Demostració.S’ha omès la prova per la similitud amb la demostració del Teorema 13.
Aquest dos teoremes proven que les SINRs generalment es troben fitades superi-orment per una expressió SINR simplificada que depèn de matrius de covariàncies i valors mitjans i que només en el cas de matrius asimptòticament ortogonals la SE creix de manera ilimitada a un ritme log2¡
M¢ [10].
6.3 Anàlisi asimptòtica de l’eficiència espectral amb l’estimador EW-MMSE
Teorema 15 Sota els Supòsits 1-3,γul,ewj k creix de manera il·limitada a mesura que Mj→
∞siDjj kés asimptòticament ortogonal aDl ij per tots els parells¡ l,i¢
∈Pj k\¡ j,k¢
. Si aquesta condició no es produeix, aleshores sota els Supòsits 1-3, a mesura que Mj→ ∞, tenim que
Demostració.El procediment d’aquesta demostració és similar al de la secció anterior, en aquest cas partirem de la fórmula (4.25) i dividirem el numerador i el denominador perMji perpj kτptr³
2. Vegem quina és la tendència de cadascun dels termes quanMj→ ∞, en primer lloc, el numerador queda com
pj k
com que el primer sumand es troba fitat pel Supòsit 1 i el segon sumand es troba fitat pel Supòsit 2, tenim que el numerador és estrictament positiu i finit a mesura queMj
tendeix a infinit. Quant als termes interferents, la interferència no coherent resulta en l’expressió
si recordam les desigualtats dels Lemes 10 i 11, podem utilitzar els Supòsits 1-3 per veure com el terme tendeix a zero, excepte en el cas de¡
l,i¢
=¡ j,k¢
, que el terme es cancel·la amb la interferència de la component LoS, que té la mateixa fórmula que (6.13). Quant al renou,
σ2ul
ens hem de fixar que el quocient
2 es troba fitat seguint el Supòsit 1, per tant el terme del renou tendeix a zero quanMj→ ∞. Finalment, el terme de les interferències coherents és
pj kpl iτ2p el segon sumand tendeix a 0 de la mateixa manera que el terme de les interferències coherents de l’anterior demostració, en canvi, en el cas del primer sumand tenim que es troba fitat ja que el denominador creix al mateix ritme queMj mentre les traces del numerador no poden créixer més ràpid queMjdegut al Supòsit 1. A més, aquest sumand tendeix a 0 quan tenim ortogonalitat espacial de forma asimptòtica entre les matriusDjj kiDl ij per tot¡
l,i¢
∈Pj k\¡ j,k¢
. Si ens fixam en la desigualtat 1
→0, la qual cosa ocorre en les condicions d’ortogonalitat esmentades. Per tant, tot el denominador de l’equació (4.25) tendeix a 0 així que,γul,ewj k creix sense arribar a cap fita. En canvi, quan no ens trobam en aquestes condicions d’ortogonalitat, l’únic terme del denominador serà el que es correspon amb les interferències coherents.
Teorema 16 Sota els Supòsits 1-3,γdl,ewj k creix de manera il·limitada a mesura que M1=
· · · =ML → ∞si Dll i és asimptòticament ortogonal aDlj k per tots els parells¡ l,i¢
∈ Pj k\¡
j,k¢
. Si aquesta condició no es produeix, aleshores sota els Supòsits 1-3, a mesura que M1= · · · =ML→ ∞, tenim que
Demostració.Per aquesta demostració seguirem el mateix procdediment que a la demostració anterior, en aquest cas dividirem numerador i denominador per l’expressió pj kτptr³
. En primer lloc, tenim que el numerador és finit i positiu degut als Supòsits 1 i 2, i s’expressa com
ρj k
6.4. Anàlisi asimptòtica de l’eficiència espectral amb l’estimador LS
on veim que numerador i denominador són del mateix ordre i per tant, el quocient no tendeix a infinit a mesura que augmentaMj. Quant al terme interferent, la seva expressió és
on recordem que χdll i=tr³
Sota els Supòsits 1-3, tenim que l’ordre dels tres primers sumands és menor a l’ordre del denominador i per tant, tendeix a cero quanMj→ ∞, a més, a zero, seguint el resultat del Supòsit 3 i en el cas¡
l,i¢
=¡ j,k¢
aquest terme s’anul·la amb les interferències de la component LoS. Quant als termes corresponents a les interferències coherents, podem aplicar la mateixa estratègia que a la demostració anterior, ja quepj kτptr³ arribam al mateix resultat, aquests termes es troben fitats sota els supòsits del teorema i, en el cas que les matrius de covariàncies presentin ortogonalitat espacial de forma asimptòtica, aquests termes tendeixen a zero.
Tal i com veim, aquests dos teoremes són similars als que hem presentat per l’esti-mador MMSE, amb la peculiaritat que les matrius que han de presentar l’ortogonalitat de forma assimptòtica són diagonals, aquest fet fa que la condició sigui més restrictiva.
6.4 Anàlisi asimptòtica de l’eficiència espectral amb l’estimador LS
Teorema 17 Sota els Supòsits 1-3, a mesura que Mj→ ∞tenim que
γul,lsj k −
Demostració.Començam la demostració dividint el numerador i el denominador de (4.51) perMji
. En primer lloc tenim que el
numera-dor s’expressa com
veim com el terme de la traça és positiu degut al Supòsit 1 i per altra banda, a causa del Supòsit 3, l’únic terme del sumatori que no tendeix a zero és el que té els índexos¡
j,k¢ . Com que hem vist que els dos sumands que queden són positius, podem eliminar el valor absolut, per tant, el numerador queda com
pj ktr³
Quant als termes del denominador, en primer lloc tenim que el terme del renou tendeix a zero,
tal i com podem veure, el primer terme tendeix a zero i el segon terme es troba fitat si consideram els Supòsits 1-3. Per acabar, falta analitzar el terme PL
l=1 Kl
P
i=1
pl iχul,lsl i , per fer-ho, distingirem 3 casos, en primer lloc, quan¡
l,i¢ i aplicant les desigualtats dels Lemes 10 i 11 tenim una fita superior de l’expressió anterior, a partir del Supòsit 3, el terme
¯
tendeix a 0 i gràcies als Supòsits 1 i 2 veim com tots els sumands són finits i per tant tot el quocient tendeix a zero. Si ara estudiam
6.4. Anàlisi asimptòtica de l’eficiència espectral amb l’estimador LS
el cas de¡ l,i¢
∈Pj k\¡ j,k¢
, començam amb el següent quocient, pl i seguint la demostració de [10], tenim una igualtat pel darrer sumand, a més, podem simplificar el terme
¯
gràcies al Supòsit 3, també aplicam les desigualtats del cas anterior, així obtenim
pl i
Els 3 primers sumands tendeixen a zero a causa dels Supòsits 1 i 2 i els altres 3 sumands els podem simplificar amb l’expressió
p2l iτ2p
a més, podem reescriure el valor absolut del denominador tenint en compte el Supòsit 1. Finalment, hem de consdierar el cas¡
j,k¢
=¡ l,i¢
per veure com el quocient obtingut al cas anterior es cancel·la amb el terme de la interferència LoS, per això, primer ens fixarem en com queda aquest darerr terme,
−pj k
com podem veure, aplicant el Supòsit 3 ens quedam amb un únic terme en el sumatori del numerador i obtenim el terme que anul·la el quocient (6.30) pel cas en què¡
j,k¢
=
¡l,i¢
. D’aquesta manera, hem arribat a l’expressió (6.22), que té (6.24) com a numerador i el sumatori dels termes amb l’expressió (6.30) com a denominador.
Teorema 18 Sota els Supòsits 1-3, a mesura que M1= · · · =ML→ ∞tenim que
Demostració.S’ha omès la prova per la similitud amb la demostració del Teorema 17, en aquest cas només hauríem de dividir el numerador i el denominador perMj.
Tal i com hem pogut veure, quan feim ús de l’estimador LS, la SE arriba a una fita superior, no podem aconseguir els resultats que teniem en el cas dels estimadors MMSE i EW-MMSE.