Respons av Ekman-pumping under Ekman-laget

Under Ekman-laget gjelder gostrofisk tilnærming gitt ved (257). Horisontal divergens til geostro-fisk strøm er Utfører vi derivasjonen p˚a uttrykkene i parantes, og bruker at f =f(y), f˚ar vi

∇h·ug=− 1

De to første leddene kansellerer hverandre, mens uttrykket for vg fra (257) kan brukes for ˚a forenkle det siste leddet. Dette gir

∇h·u_g=−β

fv_g (276)

hvor β = df /dy. Siden f øker med y for alle verdier av y (ogs˚a p˚a sørlige halvkule), er β = df /dy >0, se (282).

Kontinuitetsligningen uttrykt medug er

∇h·ug+∂w

∂z = 0 (277)

(276) og (277) gir sammenheng mellom meridional geostrofisk hastighetv_g og vertikal hastighet wsiden

βvg=f∂w

∂z (278)

Integrerer vi (278) fra termoklinenz =−H til nedre grenseflate for Ekman-laget ved z =−δ, f˚ar vi

Uttrykket over kan skrives som

β Z −δ

−H

vgdz≈f wEk (280)

hvor vi har antatt atw(−δ) =wEkw(−H).

Vi kan bruke (280) for ˚a estimere forskjellen i størrelsen tilvg ogwEk. (280) gir vg(H−δ)≈ f

βwEk (281)

hvorvg er en typisk (midlet) meridional (nord-sør rettet) hastighet i havet under Ekman-laget.

SidenH δ, erH−δ≈H. Videre følger det fra definisjonen av buelengden atdy=a dϕ, slik

hvoraer jordens radius. (281) kan derfor skrives som vg≈ f for midlere breddegraderϕ= 45^◦, følger det atv_g≈10⁴w_Ek. Typisk verdi for Ekman-pumpingen er 30 m ˚ar⁻¹, som derfor gir en meridional hastighet v_g midlet over termoklinen p˚a rundt 1 cm s⁻¹.

5.1.4 Meridional hastighet ved Ekman-pumping forklart med Taylor-Proudman teoremet¹²

Taylor-Proudman teoremet kan uttrykkes som

∂u

∂ˆzΩ

= 0 (284)

hvorˆz_Ω er retningen til jordens rotasjonsakse. Antagelsene for TP-teoremet er at vi betrakter en homogen og roterende væske, at sirkulasjonen er stasjonær (at sirkulasjonen ikke varierer i

12Se ogs˚a diskusjon i seksjon 4.1-4.4 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, 2007.

tid; ∂/∂t = 0), at friksjonen er neglisjerbar og at Rossbytallet R0 1. For disse antagelsene uttrykker (284) at komponentene tiluer konstant i retningen til jordens rotasjonsakse.

Ved Ekman-pumping føres vann ned gjennom nedre grenseflate av Ekman-laget. En tenkt væs-kesøyle (kalt en Taylor-søyle) rettet langsˆzΩkan da endres p˚a to m˚ater; ved at sylinderens radius øker (venstre del av figur 32) eller at søylens høyde øker (høyre del av figur 32). Begge tilfellene tilfredsstiller (284).

Figur 32: Figur 10.14 i Marshall & Plumb (2008).

Spinnsatsen anvendt p˚a alternativet til venstre i figur 32 gir at endringen i azimutal hastighet δuθer gitt ved (se utledning som leder til (192))

δuθ=−2Ωδr (285)

(285) sier atδuθ avtar n˚ar sylinderens radiusr øker. At hastighetskomponentenδuθ endrer seg som følge av Ekman-pumpingen strider mot en av TP-teoremets antagelser, nemlig at∂/∂t= 0.

Følgelig kan ikke Taylor-søylen endre seg som vist til venstre i figur 32.

Alternativ 2 er i tr˚ad med TP-teoremet. Den eneste muligheten søylens høyde kan øke (n˚ar Ekman-pumpingen er rettet ned i havet, det vil si for∂w/∂z <0), er at søylen beveger seg mot ekvator. Dette er illustrert i figur 33 hvor Taylor-søylen med høydedfor breddegradϕ(rød farge) øker sin høyde n˚ar den beveger seg mot ekvator (grøn farge). Med de gitte vinklene, følger det at

cosθ=h

d (286)

Sidenθ=π/2−ϕ, gjelder cosθ= cosπ

2 −ϕ

= cosπ 2

cosϕ+ sinπ 2

sinϕ= sinϕ (287)

Vi f˚ar da at

d= h

sinϕ (288)

Den røde søylen i figur 34 viser geometrien til Taylor-søylen i figur 33. Dersom Taylor-søylens

Figur 33: Illustrasjon p˚a en Taylor-søyle med høyded(rød strek) plassert i et hav med tykkelse h(mørk bl˚a strek). N˚ar søylen beveger seg mot ekvator, vil søylens høyde øke (grøn farge).

Figur 34: Til venstre vises geometrien til den røde Taylor-søylen i figur 33. Tayolor-søylen har et arealπr², hvorrer søylens radius. Nedre grenseflate til Ekman-laget skjærer gjennom søylen som illustrert med den stiplede, svarte linjen. Tverrsnittet til arealet av tilhørende ellipse er πr₁r₂, hvorr₁ogr₂ er ellipsens halvakser (ogr₁=r). Til høyre vises Taylor-søylen, betraktet parallelt med ellipsen vist p˚a figuren til venstre.

radius err, er søylens areal

A=πr² (289)

Tenker vi oss at nederste grense for Ekman-laget skjærer gjennom Taylor-søylen, vil Ekman-laget beskrive en ellipse i sylinderen med areal

A⁰=πr1r2 (290)

derr1 ogr2 er ellipsens halvakser. Fra venstre del av figur 34 følger det at r1=r, og fra høyre del av samme figur gjelder

cosπ 2 −ϕ

= r

r₂ (291)

Siden cos(π/2−ϕ) = sinϕ(se 287), følger det at r2= r

sinϕ (292)

Ellipsens arealA⁰ kan da skrives som

A⁰ =πr₁r₂=π r²

sinϕ = A

sinϕ (293)

Det følger n˚a at Ekman-pumpingen (w_Ek) ned i Taylor-søylen er A⁰wEk= A

sinϕwEk (294)

Som følge av Ekman-pumpingen, vil søylens høydehøke. Siden wEk <0 ved Ekman-pumping ned i havet, kan vi skrive

wEk=−Dh

Dt (295)

(295) innstatt i (294) gir

A⁰wEk= A

sinϕwEk=− A sinϕ

Dh

Dt =−ADd

Dt (296)

hvor (288) er brukt i siste overgang.

Fra andre og siste likhet i (296) følger det at w_Ek

sinϕ =−Dd

Dt (297)

Sidender en funksjon avϕ,d=d(ϕ), gir Taylor-rekkeutvikling til laveste orden at δd= ∂d

∂ϕδϕ= dd

dϕδϕ (298)

Dividerer vi uttrykket over medδt, f˚ar vi for sm˚aδdogδϕat Dd

Dt = dd dϕ

Dϕ

Dt (299)

Dette gir at

Dernest, basert p˚a definisjonen av en buelengde, følger det at

dy=a dϕ (302)

hvoraer jordens radius. Den tidsderiverte av (302) gir Dy

(301) og (303) innsatt i (300) gir

wEk= v a

hcosϕ

sinϕ (304)

Multipliserer vi uttrykket over med 2 Ω sinϕ, f˚ar vi 2 Ω sinϕ wEk=vh2 Ω

a cosϕ (305)

Siste uttrykk kan forenkles ved hjelp av Coriolisparameterenf ogdf /dysiden f = 2 Ω sinϕ og df

dy = 2Ω

a cosϕ=β (306)

Innsatt i (305) gir dette

f w_Ek=vhβ (307)

eller

βv=fw_Ek

h (308)

Uttrykket over, baset p˚a Taylor-Proudman teoremet, har samme form som hastighetsbalansen basert p˚a geostrofi, se (278). De to tilnærmingene er derfor konsistente.

Begge tilnærmingene gir at den vertikalintegrerte meridionale hastigheten generert av w_Ek er 10³ til 10⁴ ganger større enn Ekman-pumpingen selv. Mekanismen for denne akselerasjonen er Taylor-søylens bevegelse mot ekvator forw_Ek<0 og vekk fra ekvator forw_Ek>0. Som tidligere nevnt er typisk verdi for Ekman-pumpingen p˚a 30 m ˚ar⁻¹, som gir en meridional hastighetv≈1 cm s⁻¹.

5.2 Sverdrupbalanse

¹³

I motsetning til Ekman teorien, betrakter vi n˚a vinddrevet havsirkulasjon fra havets bunn (z=−D) til overflaten, og for et hav avgrenset av kontinenter. Siden Sørishavet ikke er avgren-set av kontinenter, gjelder ikke Sverdrupbalansen for dette havomr˚adet. Men Sverdrupbalansen

13Se ogs˚a seksjon 6.3 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: De-cember 11, 2007.

beskriver ellers havbassengenes respons til vind. Sverdrupbalansen beskriver ogs˚a, i motsetning til geostrofi, sirkulasjonen ved ekvator.

Antagelsene for Sverdrupbalansen erR01, at tetthetenρ=ρref (det vil si konstant tetthet) og at friksjonen mot bunn og sider (kontinentene) er liten.

Utledningen av Sverdrupbalansen følger utledningen av termoklinens respons til Ekman-pumping, se sekjson 5.1.3. Vi starter med de grunnleggende ligningene for vinddrevet havsirkulasjon (254)

−f v+ 1

Trykk-leddene i (309) kan elimineres ved ˚a derivere den øverste ligningen med −∂/∂y og den nederste ligningen med∂/∂x. Dette gir

βv=f∂w hvor de første to leddene er utledet i seksjon 5.1.3, mens vindstress-leddene følger direkte fra (309).

er dybde-integrert meridional transport. (312) og (313) er Sverdrupbalansen; en av de mest brukte sammenhengene for ˚a beskrive sirkulasjonen i verdenshavene.

Fra (313) følger det at den vertikalintegrerte meridionale hastighetenV = 0 hvor∇ ×τvind=0.

Derfor kan∇ ×τvind=0(null vind-kurl) brukes for ˚a definere de storstilte gyrene i havet.

I tillegg følger det fra (312) atV ≷0 forˆz· ∇ ×τvind≷0 (sidenβ >0).

5.2.1 Eksempel, sammenheng mellom Ekman- og Sverdrup-teori

Oppgave 3, side 220 i Marshall & Plumb: Vis at summen av meridional transport under Ekman-laget og meridonal transport i Ekman-laget er lik Sverdrup-transport for hele vannsøylen.

Under Ekman-laget gjelder følgende sammenheng for meridional geostrofisk transport vg og vertikal hastighetw(se uttrykk 278)

βvg =f ∂w

∂z (314)

Integrert fra havets bunnz=−Dtil Ekman-lagets undersidez=−δ, gir dette β

Z −δ

z=−D

vgdz=f(w(−δ)−w(−D)) (315)

Vertikal hastighet p˚a havets bunn er antatt neglisjerbar s˚a w(−D) = 0, mens vertikal hastighet p˚a undersiden av Ekman-laget er Ekman-hastighetenwEk. Dette gir

β Z −δ

z=−D

vgdz=f wEk (316)

wEker gitt ved (fra utrykk 272)

wEk= 1

For stor-skala bavegelse varierer b˚adeτvind,xogfi siste derivasjon, s˚a wEk= 1

Innsatt i (316) gir dette β

Meridional massetransport i Ekman-laget er, per definisjon (fra uttrykkene 264 og 265) MEk,v=

Z 0

z=−δ

ρrefvagdz=−1

f τvind,x (320)

Siste ledd i 319 kan derfor uttrykkes som integralet av meridional, ageostrofisk strøm over Ekman-laget, som gir Uttrykket over, som er p˚a formen til (312) og (313), sier at summen avmeridional geostrofisktransport i dyphavet (første integral) og meridional ageostrofisktransport i Ekman-laget (andre integral) er lik Sverdrup-transport (høyre side).

5.2.2 Sverdrupbalanse, geometrisk tolkning For dybdeintegrert strømU= (U, V), m˚a

∇_h·U= 0 (323)

For en divergensfri strøm eksisterer det enstrømfunksjon ψ (enhet m²s⁻¹) gitt ved U =−∂ψ

∂y og V =∂ψ

∂x (324)

Strømfunksjonen er nyttig da strømmen følger strømfunksjonens isolinjer, og at strømstyrken er proporsjonal med hvor tett strømfunksjonens isolinjer ligger.

At strømfunksjonen gitt ved (324) tilfredsstiller (323) følger av at

∇h·U= ∂U

Sverdrupbalansen uttrykt ved (312) kan derfor skrives som β V =β∂ψ

∂x = 1

ρ_refˆz· ∇ ×τvind (326) Sammenhengen representert ved de to siste leddene kan integreres ix-retningen. Siden det ikke kan være transport p˚a tvers av kontinentene, m˚aU = 0, det vil si atψ= konst, langs kontinen-tene.

Siden (326) er en første ordens differensialligning, kan vi bare foreskrive ´en grenseflatebetingelse.

Grunnet stor hastighet mot vestlig kyst (gjelder for begge halvkuler, tenk p˚a Golfstrømmen og Brasilstrømmen), bryter Sverdrupbalansen sammen ved vestlig kyst. Følgelig m˚a U = 0 (ψ = konst) langs østlig kyst. Vi integrerer derfor (326) fra østlig kyst og vestover for ˚a bestemme ψ.

Vindene bl˚aser, til laveste orden, i sonal (x-) retning. Derfor er (327) tilnærmet gitt ved ψ(x, y)≈ − 1

Dersom i tillegg vinden antas ˚a være tilnærmet konstant i sonal retning, betegnet ¯τ_vind,x, kan (328) forenkles til

β >0 for alle breddegrader og (x_øst−x)>0, hvor siste sammenheng følger av atxer rettet i østlig retning. Fortegnet tilψer derfor bestemt av fortegnet til∂¯τ_vind,x/∂y. Derfor erψ >0 n˚ar det sonale vindstressetτ_vind,x øker med økende breddegrad, og vice versa.

HastighetskomponenteneUogV følger n˚ar vi kjennerψ. I tilfellet med konstant sonalt vindstress, som gitt ved uttrykk (329), er

U = 0 V =− 1

β ρref

∂τ¯vind,x

∂y

(330)

Volumtransporten i Sv (m³ s⁻¹) i et havbasseng, som illustrert for Stillehavet i figur 35, følger ved ˚a integrere (330) i henholdsvisy- ogx-retningene.

I figuren fra Stillehavet er volumtransporten M_v (Sv) like sørøst for Japan ved 30^◦N p˚a rundt 50 Sv. Denne verdien fremkommer ved ˚a integrereV-komponenten i (330) fra ca. 160^◦Ø til 100^◦V, eller over en distanse tilsvarende 100 breddegrader:

M_v=− Z 100^◦V

160^◦Ø

1 β ρ_ref

∂¯τvind,x

∂y dx=− 1 β ρ_ref

∂¯τvind,x

∂y (100·111·10³m)≈ −49 Sv (331) I uttrykket over er β = 1.9×10⁻¹¹ og ∂¯τvind,x/∂y = 1.3×10⁻⁷ N m⁻³ (sistnevnte verdi lest ut fra panelet til venstre i figur 35). Tilsvarende kan volumtransporten estimeres for alle punkt i havet (b˚ade sonalt og meridionalt).

Merk at figur 35 er basert p˚a vindstresskomponenter i b˚adex- ogy-retningene. Det er dette som er ˚arsaken til at isolinjene viser svake buktninger og at noen av null-isolinjene ikke er rettet i perfekt sonal retning.

Fra figur 35 ser vi videre at sonalt midlet vindstress ¯τ_vind,x avtar fra 50^◦S til 20^◦S, og fra ekvator til 20^◦N. Dette gir V > 0 og sirkulasjon mot klokken p˚a begge halvkuler (stiplede isolinjer). Tilsvarende, fra 20^◦S til ekvator, og fra 20^◦N til 45^◦N, øker sonalt midlet vindstress som innebærerV <0 og sirkulasjon med klokken (heltrukne isolinjer).

Betrakter vi breddegradsintervallet mellom 50^◦S og 20^◦S, er det her en netto nordg˚aende strøm.

Den nordg˚aende strømmen m˚a kompenseres med en sørg˚aende strøm. Kompensasjonsstrømmen er alltid lokalisert mot vestlig kyst, i dette tilfellet utenfor østkysten av Australia.

P˚a tilsvarende m˚ate er det en sørg˚aende transport i havbassenget mellom 20^◦N og 45^◦N. Den-ne transporten er kompensert av en nordg˚aende transport utenfor kysten av Kina og Japan.

Dette er Kuroshio-strømmen. Tilsvarende argumentasjon gjelder for Atlanterhavet. Her er det den nordg˚aende Golfstrømmen utenfor kysten av USA som kompenserer for sørg˚aende Sverd-ruptransport mellom 20^◦N og 45^◦N.

Som vi ser beskriver Sverdrupbalansen hovedtrekkene til havstrømmene for alle havbassengene, inkludert sirulasjonen ved ekvator. Siden Sørishavet ikke er begrenset av land, kan ikke Sverdrup-balansen benyttes for ˚a beskrive sirkulasjonen her.

Figur 35: Venstre: Sonalt midlet vindstress for Stillehavet. Midten: Sverdruptransport (i Sv) beregnet fra (327). Høyre: Sonalt midlet overflatestrøm basert p˚a observasjoner. Figur 10.21 i Marshall&Plumb (2008).Merk at de to verdiene for Sverdruptransporten ved ca. 10^◦N er byttet om; Sverdruptransporten øker for positive verdier og avtar for negative verdier n˚ar en g˚ar fra østlig til vestlig kyst (se uttrykk 329). Konturverdiene ved ca. 10^◦N skal derfor være−10og−20 Sv n˚ar en g˚ar vestover.

Noen av de følgende seksjonene er ogs˚a beskrevet i hovedteksten over.

A Grunnleggende funksjon- og vektoranalyse

A.1 Koordinatsystem

Et koordinatsystem betegner n variable som bestemmer et geometrisk objekt. n = 2 for et todimensjonalt koordinatsystem ogn= 3 for et tredimensjonalt system.

A.1.1 Rektangulære koordinater

Dette er et rettvinklet koordinatsystem. Kalles ogs˚a et kartesisk koordinatsystem. I tre dimen-sjoner betegnes gjerne variablene som angir koordinatretningene forx,y ogz. Orienteringen til x, yogz er gitt ved høyreh˚andsregelen, se figur 36.

y  z 

x 

Figur 36: Et rettvinklet koordinatsystem i tre dimensjoner.

A.1.2 Kurvelineære polare koordinater

Dette koordinatsystemet beskrives av en eller flere vinkler relativt aksene i et rektangulært koordinatsystem, samt avstand fra origo.

Kurvelineære polare koordinater i to og tre dimensjoner er vist i figur 37. Orienteringen til variablene som angir koordinatretningene er gitt ved høyreh˚andsregelen. I to dimensjoner er gjerne koordinatvariablener ogθ. I tre dimensjoner er ofte koordinatvariableneλ,φ ogz, som for et jordsystem angir lengdegrad (storsirkler som g˚ar gjennom polene), breddegrad (storsirkler g˚ar parallelt med ekvator) og radial koordinat.

θ
 r 

x  y 

Figur 37: Kurvelineære koordinater i to og tre dimensjoner.

A.1.3 Buelengde

For en sirkelbue med radiusr er buelengdenl gitt ved

l=rθ (332)

derrer sirkelbuens radius ogθ (i radianer) er vinkelen som avgrenser buelengden (se figur 38).

For en sirkel erθ= 2π, og buelengden er lik sirkelens omkrets 2πr.

Figur 38: Buelengdenlfor en sirkelbue med (lokal) radius rspent ut av vinkelen θ.

A.1.4 Polare koordinater

Polare koordinater er ofte gitt ved r (radial koordinat) og θ (vinkel, polarvinkel eller asimut koordinat). Fra venstre del av figur 37 har vi at

x = r cosθ (333)

y = r sinθ (334)

Fra definisjonen av en buelengde, følger det at en liten endring av vinkelen θ, δθ, spenner ut linjestykket (buelengden) r δθ. En liten endring langs aksen r, δr, involverer ingen rotasjon og

gir derfor linjestykketδr. Av dette følger at skalafaktorene for de polare kulekoordinatene, dvs.

faktoren fremforδr andδθ, er henholdsvis

1 og r. (335)

Bruk skalafaktorene (335) til ˚a utlede areal og omkrets av en sirkel med radiusa. Hint: Integrer over koordinatvariablene.

A.1.5 Polare kulekoordinater

Polare kulekoordinater i et jordsystem er ofte gitt ved koordinatvariablene λ (lengdegrad), ϕ (breddegrad) ogr(radial retning). Fra høyre del av figur 37 følger det at

x = rcosϕcosλ (336)

y = rcosϕsinλ (337)

z = rsinϕ (338)

Fra samme figur ser vi at en liten endring av vinkelenλ,δλ, spenner ut linjestykket (buelengden) rcosϕ δλ, og at vinkelenϕ,δϕ, spenner ut linjestykket (buelengden)r δϕ. En liten endring langs aksenr,δr, gir linjestykketδr. Av dette følger det at skalafaktorene for v˚are polare kulekoordi-nater er henholdsvis

r cosϕ, r og 1. (339)

Bruk skalafaktorene (339) til ˚a utlede areal og volum av en kule med radius a. Hint: Integrer over koordinatvariablene.

A.2 Variabel

Variable er de størrelsene som en funksjon avhenger av.

For eksempel er har funksjonenf(x, y) variablenexogy. Variablene i det rektangulære koordi-natsystemet over erx,y ogz, mens variablene i polare koordinater erλ,ϕogr.

A.3 Funksjon

Funksjoner er sammenhenger (formler eller lovmessige uttrykk) som gir verdier for ethvert punkt (x, y, z) eller (λ, ϕ, r).

A.4 Skalarfunksjon

Skalarfunksjonen φ = φ(x, y, z) (eller φ(λ, ϕ, r)) er en ´en-komponent størrelse (ett tall). En skalarfunksjon p˚avirkes ikke av om koordinatsystemet roterer. Eksempler p˚a skalarfunksjoner er temperatur, trykk, skydekke og saltholdighet.

A.5 Vektorfunksjon

Vektorfunskjonenu=u(x, y, z) (elleru=u(λ, ϕ, r)) er en flerkomponent størrelse med lengde (verdi eller absoluttverdi) og retning. Vektorfunksjonen endrer ikke verdi men vektorfunksjonens komponenter endrer seg i et roterende koordinatsystem. Eksempler p˚a vektorfunksjoner er vind i atmosfæren og strøm i havet.

Lengden (verdien) av vektorfunksjonenubetegnes|u|. Foru= (u_x, u_y, u_z) følger det at

|u|=q

u²_x+u²_y+u²_z (340)

eller alternativt

u²=u²_x+u²_y+u²_z (341)

A.6 Skalarprodukt

Skalarproduktet av to vektoreraogb,a·b, er en skalar definert som

a·b≡ |a||b|cosθ (342) Fora= (a_x, a_y, a_z) ogb= (b_x, b_y, b_z), følger det at

a·b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z (343) Vis (343) i to dimensjoner xog y. Hint: Tegn vektorene a ogb i et koordinatsystem, laθa og θb være vinklene mellom de to vektorene og x-aksen og bruk at cos(θa ±θb) = cosθacosθb∓ sinθasinθb.

Videre er

a·b= 0 for a⊥b (344)

Fysisk anvende av skalarproduktet er ofte knyttet til ˚a projisere vektoren a p˚a b, for eksempel for ˚a bestemme komponenten av kraftenai retning avb.

Skalaridentiteter

a·b = b·a (345)

a·(b+c) = a·b+a·c (346)

Vis (345) og (346). Hint: Skriv uttrykkene p˚a komponentform.

A.7 Vektorprodukt

Vektorproduktet av to vektoreraogb,a×b, er en vektor definert som

a×b=

i j k

ax ay az

b_x b_y b_z

=ˆx(aybz−azby)−ˆy(axbz−azbx) +ˆz(axby−aybx) (347) a×ber normal p˚aaogb, og orienteringen er gitt ved høyreh˚andsregelen.

(347) Vis ata×ber normal p˚aaogb, og at orienteringen er gitt ved høyreh˚andsregelen.

Lengden ava×ber gitt ved uttrykket

|a×b|=|a||b|sinθ (348) derθ er vinkelen mellomaog b. Det følger av uttrykket over at |a×b| er lik arealet til paral-lellogrammet spent ut avaogb.

Vis at (348) er arealet av et parallellogram.

Kryssproduktidentiteter

a×b = −b×a (349)

a×(b+c) = a×b+a×c (350)

a×(b×c) 6= (a×b)×c (351)

Vis (349), (350) og (351). Hint: Skriv uttrykkene p˚a komponentform.

A.8 Derivasjon i et fikssystem

Et fikskoordintsystem, eller fikssystem i kortform, er et koordinatsystem som ikke roterer, dvs.

et korrdinatsystem som ligger fast i forhold til fiksstjernene, derav navnet. I et slikt system ligger koordinatsystemets akser, og med det koordinatsystemets enhetsvektorer, fast. Det er derfor ikke bidrag fra enhetsvektorene n˚ar en vektorstørrelse deriveres i et fikssystem.

A.8.1 Gradient til en skalarfunksjon

Gradienten til en skalarfunksjonφ,∇φ, er en vektor.∇ kallesgrad,delellernabla.

∇ ≡ˆx ∂

∂x+ˆy ∂

∂y +ˆz∂

∂z (352)

Det følger da at

∇φ=ˆx∂φ

∂x +ˆy∂φ

∂y +ˆz∂φ

∂z (353)

∇φeralltid rettet fra lav til høy verdi avφ.∇φer ogs˚aalltid rettet normalt p˚a isoverdiene tilφ.

Er vi ute i terrenget ogφer høydekvoter, vil∇φderfor være rettet brattest oppover i terrenget.

P˚a tilsvarende m˚ate vil∇p, hvorper lufttrykk, alltid være rettet fra lavt til høyt trykk (og st˚a normalt p˚a isobarene).

A.8.2 Divergensoperatoren; divergerende og konvergerende vektorfunksjon Divergensen til en vektorfunksjona, ∇ ·a, er en skalar (ett tall).

∇·kallesdivellerdivergens. Fra definisjonen av et prikkprodukt, se (343), følger det at

∇ ·a= ∂ax

∂x +∂ay

∂y +∂az

∂z (354)

Fysisk tolkning av ∇ ·a er knyttet til en kilde eller et sluk til vektorfunksjonen a innenfor et avgrenset volum.

Fra konserveringsligningen følger det at a øker innenfor volumet dersom ∇ ·a <0. Vi sier da at vektorfeltet konvergerer. Tilsvarende avtar a dersom ∇ ·a > 0. Vi ser da at vektorfeltet divergerer. For tilfellet∇ ·a= 0, forblira uforandret innenfor volumet.

A.8.3 Dobbeltderivert

Divergensen til gradienten av skalarfunksjonenφ,∇ ·(∇φ), er en skalarfunksjon og representerer den dobbeltderiverte avφ.∇² kallesdel-i-andre.

∇ ·(∇φ) =∇²φ=∂²φ

∇oga, og retningen er gitt ved høyreh˚andsregelen.

∇ ×a=

A.8.5 Relativ, absolutt og potensiell virvling Kurlen til hastighetsvektorenukan skrives som

∇ ×u=xˆ Vertikalkomponenten til∇ ×ukallesrelativ virvling og betegnes med symboletζ

ζ= ∂v

∂x−∂u

∂y (358)

ζ >0 betyr rotasjonmot klokken (syklinisk bevegelse) n˚ar en observerer rotasjonen overfra p˚a nordlige halvkule. Forζ <0, er rotasjonenmed klokken (anti-syklinisk bevegelse)

Absolutt virvling er gitt ved summen

ζ+f (359)

hvorf er Coriolisparameteren 2Ω sinϕ.

Potensiell virvling er som absolutt virvling, men inkluderer væskens hødeh ζ+f

h (360)

A.9 Vektoridentiteter som involverer del-operatoren

∇ ·(∇ ×a) = 0 (361)

∇ ×(∇φ) = 0 (362)

∇ ·(φa) = φ∇ ·a+a· ∇φ (363)

∇ ×(φa) = φ∇ ×a+∇φ×a (364)

∇ ·(a×b) = b·(∇ ×a)−a·(∇ ×b) (365)

∇ ×(a×b) = a(∇ ·b)−b(∇ ·a) + (b· ∇)a−(a· ∇)b (366)

∇(a·b) = (a· ∇)b+ (b· ∇)a+a×(∇ ×b) +b×(∇ ×a) (367)

∇ ×(∇ ×a) = ∇(∇ ·a)− ∇²a (368)

Fra (367), følger det at

(a· ∇)a=∇ 1

2a·a

−a×(∇ ×a) (369)

Vis (361)-(369). Hint: Skriv uttrykkene p˚a komponentform.

A.10 Derivasjon i et polarkoordinatsystem

A.10.1 Polare koordinater

Gradient-operatoren i polare koordinater (r, θ) er gitt ved den inverse av skalafaktorene (335)

∇= ∂

∂r,1 r

∂

∂θ

(370)

Figur 39: Kurvelineære polare koordinater i to dimensjoner med tilhørende ortogonale enhets-vektorere_r oge_θ.

Fra figur 39, følger det at enhetsvektoreneer ogeθ kan skrives som

er = ˆxcosθ+ˆysinθ (371)

e_θ = −ˆxsinθ+ˆycosθ (372)

hvorˆxogˆyer enhetsvektorene i det faste (x, y) koordinatsystemet. Fra (371) og (372) følger det at

Divergensen til hastighetsvektorenu=erur+eθuθ, sett fra det faste koordinatsystemet (x, y), blir da viser leddene som ikke gir bidrag.

Ved ˚a kombinere de to første leddene i uttrykket over, f˚ar vi

∇ ·u= 1

P˚a tilsvarende m˚ate finner vi at

∇²φ= 1

Gradient-operatoren i polare kulekoordinater (λ, ϕ, r) er gitt ved den inverse av skalafaktorene (339)

Divergensen til hastighetsvektorenu=eλu+eϕv+erw, blir da I tilfellet med konstant r, kan det siste leddet i (379) og (380) forenkles siden r²-faktorene kansellerer hverandre.

Vis (379) og (380). Hint: Enhetsvektoreneeλ,eϕoger, uttrykt i kartesiske (x,y,z) koordinater, er

eλ = (−sinλ,cosλ,0) (381)

eϕ = (−cosλsinϕ,−sinλ sinϕ,cosϕ) (382)

er = (cosλcosϕ,sinλcosϕ,sinϕ) (383)

A.10.3 Totalderivert uttrykt i kulekoordinater Den totalderiverte i kartesiske koordinater har formen

Du Dt = ∂u

∂t +u· ∇u (384)

Den romlige derivasjonen i (384) f˚ar noen tilleggsledd i kulekoordinater. Disse kan utledes som følger.

Ser vi bort fra radielle variasjoner (slik at∂/∂r= 0), følger det fra (378) at gradientoperatoren kan skrives som

I uttrykket over era= konst jordens radius. Hastighetsvektoren er

u=eλu+eϕv+wez (386)

Prikkproduktetu· ∇kan skrives som

u· ∇= (eλu+eϕv+ezw)·

hvor vi har brukt at enhetsvektorene er ortogonale.

Advekjsonsleddet i kulekoordinater blir da u· ∇u=

Siden enhetsvektorene endrer retning, m˚a b˚ade hastighetskomponentene (u, v, w) og enhetsvek-toreneeλ,eϕ ogez deriveres. Til sistnevnte benyttes (??)–(??). Det følger da at

u Bidragene ieλ retningen blir

u

P˚a tilsvarende m˚ate blir bidragene ie_ϕretningen u

Fra kulekoordinatenes skalafaktorer (339) følger det at

δx=acosϕ δλ og δy=a δϕ (394)

Uttrykk (388), innsatt (391)–(393), gir u· ∇u=u∂u

A.11 Adveksjonsleddet for ren sirkulær bevegelse i to dimensjoner

For ren sirkulær bevegelse, følger det fra figur 39 at

u=u_θe_θ (397)

I dette tilfellet kan adveksjonsleddet skrives som u· ∇u=uθeθ·

∂

∂rer+1 r

∂

∂θeθ

uθeθ

= uθ

r

∂

∂θ(u_θe_θ)

= uθ

r ∂uθ

∂θ eθ+uθ

∂eθ

∂θ

= uθ

r ∂uθ

∂θ eθ−uθer

(398)

I tilfellet med konstant rotasjonshastighet, følger det at u· ∇u=−u²_θ

r er (399)

I dette tilfellet er bidraget til adveksjonsleddet u· ∇u i retning til u

u·(u· ∇u) = 0 (400)

Adveksjonsleddet u· ∇u gir golgelig ikke bidrag til momentumligningen for an antattkonstant, sirkulær bevegelse, som for idealiserte treghetssvingninger. Følgelig kan treghetssvingninger til-nærmes fra følgende (forenklede) variant av momentumligningen (se uttrykk (56); ser bort fra trykkgradient og friksjon, i tillegg til adveksjonsleddet):

∂u

∂t +fˆz×u= 0 (401)

A.12 Sirkulær bevegelse og avstander p˚ a en kule

A.12.1 Fart til en sirkulær bevegelse OmkretsenO rundt en sirkel med radiusrer

O= 2πr (402)

Vinkelfartenθ er

θ= 2π/T (403)

derT er tiden til en full rotasjon.

Det følger da at farten v til en partikkel som beveger seg med konstant vinkelfart θ rundt en sirkel med radiusr er

v=avstand

tid = 2πr

2π/θ =θr (404)

(404) kan uttrykkes p˚a vektorform i polarkoordinater (se venstre del av figur 37) ved hjelp av enhetsvektoreneθ (372)

v=veθ=θreθ (405)

eller i kulekoordinater (se høyre del av figur 37)

v=ueλ=λreλ (406)

A.12.2 Avstander p˚a en kule

Figur 40 illustrerer breddegradssirkler (parallelle med ekvator) og lengdegradssirkler (g˚ar gjen-nom polpunktene) p˚a en kule. Det følger fra figuren at den geografiske avstanden mellom to lengdegrader avtar med økende breddegrad (mot polene), mens avstanden mellom to breddegra-der er konstant.

Figur 40: Bredde- og lengdegradssirkler p˚a en kule. Breddegradssirklene er rettet i nord-sør retningen og lengdegradssirklene i øst-vest retningen. Bredde- og lengdegradsretningene kalles ogs˚a meridional og sonal retning.

A.13 Taylorrekke

En kontinuerlig deriverbar (glatt) funksjonf(x) kan, for sm˚aδx, skrives som f(x+δx) =f(x) +∂f

∂xδx+∂²f

∂x² (δx)²

2 +...+∂ⁿf

∂xⁿ (δx)ⁿ

n! (407)

Til laveste orden kan (407) skrives som

δf= ∂f

∂xδx (408)

hvorδf=f(x+δx)−f(x). (408) brukes ofte i utledning av uttrykk hvor sm˚a endringer avδx inng˚ar.

P˚a tilsvarende m˚ate kan funksjonenf av flere variable f =f(x, y, ..., z) skrives som f(x+δx, y+δy, ...., z+δz) = f(x) +f(y) +...+f(z)

+∂f

∂xδx+∂f

∂yδy+...+∂f

∂zδz+O(δ²) (409) hvorO(δ²) betegner ledd av andre og høyere orden. Til laveste orden kan (409) skrives som

δf= ∂f

∂xδx+∂f

∂yδy+...+∂f

∂zδz (410)

hvorδf=f(x+δx) +f(y+δy) +...+f(z+δz)−f(x)−f(y)−...−f(z). (410) brukes ofte i utledning av uttrykk hvor sm˚a endringer avδx,δy, ...,δz inng˚ar.

Fra (407) følger det, for sm˚a|δx|,

f(x+δx/2) =f(x) +∂f

∂x δx

2 (411)

f(x−δx/2) =f(x)−∂f

∂x δx

2 (412)

Ved ˚a kombinere (411) og (412), f˚ar vi (for sm˚a |δx|)

∂f

∂x = f(x+δx/2)−f(x−δx/2)

δx (413)

Alternativt kan (413) skrives

∂f

∂x = f(x)−f(x−δx)

δx (414)

B Oppdateringer v˚ ar 2016

Takk til...

11. mai 2016 Sverdrupbalansen i avsnitt 5.2.2 er noe oppdatert.

13. mai 2016 Rettet fra “vetsg˚aende” til “østg˚aende jetstrøm” i avsnitt 4.6. Silje Skjels-vik

C Oppdateringer v˚ ar 2015

Takk til...

13. mai 2015 Termalvind og jetstrømmer erøstligrettet p˚a hver halvkule (avsnitt 3.9.5 og 3.9.6). Olav H˚askjold

D Oppdateringer v˚ ar 2013

Takk til...

15. januar 2013 Oppdatert kapittel 1.

E Oppdateringer v˚ ar 2012

Takk til...

15. februar 2012 Skrevet om avstand mellom to bredde-/lengdegradssirkler i avsnitt 3.1.

2. februar 2012 Rettet uttrykk forxogy i avsnitt A.1.5. Marie

2. februar 2012 Rettet uttrykk forxogy i avsnitt A.1.5. Marie

In document Gjennomgang av deler av kapittel 6, 7, 8 og 10 i Marshall & Plumb (2008) (sider 61-0)