Figura 3.2:[1, Secció 4.1] Topologia de la xarxa simulada, centrada en un dels quadrats de 16 cel·les. Com podem veure, dins cada cel·la trobam una BS i 10 UEs.
Teorema 4 L’estimador MO del canal de la BS j a l’usuari i de la cel·la l és
hˆl ij =h¯l ij. (3.47)
Aquest estimador no ens dona cap informació respecte a l’error d’estimació.
3.6 Resultats numèrics
Per acabar amb aquest capítol, anam a simular una xarxa cel·lular Massive MIMO per comparar el MSE dels diferents estimadors. Per fer-ho, partirem dels programes de [11], que ens proporcionen totes les funcions per situar les BSs i els UEs, generar els canals entre ells, dur a terme el control de potència i estimar els canals amb els diferents mètodes que hem introduït en aquest capítol.
Basarem la nostra xarxa en 16 cel·les quadrades de 250×250 m amb una única BS dins cada una, a més, per tal que totes les BSs estiguin sotmeses als mateixos nivells d’interferència, establirem una topologia envolupant (wrap-around topology). Aquesta topologia es construeix replicant les 16 cel·les que composen la nostra xarxa de forma que que tenim un quadrat 3×3, on cada quadrat és un conjunt de 16 cel·les. Així, la distància entre cada BS i cada UE es calcula com la distància mínima entre l’UE i les 9 rèpliques de la BS.
Dins cada cel·la ubicarem 10 usuaris a una distància mínima de 35 m de la BS i a cadascun se li assignarà una seqüència pilot de tal forma que els k-èsims usuaris de cada cel·la pertanyaran al mateix conjuntPj ki, per tant, compartiran la mateixa seqüència pilot.
Quant a la configuració dels paràmetres del sistema, operarem sobre la banda dels 2 GHz amb una amplada de banda de 20 MHz amb una potència màxima a l’UL de 20 dBm i un renou total al receptor de−94 dBm. Els blocs de coherència comprenen τc=200 mostres i la longitud de les seqüència pilot es fixa aτp=10, utilitzam aquestes dimensions ja que suporten una alta mobilitat i una gran dispersió del canal sobre la banda dels 2 GHz. Al Capítol 7 tractarem amb més detall els paràmetres del canal i explicarem com es duu a terme el control de potència o com es determinen els coeficients d’esvaïments de gran escala.
Per calcular el MSE simularem 25 escenaris de la xarxa, és a dir, mourem la posició dels usuaris cada vegada i tornarem generar el canal entre els UEs i les BSs i per cada escenari durem a terme 100 realitzacions, a més, repetirem aquests escenaris variant el nombre d’antenes de la BS de 10 fins a 100. Una vegada tenguem generats els canals per cada un d’aquests escenaris i estimats segons els diferents estimadors, per una banda calcularem directament el MSE a partir dels vectorshl ij i ˆhl ij i per altra banda calcularem el MSE teòric. Per aquest càlcul, tendrem en compte els resultats dels teoremes dels estimadors, d’aquesta manera MSE= 1
Mj
tr³ Cl ij´
en el cas de MMSE, MSE= 1 Mj
tr³ Σ˜l ij´ en el cas de EW-MMSE, i
MSE= 1 Mj
°
°
°
°
°
h¯l ij − 1 ppl iτp
¯ ypj l i
°
°
°
°
°
2
+tr à 1
pl iτp
³Ψl ij´−1
−Rl ij
!
(3.48)
pel cas de LS.
Les corbes de les figures han estat generades a partir de les fórmules teòriques per calcular el MSE i els marcadors han estat obtinguts a partir de les simulacions de Monte Carlo. A totes les figures podem veure com aquests dos valors són prou coincidents de forma que validen les expressions analítiques que hem deduït. Quant als resultats obtinguts, ocorre allò que podíem esperar, els estimadors que disposen d’una major CSI cometen un menor error, així, els estimadors MMSE i EW-MMSE presenten un menor error que l’estimador LS, si ens fixam en el valors de les Gràfiques 3.3 i 3.5, veim com els diferents valors que prenen els MSEs es troben separats per diferents ordres de magnitud. Comparant les Gràfiques 3.3 i 3.4, veim com l’estimador MMSE és el que presenta un menor MSE. Finalment, de les Figures 3.3 i 3.5 podem destacar la tendència decreixent del MSE a mesura que augmenta el nombre d’antenes a les BSs.
Per altra banda, veim com la gràfica de la Figura 3.4 és manté invariant respecte al nombre d’antenes, això ens fa pensar que la traça de la matriuΣ˜l ij és proporcional a Mji seria interessant dur a terme una demostració d’aquest fet.
3.6. Resultats numèrics
Figura 3.3:MSE de l’estimador de canal MMSE en funció del nombre d’antenes de les BSs.
Figura 3.4:MSE de l’estimador de canal EW-MMSE en funció del nombre d’antenes de les BSs.
3.6. Resultats numèrics
Figura 3.5:MSE de l’estimador de canal LS en funció del nombre d’antenes de les BSs.
C
APÍTOL4
U PLINK
En aquest capítol descriurem i analitzarem les expresions analítiques de la SE assolible a l’UL. Per deduir aquestes expressions considerarem un esquema de combinació MR i farem ús dels diferents estimadors de canal que hem estudiat al capítol anterior.
4.1 Eficiència espectral a l’enllaç de pujada amb combinació MR
Durant la transmissió de dades a través de l’enllaç de pujada (Figura 4.1), la BSjrep el senyalyj∈CMj,que es pot expressar com a
yj=
Kj
X
k=1
hjj ksj k
| {z }
senyal desitjat
+
L
X
l=1 l6=j
Kl
X
i=1
hl ijsl i
| {z }
senyals interferents
+ nj renou|{z}
, (4.1)
on nj ∼NC
³0Mj,σ2ulIMj
´ és un vector de mostres de renou Gaussià blanc additiu independents i identicament distribuïdes. El senyal d’UL de l’UEkdins la cel·lales denota ambsl k∈Ci té una potènciapl k=En¯
¯sl k¯
¯
2o
. Tal i com hem assenyelat a (4.1), el primer terme es correspon al senyal desitjat, el segon a la suma de senyals interferents i el sumand final és el renou.
La BS selecciona el vector receptor de combinacióvj k∈CMja partir de la CSI de la qual disposa i el multiplica ambyjper tal d’incrementar la relació entre potència del senyal desitjat i potència interferent, d’aquesta manera s’óbté
vHj kyj=
Kj
X
k=1
vHj khjj ksj k+
L
X
l=1 l6=j
Kl
X
i=1
vHj khl ij sl i+vHj knj. (4.2)
Figura 4.1:[1, Secció 2.3] Transmissió UL entre l’UEkde la cel·lali la BS j.
Una vegada tenim el senyal combinat, podem calcular la SE. Per fer-ho, ens basarem en [1, Th. 4.4] i utilitzarem l’estratègia use-and-then-forget (UatF). Aquesta estratègia consisteix en l’ús de la CSI per trobar el vector de combinació i desprésoblidaraquesta informació a l’hora de calcular la relació entre senyal i interferència més renou (SINR),és a dir, a l’hora de calcular la SE se suposa que els detectors només disposen d’informació estadística sobre l’estat del canal i no sobre el seu comportament instantani. Això es fa d’aquesta manera per tal de possibilitar l’obtenció d’un model matemàtic determinista representat a través d’una expressió tancada de la SE. Atès que en un sistema Massive MIMO es pot pressuposar l’existència del fenòmen conegut com achannel hardening, l’estratègia UatF ens proporcionarà una aproximació molt precisa a les prestacions que es poden aconseguir utilitzant la informació instantània sobre l’estat del canal.
D’aquesta manera, la capacitat de l’UL ergòdica de l’UEkde la cel·lajes troba fitada inferiorment per
SEulj k=τu
τc
log2³
1+γulj k´
£bit/s/Hz¤
, (4.3)
utilitzant la SINR efectiva
γulj k=
pj k
¯
¯
¯
¯En
vHj khjj ko¯
¯
¯
¯
2
L
P
l=1 Kl
P
i=1
pl iE
½¯
¯
¯vHj khl ij
¯
¯
¯
2¾
−pj k
¯
¯
¯
¯En
vHj khjj ko¯
¯
¯
¯
2
+σ2ulE
½°
°
°vj k
°
°
°
2¾, (4.4)
on les esperances es calculen respecte a totes les variables aleatòries. Atès que es tracta d’una fita inferior de la capacitat ergòdica, és a dir, de la capacitat màxima teòrica que es pot aconseguir utilitzant CSI estadística, SEulj kés una taxa de transmissió assolible a la pràctica. Podem calcular la SINR efectivaγulj kper qualsevol esquema de combinació i qualsevol estimador de canal. A les següents seccions trobarem expressions analítiques tancades suposant l’ús dels estimadors del Capítol 3 i utilitzant l’esquema de combina-ció MR. Aquest esquema determina que el vector de combinacombina-ció en recepcombina-ció ha de ser el vector que ens proporciona l’estimador del canal, és a dir,vj k=hˆjj k.