitzarem els estimadors MMSE, EW-MMSE, LS i MO. De cadascun d’ells trobarem expressions analítiques tancades del senyal estimat, de la seva distribució estadística i de la distribu- ció estadística de l’error d’estimació. Per tal de completar l’estudi d’aquests estimadors de canal, compararem els resultats analítics amb resultats obtinguts a través de simula- cions de Monte Carlo.

3.1 Estimació de canal

Les BSs necessiten estimar el canal dels usuaris de la seva cel·la per tal de fer un ús dels canals de propagació entre les múltiples antenes de la BS i les múltiples antenes disponibles als terminals d’usuari de la forma més eficient possible. A més, estimar els canals d’usuaris d’altres cel·les pot servir per controlar la interferència intercel·lular durant la transmissió de dades [1]. Per tal d’estimar els canals dels diferents usuaris, les estacions base processen els senyals rebuts durant la fase d’entrenament en què cada usuari transmet una seqüència pilot deτpmostres (Figura 2.3 ). Les seqüències pilot són conegudes i es construeixen de forma que siguin mútuament ortogonals, es distribueixen entre els diferents usuaris i poden ser reutilitzades per usuaris de diferents cel·les o, fins i tot, per usuaris de la mateixa cel·la. Per denotar la seqüència pilot de l’usuarik de la cel·laj escrivimφj k∈C^τp i la seva norma és°

°°φj k

°

°

°

2

=τp. A

més, definim el conjunt d’usuaris que comparteixen la mateixa seqüència pilot com Pj k=n

(l,i) :φl i=φj k,l=1, ...L,i=1, ...,K_lo

. (3.1)

És important assenyalar que l’usuari (j,k) també es troba dins el conjuntPj k. Així, a través dels diferents canals arriben a la BS les seqüències pilot escalades segons la potència de transmissió de cada usuari,p_{l i}. La matriuY^p_j ∈C^Mj×τprebuda durant la fase d’entrenament a la BSjés

Y^p_j =

Kj

X

k=1

pp_{j k}h^j_{j k}φ^T_{j k}

| {z }

Pilots desitjats

+

L

X

l=1 l6=j

Kl

X

i=1

pp_{l i}h_{l i}^jφ^T_{l i}

| {z }

Pilots intercel·lulars

+ N^p_j

|{z}

Renou

, (3.2)

onN^p_j ∈C^Mj×τpés una matriu de mostres de renou Gaussià blanc additiu independents i identicament distribuïdes segonsNC(0,σ²_ul).

La primera passa que farà qualsevol estimador de canal a l’hora d’estimar el canal corresponent a l’usuariide la cel·lajés projectar la matriuY^p_j sobre la seqüència pilot utilitzada per aquest usuari, és a dir, multiplicar l’equació anterior perφ^∗_{l i}, així, atesa l’ortogonalitat entre diferents seqüències pilot s’elimina la interferència provocada per tots aquells usuaris que no pertanyin aPl i. De fet, tendrem queφ^T_{l i}φ^∗_{l i} =τp i φ^T_{l i}φ^∗_{j k}=0 i, per tant, la projecció es podrà expressar com a

y^p_{j l i} =Y^p_jφ^∗_{l i}=p

pl iτph_{l i}^j

| {z }

Senyal desitjat

+ X

(l⁰,i⁰)∈Pl i\(l,i)

ppl⁰i⁰τph_l^j_0i0

| {z }

Senyals interferents

+N^p_jφ^∗_{l i}

| {z }

Renou

, (3.3)

on veim que aquest senyal pilot processat està format per un primer sumand amb el senyal desitjat, un segon sumand amb els senyals corresponents als usuaris interferents (aquells amb la mateixa seqüència pilot) i un tercer sumand on trobam el renou intro- duit pel receptor. Notem que així com hem calculat el senyal, és el mateix per tots els usuaris dePl i, és a diry^p_{j j k}=y^p_{j l i} ,∀(j,k)∈Pl i. Finalment, hem de comentar quey^p_{j l i} és un estadístic suficient deh_{l i}^j, és a dir, no existeix cap altre estadístic que proporcioni més informació sobre el canal [1][13].

3.2 Estimador de canal MMSE

L’estimador MMSE és aquell que minimitza el MSE,E

½°

°

°h_{l i}^j −hˆ_{l i}^j

°

°

°

2¾

(vegeu la Secció A.3 per més detalls).

Teorema 1 L’estimador MMSE del canal de la BS j a l’usuari i de la cel·la l és hˆ_{l i}^j =h¯_{l i}^j +p

p_{l i}R_{l i}^jΨ_{l i}^j ³

y^p_{j l i}−y¯^p_{j l i}´

, (3.4)

ony¯^p_{j l i}=P

(l⁰,i⁰)∈Pl i

ppl⁰i⁰τph¯_l^j_0i0i la matriuΨ_{l i}^j és

3.2. Estimador de canal MMSE

Figura 3.1:[1, Secció 3.2] Dos UEs que transmeten la mateixa seqüència pilot es provo- quen interferències durant la fase d’entrenament. Atès que les BS no poden separar completament els dos senyals, els seus estimadors estaran correlats.

Ψ_{l i}^j =τpCovn y^p_{j l i}o₋₁

=



 X

(l⁰,i⁰)∈Pl i

pl⁰i⁰τpR_l^j_0i0+σ²U LIMj





−1

. (3.5)

L’error d’estimacióh˜_{l i}^j =h_{l i}^j −hˆ_{l i}^j té una matriu de covariànciesC_{l i}^j =E

½ h˜_{l i}^j ³

h˜_{l i}^j´H¾ , que té l’expressió

C_{l i}^j =R_{l i}^j −p_{l i}τpR_{l i}^jΨ_{l i}^j R_{l i}^j (3.6) i el MSE ésMSE=E

½°

°

°h_{l i}^j −hˆ_{l i}^j°

°

°

2¾

=tr³ C_{l i}^j´

. A més, l’estimador MMSEhˆ_{l i}^j i l’error d’esti- macióh˜_{l i}^j són variables aleatòries independents distribuïdes segons

hˆ_{l i}^j ∼NC

³h¯_{l i}^j,R_{l i}^j −C_{l i}^j ´

, (3.7)

h˜_{l i}^j ∼NC

³0M,C_{l i}^j´

. (3.8)

Demostració.Començarem trobant l’expressió de l’estimador i després calcularem les distribucions de l’estimador i l’error d’estimació. Utilitzarem el Lema 8 per expressar analíticament l’estimacióh_{l i}^j ∼NC

³h¯_{l i}^j,R_{l i}^j´

a partir de l’observació y^p_{j l i} =pp_{l i}τp

| {z }

A

h_{l i}^j + X

(l⁰,i⁰)∈Pl i\(l,i)

pp_l0i⁰τph_l^j0i⁰+N^p_jφ^∗_{l i}

| {z }

n

(3.9)

on n∼NC¡

n,S¯ ¢

=NC



 X

(l⁰,i⁰)∈Pl i\(l,i)

pp_l0i⁰τph¯_l^j_0i0, X

(l⁰,i⁰)∈Pl i\(l,i)

p_l0i⁰(τp)²R_l^j_0i0+τpσ²_{U L}IMj



, (3.10)

ja quenés una suma de variables aleatòries normals independents i per tant, els paràmetres de la seva distribució són la suma dels paràmetres de cada una de les variables.

Substituint a la fórmula (A.26) obtenim l’estimador MMSE

hˆ_{l i}^j =h¯_{l i}^j +R_{l i}^j ³p p_{l i}τp

´

·





³p pl iτp

´ R_{l i}^j ³p

pl iτp

´

+ X

(l⁰,i⁰)∈Pl i\(l,i)

pl⁰i⁰(τp)²R_l^j_0i0+τpσU L² IMj





−1

·



y^p_{j l i}−

³p pl iτp

´h¯_{l i}^j − X

(l⁰,i⁰)∈Pl i\(l,i)

ppl⁰i⁰τph¯_l^j_0i0



, (3.11)

aquesta expressió és igual a l’equació (3.4), només ens hem de fixar en queτ²pp_{l i}R_{l i}^j +S= τp

³Ψ_{l i}^j ´−1

i que ¯n+³pp_{l i}τp

´h¯_{l i}^j =y¯^p_{j l i}.

És important assenyalar que tots els canals amb els quals el canal estimat compar- teix la seqüència pilot (elements del conjuntPl i) els hem inclòs dins el sumand que inclou els termes interferents i el propi renou (N^p_jφ^∗_{l i}) del canal ja que tots ells afecten el senyal desitjat i són variables incorrelades entre elles. Tal i com s’indica a [14], quan ens trobam en un entorn de baixes interferències, la solucó òptima (des del punt de vista de millorar la capacitat assolible) és tractar les interferències com a renou additiu.

A més, del mateix Lema 8 obtenim que la matriuC_{l i}^j és

C_{l i}^j =R_{l i}^j −R_{l i}^j p pl iτp

µ τp

³Ψ_{l i}^j´₋1¶₋₁ R_{l i}^j p

pl iτp=R_{l i}^j −pl iτpR_{l i}^jΨ_{l i}^j R_{l i}^j (3.12) i per tant l’MSE és la traça d’aquesta matriu.

Finalment, per calcular els paràmetres de les distribucions estadístiques de l’esti- mador i de l’error d’estimació hem de tenir en compte que gràcies al Lema 8 ja sabem que la matriu de covariàncies de l’error ésC_{l i}^j i per altra banda tenim queh_{l i}^j =hˆ_{l i}^j +h˜_{l i}^j , així la matriu de covariàncies de l’estimador és la resta d’aquestes dues,R_{l i}^j −C_{l i}^j. Quant a les mitjanes, tenim

En hˆ_{l i}^j o

=E

½ h¯_{l i}^j +p

p_{l i}R_{l i}^j Ψ_{l i}^j ³

y^p_{j l i}−y¯^p_{j l i}´¾

=h¯_{l i}^j +p

p_{l i}R_{l i}^jΨ_{l i}^j En

y^p_{j l i}−y¯^p_{j l i})o

=h¯_{l i}^j, (3.13) i, per tant, la mitjana de l’estimador és la mitjana del canal i la mitjana de l’error d’estimació és 0.

El darrer que hem de comentar és la independència de les dues variables aleatòries, aquest fet prové del principi d’ortogonalitat [1].

3.3. Estimador de canal EW-MMSE

Tal i com es diu a [10], les estimacions dels canals dels usuaris d’un mateix conjunt Pl i no són independents entre elles ja que comparteixen la matriuΨi l’observacióy^p_{j l i}. Per altra banda, hem de comentar que la matriu de covariàncies de l’error d’estimació C_{l i}^j no depèn de les mitjanes, és a dir, la component LoS no afecta a l’error d’estimació ja que aquesta component és coneguda.

3.3 Estimador de canal EW-MMSE

Quan només coneixem els elements de la diagonal principal de les matrius de covariàn- cies es pot utilitzar l’estimador element-wise MMSE. Aquest mètode no té en compte la correlació entre els elements deh_{l i}^j i com que només utilitza la diagonal no necessita implementar l’inversió de matrius, per això el cost computacional es veu reduit respecte a l’estimació MMSE.

Teorema 2 L’estimador EW-MMSE del canal de la BS j a l’usuari i de la cel·la l és hˆ_{l i}^j =h¯_{l i}^j +p

pl iD_{l i}^jΛ_{l i}^j ³

y^p_{j l i}−y¯^p_{j l i}´

, (3.14)

onD_{l i}^j ∈C^Mj×MjiΛ_{l i}^j ∈C^Mj×Mjsón matrius diagonals tals que D_{l i}^j =diag

µh R_{l i}^ji

mm:m=1, ...,Mj

¶

i (3.15)

Λ_{l i}^j =diag









 X

(l⁰,i⁰)∈Pl i

pl⁰i⁰τpR_l^j_0i0+σ_{U L}² I_Mj





mm

:m=1, ...,Mj







−1

. (3.16)

L’estimadorhˆ_{l i}^j i l’error d’estimacióh˜_{l i}^j estan correlats i estan distribuits segons

hˆ_{l i}^j ∼NC

³h¯_{l i}^j,Σ_{l i}^j´

, (3.17)

h˜_{l i}^j ∼NC

³

0M,Σ˜_{l i}^j ´

, (3.18)

on

Σ_{l i}^j =pl iτpD_{l i}^jΛ_{l i}^j ³ Ψ_{l i}^j ´₋₁

Λ_{l i}^j D_{l i}^j (3.19) i

Σ˜_{l i}^j =R_{l i}^j −pl iτpR_{l i}^jΛ_{l i}^j D_{l i}^j −pl iτpD_{l i}^jΛ_{l i}^jR_{l i}^j +Σ_{l i}^j . (3.20) Demostració.Per obtenir aquest estimador farem ús del mateix lema que al teore- ma anterior (8) però en aquest cas ho farem considerant el cas d’una sola dimensió per cada una de les components del vectorh_{l i}^j. Així, la component m-èsima es cal- cula considerant que h

hˆ_{l i}^j i

m és una estimació del vector unidimensionalh h_{l i}^j i

m ∼

NC

µh h¯i

m,h R_{l i}^ji

mm

¶

a partir de l’observació hy^p_{j l i}i

m=p

p_{l i}τp

hh_{l i}^ji

m+ X

(l⁰,i⁰)∈Pl i\(l,i)

pp_l0i⁰τp

hh_l^j_0i0i

m+h

N^p_jφ^∗_{l i}i

m. (3.21)