Rossby deformasjonsradius

Margules sammenheng gitt ved (186) kan n˚a uttrykkes ved hjelp av (195) og (205). Løser vi med hensyn p˚a|δr|, f˚ar vi

2|δr|= N H 2Ω =

√g⁰H

2Ω ≡L_ρ (206)

I uttrykket over er Lρ Rossby deformasjonsradius, som er den karakteristiske lengdeskala hvor effekten av rotasjon er sammenlignbar med (eller balanserer) effekten av stratifisering (det vil si gravitasjon).

Rossby deformasjonsradius er en fundamental størrelse for dynamikken i atmosfæren og havet;

den gir lengeskalaen til lavtrykk i atmosfæren og hvirvler i havet. For midlere breddegrader (|ϕ| ≈ 20−40^◦) er L_ρ ≈ 700 km for atmosfæren og 50 km for havet (se figur 26). For høyere breddegrader avtarL_ρ, mensL_ρ øker mot ekvator. Ved ekvator kan Rossby deformasjonsradius gitt ved (206) ikke benyttes da uttrykket ikke gjelder for sm˚a |ϕ| (Rossby-talletR₀ er da ikke (mye) mindre enn 1, i motsetning til antagelsen for geostrofisk balanse, nemligR₀1).

Opprinnelig form av Margules sammenheng

Margules sammenheng ble opprinnelig utledet for ˚a beskrive en temperaturfront i atmosfæren.

Dette kan gjøres ved ˚a benytte den ideelle gasslov

p=RT ρ eller ρ= p

Figur 26: Utledet Rossby deformasjonsradius (i km) i havet. Figur fra Cheltonet al., 1998.

Dersom vi betrakter en liten endring i vertikal retning, vil p1 ≈ p2. I horisontal retning kan derimotT16=T2, slik som tilfellet vil være for en atmosfærisk varm-/kaldluftfront. Uttrykk (209) kan da forenkles til

g 1

T1

− 1 T2

tanγ=f ug2

T2

−ug1

T1

(210) eller

g(T2−T1) tanγ=f(ug2T1−ug1T2)≈f T(ug2−ug1) (211) hvorTer en typisk temperatur. Siste overgang er ok siden temperaturforskjellen|T2−T1|er typisk 10 K, som utgjør en endring i absolutt temperatur p˚a rundt fire prosent (10 K/273 K).

Uttrykk (211) kan da skrives p˚a formen

tanγ= f(ug2−ug1)

g(T2−T1)/T (212)

eller,

δu= g tanγ f

δT

T (213)

eller,

tanγ=f T g

∂u/∂z

∂T /∂z (214)

Høyre side av (213) er alltid positiv p˚a den nordlige halvkule og negativ p˚a den sørlige halvkule.

Dette betyr at det alltid vil være syklonsk sirkulasjon n˚ar vi betrakter sirkulasjonen p˚a tvers av en temperaturfront (se f.eks. figur 8.8 i Marshall & Plumb, 2008).

4.6 Frigjøring av potensiell energi

¹⁰

Grunnet temperaturgradienten mellom lave og høye breddegrader framkommer termalvindba-lansen med en østg˚aende jetstrøm p˚a rundt 30^◦ p˚a begge halvkuler, som skissert i figur 27.

Figur 27: Grunnet netto innstr˚aling ved lave breddegrader og netto varmetap p˚a høye breddegra-der er det en markant meridional temperaturgradient p˚a jorden. Denne temperaturgradienten gir opphav til vestavindsbeltene p˚a rundt 30^◦ p˚a begge halvkuler. Men en konfigurering som skissert i figuren er ustabil; lav- og høytrykk vil oppst˚a p˚a midlere breddegrader og det er disse synoptiske systemene som st˚ar for utjevningen av varme og momentum i meridional retning.

Men varme (og momentum) kan ikke transpoteres p˚a tvers av jetstrømmen. Mekanismen som bringer varme og momentum fra lave til høye breddegrader, og motsatt, kulde fra høye til lave breddegrader, er lav- og høytrykk p˚a midlere breddegrader. Vi kaller lav- og høytrykk for syn-optiske systemer. Og for en roterende kule som jorden med høy temperatur i tropene og lav temperatur mot polene, vil synoptiske systemer alltid oppst˚a p˚a midlere breddegrader. Disse synoptiske systemene kommer derfor i tillegg til jetstrømmen grunnet termalvind.

Bevegelsesenergien til de synoptiske systemene kommer fra tap av potensiell energi knyttet til bevegelsen til de synoptiske systemene. Hovedmekanismen er at varm luft fra tropene løftes i atmosfæren n˚ar den strømmer mot høyere breddegrader, mens kald luft fra høye breddegrader synker i atmosfæren p˚a vei mot tropene. Begge bevegelsene medfører tap av potensiell energi. Se tekst omkring figur 8.8 i Marshall & Plumb (2008) for en diskusjon om dette.

Overgang fra potensiell til kinetisk energi i forbindelse med synoptisk aktivitet p˚a midlere bredde-grader kan utledes basert p˚a figur 28. Vi betrakter to væskepartikler med tetthet ρ₁ og ρ₂ i posisjon (y1, z1) og (y2, z2). Partiklene bytter s˚a plass som del av sirkulasjonen i et lav- eller høytrykk. Vi antar at atmosfærens tetthet er kun en funksjon av potensiell temperatur,ρ=ρ(θ), med isolinjer for potensiell temperatur og potensiell tetthet som vist i figur 28.

10Se ogs˚a seksjon 9.1–9.3 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version:

December 11, 2007.

Figur 28: Atmosfære med isotermer for potensiell temperaturθ med stigningstalls₁ (avtagende temperatur i positiv y-retning, økende potensiell temperatur i positiv z-retning). Vi betrakter endring av potensiell energi ved ombytte av partiklene (y₁, z₁) og (y₂, z₂).

Initiell potensiell energi for de to væskepartiklene med tetthet ρ1 og ρ2 i posisjon (y1, z1) og (y2, z2) er

P Estart=g(ρ1z1+ρ2z2) (215)

Etter ombytte av væskepartiklene er den potensielle energien

P Eslutt=g(ρ2z1+ρ1z2) (216)

Endring i potensiell energi kan da uttrykkes som

∆P E=P E_slutt−P E_start=g(ρ₂z₁+ρ₁z₂−ρ₁z₁−ρ₂z₂) (217) (217) kan skrives som

∆P E=−g(ρ2−ρ1)(z2−z1) =−g∆ρ∆z (218) der

∆ρ=ρ2−ρ1 og ∆z=z2−z1 (219)

Uttrykk (218) sier at potensiell energi forblir uforandret dersom de to væskepakkene ligger p˚a samme niv˚a (z1 = z2) eller dersom de to væskepartiklenes tetthet er lik (ρ1 = ρ2). Sistnevn-te situasjon betyr at væskepartiklene bytSistnevn-ter plass langs isoSistnevn-termene for poSistnevn-tensiell Sistnevn-temperatur.

Potensiell energi vil bare øke n˚ar z2 > z1 og ρ2 < ρ1. Dette kan kvantifiseres som beskrevet under.

∆z kan uttrykkes ved hjelp av ∆y siden

tans= ∆z

∆y (220)

For sm˚a ser tans≈s, slik at

∆z=s∆y (221)

Videre har vi at sidenρvarierer iy- ogz-retningene, gjelder (se seksjon A.13)

∆ρ≈ ∂ρ

∂y∆y+∂ρ

∂z∆z (222)

Figur 29: Illustrasjon for overgang fra horisontal koordinat (∂p/∂y) til trykk-koordinat (∂p/∂z).

(221) og (222) innsatt i (218), gir

∆P E=−g

Videre kan vi uttrykke ∂ρ/∂y med hensyn p˚a ∂ρ/∂z. Til dette benytter vi at den potensielle temperaturenθ, og med det tettheten siden ρ=ρ(θ), er konstant langs isolinjene i figur (29).

Det følger da at

∂ρ Ved ˚a kombinere (224) og (225), følger det at

∂ρ

derρ_refer en typisk (eller referanse) tetthet ogN er oppdriftsfrekvensen (eller Brunt-V¨ais¨al¨a fre-kvensen, se seksjon 4.2) gitt ved

N²=− g ρref

∂ρ

∂z (228)

(227) kan skrives som

∆P E=ρrefN²(y2−y1)²s(s−s1) (229) Det følger derfor at

∆P E∝s(s−s₁) (230)

(230) uttrykker at den potensielle energien avtar – og med det at den kinetiske energien øker – for

0< s < s1 (231)

(231) er et sentralt resultat: Frigjøring av potensiell energi forkommer for væskepartikler som bytter plass innenfor en vertikal sektorsavgrenset av 0< s < s₁. Det er overgangen fra potensiell til kinetisk energi i denne sektoren som tilfører kinetisk energi til atmosfærens virvler.

Det framkommer ogs˚a av (230) at den mest effektive overgangen fra potensiell til kinetisk energi finner sted for den verdi avssom tilfredsstiller

∂∆P E

∂s = 0 eller ∂

∂s(s(s−s1)) = 0 (232)

det vil si for

s= s1

2 (233)

eller for vinkelenssom halverer sektoren avgrenset av konstant høydezog vinkelen s1.

4.7 Potensiell energi

Potensiell energi til et system er gitt ved produktetmgh, dermer massen,ger gravitasjonskon-stanten ogher en høyde i gravitasjonens retning (vertikal retning) som potensiell energi beregnes relativt til.

For et system med volum dV = dxdydz og tetthet ρ, kan potensiell energi P E uttrykkes som

P E=ρ dV gz=gzρ dV (234)

Her betegnerzhøyden somP E beregnes relativt til.

For en væske begrenset av et bestemt volum, kan potensiell energi for væsken uttrykkes som P E=g

Z

zρ dV (235)

Her er integrasjonen over volumetV som avgrensen væsken.

4.8 Beregning av potensiell energi for en tolagsmodell

Potensiell energi per enhetslengde for tolagsmodellen vist i figur 30 er gitt ved P E=

Z H

0

Z L

−L

gρz dy dz (236)

Siden det er noen skrivefeil i boken i utledningen av den potensielle energien for en tolagsmodell (side 296 i Marshall & Plumb 2008), gjentas gjennomgangen her.

Integrasjonen iz-retningen kan splittes i to intervaller, et fraz= 0 tilz=h(y) (med tetthetρ₁) og et fraz=h(y) tilz=H (med tetthetρ₂)

P E= Z h(y)

0

Z L

−L

gρ₁z dy dz+ Z H

h(y)

Z L

−L

gρ₂z dy dz (237)

Figur 30: Illustrasjon p˚a en tolagsmodell med en væske med tetthet ρ₁ for 0 < z < h(y) og ρ₂< ρ₁forh(y)< z < H. Grenseflaten mellom væskene er gitt vedz=h(y) =H/2 +γy. Figur 8.9 i Marshall & Plumb (2008).

Siden ρ er konstant for hvert av de to delintervallene av z, samt at g er konstant, kan (237) skrives som

z-integralene i (238) kan løses direkte P E=

Innsatt i (239) gir dette P E=gρ1

Det siste leddet i siste linje i uttrykket over kan omskrives g(ρ₁+ 3ρ₂)H²L

hvor

g⁰= g(ρ1−ρ2)

ρ₁ (245)

er den reduserte gravitasjonen (se 173).

Det følger da at (243) kan skrives som P E= 1

Minste potensiell energi f˚aes forγ= 0 (n˚ar grenseflaten i figur 30 er horisontal), slik at P E_min=ρ₁

Tilgjengelig potensiell energi (available potential energy, APE) er da AP E=P E−P Emin=1

3ρ1g⁰γ²L³ (248)

4.9 Kinetisk energi

Kinetisk energi til et system er gitt ved produktet (1/2)mu², dermer masse oguer fart.

4.10 Kinetisk energi uttrykt med termalvind i en tolagsmodell

Assosiert med tolagsmodellen i figur 30 er det en termalvind. Margules sammenheng (185), for sm˚a γslik at tanγ≈γ, gir

ug2≈ g⁰γ

f (249)

hvor vi har antatt atug2ug1.

Den kinetiske energien er da (foru_g1≈0) KE=

Forholdet mellomAP EogKE fra (248) og (250) er AP E

hvor vi har benyttet atρ1≈ρ2.

Fra definisjonen av Rossby deformasjonsradius (206) følger det at L²_ρ=g⁰H

f² (252)

(251) kan da forenkles til

AP E potensielle energien knyttet til løftingen av varm luft, fra tropene mot høyere breddegrader, og senkingen av kald luft fra høye breddegrader til tropene, langt overstiger den kinetiske energien knyttet til jetstrømmens termalvind.

5 Vinddrevet havsirkulasjon

To sentrale teorier for vinddrevet havsirkulasjon er oppkalt etter den svenske oseanografen Vagn Walfrid Ekman (1874-1954) og den norske oseanografen Harald Ulrik Sverdrup (1888-1957).

Begge teoriene er utviklet basert p˚a de samme ligningene; horisontal momentumligning forR0 1 (se seksjon 3.2.2) og bare friksjon p˚a havets overflate (i dette tilfellet vindstressτ):

−f v+ 1

Horisontal hastighet u_h = (u, v) i (254) kan splittes i et geostrofisk u_g og et ageostrofisk u_ag bidrag, slik at

u_h=u_g+u_ag (255)

(254) kan defor skrives

−f(vg+vag) + 1

Per definisjon er den geostrofiske tilnærmingen gitt ved u_g=− 1

Den ageostrofiske tilnærmingen er da u_ag = 1

Siden hastighetskomponentene (u, v) forekommer lineært i (256), kan løsningen av (256) forenkles ved ˚a løse de geostrofiske og ageostrofiske uttrykkene (257) og (258) hver for seg. Løsningen av (256) er da gitt ved (255).

I tillegg til (254) og (256), kan kontinuitetsligningen for en inkompressibel væske uttrykkes som

∇ ·u= 0 eller ∇h·uh+∂w

∂z = 0 (259)

Her er∇h=ˆx∂/∂x+ˆy∂/∂y den horisontale gradient-operatoren. Innsatt (255), f˚ar vi

∇h·(u_g+u_ag) +∂w

∂z = 0 (260)

Det følger da at n˚ar de horisontale hastighetskomponenteneu_gogu_ager kjent, kan (260) benyttes for ˚a bestemme den vertikale hastighetskomponentenw.

Betrakter vi ˚apent hav (eller den frie atmosfære) der friskjonen er liten, det vil si at vi holder oss borte fra Ekmanlaget, er høyre side av (256) neglisjerbar, slik atu≈ug, derug er gitt ved (257) og tilhørende vertikalhastighet er gitt ved (260) med uag = 0. I Ekmanlaget dominerer høyre side av (256), slik atu≈uag, deruag er gitt ved (258) og tilhørende vertikalhastighet er gitt ved (260) forug= 0.

5.1 Ekman teori

¹¹

Ekman-teorien følger antagelsene gitt over. I tillegg er Ekman-teorien basert p˚a en idealisert geometri i det vi betrakter et hav med uendelig horisontal utbredelse. I vertikalen betrakter vi to lag; det øvre, tynne Ekman-laget avgrenset av−δ < z <0, og under det termoklinen avgrenset av−H < z <−δ. Typiske verdier forδer 20-100 m, mensH ≈300−500 m.

5.1.1 Horisontal massetransport i Ekman-laget

Netto massetransport midlet over Ekman-laget finnes ved ˚a integrere den ageostrofiske ligningen (258) over Ekman-laget. Den ageostrofiske ligningen kan skrives p˚a vektorform som

fˆz×uag = 1 ρ_ref

∂τ

∂z (261)

Multipliserer vi (261) medρref og integrerer uttrykket fra bunnen av Ekman-laget, z =−δ, til overflatenz= 0, f˚ar vi

fˆz× Z 0

−δ

ρ_refu_agdz= Z 0

−δ

∂τ

∂zdz=τ(0)−τ(−δ) (262) Sidenτ(z= 0) =τvind ogτ(z=−δ) = 0, kan (262) skrives som

fˆz×MEk =τvind (263)

11Se ogs˚a seksjon 8.6 iIntroduction to Geophysical Fluid Dynamicsav Benoit Cushman-Roisin og Jean-Marie Beckers (2010), og seksjon 5.3 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version:

December 11, 2007.

I uttrykket over er

MEk≡ Z 0

−δ

ρrefuagdz (264)

den laterale (horisontale) massetransporten i Ekman-laget, kaltEkman-transporten.

Krysser vi (263) medˆzfra venstre, som vist til venstre i figur 31, f˚ar vi MEk =τvind׈z

f (265)

Fra høyre i figur 31 følger det at netto Ekman-transport i Ekman-laget er rettet 90^◦ til høyre

Figur 31: Venstre: Orientering av Ekman-transportenMEki forhold til enhetsvektorenˆz. Høyre:

Orienteringen av Ekman-transporten p˚a den nordlige halvkule i forhold til vindstress-vektoren τ.

for vindstress-vektoren p˚a den nordlige halvkule (f > 0). P˚a den sørlige halvkulen er Ekman-transporten rettet 90^◦til venstre for vindstress-vektoren.

5.1.2 Transport gjennom nedre grenseflate p˚a Ekman-laget

Verikal transport gjennom den nedre grenseflaten p˚a Ekman-laget framkommer av kontinuitets-ligningen med ageostrofisk horisontal hastighet

∇h·uag+∂w

∂z = 0 (266)

Integrerer vi (266) over Ekman-laget, f˚ar vi

∇_h· Z 0

−δ

u_agdz+ Z 0

−δ

∂w

∂z dz= 0 (267)

eller

1

ρ_ref∇h·MEk+w(0)−w(−δ) = 0 (268) Sidenw(z= 0) = 0, kan (268) skrives som

wEk= 1 ρref

∇h·MEk (269)

derwEk ≡w(z=−δ).

(265) innsatt inn i (269) gir

I overgangen over har vi brukt vektoridentiteten

∇ ·(a×b) =b·(∇ ×a)−a·(∇ ×b) (271) meda=τ_vind/f ogb=ˆz.

Siden enhetsvektorenˆzer konstant, følger det fra (270) at vertikal hastighet gjennom den nedre grenseflaten av Ekman-laget kan uttrykkes som

w_Ek= 1

Typisk varierer vindstresset med 0.2 N m⁻² over 20 breddegrader. For en breddegrad p˚a rundt 45^◦, følger det da fra (272) at 300-500 m) grunnet Ekman-pumping.

5.1.3 Respons av Ekman-pumping under Ekman-laget

Under Ekman-laget gjelder gostrofisk tilnærming gitt ved (257). Horisontal divergens til geostro-fisk strøm er Utfører vi derivasjonen p˚a uttrykkene i parantes, og bruker at f =f(y), f˚ar vi

∇h·ug=− 1

De to første leddene kansellerer hverandre, mens uttrykket for vg fra (257) kan brukes for ˚a forenkle det siste leddet. Dette gir

∇h·u_g=−β

fv_g (276)

hvor β = df /dy. Siden f øker med y for alle verdier av y (ogs˚a p˚a sørlige halvkule), er β = df /dy >0, se (282).

Kontinuitetsligningen uttrykt medug er

∇h·ug+∂w

∂z = 0 (277)

(276) og (277) gir sammenheng mellom meridional geostrofisk hastighetv_g og vertikal hastighet wsiden

βvg=f∂w

∂z (278)

Integrerer vi (278) fra termoklinenz =−H til nedre grenseflate for Ekman-laget ved z =−δ, f˚ar vi

Uttrykket over kan skrives som

β Z −δ

−H

vgdz≈f wEk (280)

hvor vi har antatt atw(−δ) =wEkw(−H).

Vi kan bruke (280) for ˚a estimere forskjellen i størrelsen tilvg ogwEk. (280) gir vg(H−δ)≈ f

βwEk (281)

hvorvg er en typisk (midlet) meridional (nord-sør rettet) hastighet i havet under Ekman-laget.

SidenH δ, erH−δ≈H. Videre følger det fra definisjonen av buelengden atdy=a dϕ, slik

hvoraer jordens radius. (281) kan derfor skrives som vg≈ f for midlere breddegraderϕ= 45^◦, følger det atv_g≈10⁴w_Ek. Typisk verdi for Ekman-pumpingen er 30 m ˚ar⁻¹, som derfor gir en meridional hastighet v_g midlet over termoklinen p˚a rundt 1 cm s⁻¹.

5.1.4 Meridional hastighet ved Ekman-pumping forklart med Taylor-Proudman teoremet¹²

Taylor-Proudman teoremet kan uttrykkes som

∂u

∂ˆzΩ

= 0 (284)

hvorˆz_Ω er retningen til jordens rotasjonsakse. Antagelsene for TP-teoremet er at vi betrakter en homogen og roterende væske, at sirkulasjonen er stasjonær (at sirkulasjonen ikke varierer i

12Se ogs˚a diskusjon i seksjon 4.1-4.4 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, 2007.

tid; ∂/∂t = 0), at friksjonen er neglisjerbar og at Rossbytallet R0 1. For disse antagelsene uttrykker (284) at komponentene tiluer konstant i retningen til jordens rotasjonsakse.

Ved Ekman-pumping føres vann ned gjennom nedre grenseflate av Ekman-laget. En tenkt væs-kesøyle (kalt en Taylor-søyle) rettet langsˆzΩkan da endres p˚a to m˚ater; ved at sylinderens radius øker (venstre del av figur 32) eller at søylens høyde øker (høyre del av figur 32). Begge tilfellene tilfredsstiller (284).

Figur 32: Figur 10.14 i Marshall & Plumb (2008).

Spinnsatsen anvendt p˚a alternativet til venstre i figur 32 gir at endringen i azimutal hastighet δuθer gitt ved (se utledning som leder til (192))

δuθ=−2Ωδr (285)

(285) sier atδuθ avtar n˚ar sylinderens radiusr øker. At hastighetskomponentenδuθ endrer seg som følge av Ekman-pumpingen strider mot en av TP-teoremets antagelser, nemlig at∂/∂t= 0.

Følgelig kan ikke Taylor-søylen endre seg som vist til venstre i figur 32.

Alternativ 2 er i tr˚ad med TP-teoremet. Den eneste muligheten søylens høyde kan øke (n˚ar Ekman-pumpingen er rettet ned i havet, det vil si for∂w/∂z <0), er at søylen beveger seg mot ekvator. Dette er illustrert i figur 33 hvor Taylor-søylen med høydedfor breddegradϕ(rød farge) øker sin høyde n˚ar den beveger seg mot ekvator (grøn farge). Med de gitte vinklene, følger det at

cosθ=h

d (286)

Sidenθ=π/2−ϕ, gjelder cosθ= cosπ

2 −ϕ

= cosπ 2

cosϕ+ sinπ 2

sinϕ= sinϕ (287)

Vi f˚ar da at

d= h

sinϕ (288)

Den røde søylen i figur 34 viser geometrien til Taylor-søylen i figur 33. Dersom Taylor-søylens

Figur 33: Illustrasjon p˚a en Taylor-søyle med høyded(rød strek) plassert i et hav med tykkelse h(mørk bl˚a strek). N˚ar søylen beveger seg mot ekvator, vil søylens høyde øke (grøn farge).

Figur 34: Til venstre vises geometrien til den røde Taylor-søylen i figur 33. Tayolor-søylen har et arealπr², hvorrer søylens radius. Nedre grenseflate til Ekman-laget skjærer gjennom søylen som illustrert med den stiplede, svarte linjen. Tverrsnittet til arealet av tilhørende ellipse er πr₁r₂, hvorr₁ogr₂ er ellipsens halvakser (ogr₁=r). Til høyre vises Taylor-søylen, betraktet parallelt med ellipsen vist p˚a figuren til venstre.

radius err, er søylens areal

A=πr² (289)

Tenker vi oss at nederste grense for Ekman-laget skjærer gjennom Taylor-søylen, vil Ekman-laget beskrive en ellipse i sylinderen med areal

A⁰=πr1r2 (290)

derr1 ogr2 er ellipsens halvakser. Fra venstre del av figur 34 følger det at r1=r, og fra høyre del av samme figur gjelder

cosπ 2 −ϕ

= r

r₂ (291)

Siden cos(π/2−ϕ) = sinϕ(se 287), følger det at r2= r

sinϕ (292)

Ellipsens arealA⁰ kan da skrives som

A⁰ =πr₁r₂=π r²

sinϕ = A

sinϕ (293)

Det følger n˚a at Ekman-pumpingen (w_Ek) ned i Taylor-søylen er A⁰wEk= A

sinϕwEk (294)

Som følge av Ekman-pumpingen, vil søylens høydehøke. Siden wEk <0 ved Ekman-pumping ned i havet, kan vi skrive

wEk=−Dh

Dt (295)

(295) innstatt i (294) gir

A⁰wEk= A

sinϕwEk=− A sinϕ

Dh

Dt =−ADd

Dt (296)

hvor (288) er brukt i siste overgang.

Fra andre og siste likhet i (296) følger det at w_Ek

sinϕ =−Dd

Dt (297)

Sidender en funksjon avϕ,d=d(ϕ), gir Taylor-rekkeutvikling til laveste orden at δd= ∂d

∂ϕδϕ= dd

dϕδϕ (298)

Dividerer vi uttrykket over medδt, f˚ar vi for sm˚aδdogδϕat Dd

Dt = dd dϕ

Dϕ

Dt (299)

Dette gir at

Dernest, basert p˚a definisjonen av en buelengde, følger det at

dy=a dϕ (302)

hvoraer jordens radius. Den tidsderiverte av (302) gir Dy

(301) og (303) innsatt i (300) gir

wEk= v a

hcosϕ

sinϕ (304)

Multipliserer vi uttrykket over med 2 Ω sinϕ, f˚ar vi 2 Ω sinϕ wEk=vh2 Ω

a cosϕ (305)

Siste uttrykk kan forenkles ved hjelp av Coriolisparameterenf ogdf /dysiden f = 2 Ω sinϕ og df

dy = 2Ω

a cosϕ=β (306)

Innsatt i (305) gir dette

f w_Ek=vhβ (307)

eller

βv=fw_Ek

h (308)

Uttrykket over, baset p˚a Taylor-Proudman teoremet, har samme form som hastighetsbalansen basert p˚a geostrofi, se (278). De to tilnærmingene er derfor konsistente.

Begge tilnærmingene gir at den vertikalintegrerte meridionale hastigheten generert av w_Ek er 10³ til 10⁴ ganger større enn Ekman-pumpingen selv. Mekanismen for denne akselerasjonen er Taylor-søylens bevegelse mot ekvator forw_Ek<0 og vekk fra ekvator forw_Ek>0. Som tidligere nevnt er typisk verdi for Ekman-pumpingen p˚a 30 m ˚ar⁻¹, som gir en meridional hastighetv≈1 cm s⁻¹.

5.2 Sverdrupbalanse

¹³

I motsetning til Ekman teorien, betrakter vi n˚a vinddrevet havsirkulasjon fra havets bunn (z=−D) til overflaten, og for et hav avgrenset av kontinenter. Siden Sørishavet ikke er avgren-set av kontinenter, gjelder ikke Sverdrupbalansen for dette havomr˚adet. Men Sverdrupbalansen

13Se ogs˚a seksjon 6.3 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: De-cember 11, 2007.

beskriver ellers havbassengenes respons til vind. Sverdrupbalansen beskriver ogs˚a, i motsetning til geostrofi, sirkulasjonen ved ekvator.

Antagelsene for Sverdrupbalansen erR01, at tetthetenρ=ρref (det vil si konstant tetthet) og at friksjonen mot bunn og sider (kontinentene) er liten.

Utledningen av Sverdrupbalansen følger utledningen av termoklinens respons til Ekman-pumping, se sekjson 5.1.3. Vi starter med de grunnleggende ligningene for vinddrevet havsirkulasjon (254)

−f v+ 1

Trykk-leddene i (309) kan elimineres ved ˚a derivere den øverste ligningen med −∂/∂y og den nederste ligningen med∂/∂x. Dette gir

βv=f∂w hvor de første to leddene er utledet i seksjon 5.1.3, mens vindstress-leddene følger direkte fra (309).

er dybde-integrert meridional transport. (312) og (313) er Sverdrupbalansen; en av de mest brukte sammenhengene for ˚a beskrive sirkulasjonen i verdenshavene.

Fra (313) følger det at den vertikalintegrerte meridionale hastighetenV = 0 hvor∇ ×τvind=0.

Derfor kan∇ ×τvind=0(null vind-kurl) brukes for ˚a definere de storstilte gyrene i havet.

I tillegg følger det fra (312) atV ≷0 forˆz· ∇ ×τvind≷0 (sidenβ >0).

5.2.1 Eksempel, sammenheng mellom Ekman- og Sverdrup-teori

Oppgave 3, side 220 i Marshall & Plumb: Vis at summen av meridional transport under Ekman-laget og meridonal transport i Ekman-laget er lik Sverdrup-transport for hele vannsøylen.

Under Ekman-laget gjelder følgende sammenheng for meridional geostrofisk transport vg og vertikal hastighetw(se uttrykk 278)

βvg =f ∂w

∂z (314)

Integrert fra havets bunnz=−Dtil Ekman-lagets undersidez=−δ, gir dette β

Z −δ

z=−D

vgdz=f(w(−δ)−w(−D)) (315)

Vertikal hastighet p˚a havets bunn er antatt neglisjerbar s˚a w(−D) = 0, mens vertikal hastighet p˚a undersiden av Ekman-laget er Ekman-hastighetenwEk. Dette gir

β Z −δ

z=−D

vgdz=f wEk (316)

wEker gitt ved (fra utrykk 272)

wEk= 1

For stor-skala bavegelse varierer b˚adeτvind,xogfi siste derivasjon, s˚a wEk= 1

Innsatt i (316) gir dette β

Meridional massetransport i Ekman-laget er, per definisjon (fra uttrykkene 264 og 265) MEk,v=

Z 0

z=−δ

ρrefvagdz=−1

f τvind,x (320)

Siste ledd i 319 kan derfor uttrykkes som integralet av meridional, ageostrofisk strøm over Ekman-laget, som gir Uttrykket over, som er p˚a formen til (312) og (313), sier at summen avmeridional geostrofisktransport i dyphavet (første integral) og meridional ageostrofisktransport i Ekman-laget (andre integral) er lik Sverdrup-transport (høyre side).

5.2.2 Sverdrupbalanse, geometrisk tolkning For dybdeintegrert strømU= (U, V), m˚a

∇_h·U= 0 (323)

For en divergensfri strøm eksisterer det enstrømfunksjon ψ (enhet m²s⁻¹) gitt ved U =−∂ψ

∂y og V =∂ψ

∂x (324)

Strømfunksjonen er nyttig da strømmen følger strømfunksjonens isolinjer, og at strømstyrken er proporsjonal med hvor tett strømfunksjonens isolinjer ligger.

At strømfunksjonen gitt ved (324) tilfredsstiller (323) følger av at

∇h·U= ∂U

Sverdrupbalansen uttrykt ved (312) kan derfor skrives som β V =β∂ψ

∂x = 1

ρ_refˆz· ∇ ×τvind (326) Sammenhengen representert ved de to siste leddene kan integreres ix-retningen. Siden det ikke kan være transport p˚a tvers av kontinentene, m˚aU = 0, det vil si atψ= konst, langs kontinen-tene.

Siden (326) er en første ordens differensialligning, kan vi bare foreskrive ´en grenseflatebetingelse.

Grunnet stor hastighet mot vestlig kyst (gjelder for begge halvkuler, tenk p˚a Golfstrømmen og Brasilstrømmen), bryter Sverdrupbalansen sammen ved vestlig kyst. Følgelig m˚a U = 0 (ψ = konst) langs østlig kyst. Vi integrerer derfor (326) fra østlig kyst og vestover for ˚a bestemme ψ.

Vindene bl˚aser, til laveste orden, i sonal (x-) retning. Derfor er (327) tilnærmet gitt ved ψ(x, y)≈ − 1

Dersom i tillegg vinden antas ˚a være tilnærmet konstant i sonal retning, betegnet ¯τ_vind,x, kan (328) forenkles til

β >0 for alle breddegrader og (x_øst−x)>0, hvor siste sammenheng følger av atxer rettet i østlig retning. Fortegnet tilψer derfor bestemt av fortegnet til∂¯τ_vind,x/∂y. Derfor erψ >0 n˚ar det sonale vindstressetτ_vind,x øker med økende breddegrad, og vice versa.

HastighetskomponenteneUogV følger n˚ar vi kjennerψ. I tilfellet med konstant sonalt vindstress, som gitt ved uttrykk (329), er

U = 0 V =− 1

β ρref

∂τ¯vind,x

∂y

(330)

Volumtransporten i Sv (m³ s⁻¹) i et havbasseng, som illustrert for Stillehavet i figur 35, følger ved ˚a integrere (330) i henholdsvisy- ogx-retningene.

I figuren fra Stillehavet er volumtransporten M_v (Sv) like sørøst for Japan ved 30^◦N p˚a rundt 50 Sv. Denne verdien fremkommer ved ˚a integrereV-komponenten i (330) fra ca. 160^◦Ø til 100^◦V, eller over en distanse tilsvarende 100 breddegrader:

M_v=− Z 100^◦V

160^◦Ø

1 β ρ_ref

∂¯τvind,x

∂y dx=− 1 β ρ_ref

∂¯τvind,x

∂y (100·111·10³m)≈ −49 Sv (331) I uttrykket over er β = 1.9×10⁻¹¹ og ∂¯τvind,x/∂y = 1.3×10⁻⁷ N m⁻³ (sistnevnte verdi lest ut fra panelet til venstre i figur 35). Tilsvarende kan volumtransporten estimeres for alle punkt i havet (b˚ade sonalt og meridionalt).

Merk at figur 35 er basert p˚a vindstresskomponenter i b˚adex- ogy-retningene. Det er dette som er ˚arsaken til at isolinjene viser svake buktninger og at noen av null-isolinjene ikke er rettet i perfekt sonal retning.

Fra figur 35 ser vi videre at sonalt midlet vindstress ¯τ_vind,x avtar fra 50^◦S til 20^◦S, og fra ekvator til 20^◦N. Dette gir V > 0 og sirkulasjon mot klokken p˚a begge halvkuler (stiplede

Fra figur 35 ser vi videre at sonalt midlet vindstress ¯τ_vind,x avtar fra 50^◦S til 20^◦S, og fra ekvator til 20^◦N. Dette gir V > 0 og sirkulasjon mot klokken p˚a begge halvkuler (stiplede

In document Gjennomgang av deler av kapittel 6, 7, 8 og 10 i Marshall & Plumb (2008) (sider 50-0)