Redusert gravitasjon

Redusert gravitsjon g⁰ er en ofte forekommende størrelse i dynamisk meteorologi og osean-ografi.

Redusert gravitasjon er definert som

g⁰≡g∆ρ ρref

(173) hvor g er standard gravitasjon, ∆ρ er vertikal tetthetsforskjell i en væske og ρref er en typisk verdi for væsken(es) tetthet.

For en væske som erstabilt stratifisert, erg⁰ >0. En stabilt stratifisert væske betyr at væskens tetthet avtar med høyden, det vi si i positiv z-retning, slik at ∂ρ/∂z < 0. Dersom ∂ρ/∂z >0, seier vi at væsken erstatisk ustabil. Sistnevnte tilstand vil føre til vertikal blanding inntil væsken oppn˚ar nøytral eller positiv stratifisering.

For havet er typisk 1024 kg m⁻³ < ρ <1028 kg m⁻³. (173) endrer seg lite om vi velger ρref = 1024 kg m⁻³, 1026 kg m⁻³ eller 1028 kg m⁻³.g⁰er derfor bestemt av ∆ρ. Dette gir oss en frihet til ˚a bruke den ρref som forenkler et uttrykk s˚a lenge ρref er representativ for de væskene vi betrakter.

(173) brukes for ˚a uttrykke at gravitasjonen fører til en akselerasjon iz-retningen bare dersom partikkelens tetthet er ulik tettheten til den omkringliggende væsken.

4.4 Margules sammenheng

⁹

Margules sammenheng er illustrert i figur 24: I et roterende system vil en tung væske beskrive en konisk form rundt og opp langs rotasjonsaksen p˚a tross av at gravitasjonskraften prøver ˚a smøre den tunge væsken horisontalt utover.

Kraftbalansen mellom gravitasjon og rotasjon som opprettholder den koniske formen til den tunge væsken kan utledes ved ˚a betrakte trykkendringen mellom de to røde punktene p˚a figur 24.

For det første har vi at trykketpvarierer i retningene y og z, det vil si at p=p(y, z). Taylor-rekkeutvikling avptil laveste orden gir (se seksjon A.13)

δp= ∂p

∂yδy+∂p

∂zδz (174)

9Se ogs˚a Steinacker & Br¨onnimann,Stationary flow near fronts, Met. Zeitschrift,25, 805–809, 2016, og seksjon 5.2 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, 2007.

Figur 24: øverst: Illustrasjon p˚a et laboratorieeksperiment med et rundt roterende kar med med en tung (grøn) væske i sentrum og en lettere (hvit) væske utenfor. Grunnet rotasjonen holder den tunge væsken seg i en konisk sektor rundt rotasjonsaksen. Figur 7.16 i Marshall & Plumb (2008). Nederst: NCAR/NCEP reanalyse av sonalt midlet potensiell temperatur. Den heltrukne linjen er rettet langs en isobar. De gule og hvite pilene betegner to ulike veier fra det nederste til det øverste røde punktet p˚a isobaren. Figur fra http://www.ecmwf.int/research/era/ERA-40 Atlas/docs/section D25/parameter zmpttp.html.

Trykkendringen langs vei 1 og vei 2 i fugur (24) m˚a være lik, slik at Hydrostatisk tilnærming gir sammenhengen mellom vertikal endring avpog gravitasjon

∂p

∂z =−ρg (176)

(176) innsatt i 175 gir

∂p1

Fra figur 24 følger det at

tanγ=δz

δy (180)

(179) kombinert med (180) gir

tanγ=

∂p1

∂y −^∂ρ_∂y²

g(ρ₁−ρ₂) (181)

Trykk-gradienten i (181) kan uttrykes ved hjelp av geostrofisk hastighetug (se (73)) ug=− 1 Margules sammenheng følger direkte fra (183)

ug2−ug1= g⁰tanγ

f (185)

eller for ϕ ≈ 90^◦N (for rotasjonsakseksperimentet i øvre del av figur 24 eller ved nordpolen i nedre del av figur 24)

ug2−ug1= g⁰tanγ

2Ω (186)

Margules sammenheng (185) og (186) gir differansen i geostrofisk vind for to z-niv˚aer, og er følgelig en variant av termalvind diskutert i seksjon 3.6.

4.5 Rossbys tilpasningsproblem

Et idealisert oppsett med en tung væske omringet av en lettere væske, som illustrert i figur 24, er vist i figur 25. Rossbys tilpasningsproblem gir de karakteristiske rom- og tidskalaene som

Figur 25: Illustrasjon av en likevektssituasjon for en roterende, sirkulær beholder med en tung væske med tetthet ρ1 i sentrum, omringet av en lettere væske med tetthetρ2. Initielt er væske 1 og 2 separert ved radiusr1 (konstant).

beskriver likevektssituasjonene vist i figur 25. Denne sammenhengen følger fra (186).

4.5.1 Venstre side av (186)

Ser vi bort fra friksjon, som er en akseptabel antagelse n˚ar vi holder oss borte fra bunnen i det roterende karet, gjelder spinnsatsen

Ωr²+ur= konst (187)

Den initielle rotasjonen for systemet ved radiusr1er Ωr1. Det følger da fra spinnsatsen at

Ωr²+ur= Ωr²₁ (188)

derr ogu er endringer av radius og hastighet i forhold til initiell tilstand, det vi si etter at vi frigjør den indre (tunge) væsken.

N˚ar den tunge væsken er fri til ˚a tilpasse seg ny likevektssituasjon som vist i figur 25, vil den f˚a en konisk form med radius r > r₁ nede og radius r < r₁ oppe i karet. Betegner vi endringen i radius relativtr1 medδr og hastighetsendringenδu, følger det fra (188) at

Ω(r1+δr)²+δu(r1+δr) = Ωr₁² (189)

eller

Ω(r²₁+ 2r1δr+δr²) +δu(r1+δr) = Ωr²₁ (190) For sm˚a endringer er de kvadratiske δ-leddene, det vil si Ωδr² og δu δr, mye mindre enn de lineæreδ-leddene, slik at vi kan tilnærme (190) med

2Ωr1δr+δu r1= 0 (191)

Dette gir

δu=−2Ωδr (192)

(192) viser at konestrukturen vil f˚a økt azimutal hastighet oppe (hvor δr < 0) og redusert azimutal hastighet nede (hvorδr >0) relativt til den initielle rotasjonshastigheten Ωr₁.

Det følger da at

δu₂= 2Ω|δr| (193)

og

δu1=−2Ω|δr| (194)

Innsatt i Margules sammenheng (186), f˚ar vi

δu2−δu1= 4Ω|δr| (195)

Skulle den initielle sylinderen med tung væske ha en vinkel ϕ til rotasjonsaksen, vil (192) ha følgende form

δu=−f δr (196)

der Coriolisparameterenf = 2Ω sinϕ. I s˚a fall kan ligningene (193–(195) uttrykkes medf i stedet for 2Ω.

4.5.2 Høyre side av (186) Det følger fra figur 25 at

tanγ= H

2|δr| (197)

videre benytter vi oss av redusert gravitasjon, se (173), g⁰=g∆ρ

ρ (198)

For en væske som er stabilt stratifisert, det vil si at en lett væske ligger over en tyngre væske, er g⁰ >0. I v˚art tilfelle har vi en stabil stratifisering (siden væsken med tetthet ρ₂ ligger over væsken med tetthetρ₁, ogρ₁> ρ₂), slik at

g⁰=gρ₁−ρ₂

ρ (199)

Det følger da at

Her erN Brunt-V¨as¨al¨a frekvensen (se seksjon 4.2) N²=−g

Høyre side av (186) kan da skrives som g⁰tanγ

2Ω = g⁰H

4|δr|Ω = N²H²

4|δr|Ω (205)

4.5.3 Rossby deformasjonsradius

Margules sammenheng gitt ved (186) kan n˚a uttrykkes ved hjelp av (195) og (205). Løser vi med hensyn p˚a|δr|, f˚ar vi

2|δr|= N H 2Ω =

√g⁰H

2Ω ≡L_ρ (206)

I uttrykket over er Lρ Rossby deformasjonsradius, som er den karakteristiske lengdeskala hvor effekten av rotasjon er sammenlignbar med (eller balanserer) effekten av stratifisering (det vil si gravitasjon).

Rossby deformasjonsradius er en fundamental størrelse for dynamikken i atmosfæren og havet;

den gir lengeskalaen til lavtrykk i atmosfæren og hvirvler i havet. For midlere breddegrader (|ϕ| ≈ 20−40^◦) er L_ρ ≈ 700 km for atmosfæren og 50 km for havet (se figur 26). For høyere breddegrader avtarL_ρ, mensL_ρ øker mot ekvator. Ved ekvator kan Rossby deformasjonsradius gitt ved (206) ikke benyttes da uttrykket ikke gjelder for sm˚a |ϕ| (Rossby-talletR₀ er da ikke (mye) mindre enn 1, i motsetning til antagelsen for geostrofisk balanse, nemligR₀1).

Opprinnelig form av Margules sammenheng

Margules sammenheng ble opprinnelig utledet for ˚a beskrive en temperaturfront i atmosfæren.

Dette kan gjøres ved ˚a benytte den ideelle gasslov

p=RT ρ eller ρ= p

Figur 26: Utledet Rossby deformasjonsradius (i km) i havet. Figur fra Cheltonet al., 1998.

Dersom vi betrakter en liten endring i vertikal retning, vil p1 ≈ p2. I horisontal retning kan derimotT16=T2, slik som tilfellet vil være for en atmosfærisk varm-/kaldluftfront. Uttrykk (209) kan da forenkles til

g 1

T1

− 1 T2

tanγ=f ug2

T2

−ug1

T1

(210) eller

g(T2−T1) tanγ=f(ug2T1−ug1T2)≈f T(ug2−ug1) (211) hvorTer en typisk temperatur. Siste overgang er ok siden temperaturforskjellen|T2−T1|er typisk 10 K, som utgjør en endring i absolutt temperatur p˚a rundt fire prosent (10 K/273 K).

Uttrykk (211) kan da skrives p˚a formen

tanγ= f(ug2−ug1)

g(T2−T1)/T (212)

eller,

δu= g tanγ f

δT

T (213)

eller,

tanγ=f T g

∂u/∂z

∂T /∂z (214)

Høyre side av (213) er alltid positiv p˚a den nordlige halvkule og negativ p˚a den sørlige halvkule.

Dette betyr at det alltid vil være syklonsk sirkulasjon n˚ar vi betrakter sirkulasjonen p˚a tvers av en temperaturfront (se f.eks. figur 8.8 i Marshall & Plumb, 2008).

4.6 Frigjøring av potensiell energi

¹⁰

Grunnet temperaturgradienten mellom lave og høye breddegrader framkommer termalvindba-lansen med en østg˚aende jetstrøm p˚a rundt 30^◦ p˚a begge halvkuler, som skissert i figur 27.

Figur 27: Grunnet netto innstr˚aling ved lave breddegrader og netto varmetap p˚a høye breddegra-der er det en markant meridional temperaturgradient p˚a jorden. Denne temperaturgradienten gir opphav til vestavindsbeltene p˚a rundt 30^◦ p˚a begge halvkuler. Men en konfigurering som skissert i figuren er ustabil; lav- og høytrykk vil oppst˚a p˚a midlere breddegrader og det er disse synoptiske systemene som st˚ar for utjevningen av varme og momentum i meridional retning.

Men varme (og momentum) kan ikke transpoteres p˚a tvers av jetstrømmen. Mekanismen som bringer varme og momentum fra lave til høye breddegrader, og motsatt, kulde fra høye til lave breddegrader, er lav- og høytrykk p˚a midlere breddegrader. Vi kaller lav- og høytrykk for syn-optiske systemer. Og for en roterende kule som jorden med høy temperatur i tropene og lav temperatur mot polene, vil synoptiske systemer alltid oppst˚a p˚a midlere breddegrader. Disse synoptiske systemene kommer derfor i tillegg til jetstrømmen grunnet termalvind.

Bevegelsesenergien til de synoptiske systemene kommer fra tap av potensiell energi knyttet til bevegelsen til de synoptiske systemene. Hovedmekanismen er at varm luft fra tropene løftes i atmosfæren n˚ar den strømmer mot høyere breddegrader, mens kald luft fra høye breddegrader synker i atmosfæren p˚a vei mot tropene. Begge bevegelsene medfører tap av potensiell energi. Se tekst omkring figur 8.8 i Marshall & Plumb (2008) for en diskusjon om dette.

Overgang fra potensiell til kinetisk energi i forbindelse med synoptisk aktivitet p˚a midlere bredde-grader kan utledes basert p˚a figur 28. Vi betrakter to væskepartikler med tetthet ρ₁ og ρ₂ i posisjon (y1, z1) og (y2, z2). Partiklene bytter s˚a plass som del av sirkulasjonen i et lav- eller høytrykk. Vi antar at atmosfærens tetthet er kun en funksjon av potensiell temperatur,ρ=ρ(θ), med isolinjer for potensiell temperatur og potensiell tetthet som vist i figur 28.

10Se ogs˚a seksjon 9.1–9.3 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version:

December 11, 2007.

Figur 28: Atmosfære med isotermer for potensiell temperaturθ med stigningstalls₁ (avtagende temperatur i positiv y-retning, økende potensiell temperatur i positiv z-retning). Vi betrakter endring av potensiell energi ved ombytte av partiklene (y₁, z₁) og (y₂, z₂).

Initiell potensiell energi for de to væskepartiklene med tetthet ρ1 og ρ2 i posisjon (y1, z1) og (y2, z2) er

P Estart=g(ρ1z1+ρ2z2) (215)

Etter ombytte av væskepartiklene er den potensielle energien

P Eslutt=g(ρ2z1+ρ1z2) (216)

Endring i potensiell energi kan da uttrykkes som

∆P E=P E_slutt−P E_start=g(ρ₂z₁+ρ₁z₂−ρ₁z₁−ρ₂z₂) (217) (217) kan skrives som

∆P E=−g(ρ2−ρ1)(z2−z1) =−g∆ρ∆z (218) der

∆ρ=ρ2−ρ1 og ∆z=z2−z1 (219)

Uttrykk (218) sier at potensiell energi forblir uforandret dersom de to væskepakkene ligger p˚a samme niv˚a (z1 = z2) eller dersom de to væskepartiklenes tetthet er lik (ρ1 = ρ2). Sistnevn-te situasjon betyr at væskepartiklene bytSistnevn-ter plass langs isoSistnevn-termene for poSistnevn-tensiell Sistnevn-temperatur.

Potensiell energi vil bare øke n˚ar z2 > z1 og ρ2 < ρ1. Dette kan kvantifiseres som beskrevet under.

∆z kan uttrykkes ved hjelp av ∆y siden

tans= ∆z

∆y (220)

For sm˚a ser tans≈s, slik at

∆z=s∆y (221)

Videre har vi at sidenρvarierer iy- ogz-retningene, gjelder (se seksjon A.13)

∆ρ≈ ∂ρ

∂y∆y+∂ρ

∂z∆z (222)

Figur 29: Illustrasjon for overgang fra horisontal koordinat (∂p/∂y) til trykk-koordinat (∂p/∂z).

(221) og (222) innsatt i (218), gir

∆P E=−g

Videre kan vi uttrykke ∂ρ/∂y med hensyn p˚a ∂ρ/∂z. Til dette benytter vi at den potensielle temperaturenθ, og med det tettheten siden ρ=ρ(θ), er konstant langs isolinjene i figur (29).

Det følger da at

∂ρ Ved ˚a kombinere (224) og (225), følger det at

∂ρ

derρ_refer en typisk (eller referanse) tetthet ogN er oppdriftsfrekvensen (eller Brunt-V¨ais¨al¨a fre-kvensen, se seksjon 4.2) gitt ved

N²=− g ρref

∂ρ

∂z (228)

(227) kan skrives som

∆P E=ρrefN²(y2−y1)²s(s−s1) (229) Det følger derfor at

∆P E∝s(s−s₁) (230)

(230) uttrykker at den potensielle energien avtar – og med det at den kinetiske energien øker – for

0< s < s1 (231)

(231) er et sentralt resultat: Frigjøring av potensiell energi forkommer for væskepartikler som bytter plass innenfor en vertikal sektorsavgrenset av 0< s < s₁. Det er overgangen fra potensiell til kinetisk energi i denne sektoren som tilfører kinetisk energi til atmosfærens virvler.

Det framkommer ogs˚a av (230) at den mest effektive overgangen fra potensiell til kinetisk energi finner sted for den verdi avssom tilfredsstiller

∂∆P E

∂s = 0 eller ∂

∂s(s(s−s1)) = 0 (232)

det vil si for

s= s1

2 (233)

eller for vinkelenssom halverer sektoren avgrenset av konstant høydezog vinkelen s1.

4.7 Potensiell energi

Potensiell energi til et system er gitt ved produktetmgh, dermer massen,ger gravitasjonskon-stanten ogher en høyde i gravitasjonens retning (vertikal retning) som potensiell energi beregnes relativt til.

For et system med volum dV = dxdydz og tetthet ρ, kan potensiell energi P E uttrykkes som

P E=ρ dV gz=gzρ dV (234)

Her betegnerzhøyden somP E beregnes relativt til.

For en væske begrenset av et bestemt volum, kan potensiell energi for væsken uttrykkes som P E=g

Z

zρ dV (235)

Her er integrasjonen over volumetV som avgrensen væsken.

4.8 Beregning av potensiell energi for en tolagsmodell

Potensiell energi per enhetslengde for tolagsmodellen vist i figur 30 er gitt ved P E=

Z H

0

Z L

−L

gρz dy dz (236)

Siden det er noen skrivefeil i boken i utledningen av den potensielle energien for en tolagsmodell (side 296 i Marshall & Plumb 2008), gjentas gjennomgangen her.

Integrasjonen iz-retningen kan splittes i to intervaller, et fraz= 0 tilz=h(y) (med tetthetρ₁) og et fraz=h(y) tilz=H (med tetthetρ₂)

P E= Z h(y)

0

Z L

−L

gρ₁z dy dz+ Z H

h(y)

Z L

−L

gρ₂z dy dz (237)

Figur 30: Illustrasjon p˚a en tolagsmodell med en væske med tetthet ρ₁ for 0 < z < h(y) og ρ₂< ρ₁forh(y)< z < H. Grenseflaten mellom væskene er gitt vedz=h(y) =H/2 +γy. Figur 8.9 i Marshall & Plumb (2008).

Siden ρ er konstant for hvert av de to delintervallene av z, samt at g er konstant, kan (237) skrives som

z-integralene i (238) kan løses direkte P E=

Innsatt i (239) gir dette P E=gρ1

Det siste leddet i siste linje i uttrykket over kan omskrives g(ρ₁+ 3ρ₂)H²L

hvor

g⁰= g(ρ1−ρ2)

ρ₁ (245)

er den reduserte gravitasjonen (se 173).

Det følger da at (243) kan skrives som P E= 1

Minste potensiell energi f˚aes forγ= 0 (n˚ar grenseflaten i figur 30 er horisontal), slik at P E_min=ρ₁

Tilgjengelig potensiell energi (available potential energy, APE) er da AP E=P E−P Emin=1

3ρ1g⁰γ²L³ (248)

4.9 Kinetisk energi

Kinetisk energi til et system er gitt ved produktet (1/2)mu², dermer masse oguer fart.

4.10 Kinetisk energi uttrykt med termalvind i en tolagsmodell

Assosiert med tolagsmodellen i figur 30 er det en termalvind. Margules sammenheng (185), for sm˚a γslik at tanγ≈γ, gir

ug2≈ g⁰γ

f (249)

hvor vi har antatt atug2ug1.

Den kinetiske energien er da (foru_g1≈0) KE=

Forholdet mellomAP EogKE fra (248) og (250) er AP E

hvor vi har benyttet atρ1≈ρ2.

Fra definisjonen av Rossby deformasjonsradius (206) følger det at L²_ρ=g⁰H

f² (252)

(251) kan da forenkles til

AP E potensielle energien knyttet til løftingen av varm luft, fra tropene mot høyere breddegrader, og senkingen av kald luft fra høye breddegrader til tropene, langt overstiger den kinetiske energien knyttet til jetstrømmens termalvind.

5 Vinddrevet havsirkulasjon

To sentrale teorier for vinddrevet havsirkulasjon er oppkalt etter den svenske oseanografen Vagn Walfrid Ekman (1874-1954) og den norske oseanografen Harald Ulrik Sverdrup (1888-1957).

Begge teoriene er utviklet basert p˚a de samme ligningene; horisontal momentumligning forR0 1 (se seksjon 3.2.2) og bare friksjon p˚a havets overflate (i dette tilfellet vindstressτ):

−f v+ 1

Horisontal hastighet u_h = (u, v) i (254) kan splittes i et geostrofisk u_g og et ageostrofisk u_ag bidrag, slik at

u_h=u_g+u_ag (255)

(254) kan defor skrives

−f(vg+vag) + 1

Per definisjon er den geostrofiske tilnærmingen gitt ved u_g=− 1

Den ageostrofiske tilnærmingen er da u_ag = 1

Siden hastighetskomponentene (u, v) forekommer lineært i (256), kan løsningen av (256) forenkles ved ˚a løse de geostrofiske og ageostrofiske uttrykkene (257) og (258) hver for seg. Løsningen av (256) er da gitt ved (255).

I tillegg til (254) og (256), kan kontinuitetsligningen for en inkompressibel væske uttrykkes som

∇ ·u= 0 eller ∇h·uh+∂w

∂z = 0 (259)

Her er∇h=ˆx∂/∂x+ˆy∂/∂y den horisontale gradient-operatoren. Innsatt (255), f˚ar vi

∇h·(u_g+u_ag) +∂w

∂z = 0 (260)

Det følger da at n˚ar de horisontale hastighetskomponenteneu_gogu_ager kjent, kan (260) benyttes for ˚a bestemme den vertikale hastighetskomponentenw.

Betrakter vi ˚apent hav (eller den frie atmosfære) der friskjonen er liten, det vil si at vi holder oss borte fra Ekmanlaget, er høyre side av (256) neglisjerbar, slik atu≈ug, derug er gitt ved (257) og tilhørende vertikalhastighet er gitt ved (260) med uag = 0. I Ekmanlaget dominerer høyre side av (256), slik atu≈uag, deruag er gitt ved (258) og tilhørende vertikalhastighet er gitt ved (260) forug= 0.

5.1 Ekman teori

¹¹

Ekman-teorien følger antagelsene gitt over. I tillegg er Ekman-teorien basert p˚a en idealisert geometri i det vi betrakter et hav med uendelig horisontal utbredelse. I vertikalen betrakter vi to lag; det øvre, tynne Ekman-laget avgrenset av−δ < z <0, og under det termoklinen avgrenset av−H < z <−δ. Typiske verdier forδer 20-100 m, mensH ≈300−500 m.

5.1.1 Horisontal massetransport i Ekman-laget

Netto massetransport midlet over Ekman-laget finnes ved ˚a integrere den ageostrofiske ligningen (258) over Ekman-laget. Den ageostrofiske ligningen kan skrives p˚a vektorform som

fˆz×uag = 1 ρ_ref

∂τ

∂z (261)

Multipliserer vi (261) medρref og integrerer uttrykket fra bunnen av Ekman-laget, z =−δ, til overflatenz= 0, f˚ar vi

fˆz× Z 0

−δ

ρ_refu_agdz= Z 0

−δ

∂τ

∂zdz=τ(0)−τ(−δ) (262) Sidenτ(z= 0) =τvind ogτ(z=−δ) = 0, kan (262) skrives som

fˆz×MEk =τvind (263)

11Se ogs˚a seksjon 8.6 iIntroduction to Geophysical Fluid Dynamicsav Benoit Cushman-Roisin og Jean-Marie Beckers (2010), og seksjon 5.3 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version:

December 11, 2007.

I uttrykket over er

MEk≡ Z 0

−δ

ρrefuagdz (264)

den laterale (horisontale) massetransporten i Ekman-laget, kaltEkman-transporten.

Krysser vi (263) medˆzfra venstre, som vist til venstre i figur 31, f˚ar vi MEk =τvind׈z

f (265)

Fra høyre i figur 31 følger det at netto Ekman-transport i Ekman-laget er rettet 90^◦ til høyre

Figur 31: Venstre: Orientering av Ekman-transportenMEki forhold til enhetsvektorenˆz. Høyre:

Orienteringen av Ekman-transporten p˚a den nordlige halvkule i forhold til vindstress-vektoren τ.

for vindstress-vektoren p˚a den nordlige halvkule (f > 0). P˚a den sørlige halvkulen er Ekman-transporten rettet 90^◦til venstre for vindstress-vektoren.

5.1.2 Transport gjennom nedre grenseflate p˚a Ekman-laget

Verikal transport gjennom den nedre grenseflaten p˚a Ekman-laget framkommer av kontinuitets-ligningen med ageostrofisk horisontal hastighet

∇h·uag+∂w

∂z = 0 (266)

Integrerer vi (266) over Ekman-laget, f˚ar vi

∇_h· Z 0

−δ

u_agdz+ Z 0

−δ

∂w

∂z dz= 0 (267)

eller

1

ρ_ref∇h·MEk+w(0)−w(−δ) = 0 (268) Sidenw(z= 0) = 0, kan (268) skrives som

wEk= 1 ρref

∇h·MEk (269)

derwEk ≡w(z=−δ).

(265) innsatt inn i (269) gir

I overgangen over har vi brukt vektoridentiteten

∇ ·(a×b) =b·(∇ ×a)−a·(∇ ×b) (271) meda=τ_vind/f ogb=ˆz.

Siden enhetsvektorenˆzer konstant, følger det fra (270) at vertikal hastighet gjennom den nedre grenseflaten av Ekman-laget kan uttrykkes som

w_Ek= 1

Typisk varierer vindstresset med 0.2 N m⁻² over 20 breddegrader. For en breddegrad p˚a rundt 45^◦, følger det da fra (272) at 300-500 m) grunnet Ekman-pumping.

5.1.3 Respons av Ekman-pumping under Ekman-laget

Under Ekman-laget gjelder gostrofisk tilnærming gitt ved (257). Horisontal divergens til geostro-fisk strøm er Utfører vi derivasjonen p˚a uttrykkene i parantes, og bruker at f =f(y), f˚ar vi

∇h·ug=− 1

De to første leddene kansellerer hverandre, mens uttrykket for vg fra (257) kan brukes for ˚a forenkle det siste leddet. Dette gir

∇h·u_g=−β

fv_g (276)

hvor β = df /dy. Siden f øker med y for alle verdier av y (ogs˚a p˚a sørlige halvkule), er β = df /dy >0, se (282).

Kontinuitetsligningen uttrykt medug er

∇h·ug+∂w

∂z = 0 (277)

(276) og (277) gir sammenheng mellom meridional geostrofisk hastighetv_g og vertikal hastighet wsiden

βvg=f∂w

∂z (278)

Integrerer vi (278) fra termoklinenz =−H til nedre grenseflate for Ekman-laget ved z =−δ, f˚ar vi

Uttrykket over kan skrives som

β Z −δ

−H

vgdz≈f wEk (280)

hvor vi har antatt atw(−δ) =wEkw(−H).

Vi kan bruke (280) for ˚a estimere forskjellen i størrelsen tilvg ogwEk. (280) gir vg(H−δ)≈ f

βwEk (281)

hvorvg er en typisk (midlet) meridional (nord-sør rettet) hastighet i havet under Ekman-laget.

SidenH δ, erH−δ≈H. Videre følger det fra definisjonen av buelengden atdy=a dϕ, slik

hvoraer jordens radius. (281) kan derfor skrives som vg≈ f for midlere breddegraderϕ= 45^◦, følger det atv_g≈10⁴w_Ek. Typisk verdi for Ekman-pumpingen er 30 m ˚ar⁻¹, som derfor gir en meridional hastighet v_g midlet over termoklinen p˚a rundt 1 cm s⁻¹.

5.1.4 Meridional hastighet ved Ekman-pumping forklart med Taylor-Proudman teoremet¹²

Taylor-Proudman teoremet kan uttrykkes som

∂u

∂ˆzΩ

= 0 (284)

hvorˆz_Ω er retningen til jordens rotasjonsakse. Antagelsene for TP-teoremet er at vi betrakter en homogen og roterende væske, at sirkulasjonen er stasjonær (at sirkulasjonen ikke varierer i

12Se ogs˚a diskusjon i seksjon 4.1-4.4 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, 2007.

tid; ∂/∂t = 0), at friksjonen er neglisjerbar og at Rossbytallet R0 1. For disse antagelsene uttrykker (284) at komponentene tiluer konstant i retningen til jordens rotasjonsakse.

Ved Ekman-pumping føres vann ned gjennom nedre grenseflate av Ekman-laget. En tenkt væs-kesøyle (kalt en Taylor-søyle) rettet langsˆzΩkan da endres p˚a to m˚ater; ved at sylinderens radius øker (venstre del av figur 32) eller at søylens høyde øker (høyre del av figur 32). Begge tilfellene tilfredsstiller (284).

Figur 32: Figur 10.14 i Marshall & Plumb (2008).

Spinnsatsen anvendt p˚a alternativet til venstre i figur 32 gir at endringen i azimutal hastighet δuθer gitt ved (se utledning som leder til (192))

δuθ=−2Ωδr (285)

(285) sier atδuθ avtar n˚ar sylinderens radiusr øker. At hastighetskomponentenδuθ endrer seg som følge av Ekman-pumpingen strider mot en av TP-teoremets antagelser, nemlig at∂/∂t= 0.

Følgelig kan ikke Taylor-søylen endre seg som vist til venstre i figur 32.

Alternativ 2 er i tr˚ad med TP-teoremet. Den eneste muligheten søylens høyde kan øke (n˚ar Ekman-pumpingen er rettet ned i havet, det vil si for∂w/∂z <0), er at søylen beveger seg mot ekvator. Dette er illustrert i figur 33 hvor Taylor-søylen med høydedfor breddegradϕ(rød farge) øker sin høyde n˚ar den beveger seg mot ekvator (grøn farge). Med de gitte vinklene, følger det at

cosθ=h

d (286)

Sidenθ=π/2−ϕ, gjelder cosθ= cosπ

2 −ϕ

= cosπ 2

cosϕ+ sinπ 2

sinϕ= sinϕ (287)

Vi f˚ar da at

d= h

sinϕ (288)

Den røde søylen i figur 34 viser geometrien til Taylor-søylen i figur 33. Dersom Taylor-søylens

Figur 33: Illustrasjon p˚a en Taylor-søyle med høyded(rød strek) plassert i et hav med tykkelse h(mørk bl˚a strek). N˚ar søylen beveger seg mot ekvator, vil søylens høyde øke (grøn farge).

Figur 34: Til venstre vises geometrien til den røde Taylor-søylen i figur 33. Tayolor-søylen har et arealπr², hvorrer søylens radius. Nedre grenseflate til Ekman-laget skjærer gjennom søylen som illustrert med den stiplede, svarte linjen. Tverrsnittet til arealet av tilhørende ellipse er πr₁r₂, hvorr₁ogr₂ er ellipsens halvakser (ogr₁=r). Til høyre vises Taylor-søylen, betraktet parallelt med ellipsen vist p˚a figuren til venstre.

radius err, er søylens areal

A=πr² (289)

Tenker vi oss at nederste grense for Ekman-laget skjærer gjennom Taylor-søylen, vil Ekman-laget beskrive en ellipse i sylinderen med areal

A⁰=πr1r2 (290)

derr1 ogr2 er ellipsens halvakser. Fra venstre del av figur 34 følger det at r1=r, og fra høyre del av samme figur gjelder

cosπ 2 −ϕ

= r

r₂ (291)

Siden cos(π/2−ϕ) = sinϕ(se 287), følger det at r2= r

sinϕ (292)

Ellipsens arealA⁰ kan da skrives som

A⁰ =πr₁r₂=π r²

sinϕ = A

sinϕ (293)

Det følger n˚a at Ekman-pumpingen (w_Ek) ned i Taylor-søylen er A⁰wEk= A

sinϕwEk (294)

Som følge av Ekman-pumpingen, vil søylens høydehøke. Siden wEk <0 ved Ekman-pumping ned i havet, kan vi skrive

wEk=−Dh

Dt (295)

(295) innstatt i (294) gir

A⁰wEk= A

sinϕwEk=− A sinϕ

Dh

Dt =−ADd

Dt (296)

hvor (288) er brukt i siste overgang.

Fra andre og siste likhet i (296) følger det at w_Ek

sinϕ =−Dd

Dt (297)

Sidender en funksjon avϕ,d=d(ϕ), gir Taylor-rekkeutvikling til laveste orden at δd= ∂d

∂ϕδϕ= dd

dϕδϕ (298)

Dividerer vi uttrykket over medδt, f˚ar vi for sm˚aδdogδϕat Dd

Dt = dd dϕ

Dϕ

Dt (299)

Dette gir at

Dernest, basert p˚a definisjonen av en buelengde, følger det at

dy=a dϕ (302)

hvoraer jordens radius. Den tidsderiverte av (302) gir Dy

(301) og (303) innsatt i (300) gir

wEk= v a

hcosϕ

sinϕ (304)

Multipliserer vi uttrykket over med 2 Ω sinϕ, f˚ar vi 2 Ω sinϕ wEk=vh2 Ω

a cosϕ (305)

Siste uttrykk kan forenkles ved hjelp av Coriolisparameterenf ogdf /dysiden f = 2 Ω sinϕ og df

dy = 2Ω

a cosϕ=β (306)

Innsatt i (305) gir dette

f w_Ek=vhβ (307)

eller

βv=fw_Ek

h (308)

Uttrykket over, baset p˚a Taylor-Proudman teoremet, har samme form som hastighetsbalansen

Uttrykket over, baset p˚a Taylor-Proudman teoremet, har samme form som hastighetsbalansen

In document Gjennomgang av deler av kapittel 6, 7, 8 og 10 i Marshall & Plumb (2008) (sider 45-0)