Gjennomgang av deler av kapittel 6, 7, 8 og 10 i Marshall & Plumb (2008)

Gjennomgang av deler av kapittel 6, 7, 8 og 10 i Marshall & Plumb (2008)

Av Helge Drange

Geofysisk institutt, Universitetet i Bergen GEOF110, v˚ar 2019

Vennligst gi et ord om feil, mangler, ønsker etc. til helge.drange@gfi.uib.no

Tenk p˚a miljøet – unng˚a unødvendige utskrifter!

6. august 2019

Innhold

1 Bakgrunn 6

1.1 Fluid/fluider . . . 6

1.2 Bevegelsen til hav og atmosfære . . . 6

1.3 (i) Differensiert oppvarmet . . . 6

1.4 (iii) Hydrodynamisk væske . . . 6

1.5 (ii) Væskens lagdeling . . . 6

1.6 (iv) Roterende koordinatsystem . . . 7

1.7 (v) De primitive ligningene . . . 7

1.7.1 Bevaring av masse og bevegelsesmengde . . . 8

1.7.2 Tilleggsligninger for atmosfæren . . . 8

1.7.3 Tilleggsligninger for havet . . . 9

2 Utledning og tolkning 10 2.1 Den totalderiverte avu . . . 10

2.2 Tidsderivert av posisjonsvektor i et roterende koordinatsystem . . . 10

2.3 Totalderivert i et roterende koordinatsystem . . . 12

2.4 Utledning av fiktive akselerasjoner i et roterende koordinatsystem . . . 14

2.5 Jordens rotasjonsvektor . . . 14

2.6 Tolkning av bevegelsesligningens ledd . . . 15

2.7 Egenskaper til Coriolisaksakselerasjonen−2Ω×u. . . 15

2.7.1 Coriolisleddet utfører ikke arbeid . . . 15

2.7.2 Coriolisakselerasjonen p˚a komponentform . . . 16

2.7.3 Coriolisakselerasjonen p˚a forenklet form . . . 16

2.8 Egenskaper til sentrifugalakselerasjonen−Ω×(Ω×r) . . . 18

2.9 Sentrifugalakselerasjonen p˚a komponentform . . . 18

2.10 Sentrifugalakselerasjonen som del av gravitasjonsleddet . . . 18

2.11 Derivasjon i et polarkoordinatsystem . . . 19

2.11.1 Polare koordinater . . . 19

2.11.2 Polare kulekoordinater . . . 20

3 Forenklinger og anvendelser 21 3.1 Avstander p˚a en kuleflate . . . 21

3.2 Skalaanalyse . . . 22

3.2.1 Geostrofisk balanse¹ . . . 22

3.2.2 Rossbytall . . . 22

3.2.3 Hydrostatisk balanse . . . 23

3.3 Geostrofisk balanse . . . 23

3.3.1 Eksempel, geostrofisk balanse . . . 23

3.4 Geostrofisk balanse i trykk-kordinater . . . 24

3.5 Tolkning av geostrofisk balanse i trykk-koordinater . . . 26

3.5.1 (∂z/∂x)_p= konst<0, (∂z/∂y)_p= 0 ogf >0 . . . 26

3.5.2 (∂z/∂x)_p= 0, (∂z/∂y)_p= konst<0 ogf >0 . . . 26

3.5.3 Eksempel, en synoptisk værsituasjon, 23. februar 2009 . . . 26

3.6 Termalvind, generelt uttrykk . . . 28

3.7 Termalvind for atmosfæren i trykk-koordinater . . . 29

1For gradient vind balanse, se seksjon 4.5 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K.

Smith, Version: December 11, 2007.

3.8 Termalvinduttrykket integrert mellom to isobarer . . . 29

3.9 Tolkning av termalvind . . . 30

3.9.1 Sammenheng mellom geostrofisk vind og termalvind . . . 30

3.9.2 Orientering . . . 30

3.9.3 ∇pT = 0 . . . 30

3.9.4 ∇pT = konst6= 0 . . . 30

3.9.5 (∂T /∂y)p= konst<0, (∂T /∂x)p= 0 ogf >0 . . . 31

3.9.6 (∂T /∂y)p= konst>0, (∂T /∂x)p= 0 ogf <0 . . . 31

3.9.7 (∂T /∂x)p= konst>0, (∂T /∂y)p= 0 ogf >0 . . . 31

3.9.8 Kald og varm adveksjon . . . 31

3.9.9 Eksempel termalvind, idealisert eksempel . . . 33

3.9.10 Eksempel termalvind, basert p˚a klimatologi . . . 33

3.9.11 Sammenheng mellom temperatur og avstand mellom to isobarflater . . . . 35

3.9.12 Anvendelse av trykk- og høydegradient . . . 37

3.9.13 Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med kald kjerne . . . 38

3.9.14 Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med varm kjerne . . . 38

4 Energioverføring i atmosfæren 38 4.1 Spinnsatsen . . . 38

4.1.1 Atmosfærens spinn i sonal retning . . . 40

4.1.2 Eksempel, atmosfærens spinn i sonal retning . . . 41

4.1.3 Eksempel, sammenheng mellom spinnsatsen og sonal komponent av momentum- ligningen . . . 41

4.2 Oppdriftsfrekvens/Brunt-V¨ais¨al¨a frekvensen . . . 43

4.3 Redusert gravitasjon . . . 45

4.4 Margules sammenheng² . . . 45

4.5 Rossbys tilpasningsproblem . . . 48

4.5.1 Venstre side av (186) . . . 48

4.5.2 Høyre side av (186) . . . 49

4.5.3 Rossby deformasjonsradius . . . 50

4.6 Frigjøring av potensiell energi³ . . . 52

4.7 Potensiell energi . . . 55

4.8 Beregning av potensiell energi for en tolagsmodell . . . 55

4.9 Kinetisk energi . . . 57

4.10 Kinetisk energi uttrykt med termalvind i en tolagsmodell . . . 57

5 Vinddrevet havsirkulasjon 58 5.1 Ekman teori⁴ . . . 59

5.1.1 Horisontal massetransport i Ekman-laget . . . 59

5.1.2 Transport gjennom nedre grenseflate p˚a Ekman-laget . . . 60

5.1.3 Respons av Ekman-pumping under Ekman-laget . . . 61

2Se ogs˚a Steinacker & Br¨onnimann,Stationary flow near fronts, Met. Zeitschrift,25, 805–809, 2016, og seksjon 5.2 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, 2007.

3Se ogs˚a seksjon 9.1–9.3 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version:

December 11, 2007.

4Se ogs˚a seksjon 8.6 iIntroduction to Geophysical Fluid Dynamicsav Benoit Cushman-Roisin og Jean-Marie Beckers (2010), og seksjon 5.3 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version:

December 11, 2007.

5.1.4 Meridional hastighet ved Ekman-pumping forklart med Taylor-Proudman

teoremet⁵ . . . 62

5.2 Sverdrupbalanse⁶ . . . 66

5.2.1 Eksempel, sammenheng mellom Ekman- og Sverdrup-teori . . . 67

5.2.2 Sverdrupbalanse, geometrisk tolkning . . . 68

A Grunnleggende funksjon- og vektoranalyse 72 A.1 Koordinatsystem . . . 72

A.1.1 Rektangulære koordinater . . . 72

A.1.2 Kurvelineære polare koordinater . . . 72

A.1.3 Buelengde . . . 73

A.1.4 Polare koordinater . . . 73

A.1.5 Polare kulekoordinater . . . 74

A.2 Variabel . . . 74

A.3 Funksjon . . . 74

A.4 Skalarfunksjon . . . 74

A.5 Vektorfunksjon . . . 75

A.6 Skalarprodukt . . . 75

A.7 Vektorprodukt . . . 75

A.8 Derivasjon i et fikssystem . . . 76

A.8.1 Gradient til en skalarfunksjon . . . 76

A.8.2 Divergensoperatoren; divergerende og konvergerende vektorfunksjon . . . 76

A.8.3 Dobbeltderivert . . . 77

A.8.4 Kurl . . . 77

A.8.5 Relativ, absolutt og potensiell virvling . . . 77

A.9 Vektoridentiteter som involvererdel-operatoren . . . 78

A.10 Derivasjon i et polarkoordinatsystem . . . 78

A.10.1 Polare koordinater . . . 78

A.10.2 Polare kulekoordinater . . . 79

A.10.3 Totalderivert uttrykt i kulekoordinater . . . 80

A.11 Adveksjonsleddet for ren sirkulær bevegelse i to dimensjoner . . . 82

A.12 Sirkulær bevegelse og avstander p˚a en kule . . . 82

A.12.1 Fart til en sirkulær bevegelse . . . 82

A.12.2 Avstander p˚a en kule . . . 83

A.13 Taylorrekke . . . 83

B Oppdateringer v˚ar 2016 84

C Oppdateringer v˚ar 2015 84

D Oppdateringer v˚ar 2013 84

E Oppdateringer v˚ar 2012 85

F Oppdateringer v˚ar 2011 85

5Se ogs˚a diskusjon i seksjon 4.1-4.4 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, 2007.

6Se ogs˚a seksjon 6.3 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: De- cember 11, 2007.

G Oppdateringer v˚ar 2010 85

1 Bakgrunn

1.1 Fluid/fluider

Et fluid, godkjent norsk ord, substativ, intetkjønn. Fellesbetegnelse for gasser og væsker.

All materiale i naturen kan grupperes i ´en av to typer; som fast stoff eller som fluid. I et fast stoff er molekylenes bevegelse begrenset (”molecular immobility”). I et fluid er molekylene fri til

˚a bevege seg (”molecular mobility”). Fluider eksisterer som gass eller væske⁷.

1.2 Bevegelsen til hav og atmosfære

Bevegelsen til en (i) ulikt oppvarmet, (ii) lagdelt (iii) væske p˚a en (iv) roterende kule er ikke tilfeldig; den følger grunnleggende(v) fysiske prinsipper eller lover.

I det følgende betrakter vi jorden, men tilsvarende gjelder for enhver roterende planet med differensiert oppvarming.

1.3 (i) Differensiert oppvarmet

For jorden er det netto oppvarming i tropene og netto nedkjøling ved polene, se figur 5.5 i Marshall & Plumb. Uten transport av varme fra tropene mot polene, ville temperaturen stadig stige i tropene og stadig falle ved polene. Fra observert temperatur vet vi at dette ikke er tilfellet, følgeligm˚adet være varmetransport fra tropene mot høyere breddegrader p˚a hver halvkule. Dette er tilfellet for b˚ade atmosfære og hav.

1.4 (iii) Hydrodynamisk væske

Luft og vann er begge (hydrodynamiske) væsker. For ˚a beskrive bevegelsen til luft og vann, deler vi væskene opp i tenkte, materielle volumer. Materielle volumer er volumer som hele tiden best˚ar av de samme partiklene. Summen av krefter som virker p˚a et materielt volum bestemmer hvordan volumet, det vil si luften og vannet, beveger seg. Newtons andre lov (N2; ogs˚a kalt momentumligningen eller ligningen for bevaring av bevegelsesmengde)

F=ma (1)

gjelder for ethvert materielt volum p˚a samme m˚ate som N2 gjelder for et fallende legeme i luft eller for en glidende klosse p˚a et skr˚aplan. I ligningen over erF(enhet: N) kraften som virker p˚a volumet,m(kg) er volumets masse oga (m s⁻²) er volumets akselerasjon.

1.5 (ii) Væskens lagdeling

Generelt vil luftens tetthet (masse per volum) avta oppover i atmosfæren og vannets tetthet vil øke nedover havet. Tetthet betegnes ofte ρ med enhet kg m⁻³. En stabil lagdeling (eller

7Reddy, J. N. (2013),An Introduction to Continuum Mechanics, second edition, s. 242, Cambridge University Press.

stratifisering) betyr at en lett væske ligger over en tyngre væske. Skulle en tung væske ligge over en lettere væske, sier vi at væsken erustabilt stratifisert og det vil da oppst˚a vertikal blanding inntilnøytral eller stabil lagdeling framkommer.

Figur 1: Illustrasjon p˚a en væske som er (a) stabilt, (b) nøytralt og (c) ustabilt stratifisert. En stabil stratifisering motvirker vertikal blanding da det krever energi ˚a løfte en tung væske og senke en lett væske i væskesøylen. En ustabil stratifisering vil føre til vertikal blanding inntil nøytral eller stabil stratifisering oppst˚ar.

1.6 (iv) Roterende koordinatsystem

N2 gjelder for etikke-akselererendekoordinatsystem, ofte antatt ˚a ligge fast eller ˚a bevege seg med konstant hastighet i forhold til fiksstjernene, det vil si stjerner som ligger fast p˚a himmelen.

Jorden roterer og vi observerer vind og strøm relativt til jorden; alts˚a i et roterende referansesys- tem. For ˚a kunne bruke N2 m˚a vi da uttrykke N2 i et roterende referanse- eller koordinatsystem.

Dette gir opphav til Coriolis- og sentrifugalakselerasjonene.

Ofte blir N2 uttrykt i et rettlinjet koordinatsystem med koordinaterx,yogz, hvorxogygjerne betegner de horisontale retningene og z gir vertikal retning for problemet vi betrakter. Siden jorden er tilnærmet kuleformet, er det praktisk ˚a bruke kulekoordinatene λ, ϕ og z⁰. Her er λ lengdegrad,ϕer breddegrad og z⁰ er vertikal retning fra jordens sentrum. Uavhengig av valg av koordinatsystem, følger koordintsystemene høyreh˚andsregelen. Alltid!

Se appendix A.1 for en kort gjennomgang av ofte brukte koordinatsystemer.

1.7 (v) De primitive ligningene

(primitiv = opprinnelig, uutviklet, som hører til et tidlig utviklingstrinn)

y  z 

x 

Figur 2: Illustrasjon av et rettvinklet koordinatsystem i tre dimensjoner (til venstre) og et kule- koordinatsystem ofte brukt for ˚a beskrive atmosærens og havets dynamikk (til høyre). I kuleko- ordinatsystemet era= 6.37×10⁶m jordens midlere radius ogz⁰= 0 er ved havets overflate, det vil si atz⁰>0 i atmosfæren ogz⁰ <0 i havet.

- De dynamiske og termodynamiske naturlovene som beskriver atmosfærens og havets bevegelser, undergruppe av de mer generelle Navier-Stokes ligningene - Basert p˚a emperi og hypoteser

- Kanikke bevises (men er til dags dato ikke motbevist)

- Bare idealiserte tilfeller kan løses eksakt; full løsning krever numeriske meto- der/modeller

Et system av koplede differesialligninger kan løses dersom antall ligninger er lik antall ukjente ogn˚ar de ukjente er beskrevet av kjente (foreskrevne) initial- og randverdier. De grunnleggende ligningene følger under.

1.7.1 Bevaring av masse og bevegelsesmengde Bevaring av masse

∂ρ

∂t +∇ ·(ρu) = 0 (2)

Bevaring av bevegelsesmengde(momentum) i tre dimensjoner (x, y, z)

∂u

∂t +u· ∇u+1

ρ∇p+ˆzg=−2Ω×u−Ω×(Ω×r) +F (3) 1.7.2 Tilleggsligninger for atmosfæren

Tilstandsliking for atmosfæren(ideelle gasslov som er en god beskrivelse av tørr luft)

p=ρRT (4)

Bevaring av varme(her temperatur)

∂T

∂t +∇ ·(Tu) =Q (5)

ligningene (2)-(5) er et løsbart system best˚aende av 6 ligninger med 6 ukjenteρ,u= (u, v, w),p ogT.

1.7.3 Tilleggsligninger for havet

Tilstandsligning for havet(en av flere versjoner)

ρ=ρ0[1−α(T−T0) +β(S−S0)] (6) Bevaring av varme(her temperatur)

∂T

∂t +∇ ·(Tu) =Q (7)

Bevaring av salt

∂S

∂t +∇ ·(Su) = kilder minus sluk (8)

ligningene (2), (3) og (6)-(8) er et løsbart system best˚aende av 7 ligninger med 7 ukjente ρ, u= (u, v, w),p, S ogT.

2 Utledning og tolkning

- Utledning basert p˚a Newtons 2. lov og massebevaring

- For Newton: Gjelder med bevegelsen, innfører den totalderiverte - Bruker skalarprodukt og vektorprodukt

- Anvender Taylorrekkeutviking til laveste orden (andre metoder kan benyttes og gir samme resultat, f.eks. fra statistisk mekanikk)

- Overgang fra ikke-roterende til roterende kartsisk koordinatsystem - Overgang fra kartesisk til krumlinje (kule)koordinatsystem

- Fysisk tolkning av de ulike leddene

Se appendiks for definisjon av skalarprodukt, vektorprodukt, buelengde, polarkoordinater, kule- poordinater, rekkeutvikling, etc.

2.1 Den totalderiverte av u

Uttrykket

Du Dt = ∂u

∂t +u· ∇u (9)

er den totalderiverte avuog gir endringen avun˚ar en følger med bevegelsen.

Den totalderiverte best˚ar av to ledd. Lokal endring i tid i et fast geografisk punkt

∂u

∂t (10)

og bidraget av adveksjon

u· ∇u (11)

Den totalderiverte (9) har tre komponenter Du

Dt = ∂u

∂t +u∂u

∂x +v∂u

∂y +w∂u

∂z (12)

Dv

Dt = ∂v

∂t +u∂v

∂x+v∂v

∂y+w∂v

∂z (13)

Dw

Dt = ∂w

∂t +u∂w

∂x +v∂w

∂y +w∂w

∂z (14)

2.2 Tidsderivert av posisjonsvektor i et roterende koordinatsystem

Vi betrakter posisjonsvektorenr som har konstant lengde men som endrer retning grunnet ro- tasjon med vinkelhastighet Ω om en akse som vist i figur 3. I det roterende koordinatsystemet err(t) konstant i tid, slik atr(t) =r(t+ ∆t). Men betraktet fra et fast koordinatsystem, et fiks- system, endrer posisjonsvektoren seg fra r(t) tilr(t+ ∆t) i løpet av tiden ∆t. Siden det kun er endring avrgrunnet rotasjon vi betrakter her, ikke lengden tilr, er|r|= konst i det følgende.

Tilfellet med en generell vektor A som roterer og som endrer lengde er utledet i p˚afølgende avsnitt.

Figur 3: Illustrasjon av tidsendringen til en posisjonsvektor r(t) som roterer mot klokken med konstant vinkelgastighet Ω =|Ω|.Rer radiusen i sirkelen som posisjonsvektorenr(t) spenner ut (markert som et lyserødt plan i figuren). I løpet av tiden ∆t beveger posisjonsvektoren seg en avstand ∆ri det fargede sirkulasjonsplanet.

Fra uttrykket for en buelengde (332) følger det at lengden av ∆rkan skrives som

∆r=R∆λ=rsinθ∆λ (15)

Videre er

∆λ= Ω ∆t (16)

hvor Ω =|Ω|. Det følger da fra (15) og (16) at

∆r

∆t = Ωrsinθ (17)

For ∆t→0, f˚ar vi

dr

dt = Ωrsinθ (18)

eller, fra definisjonen av et vektorprodukt (avsnitt A.7), at dr

dt =Ω×r (19)

Merk at høyreh˚andsregelen gir at Ω×r er rettet langs ∆r i figur 3. Sett fra et fast (ikke- roterende) koordinatsystem er derfor tidsendringen av den roterende posisjonsvektoren r gitt ved (19).

Transformasjonen (19) er grunnleggende for ˚a utlede sammenhengen mellom bevegelsesligningene i et ikke-roterende og roterende koordinatsystem.

2.3 Totalderivert i et roterende koordinatsystem

Vi starter med ˚a betrakte et koordinatsystem som ligger fast, et fiksssystem (navn etter fiksstjer- nene), og et som roterer rundt en koordinatakse. Fikssystemet er angitt med umerkede størrelser og subskriftf, mens merkede størrelser og subskriftr betegner det roterende systemet. For en- kelhetsskyld har koordinatsystemene felles origo og rotasjonen skjer langs den fellesz-aksen, se figur 4.

Figur 4: VektorenAi et fast (x, y, z) og et roterende (x⁰, y⁰, z⁰) koordinatsystem.

VektorenAkan uttrykkes entydig i begge systemene:

A = ˆxAx+ˆyAy+ˆzAz (20) A⁰ = ˆx⁰A⁰_x+ˆy⁰A⁰_y+ˆz⁰A⁰_z (21)

A = A⁰ (22)

Sett fra det roterende koordinatsystemet ligger enhetsvektorene ˆx⁰, ˆy⁰ og ˆz⁰ fast, slik at den tidsderiverte avA⁰ i dette tilfellet er gitt ved den tidsderiverte avA⁰s komponenter

DA⁰ Dt

_r

=ˆx⁰DA⁰_x Dt

_r

+ˆy⁰DA⁰_y Dt

_r

+ˆz⁰DA⁰_z Dt

_r

(23) hvor subskriftr betegner at derivasjonen er gjort i det roterende koordinatsystemet.

P˚a tilsvarende m˚ate kan den tidsderiverte sett fra fikssystemet (subskriftf) skrives som DA

Dt _f

=xˆDAx

Dt _f

+ˆyDAy

Dt _f

+ˆzDAz

Dt _f

(24) Sett fra fikssystemet, vil enhetsvektorene i det roterende koordinatsystemet endre seg i tid. Siden A=A⁰, følger det at

DA Dt

_f

= DA⁰ Dt

_f

= ˆx⁰ DA⁰_x Dt

_f

+yˆ⁰ DA⁰_y Dt

_f

+ˆz⁰ DA⁰_z Dt

_f

+ Dˆx⁰ Dt

_f

A⁰_x+ Dˆy⁰ Dt

_f

A⁰_y+ Dˆz⁰ Dt _f

A⁰_z (25)

Fra transformasjonsuttrykket for en vektor i et roterende koordinatsystem (19), følger det at Dˆx⁰

Dt _f

= Ω׈x⁰ (26)

Dˆy⁰ Dt

_f

= Ω׈y⁰ (27)

Dˆz⁰ Dt _f

= Ω׈z⁰ (28)

Fra de tre siste leddene i (25) har vi at de tre uttrykkene over skal multipliseres med henholdsvis A⁰_x,A⁰_y ogA⁰_z. Dette gir

Dˆx⁰ Dt

_f

A⁰_x+ Dyˆ⁰ Dt

_f

A⁰_y+ Dˆz⁰ Dt _f

A⁰_z=Ω×(A⁰_xˆx⁰+A⁰_yˆy⁰+A⁰_zˆz⁰) =Ω×A⁰ (29)

Videre er tidsendringen av lengden tilA⁰ sine komponenter, som er skalare størrelser, identisk i de to koordinatsystemene

DA⁰_x Dt

_f

= DA⁰_x Dt

_r

(30) DA⁰_y

Dt _f

= DA⁰_y Dt

_r

(31) DA⁰_z

Dt _f

= DA⁰_z Dt

_r

(32) Dette gir at

ˆ x⁰ DA⁰_x

Dt _f

+yˆ⁰ DA⁰_y Dt

_f

+ˆz⁰ DA⁰_z Dt

_f

= DA⁰ Dt

_r

(33) Uttrykkene (29) og (33) innsatt i (25), gir

DA⁰ Dt

_f

= DA⁰ Dt

_r

+Ω×A⁰ (34)

Eller, for en vilk˚arlig vektorA,

DA Dt

_f

= DA Dt

_r

+Ω×A (35)

Med notasjonen over kan tidsendringen av posisjonsvektorenri (19) skrives p˚a formen dr

dt _f

=Ω×r (36)

Det følger derfor at (35) er en generalisert versjon av uttrykk (19).

2.4 Utledning av fiktive akselerasjoner i et roterende koordinatsys- tem

Uttrykket (35) kan brukes til ˚a relatere tidsendringen av hastighetsvektorene, det vil si aksele- rasjonen, i et fikssystem og i et roterende system, ved først ˚a erstatte Amedr:

Dr Dt _f

= Dr Dt _r

+Ω×r (37)

De to første leddene i uttrykket over gir hastighetenui henholdsvis fikssystemet og det roterende systemet, slik at (37) kan skrives som

uf =ur+Ω×r (38)

Videre følger det at akselerasjonen i et fiksssystem kan uttrykkes som Duf

Dt _f

(35)= Duf

Dt _r

+Ω×uf (38)=

D

Dt(ur+Ω×r)

r

+Ω×(ur+Ω×r)

=

Dur

Dt +Ω×Dr Dt

r

+Ω×ur+Ω×(Ω×r)

= Dur

Dt _r

+ 2Ω×ur+Ω×(Ω×r) (39)

Fra uttrykket over følger det at bevegelsesligningen i det roterende koordinatsystemet kan skrives

som Du

Dt +1

ρ∇p+ˆzg=−2Ω×u−Ω×(Ω×r) +F (40) Siden det er underforst˚att at (40) uttrykker bevegelsesligningen i et roterende koordnatsystem, er subskriftrdroppet fra ligningen.

Leddet−2Ω×ukalles Coriolisakselerasjonen og leddet−Ω×(Ω×r) kalles sentrifugalakselera- sjonen. Begge leddene erfiktiveakselerasjoner, det vil si at de representerer tilsynelatende akse- lerasjoner som følge av at bevegelsesligningen er uttrykt i et roterende koordnatsystem.

Siden akselerasjon er det samme som kraft per enhetsmasse, kalles de to fiktive kreftene over ogs˚a Corioliskraft per enhetsmasse og sentrifugalkraft per enhetsmasse.

2.5 Jordens rotasjonsvektor

Ωer jordens rotasjonsvektor; den er rettet oppover sett fra en fiksstjerne (i hht. høyreh˚andsregelen) og har verdi Ω = 2π/T ≈2π/(86400 s)≈7.3·10⁻⁵rad s⁻¹. Her er T tiden til en full rotasjon (dvs. 24 timer). Ofte skrives enheten til Ω som s⁻¹, som da er underforst˚att rad s⁻¹, der rad er radianer.

Sett fra det ikke-roterende fikssystemet roterer jorden mot høyre, det vil si fra vest mot øst.

2.6 Tolkning av bevegelsesligningens ledd

∂u

∂t

|{z}

lokal endring

+ u· ∇u

| {z }

adveksjon

+1 ρ∇p

| {z }

trykk

+ ˆzg

|{z}

gravitasjon

=−2Ω×u

| {z }

Coriolis

−Ω×(Ω×r)

| {z }

sentrifugal

+ F

|{z}

friksjon

(41)

Figur 5: Orientering til Coriolisakselerasjonen (venstre) og sentrifugalakselerasjonen (høyre) i et roterende koordinatsystem p˚a den nordlige halvkule.

2.7 Egenskaper til Coriolisaksakselerasjonen −2Ω × u

- Er en fiktiv akselerasjon som følge av at bevegelsesligningen er uttrykt i et roterende system - Virker bare n˚ar det er bevegelse

- Er proporsjonal med farten|u|

- Virker normalt p˚a hastigheten, s˚a bare retningen, ikke farten|u|, endres (se seksjon 2.7.1) - Er rettet til høyre for hastighetsvektorenup˚a den nordlige halvkule, se figur 5

- Er rettet til venstre p˚a den sørlige halvkule

- Er størst ved polene og fraværende ved ekvator (rent formelt gjelder det siste bare dersom bevegelsen er rettet langs jordens overflate, fordi Coriolis har en liten vertikal komponent, se seksjon 2.7.2)

- Kan forenkles til−fˆz×u, derf = 2 Ω sinϕkalles Coriolisparameteren (se seksjon 2.7.3)

2.7.1 Coriolisleddet utfører ikke arbeid

Dette kan vi vise fra (3) dersom vi bare betrakter den totalderiverte avuog Coriolisleddet:

Du

Dt =−2Ω×u (42)

Prikker vi momentumuttrykket (42) medu, f˚ar vi for adveksjonsleddet u· Du

Dt = D Dt

1 2u·u

= D Dt

1 2u²

(43) og for Coriolisleddet

u·(−2Ω×u) = 0 (44)

Følgelig gjelder

D Dt u²

= 0 (45)

u² er alts˚a bevart med bevegelsen i et system der bare Coriolis-akselerasjonen virker.

Starter vi ut med en væske i ro, vil væsken forbli i ro. P˚a tilsvarende m˚ate, starter vi ut med en væske med hastighetu, vil|u|= konst. Coriolis-akselerasjonen endrer derfor retningen, men ikke absoluttverdien (eller farten), tilu. Følgelig er kinetisk energi konservert, og Coriolis-leddet utfører ikkearbeid. Det siste gjelder for enhver akselerasjon (eller kraft) som virker normalt p˚a hastighetsvektoren.

2.7.2 Coriolisakselerasjonen p˚a komponentform

Vi betrakter koordinatsystemet som vist i figur 6. Uttrykt i koordinatsystemet (x, y, z) som roterer med jorden og hvorx-aksen er rettet østover,y-aksen nordover ogz-aksen radielt utover, følger det at rotasjonsvektorenΩkan skrives p˚a komponentform som

Ω= Ω(0,cosϕ,sinϕ) (46)

Coriolisakselerasjonen blir da

−2Ω×u=−2 Ω(wcosϕ−vsinϕ, usinϕ,−ucosϕ) (47) hvoru= (u, v, w) er hastighetsvektorens komponenter i (x, y, z)-retningene.

Fra (47), og med hjelp av figur 6, ser vi følgende

• ubidrar i Coriolisakselerasjonensy- ogz-retninger fordi−2Ω×(u,0,0) er rettet radielt ut fra rotasjonsaksen, det vil si at−2Ω×(u,0,0) har en komponent iy-retningen (nordover) og en komponent iz-retningen (utover, normalt p˚a jordens overflate).

• vbidrar kun til Coriolisakselerasjonensx-retning fordi−2Ω×(0, v,0) er rettet ix-retningen.

• w bidrar kun til Coriolisakselerasjonens x⁰-retning fordi −2Ω×(0,0, w) er rettet i −x- retningen.

2.7.3 Coriolisakselerasjonen p˚a forenklet form

Vi tar utgangspunkt i det fulle uttrykket for Coriolisakselerasjonen (47). Generelt erwmye mind- re enn den horisontale hastighetskomponentenv (det samme gjelder for u). Under forutsetning av at vi holder oss borte fra ekvator, kan da leddet med wneglisjeres. Videre er Coriolisaksele- rasjonens z-komponent svært liten i forhold til tyngdeakselerasjonen g. Følgelig kan vi ogs˚a se bort fraz-komponenten.

Figur 6: Øverst: Jorden med et lokalt roterende koordinatsystem (x, y, z).xer rettet østover,y nordover ogzradielt utover. Rotasjonsjonen foreg˚ar i østlig retning og er gitt vedΩ.λbetegner lengdegrad og ϕ breddegrad. Nederst, fra venstre:−2Ω×(u,0,0), −2Ω×(0, v,0) og−2Ω× (0,0, w).

Dette betyr

−2Ω×u≈ −2 Ω(−vsinϕ, usinϕ,0) (48) Uttrykket over kan skrives som

−2Ω×u=−fˆz×u (49)

derˆzer enhetsvektoren i z-retningen og Coriolisparameteren

f = 2 Ω sinϕ (50)

Merk at Coriolisparameteren er positiv p˚a den nordlige halvkule og negativ p˚a den sørlige halv- kule. For 45^◦ breddegrad er|f| ≈1×10⁻⁴ s⁻¹.

N˚ar det snakkes ommidlere breddegrader, er det derfor vanlig ˚a bruke verdien f = 1×10⁻⁴ s⁻¹ p˚a den nordlige halvkule og f =−1×10⁻⁴ s⁻¹ p˚a den sørlige halvkule.

2.8 Egenskaper til sentrifugalakselerasjonen −Ω × (Ω × r)

- Er en fiktiv akselerasjon som følge av at bevegelsesligningen er uttrykt i et roterende system - Erstatisk; virker alltid

- Er alltid rettet radielt utover i forhold til rotasjonsvektorenΩ

- Reduserer gravitasjonen i radiell retning med Ω²rcosϕ, der r er jordens radius of ϕ er breddegrad. Den m˚alte gravitasjonen p˚a jorden er derfor mindre enn om jorden ikke roterte - Gir gravitasjonen et bidrag rettet mot ekvator p˚a nordlige og sørlige halvkule (Ω²rsinϕcosϕ);

som er grunnen til at jorden buler noe ut ved ekvator

2.9 Sentrifugalakselerasjonen p˚ a komponentform

−Ω×(Ω×r) = Ω²R(0,−sinϕ,cosϕ) (51) derRer avstand fra jordens rotasjonsakse til et gitt punkt, d.v.s.R=rcosϕ.

2.10 Sentrifugalakselerasjonen som del av gravitasjonsleddet

Sentrifugalakselerasjonen kan skrives som gradienten til et potensial Ω×(Ω×r) =−∇

Ω²R² 2

(52) Gravitasjonen kan ogs˚a skrives som gradienten til et potensial

ˆ

zg=∇(gz) (53)

Ved ˚a kombinere (52) og (53) f˚ar vi ˆ

zg+Ω×(Ω×r) =∇φ (54)

der

φ=gz−Ω²R²

2 (55)

Alts˚a kan momentumligningen (3) alternativt uttrykkes Du

Dt +1

ρ∇p+∇φ=−fˆz×u+F (56)

2.11 Derivasjon i et polarkoordinatsystem

2.11.1 Polare koordinater

Gradient-operatoren i polare koordinater (r, θ) er gitt ved den inverse av skalafaktorene (335)

∇= ∂

∂r,1 r

∂

∂θ

(57)

Figur 7: Kurvelineære polare koordinater i to dimensjoner med tilhørende ortogonale enhetsvek- torerer ogeθ.

Fra figur 7 følger det at enhetsvektoreneer ogeθ kan skrives som

er = ˆxcosθ+ˆysinθ (58) eθ = −ˆxsinθ+ˆycosθ (59) hvorˆxog ˆyer enhetsvektorene i det faste (x, y) koordinatsystemet. Fra (58) og (59) følger det at

∂er

∂θ =eθ

∂er

∂r =0 (60)

∂e_θ

∂θ =−er

∂e_θ

∂r =0 (61)

Divergensen til hastighetsvektorenu=e_ru_r+e_θu_θ, sett fra det faste koordinatsystemet (x, y),

blir da

∇ ·u=

e_r ∂

∂r+e_θ1 r

∂

∂θ

·(e_ru_r+e_θu_θ)

=er· ∂

∂r(erur+eθuθ) +1 reθ· ∂

∂θ(erur+eθuθ)

=e_r·

>

∂e_r

∂ru_r+e_r∂u_r

∂r +

>

∂e_θ

∂r u_θ+

>

e_θ∂u_θ

∂r

!

+1

reθ· ∂er

∂θ ur+

>

er

∂ur

∂θ +

>

∂eθ

∂θ uθ+eθ

∂uθ

∂θ

!

= ∂ur

∂r +ur

r +1 r

∂uθ

∂θ

(62)

Her har vi benyttet at er·er=eθ·eθ = 1, er·eθ = 0 og uttrykkene (60) og (61). Skr˚apilene viser leddene som ikke gir bidrag.

Ved ˚a kombinere de to første leddene p˚a høyre side av uttrykket over, f˚ar vi

∇ ·u= 1 r

∂

∂r(rur) +1 r

∂uθ

∂θ (63)

P˚a tilsvarende m˚ate finner vi at

∇²φ= 1 r

∂

∂r

r∂φ

∂r

+ 1 r²

∂²φ

∂θ² (64)

2.11.2 Polare kulekoordinater

Gradient-operatoren i polare kulekoordinater (λ, ϕ, r) er gitt ved den inverse av skalafaktorene (339)

∇= 1

rcosϕ

∂

∂λ,1 r

∂

∂ϕ, ∂

∂r

(65) Divergensen til hastighetsvektorenu=eλu+eϕv+erw, blir da

∇ ·u= 1 rcosϕ

∂u

∂λ + 1 rcosϕ

∂vcosϕ

∂ϕ + 1 r²

∂wr²

∂r (66)

Videre er

∇²φ= 1 r²cos²ϕ

∂²φ

∂λ² + 1 r²cosϕ

∂

∂ϕ

cosϕ∂φ

∂ϕ

+ 1 r²

∂

∂r

r²∂φ

∂r

(67) I tilfellet med konstantr, kan det siste leddet i (66) og (67) forenkles sidenr²-faktorene kansellerer hverandre.

3 Forenklinger og anvendelser

- Forenklinger basert p˚a skalaanalyse eller gitte antagelser - Hydrostatisk tilnærming

- Geostrofisk tilnærming - Termalvind

- Friksjon

- p- vs z-koordinater

- Kompressible og ikke-kompressibel væske - Divergent og konverhent hastighetsfelt - Barotrop og baroklin væske

3.1 Avstander p˚ a en kuleflate

Figur 8: Bredde- og lengdegradssirkler p˚a en kule. Breddegradssirklene er rettet i nord-sør ret- ningen og er gitt ved breddegradsvinkelenϕ, og lengdegradssirklene i øst-vest retningen gitt ved lengdegradsvinkelenλ. Bredde- og lengdegradsretningene kalles ogs˚a meridional og sonal retning.

(Figur fra http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sphere wireframe.svg).

Figur 8 illustrerer bredde- og lengdegradssirkler p˚a en kule. Det følger fra figuren at den geo- grafiske avstanden mellom to lengdegrader avtar med økende breddegradϕ(mot polene), mens avstanden mellom to breddegrader er konstant.

Avstanden mellom to breddegradssirkler eller to lengdegradssirkler følger fra skalafaktorene for en kule, se (339). For en breddegradsvinkelδλ= 1 grad =π/180 rad, vil utspent buelengde p˚a jorden være rcosϕ δλ, hvor r= 6.37·10⁶ m er jordens radius. Dette gir at utspent buelengde

er 111 cosϕkm. For en lengdegradsvinkel δϕ= 1 grad = π/180 rad, vil utspent buelengde p˚a jorden værer δϕ, eller 111 km.

3.2 Skalaanalyse

For et gitt problem eksesterer det ofte karakteristiske horisontale langdeskalaer L, vertikale lengdeskalaer H, horisontale hastigheter U og tidsskalaer T. Verdiene for disse karakteristiske størrelsene varierer om vi er i atmosfæren eller i havet.

Karakteristiske verdier for fri bevegelse i havet p˚a midlere breddegrader (f.eks. 45^◦) er LengdeskalaL ∼10⁶ m

Vertikal skalaH ∼10³ m

Horisontal hastighetU ∼10⁻¹m s⁻¹ Vertikal hastighetW ∼10⁻⁴ m s⁻¹ Trykk horisontalt P ∼10⁷ Pa Trykk vertikalt P ∼10⁴ Pa Tetthetρ∼10³ kg m⁻³

Coriolisparameter f ∼10⁻⁴ s⁻¹ Gravitasjong∼10 m s⁻² 3.2.1 Geostrofisk balanse⁸

Horisontalkomponentuav bevegelsesligningen (3), n˚ar en ser bort fra friksjon, er

∂u

∂t

|{z}

U T

+u∂u

∂x

| {z }

U2 L

+v∂u

∂y

| {z }

U2 L

+w∂u

∂z

| {z }

W2 H

+1 ρ

∂P

∂x

| {z }

p ρL

= f v

|{z}

fU

(68)

Innsatt verdier, følger det at trykk- og Coriolisleddene er de dominerende. Dette gir den geostro- fiske balanse

f u≈ −1 ρ

∂p

∂y og f v≈ 1 ρ

∂p

∂x (69)

3.2.2 Rossbytall

Forholdstallet mellom størrelsen av adveksjon og Coriolis kalles RossbytalletR0

R0= |adveksjon|

|Coriolis| ∼ U

fL (70)

Det følger at geostrofisk balanse er en god tilnærming forR01.

For den frie atmosfæren p˚a midlere breddegrader er typiskR0∼0.1. Tilsvarende verdi for havet erR0= 10⁻³.

8For gradient vind balanse, se seksjon 4.5 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K.

Smith, Version: December 11, 2007.

3.2.3 Hydrostatisk balanse

Vertikalkomponent av bevegelsesligningen (3), n˚ar en ser bort fra friksjon, er

∂w

∂t

|{z}

W T

+u∂w

∂x

| {z }

W2 L

+v∂w

∂y

| {z }

W2 L

+w∂w

∂z

| {z }

W2 H

+1 ρ

∂p

∂z

| {z }

P ρH

+ g

|{z}

g

= 0 (71)

Innsatt verdier følger det at trykk- og gravitasjonsleddene er de dominerende. Dette gir den hydrostatiske balanse

∂p

∂z =−ρg (72)

3.3 Geostrofisk balanse

Dersom vi definerer den geostrofiske hastighetug til ˚a tilfredsstille (69), f˚ar vi u_g=− 1

f ρ

∂p

∂y (73)

v_g= 1 f ρ

∂p

∂x (74)

eller

u_g= 1

f ρˆz× ∇p (75)

3.3.1 Eksempel, geostrofisk balanse Oppgave 4, side 136 i Marshall & Plumb.

Vi betrakter et lavtrykkssystem p˚a den sørlige halvkule sentrert p˚a 45^◦S, og med trykket ved havniv˚a gitt med

p= 1000 hPa−∆pexp^−r2/R2 (76)

der ∆p= 20 hPa ogR= 500 km.

Trykkfordelingen gitt ved (76) beskriver et symmetrisk lavtrykk med et sentertrykk p˚a 980 hPa og hvor trykket øker radielt.

Geostrofisk balanse gir, fra uttrykk (75),

ug= 1

f ρˆz× ∇p (77)

Siden lavtrykket er radielt symmertrisk, er det hensiktsmessig ˚a uttrykke geostrofi-balansen i polarkoor- dinater. Fra (370) har vi at gradienten tilp(en skalar størrelse) kan skrives som

∇p=ˆer

∂p

∂r+ˆeθ

1 r

∂p

∂θ (78)

Det følger da at

ˆz× ∇p=

ˆer ˆeθ ˆz

0 0 1

∂p

∂r 1 r

∂p

∂θ 0

=−ˆer

1 r

∂p

∂θ+ˆeθ

∂p

∂r (79)

Den radielle geostrofi-komponenten er

ugr=− 1 f rρ

∂p

∂θ (80)

og den azimutale komponenten er

ugθ= 1 f ρ

∂p

∂r (81)

Sidenpi (77) ikke varierer medθ, følger det at

ugr= 0 (82)

Sirkulasjonen foreg˚ar alts˚a i sin helhet langs linjer med konstantr, det vil si langs isobarene.

Den azimutale komponenten i (81) framkommer ved ˚a deriverepmed hensyn p˚ar

∂p

∂r = ∆p2r

R² exp^−r2/R2 (83)

som gir

ugθ= 1 f ρ∆p2r

R²exp^−r2/R2 (84)

Sidenf <0 p˚a den sørlige halvkule følger det at sirkulasjonen er rettetmedklokken.

Maksimal geostrofisk hastighet finner vi ved ˚a søke ekstremverdien til ∂ugθ/∂r, det vil si denr som tilfredsstiller

∂ugθ

∂r = 0 (85)

Fra (84) følger det at 1 f ρ∆p 2

R²exp^−r2/R2+ 1 f ρ∆p2r

R² −2r

R²

exp^−r2/R2 = 0 (86)

Uttrykket over kan forenkles til

1−2r²

R² = 0 eller r= R

√2 (87)

Maksimal hastighet finnes alts˚a forr=R/√

2, som gir ugθ(r=R/√

2) = 1 f ρ∆p

√2

R exp^−1/2 (88)

Innsatt de oppgitte verdiene, f˚ar vi ugθ(r=R/√

2) =

1

−1.2·10⁻⁴·1.22000

√2

500·10³exp^−1/2

m s⁻¹= 23.8 m s⁻¹ (89) hvor vi har bruktρ= 1.2 kg m⁻³, ∆p= 20 hPa = 2000 Pa ogf <0.

Oppsummert: Maksimal hastighet p˚a 23.8 m s⁻¹oppst˚ar i en avstandr=R/√

2 = 354 km fra lavtrykkets sentrum.

3.4 Geostrofisk balanse i trykk-kordinater

Det er ofte hensiktsmessig ˚a kvitte seg med tetthetenρi (73)-(75). Dette kan gjøres ved ˚a g˚a over fra høyde z til trykk psom vertikal koordinat. Den hydrostatiske ligningen benyttes for denne transformasjonen.

Vi betrakter først hvordan∂p/∂xkan skrives for en fast høyde z. Fra figur 9 følger det at

Figur 9: Illustrasjon p˚a overgang mellom z- og p-koordinater. Langs den bl˚a krumme linjen er trykketpkonstant. Langs den horisontale bl˚a linjen erz konstant.

∂p

∂x _z

= p_B−p_A δx

_z

(90) hvor p_A, p_B er trykket evaluert i punktene A og B, og subskrift z betegner at derivasjonen utføres langs linjenz= konst. Siden p_A=p_C, følger det at

∂p

∂x z

= p_B−p_C δx

p

(91) whor subskrift p betegner at vi har benyttet at p= konst. i siste overgang.

Venstre side av den hydrostatiske ligningen

∂p

∂z =−ρ g (92)

kan uttrykkes

p_C−p_B

δz (93)

som gir at

pC−pB=−ρ g δz (94)

Uttrykk (94) innsatt i (91) gir

∂p

∂x _z

=ρ g δz δx _p

(95) For sm˚a δx, δz, følger det at

∂p

∂x _z

=ρ g ∂z

∂x _p

(96) Tilsvarende for∂/∂y gir at

∂p

∂y _z

=ρ g ∂z

∂y _p

(97) Dette betyr at den geostrofiske ligningen kan uttrykkes i trykk-koordinater som

u_g= g

fˆz_p× ∇pz (98)

eller p˚a komponentform

u_g =−g f

∂z

∂y

p

(99) vg= g

f ∂z

∂x

p

(100) Merk at tetthetenρikke inng˚ar i uttrykkene over.

3.5 Tolkning av geostrofisk balanse i trykk-koordinater

3.5.1 (∂z/∂x)p= konst<0, (∂z/∂y)p= 0 og f >0

I dette tilfellet er vi p˚a den nordlige halvkule og isobarflaten heller nedover mot øst, se venstre del av figur 10. Fra (99) og (100) følger det at ug = 0 ogvg <0, det vil si at den geostrofiske vinden har en sørlig komponent (i negativy-retning).

Figur 10: Illustrasjon av (∂z/∂x)p og (∂z/∂y)p i det geostrofiske uttrykket (98) p˚a den nordlige halvkule (f >0). zp betegner enhetsvektoren normalt p˚a isobarflatene.

3.5.2 (∂z/∂x)p= 0,(∂z/∂y)p= konst<0 og f >0

Vi er p˚a den nordlige halvkule og isobarflaten heller nedover mot nord, se høyre del av figur 10.

Fra (99) og (100) følger det at ug > 0 og vg = 0, det vil si at den geostrofiske vinden har en østlig komponent (i positivx-retning).

3.5.3 Eksempel, en synoptisk værsituasjon, 23. februar 2009

Retning og fart til den geostrofiske vinden kan utledes fra et synoptisk værkart, se figur 11. Hastigheten ved den røde sirkelen er omtrentlig gitt vedx-konponenten av (98):

ug=−g f

∂z

∂y

p

(101) Her erf≈1.2·10⁻⁴ s⁻¹for 62^◦N. Videre er avstanden av det røde linjestykketδy= 4·111·10³ m og høyden over samme linjestykke, i positivy-retning (nordover),avtarmedδz≈220 m. Vi f˚ar da

ug =− 9.8

1.2·10⁻⁴

−220 4·111·10³

m s⁻¹ = 39.6 m s⁻¹ (102)

Figur 11:Synoptisk værkart for høydenztil isobarflatenp= 250 hPa (bl˚a konturlinjer) og vindhastighet (piler). Den røde sirkelen er sentrert p˚a ca. 62 grader nord og det røde linjestykket dekker ca. fire breddegrader. Den bl˚a sirkelen er sentrert p˚a ca. 54 grader nord og det bl˚a linjestykket dekker ca. fire lengdegrader. Høydeforskjellen mellom høydekonturene er 40 m. Figur fra Marius Opsanger Jonassen (Geofysisk institutt, UiB) basert p˚a Hirlam24 og plottet med Diana.

Den geostrofiske hastigheten i punktet med den røde sirkelen er alts˚a ca. 40 m s⁻¹i østlig retning.

Tilsvarende finer vi hastigheten ved den bl˚a sirkelen er omtrentlig gitt vedy-konponenten av (98):

ug= g f

∂z

∂x

p

(103) For 52^◦N erf≈1.2·10⁻⁴ s⁻¹. Videre er avstanden av det br˚a linjestykketδx= 4·111·10³cos(52^◦) m og høyden over samme linjestykke, i positivx-retning (østover),økermedδz≈110 m. Vi f˚ar da

vg= 9.8

1.2·10⁻⁴

110 4·111·10³cos(52^◦)

m s⁻¹= 32.2 m s⁻¹ (104) Den geostrofiske hastigheten i punktet med den bl˚a sirkelen er alts˚a ca. 32 m s⁻¹i nordlig retning.

3.6 Termalvind, generelt uttrykk

Geostrofi gir oss vinden for konstant høydez, ligning (75), eller for konstant trykkp, ligning (98).

For ˚a kunne si noe om hvordan u_g varierer i vertikal-retningen, ser vi p˚a hvordan variasjoner i tettheten ρ p˚avirker den geostrofiske balansen i z-retningen. Ofte kan vi skrive tettheten ρ som

ρ=ρ0+σ (105)

derρ0 er konstant (en referansetetthet) ogσ/ρ01. Fra (105) følger det at

∂ρ

∂x =∂σ

∂x og ∂ρ

∂y = ∂σ

∂y (106)

Deriverer vi (75) med hensyn p˚az og bruker at 1 ρ = 1

ρ0+σ ≈ 1 ρ0

(107) f˚ar vi

∂u_g

∂z =− 1 f ρ0

∂

∂y ∂p

∂z

(108)

∂v_g

∂z = 1 f ρ0

∂

∂x ∂p

∂z

(109) Hydrostatisk tilnærming fra ligning (72) innsatt i parentesene over, samt bruk av (106), gir

∂u_g

∂z = g f ρ0

∂σ

∂y (110)

∂vg

∂z =− g f ρ₀

∂σ

∂x (111)

eller

∂ug

∂z =− g f ρ0

ˆ

z× ∇σ (112)

Uttrykket (112) viser at den horisontale tetthetsgradienten∇σgir opphav til et vertikalt hastig- hetsskjær∂u_g/∂z. En generell tilstandsligning p˚a formen (105) gir alts˚a opphav til en termalvind p˚a formen (112).

3.7 Termalvind for atmosfæren i trykk-koordinater

Vi tar her utgangspunkt i geostrofisk uttrykk i trykk-koordinater (98). Dersom vi deriverer dette uttrykket med hensyn p˚a pog bruker den hydrostatiske tilnærmingen

∂p

∂z =−ρ g eller ∂z

∂p =−1

ρg (113)

f˚ar vi

∂u_g

∂p =−g f

∂

∂y ∂z

∂p

p

=−g f

∂

∂y

− 1 ρg

p

= 1 f

∂

∂y 1

ρ

p

(114) og

∂v_g

∂p =−1 f

∂

∂x 1

ρ

p

(115) Den ideelle gassloven (4) beskriver sammenhengen mellomp,ρogT for tørr luft p˚a en god m˚ate.

Fra (4) har vi at

p=ρRT eller 1 ρ = RT

p (116)

Høyre uttrykk i (116) innsatt i (114) og (115), gir

∂u_g

∂p = R f p

∂T

∂y

p

(117)

∂v_g

∂p =−R f p

∂T

∂x

p

(118) eller

∂ug

∂p =−R

f pˆz_p× ∇_pT (119)

3.8 Termalvinduttrykket integrert mellom to isobarer

Integrerer vi (117) mellom de to isobarflatenep=p1ogp=p2, f˚ar vi Z p₂

p1

∂ug

∂p dp = R f

Z p₂

p1

(1 p

∂T

∂y

p

)

dp (120)

= R

f ∂T

∂y

p

Z p₂

p1

1

pdp (121)

I den siste overgangen har vi brukt atT representerer middelverdien avT mellom isobarflatene p=p1 ogp=p2, betegnetT. SidenR

x⁻¹dx= lnx, følger det at uT ≡ug(p2)−ug(p1) = R

f lnp2

p₁ ∂T

∂y

p

(122)

= −R f lnp₁

p2

∂T

∂y

p

(123)

der uT er x-komponenten til termalvindvektoren uT, og hvor vi i siste overgang har brukt at ln(a/b) =−ln(b/a). Tilsvarende f˚ar vi fory-komponenten:

vT ≡vg(p2)−vg(p1) =R f lnp₁

p2

∂T

∂x

p

(124)

Termalvind-komponentene (123) og (124) kan uttrykkes p˚a vektorform uT =ug(p2)−ug(p1) =R

f lnp1

p2

ˆ

zp× ∇pT (125)

Merk at det er hensiktsmessig ˚a bruke ln(p₁/p₂) i termalvinduttrykkene siden ln(p₁/p₂)>0 for p₁> p₂.

3.9 Tolkning av termalvind

3.9.1 Sammenheng mellom geostrofisk vind og termalvind

Det følger fra (125) at termalvind er differansen mellom geostrofisk vind p˚a to isobarflater. Ter- malvinden sier derfor hvor stort det vertikale hastighetsskjæret er. Kjenner vi to av de tre vek- toreneug(p1),ug(p2) oguT, kan vi utlede den tredje vektoren direkte fra vektorsummen

ug(p1) +uT =ug(p2) (126)

3.9.2 Orientering

Det følger fra (125) atu_T er rettet normalt p˚a ∇_pT, det vil si parallelt med isotermene. P˚a den nordlige halvkule vil lav temperatur ligge til venstre foru_T (til høyre p˚a den sørlige halvkule grunnet fortegent tilf).

3.9.3 ∇pT = 0

Dersom den horisontale middeltemperaturen mellom isobarflatene avgrenset avp=p1ogp=p2

er konstant,∇pT = 0, følger det fra (125) atu_g(p₁) =u_g(p₂), det vi si at den geostrofiske vinden er uendret i høydeintervallet avgrenset av isobarflatene p₁ og p₂. Gjelder dette for hele atmos- færen, sier vi at atmosfæren erbarotrop. Det er da uniform vertikal hastighet i atmosfæren.

3.9.4 ∇_pT = konst6= 0

I dette tilfellet vilug(p1)6=ug(p2), det vi si at vi har et vertikalt vindskjær. Atmosfæren er da baroklin.

Dersom vi antar at p = p1 representerer bakketrykket og at ug(p1) er liten ved bakken (det vil si atu_g(p₁)≈0), følger det fra (125) at|uT| og|ug(p₂)|øker n˚ar p₂ avtar, og at økningen skalerer med ln(p₁/p₂). Derfor øker den termale vinden med høyden s˚a lenge det er en horisontal temperaturgradient mellomp₁ ogp₂.

3.9.5 (∂T /∂y)p= konst<0,(∂T /∂x)p= 0 og f >0

I dette tilfellet er vi p˚a den nordlige halvkule og temperaturen avtar mot nord, se figur 12. Fra (123) og (124) ser vi at uT > 0 og vT = 0, det vil si at den termiske vinden har en østlig komponent (i positivx-retning).

Figur 12: Illustrasjon av tilfellet (∂T /∂y)p = konst<0, (∂T /∂x)p = 0 og f >0. Merk at den resulterende termalvinden er rettet i positivx-retning.

Det er temperaturgradienten mellom sør og nord som er opphavet til at jetstrømmene er østlig rettet p˚a den nordlige halvkule.

3.9.6 (∂T /∂y)_p= konst>0,(∂T /∂x)_p= 0 og f <0

I dette tilfellet er vi p˚a den sørlige halvkule og temperaturen avtar mot sør. Siden b˚ade (T /∂y)p

ogf har motsatt fortegn i forhold til tilfellet i seksjon (3.9.5), gir denne konfigurereingen samme dynamikk som i seksjon (3.9.5), alts˚a er jetstrømmen østlig rettet ogs˚a p˚a den sørlige halv- kule.

3.9.7 (∂T /∂x)_p= konst>0,(∂T /∂y)_p= 0 og f >0

I dette tilfellet er vi p˚a den nordlige halvkule og temperaturen øker mot øst, se figur 13. Fra (123) og (124) ser vi atuT = 0 ogvT >0, det vil si at den termiske vinden har en nordlig komponent (i positivy-retning).

3.9.8 Kald og varm adveksjon

Termalvinden diskutert i seksjon (3.9.5) kan representeres som vist i figur 14, med avtagende temperatur mot nord oguT rettet østover.

Dersom den geostrofiske vinden p˚a niv˚a p=p1 er rettet mot lavere temperatur (nordover), se venstre del av figur 15, følger det fra vektorsummen (125) at ug(p2) er dreiet med klokken i forhold tilug(p1). I tillegg følger det at den geostrofiske vinden bringer varm luft med seg. Dette kallesvarm adveksjon. Dersomug(p1) betegner vinden p˚a bakkeniv˚a, betyr dette at vinden dreier stadig mer til høyre relativtug(p1) n˚ar en beveger seg oppover i atmosfæren.

Figur 13: Illustrasjon av tilfellet (∂T /∂x)p = konst>0, (∂T /∂y)p = 0 og f >0. Merk at den resulterende termalvinden er rettet i positivy-retning.

Figur 14: Illustrasjon p˚a termalvind uT for et temperaturfelt som avtar mot nord.

Figur 15: Som figur 14 og for en antatt nord-rettetug(p1) (figur til venstre) og sør-rettetug(p1) (figur til høyre).

P˚a tilsvarende m˚ate viser den høyre del av figur 15 en situasjon derug(p1) er rettet mot høyere temperatur (sørover). I dette tilfellet er ug(p2) dreiet mot klokken i forhold tilug(p1), og den geostrofiske vinden bringer kald luft med seg. Dette kalleskald adveksjon. Dersomug(p1) betegner vinden p˚a bakkeniv˚a, betyr dette at vinden dreier stadig mer til venstre relativt ug(p1) n˚ar en beveger seg oppover i atmosfæren.

Siden temperaturen avtar mot begge polene, følger det fra diskusjonen over at den geostrofiske vinden vil alltid – og uavhengig av retningen til ug(p1) – dreies mot øst n˚ar en beveger seg oppover i atmosfæren. Det er følgelig den fallende temperaturen n˚ar vi g˚ar fra tropene til høyere (nordlige og sørlige) breddegrader som gjør at vi har østlig rettet vind i høyden n˚ar vi fjerner oss fra ekvator.

3.9.9 Eksempel termalvind, idealisert eksempel

Anta den horisontale temperaturgradienten er konstant p˚a alle trykk-niv˚aer i troposfæren, og gitt ved

∇pT= 20 K 1000 km

ˆi (127)

Ved bakken er trykketp1 = 1000 hPa og ug(p1) =vg(p1)ˆj= 5 m s⁻¹ˆj. Hva er vinden vedp2 = 700 hPa ogp3= 500 hPa? Anta vi er p˚a 45 grader nord.

Siden∇pT bare har enx-komponent, er det barey-komponenten av termalvinden, uttrykk (124), som gir bidrag:

vg(p2) =vg(p1) +R f lnp1

p2

∂T

∂x

p

(128) Forp2= 700 hPa = 7·10⁵ Pa, f˚ar vi

vg(p2) =

5 + 287 1·10⁻⁴

ln1·10⁶ 7·10⁵

20 1000·10³

m s⁻¹ = 25.5 m s⁻¹ (129) P˚a tilsvarende m˚ate f˚ar vi forp3= 500 hPa = 5·10⁵Pa

vg(p3) =

5 + 287 1·10⁻⁴

ln1·10⁶ 5·10⁵

20 1000·10³

m s⁻¹ = 44.8 m s⁻¹ (130) Alts˚a øker vinden med høyden, fra 5 m s⁻¹ ved bakken til 25.5 m s⁻¹ ved 700 hPa og 44.8 m s⁻¹ ved 500 hPa.

3.9.10 Eksempel termalvind, basert p˚a klimatologi

Figur (16) viser observasjons-basert sonal vind og sonal temperatur for m˚anedene desember-januar- februar. P˚a den nordlige halvkule ser vi at jetstrømmen har maksimal verdi p˚a vel 40 m s⁻¹p˚a 200 hPa.

˚Arsaken til at jetstrømmen har maksimal verdi p˚a ca. 30 grader nord er at den horisontale temperatur- gradienten er størst – og har samme fortegn – for denne breddegraden. Dette gjelder for trykkintervallet mellom overflaten og opp til ca. 200 hPa. Over 200 hPa skifter den horisontale temperaturgradienten fortegn, og følgelig avtar den sonale jetstrømmen forp <200 hPa.

Jetstrømmens hastighet ved 200 hPa kan estimeres ved ˚a se p˚a det termale bidraget rundt 30^◦ N. Si- den helningen til isotermene varierer en del mellom overflaten (p= 1000 hPa) ogp= 200 hPa, er det misvisende ˚a gi ´en verdi for temperaturgradienten for hele dette trykkintervallet. Men vi kan dele trykk- intervallet frap= 1000 hPa tilp= 200 hPa i mindre delintervaller og ansl˚a midlere temperaturgradient og beregne termalvind for hvert av disse trykkintervallene.

Figur 16: Atmosfærisk reanalyse (kombinert observasjoner og modell) for en typisk vintersesong desember-januar-februar. Øvre panel viser sonalt midlet vind (legg merke til jetstrømmene p˚a 45^◦ S og 30^◦N p˚a ca. 200 hPa). Nedre panel viser sonalt midlet temperatur med heltrukken rød linje p˚a 30^◦N.

Data fra NCEP/NCAR.

For ˚a estimere temperaturgradienten for hvert trykkintervall, kan vi bruke de vertikale hjelpelinjene p˚a 20^◦N og 40^◦N i nederste panel av figur 16. For intervallet mellomp1 = 1000 hPa ogp2 = 800 hPa er den sonale temperaturgradienten (∂T /∂y)900 hPa≈(0−17) K/(20×111 km). Helt ved bakken kan vi antaug(p1)≈0 m/s. Vi f˚ar da

u(p2) = −R f lnp1

p2

∂T

∂y

p

= −

287 7.3·10⁻⁵

ln1·10⁵ 8·10⁴

−17 20·111·10³

m s⁻¹= 6.7 m s⁻¹ (131)

For intervallet mellomp2= 400 ogp3= 800 hPa er den sonale temperaturgradienten (∂T /∂y)600 hPa≈ (−16−1) K/(20·111 km). Dette gir

ug(p3) = ug(p2)−R f lnp2

p3

∂T

∂y

p

=

6.7− 287 7.3·10⁻⁵

ln8·10⁴ 4·10⁴

−17 20·111·10³

m s⁻¹= 27.6 m s⁻¹ (132)

For intervallet mellomp3= 400 ogp4= 200 hPa er den sonale temperaturgradienten (∂T /∂y)300 hPa≈ (−49−(−34)) K/(20·111 km), som gir

ug(p4) = ug(p3)−R f lnp3

p4

∂T

∂y

p

=

27.6− 287 7.3·10⁻⁵

ln4·10⁴ 2·10⁴

−15 20·111·10³

m s⁻¹= 46.0 m s⁻¹ (133) Merk at ug(p4) er i bra samsvar med jetstrømmens faktiske styrke p˚a >40 m s⁻¹ som vist i øverste panel av figur(16).

Vi kan ogs˚a estimere vindhastigheten for trykket p5 = 100 hPa. Den sonale temperaturgradienten (∂T /∂y)150 hPa≈(−57−(−66)) K/(20·111 km), som gir

ug(p5) = ug(p4)−R f lnp4

p5

∂T

∂y

p

=

46.0− 287 7.3·10⁻⁵

ln2·10⁴ 1·10⁴

9 20·111·10³

m s⁻¹= 35.0 m s⁻¹ (134) ug(p5) er i bra samsvar med reanalysens vind forp= 100 hPa p˚a rundt 30 m s⁻¹.

3.9.11 Sammenheng mellom temperatur og avstand mellom to isobarflater

Figur (17) viser to identiske luftsøyler (bl˚a farge). Trykket p˚a oversiden av søylene er lik,p=p1. Varmer vi opp søylen til høyre vil søylen bli høyere grunnet termisk ekspansjon av luften. Dersom vi ikke har noen dynamisk respons til at søylen blir høyere, vil trykket p˚a oversiden av den oppvarmede søylen fremdeles værep=p1.

Ser vi bort fra dynamisk respons, er det kun endring av temperaturen som kan endre søylens høyde. Det siste følger ved ˚a kombinere den hydrostatiske ligningen (72) og den idelle gasslov (4):

∂p

∂z =−ρg (135)