Gjennomgang av deler av kapittel 6, 7, 8 og 10 i Marshall & Plumb (2008)
Helge Drange V˚ar 2011, versjon 7. juni 2011
Vennligst gi et ord om feil, mangler, ønsker etc. til helge.drange@gfi.uib.no
7. juni 2011
Oppdateringer
27. januar 2011 Noen mindre justeringer av tekst i kapittel 2:Utledning og tolkning.
7. februar 2011 Lagt inn nummerering for ligning (38), og erstattet (36) med (34) over lik- hetstegnet i første høyreside av (38).
14. mars Skrevet ut integralet i avsnitt 4.9.
15. mars Nytt avsnitt i avsnitt 4.6 (starter medUttrykk 198 ...).
31. mars Oppdatering om kulekoordinater i appendiks, avsnitt A.10.2 og A.10.3
Innhold
1 De primitive ligningene 5
1.1 Bevaring av masse og bevegelsesmengde . . . 5
1.2 Tilleggsligninger for atmosfæren . . . 5
1.3 Tilleggsligninger for havet . . . 5
2 Utledning og tolkning 7 2.1 Den totalderiverte avu . . . 7
2.2 Tidsderivert av posisjonsvektor i et roterende koordinatsystem . . . 7
2.3 Totalderivert i et roterende koordinatsystem . . . 9
2.4 Utledning av fiktive akselerasjoner i et roterende koordinatsystem . . . 11
2.5 Jordens rotasjonsvektor . . . 12
2.6 Tolkning av bevegelsesligningens ledd . . . 12
2.7 Egenskaper ved Coriolisaksakselerasjonen . . . 12
2.7.1 Coriolisleddet utfører ikke arbeid. . . 13
2.7.2 Coriolisakselerasjonen p˚a komponentform . . . 13
2.7.3 Coriolisakselerasjonen p˚a forenklet form. . . 15
2.8 Egenskaper ved sentrifugalakselerasjonen . . . 15
2.9 Sentrifugalakselerasjonen p˚a komponentform . . . 15
2.10 Sentrifugalakselerasjonen som del av gravitasjonsleddet . . . 16
2.11 Derivasjon i et polarkoordinatsystem . . . 16
2.11.1 Polare koordinater . . . 16
2.11.2 Polare kulekoordinater . . . 18
3 Forenklinger og anvendelser 19 3.1 Avstander p˚a en kuleflate . . . 19
3.2 Skalaanalyse . . . 20
3.2.1 Geostrofisk balanse1 . . . 20
3.2.2 Rossbytall . . . 21
3.2.3 Hydrostatisk balanse . . . 21
3.3 Geostrofisk balanse . . . 21
3.3.1 Eksempel, geostrofisk balanse . . . 21
3.4 Geostrofisk balanse i trykk-kordinater . . . 23
3.5 Tolkning av geostrofisk balanse i trykk-koordinater . . . 24
3.5.1 (∂z/∂x)p= konst<0, (∂z/∂y)p= 0 ogf >0 . . . 24
3.5.2 (∂z/∂x)p= 0, (∂z/∂y)p= konst<0 ogf >0 . . . 24
3.5.3 Eksempel, en synoptisk værsituasjon, 23. februar 2009 . . . 26
3.6 Termalvind, generelt uttrykk . . . 26
3.7 Termalvind for atmosfæren i trykk-koordinater . . . 27
3.8 Termalvinduttrykket integrert mellom to isobarer . . . 28
3.9 Tolkning av termalvind . . . 28
3.9.1 Sammenheng mellom geostrofisk vind og termalvind . . . 28
3.9.2 Orientering . . . 28
3.9.3 ∇pT = 0 . . . 29
3.9.4 ∇pT = konst6= 0 . . . 29
3.9.5 (∂T /∂y)p= konst<0, (∂T /∂x)p= 0 ogf >0 . . . 29
1For gradient vind balanse, se seksjon 4.5 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K.
Smith, Version: December 11, 2007.
3.9.6 (∂T /∂y)p= konst>0, (∂T /∂x)p= 0 ogf <0 . . . 29
3.9.7 (∂T /∂x)p= konst>0, (∂T /∂y)p= 0 ogf >0 . . . 30
3.9.8 Kald og varm adveksjon . . . 30
3.9.9 Idealisert eksempel. . . 31
3.9.10 Eksempel basert p˚a klimatologi . . . 32
3.9.11 Sammenheng mellom temperatur og avstand mellom to isobarflater . . . . 34
3.9.12 Anvendelse av trykk- og høydegradient . . . 35
3.9.13 Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med kald kjerne . . . 36
3.9.14 Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med varm kjerne . . . 36
4 Energioverføring i atmosfæren 38 4.1 Spinnsatsen . . . 38
4.1.1 Atmosfærens spinn i sonal retning . . . 39
4.1.2 Eksempel, verdier for atmosfærens spinn i sonal retning . . . 39
4.2 Oppdriftsfrekvens/Brunt-V¨ais¨al¨a frekvensen . . . 39
4.3 Redusert gravitasjon . . . 42
4.4 Margules sammenheng2 . . . 44
4.5 Rossbys tilpasningsproblem . . . 45
4.5.1 Venstre side av (174) . . . 46
4.5.2 Høyre side av (174) . . . 47
4.5.3 Rossby deformasjonsradius . . . 47
4.6 Frigjøring av potensiell energi3 . . . 48
4.7 Potensiell energi . . . 51
4.8 Beregning av potensiell energi for en tolangsmodell . . . 52
4.9 Kinetisk energi . . . 54
4.10 Kinetisk energi uttrykt med termalvind i en tolagsmodell . . . 54
5 Vinddrevet havsirkulasjon 55 5.1 Ekman teori4 . . . 56
5.1.1 Horisontal massetransport i Ekman-laget . . . 56
5.1.2 Transport gjennom nedre grenseflate p˚a Ekman-laget . . . 56
5.1.3 Respons av Ekman-pumping under Ekman-laget . . . 58
5.1.4 Meridional hastighet ved Ekman-pumping forklart med Taylor-Proudman teoremet5 . . . 59
5.2 Sverdrupbalanse6 . . . 63
5.2.1 Sverdrupbalanse, geometrisk tolkning . . . 64
A Grunnleggende funksjon- og vektoranalyse 67 A.1 Koordinatsystem . . . 67
A.1.1 Rektangulære koordinater . . . 67
2Se ogs˚a seksjon 5.2 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: De- cember 11, 2007
3Se ogs˚a seksjon 9.1–9.3 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version:
December 11, 2007.
4Se ogs˚a seksjon 8.6 iIntroduction to Geophysical Fluid Dynamicsav Benoit Cushman-Roisin og Jean-Marie Beckers (2010), og seksjon 5.3 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version:
December 11, 2007.
5Se ogs˚a diskusjon i seksjon 4.1-4.4 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, 2007.
6Se ogs˚a seksjon 6.3 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: De- cember 11, 2007.
A.1.2 Kurvelineære polare koordinater . . . 67
A.1.3 Buelengde . . . 68
A.1.4 Polare koordinater . . . 68
A.1.5 Polare kulekoordinater . . . 69
A.2 Variabel . . . 69
A.3 Funksjon . . . 69
A.4 Skalarfunksjon . . . 69
A.5 Vektorfunksjon . . . 70
A.6 Skalarprodukt . . . 70
A.7 Vektorprodukt . . . 70
A.8 Derivasjon i et fikskoordintsystem . . . 71
A.8.1 Gradient . . . 71
A.8.2 Divergens operatoren; divergerende og konvergerende vektorfunksjon . . . 71
A.8.3 Dobbeltderivert . . . 71
A.8.4 Kurl . . . 72
A.8.5 Relativ og absolutt virvling . . . 72
A.9 Vektoridentiteter som involvererdel-operatoren . . . 72
A.10 Derivasjon i et polarkoordinatsystem . . . 73
A.10.1 Polare koordinater . . . 73
A.10.2 Polare kulekoordinater . . . 74
A.10.3 Totalderivert uttrykt i kulekoordinater . . . 76
A.11 Sirkulær bevegelse og avstander p˚a en kule . . . 78
A.11.1 Fart til en sirkulær bevegelse . . . 78
A.11.2 Avstander p˚a en kule . . . 79
A.12 Taylorrekke . . . 79
B Oppdateringer v˚ar 2010 80
1 De primitive ligningene
(primitiv = opprinnelig, uutviklet, som hører til et tidlig utviklingstrinn)
- De dynamiske og termodynamiske naturlovene som beskriver atmosfærens og havets bevegelser, undergruppe av de mer generelle Navier-Stokes ligningene - Basert p˚a emperi og hypoteser
- Kanikke bevises (men er til dags dato ikke motbevist)
- Bare idealiserte tilfeller kan løses eksakt; full løsning krever numeriske meto- der/modeller
Et system av koplede differesialligninger har en entydig løsning dersom antall ligninger er lik antall ukjente. De grunnleggende ligningene følger under.
1.1 Bevaring av masse og bevegelsesmengde
Bevaring av masse
∂ρ
∂t +∇ ·(ρu) = 0 (1)
Bevaring av bevegelsesmengde(momentum) i tre dimensjoner (x, y, z)
∂u
∂t +u· ∇u+1
ρ∇p+ˆzg=−2Ω×u−Ω×(Ω×r) +F (2)
1.2 Tilleggsligninger for atmosfæren
Tilstandsliking for atmosfæren(ideelle gasslov som er en god beskrivelse av tørr luft)
p=ρRT (3)
Bevaring av varme(her temperatur)
∂T
∂t +∇ ·(Tu) =Q (4)
ligningene (1)-(4) er et løsbart system best˚aende av 6 ligninger med 6 ukjenteρ,u= (u, v, w),p ogT.
1.3 Tilleggsligninger for havet
Tilstandsligning for havet(en av flere versjoner)
ρ=ρ0[1−α(T−T0) +β(S−S0)] (5) Bevaring av varme(her temperatur)
∂T
∂t +∇ ·(Tu) =Q (6)
Bevaring av salt
∂S
∂t +∇ ·(Su) = kilder minus sluk (7)
ligningene (1), (2) og (5)-(7) er et løsbart system best˚aende av 7 ligninger med 7 ukjente ρ, u= (u, v, w),p, S ogT.
2 Utledning og tolkning
- Utledning basert p˚a Newtons 2. lov og massebevaring
- For Newton: Gjelder med bevegelsen, innfører den totalderiverte - Bruker skalarprodukt og vektorprodukt
- Anvender Taylorrekkeutviking til laveste orden (andre metoder kan benyttes og gir samme resultat, f.eks. fra statistisk mekanikk)
- Overgang fra ikke-roterende til roterende kartsisk koordinatsystem - Overgang fra kartesisk til krumlinje (kule)koordinatsystem
- Fysisk tolkning av de ulike leddene
Se appendix for definisjon av skalarprodukt, vektorprodukt, buelengde, polarkoordinater, kule- poordinater, rekkeutvikling, etc.
2.1 Den totalderiverte av u
Uttrykket
Du Dt = ∂u
∂t +u· ∇u (8)
er den totalderiverte avuog gir endringen avun˚ar en følger med bevegelsen.
Den totalderiverte best˚ar av to ledd. Lokal endring i tid i et fast geografisk punkt
∂u
∂t (9)
og bidraget av adveksjon
u· ∇u (10)
Den totalderiverte (8) har tre komponenter Du
Dt = ∂u
∂t +u∂u
∂x +v∂u
∂y +w∂u
∂z (11)
Dv
Dt = ∂v
∂t +u∂v
∂x+v∂v
∂y+w∂v
∂z (12)
Dw
Dt = ∂w
∂t +u∂w
∂x +v∂w
∂y +w∂w
∂z (13)
2.2 Tidsderivert av posisjonsvektor i et roterende koordinatsystem
Vi betrakter posisjonsvektorenrsom endrer retning grunnet rotasjon med vinkelhastighetΩom en akse som vist i figur 1. I det roterende koordinatsystemet err(t) konstant i tid, slik atr(t) = r(t+ ∆t). Men betraktet fra et fast koordinatsystem, et fikssystem, endrer posisjonsvektoren seg fra r(t) tilr(t+ ∆t) i løpet av tiden ∆t. Merk at det er kun endring av r grunnet rotasjon vi betrakter her, ikke lengden til r. Derfor er |r|= konst i det følgende. Tilfellet med en generell vektorAsom rotererog som endrer lengde blir utledet i p˚afølgende avsnitt.
Figur 1: Illustrasjon av tidsendringen til en posisjonsvektor r(t) som roterer mot klokken med konstant vinkelgastighet Ω =|Ω|.Rer radiusen i sirkelen som posisjonsvektorenr(t) spenner ut (farget lys rødt). I løpet av tiden ∆t beveger posisjonsvektoren seg en avstand ∆ri det fargede sirkulasjonsplanet.
Fra uttrykket for en buelengde (301) følger det at lengden av ∆r kan, for sm˚a ∆λ, skrives som
∆r=R∆λ=rsinθ∆λ (14)
Videre er
∆λ= Ω ∆t (15)
hvor Ω =|Ω|. Det følger da fra (14) og (15) at
∆r
∆t = Ωrsinθ (16)
For ∆t→0, f˚ar vi
dr
dt = Ωrsinθ (17)
eller, fra definisjonen av et vektorprodukt (avsnitt A.7), at dr
dt =Ω×r (18)
Merk at høyreh˚andsregelen gir atΩ×rer rettet langs ∆ri figur 1. Sett fra et fast (ikke-roterende) koordinatsystem er derfor tidsendringen av posisjonsvektorenr (det vil sifor|r|= konst), som roterer medΩ, gitt ved (18).
Transformasjonen (18) er grunnleggende for ˚a utlede sammenhengen mellom bevegelsesligningene i et ikke-roterende og roterende koordinatsystem.
2.3 Totalderivert i et roterende koordinatsystem
Vi starter med ˚a betrakte et koordinatsystem som ligger fast, et fiksssystem (navn etter fiksstjer- nene), og et som roterer rundt en koordinatakse. Fikssystemet er angitt med umerkede størrelser og subskriftf, mens merkede størrelser og subskriftr betegner det roterende systemet. For en- kelhetsskyld har koordinatsystemene felles origo og rotasjonen skjer langs den fellesz-aksen, se figur 2.
Figur 2: VektorenAi et fast (x, y, z) og et roterende (x0, y0, z0) koordinatsystem.
VektorenAkan uttrykkes entydig i begge systemene:
A = ˆxAx+ˆyAy+ˆzAz (19) A0 = ˆx0A0x+ˆy0A0y+ˆz0A0z (20)
A = A0 (21)
I det roterende koordinatsystemet ligger enhetsvektoreneˆx0,ˆy0ogˆz0fast, slik at den tidsderiverte avA0 er gitt ved den tidsderiverte avA0s komponenter
DA0 Dt
r
=ˆx0DA0x Dt
r
+ˆy0DA0y Dt
r
+ˆz0DA0z Dt
r
(22) hvor subskriftr betegner at derivasjonen er gjort i det roterende koordinatsystemet.
P˚a tilsvarende m˚ate kan den tidsderiverte i fikssystemet (subskriftf) skrives som DA
Dt f
=xˆDAx Dt
f
+ˆyDAy Dt
f
+ˆzDAz Dt
f
(23) Sett fra fikssystemet, vil enhetsvektorene i det roterende koordinatsystemet endre seg i tid. Siden A=A0, følger det at
DA Dt
f
= DA0 Dt
f
= ˆx0 DA0x Dt
f
+yˆ0 DA0y Dt
f
+ˆz0 DA0z Dt
f
+ Dˆx0 Dt
f
A0x+ Dˆy0 Dt
f
A0y+ Dˆz0 Dt f
A0z (24)
Fra transformasjonsuttrykket for en vektor i et roterende koordinatsystem (18), følger det at Dˆx0
Dt f
= Ω׈x0 (25)
Dˆy0 Dt
f
= Ω׈y0 (26)
Dˆz0 Dt f
= Ω׈z0 (27)
Fra de tre siste leddene i (24) har vi at de tre uttrykkene over skal multipliseres med henholdsvis A0x,A0y ogA0z. Dette gir
Dˆx0 Dt f
A0x+ Dˆy0 Dt
f
A0y+ Dˆz0 Dt f
A0z=Ω×A0 (28)
Videre er tidsendringen av lengden tilA0 sine komponenter, som er skalare størrelser, identisk i de to koordinatsystemene
DA0x Dt
f
= DA0x Dt
r
(29) DA0y
Dt f
= DA0y Dt
r
(30) DA0z
Dt f
= DA0z Dt
r
(31)
Dette gir at
ˆ x0 DA0x
Dt f
+yˆ0 DA0y Dt
f
+ˆz0 DA0z Dt
f
= DA0 Dt
r
(32) Uttrykkene (28) og (32) innsatt i (24), gir
DA0 Dt
f
= DA0 Dt
r
+Ω×A0 (33)
Eller, for en vilk˚arlig vektorA,
DA Dt
f
= DA Dt
r
+Ω×A (34)
Med notasjonen over kan tidsendringen av posisjonsvektorenri (18) skrives p˚a formen dr
dt f
=Ω×r (35)
Det følger derfor at (34) er en generalisert versjon av uttrykk (18).
2.4 Utledning av fiktive akselerasjoner i et roterende koordinatsys- tem
Uttrykket (34) kan brukes til ˚a relatere tidsendringen av hastighetsvektorene, det vil si aksele- rasjonen, i et fikssystem og i et roterende system, ved først ˚a erstatte Amedr:
Dr Dt f
= Dr Dt r
+Ω×r (36)
De to første leddene i uttrykket over gir hastighetenui henholdsvis fikssystemet og det roterende systemet, slik at (36) kan skrives som
uf =ur+Ω×r (37)
Videre følger det at akselerasjonen i et fiksssystem kan uttrykkes som Duf
Dt f
(34)= Duf
Dt r
+Ω×uf (37)=
D
Dt(ur+Ω×r)
r
+Ω×(ur+Ω×r)
=
Dur
Dt +Ω×Drr
Dt
r
+Ω×ur+Ω×(Ω×r)
= Dur Dt
r
+ 2Ω×ur+Ω×(Ω×r) (38)
Fra uttrykket over følger det at bevegelsesligningen i det roterende koordinatsystemet kan skrives
som Du
Dt +1
ρ∇p+ˆzg=−2Ω×u−Ω×(Ω×r) +F (39)
Siden det er underforst˚att at (39) uttrykker bevegelsesligningen i et roterende koordnatsystem, er subskriftrdroppet fra ligningen.
Leddet−2Ω×ukalles Coriolisakselerasjonen og leddet−Ω×(Ω×r) kalles sentrifugalakselera- sjonen. Begge leddene er fiktive akselerasjoner, det vil si at de representerer tilsynelatende akse- lerasjoner som følge av at bevegelsesligningen er uttrykt i et roterende koordnatsystem.
2.5 Jordens rotasjonsvektor
Ωer jordens rotasjonsvektor, rettet oppover sett fra stjernene (i hht høyreh˚andsregelen) og har verdi Ω = 2π/T ≈2π/(86400 s)≈ 7.3·10−5 rad s−1. Her er T tiden til en full rotasjon (dvs.
24 timer). Ofte skrives enheten til Ω som s−1, som da er underforst˚att rad s−1, der rad er radianer.
Jorden roterer mot høyre, fra vest mot øst, sett fra det ikke-roterende fikssystemet.
2.6 Tolkning av bevegelsesligningens ledd
∂u
∂t
|{z}
lokal endring
+ u· ∇u
| {z }
adveksjon
+1 ρ∇p
| {z }
trykk
+ ˆzg
|{z}
gravitasjon
=−2Ω×u
| {z }
Coriolis
−Ω×(Ω×r)
| {z }
sentrifugal
+ F
|{z}
friksjon
(40)
Figur 3: Orientering til Coriolisakselerasjonen (venstre) og sentrifugalakselerasjonen (høyre) i et roterende koordinatsystem p˚a den nordlige halvkule.
2.7 Egenskaper ved Coriolisaksakselerasjonen
- Er en fiktiv akselerasjon som følge av at bevegelsesligningen er uttrykt i et roterende system - Virker bare n˚ar det er bevegelse
- Er proporsjonal med hastigheten|u|
- Virker normalt p˚a hastigheten, s˚a bare retningen, ikke hastigheten |u|, endres (se sek- sjon 2.7.1)
- Er rettet til høyre for hastighetsvektorenup˚a den nordlige halvkule, se figur 3 - Er rettet til venstre p˚a den sørlige halvkule
- Er størst ved polene og fraværende ved ekvator (rent formelt gjelder det siste bare dersom bevegelsen er rettet langs jordens overflate, fordi Coriolis har en liten vertikal komponent, se seksjon 2.7.2)
- Kan til laveste orden skrives somfˆz×u, derf = 2 Ω sinϕkalles Coriolisparameteren (se seksjon 2.7.3)
2.7.1 Coriolisleddet utfører ikke arbeid.
Dette kan vi vise fra (2) dersom vi bare betrakter den totalderiverte avuog Coriolisleddet:
Du
Dt =−2Ω×u (41)
Prikker vi momentumuttrykket (41) medu, f˚ar vi for adveksjonsleddet u· Du
Dt = D Dt
1 2u·u
= D Dt
1 2u2
(42) og for Coriolisleddet
u·(−2Ω×u) = 0 (43)
Følgelig gjelder
D Dt u2
= 0 (44)
u2 er alts˚a bevart med bevegelsen i et system der bare Coriolis-akselerasjonen virker.
Starter vi ut med en væske i ro, vil væsken forbli i ro. P˚a tilsvarende m˚ate, starter vi ut med en væske med hastighetu, vil|u|= konst. Coriolis-akselerasjonen endrer derfor retningen, men ikke absoluttverdien (eller farten), tilu. Følgelig er kinetisk energi konservert, og Coriolis-leddet utfører ikkearbeid. Det siste gjelder for enhver akselerasjon (eller kraft) som virker normalt p˚a hastighetsvektoren.
2.7.2 Coriolisakselerasjonen p˚a komponentform
Vi betrakter koordinatsystemet som vist i figur 4. Uttrykt i koordinatsystemet (x, y, z) som roterer med jorden og hvorx-aksen er rettet østover,y-aksen nordover ogz-aksen radielt utover, følger det at rotasjonsvektorenΩkan skrives p˚a komponentform som
Ω= Ω(0,cosϕ,sinϕ) (45)
Coriolisakselerasjonen blir da
−2Ω×u=−2 Ω(wcosϕ−vsinϕ, usinϕ,−ucosϕ) (46) hvoru= (u, v, w) er hastighetsvektorens komponenter i (x, y, z)-retningene.
Fra (46), og med hjelp av figur 4, ser vi følgende
Figur 4: Øverst: Jorden med et lokalt roterende koordinatsystem (x, y, z).xer rettet østover,y nordover ogzradielt utover. Rotasjonsjonen foreg˚ar i østlig retning og er gitt vedΩ.λbetegner lengdegrad og ϕ breddegrad. Nederst, fra venstre:−2Ω×(u,0,0), −2Ω×(0, v,0) og−2Ω× (0,0, w).
• u bidrar i Coriolisakselerasjonensy- ogz-retninger fordi −2Ω×(u,0,0) er rettet radielt ut fra rotasjonsaksen, det vil si at −2Ω×(u,0,0) har en komponent i y-retningen og en komponent iz-retningen. Merk at−2Ω×(u,0,0) bidrar i to retninger sidenu= (u,0,0) st˚ar normalt p˚aΩ. Dette i motsetning tilv- ogw-komponentene som begge ligger i samme plan somΩ.
• vbidrar kun til Coriolisakselerasjonensx-retning fordi−2Ω×(0, v,0) er rettet ix-retningen.
Merk at−2Ω×(0, v,0) bidrar i kun en retning sidenu= (0, v,0) ligger i samme plan som Ω.
• w bidrar kun til Coriolisakselerasjonens x0-retning fordi −2Ω×(0,0, w) er rettet i −x- retningen. Merk at −2Ω×(0,0, w) bidrar i kun en retning siden u = (0,0, w) ligger i samme plan somΩ.
2.7.3 Coriolisakselerasjonen p˚a forenklet form.
Vi tar utgangspunkt i det fulle uttrykket for Coriolisakselerasjonen (46). Generelt er w mye mindre enn den horisontale hastighetskomponentenv (det samme gjelder for u). Derfor kan vi neglisjere leddet medw. Videre er Coriolisakselerasjonens z-komponent svært liten i forhold til gravitasjonsakselerasjoneng. Følgelig kan vi ogs˚a se bort fraz-komponenten.
Dette betyr
−2Ω×u≈ −2 Ω(−vsinϕ, usinϕ,0) (47) Uttrykket over kan skrives som
−2Ω×u=−fˆz×u (48)
derˆzer enhetsvektoren i z-retningen og Coriolisparameteren
f = 2 Ω sinϕ (49)
Merk at Coriolisparameteren er positiv p˚a den nordlige halvkule og negativ p˚a den sørlige halv- kule. For 45◦ breddegrad erf ≈1×10−4 s−1.
2.8 Egenskaper ved sentrifugalakselerasjonen
- Er en fiktiv akselerasjon som følge av at bevegelsesligningen er uttrykt i et roterende system - Erstatisk; virker alltid
- Er alltid rettet radielt utover i forhold til rotasjonsvektorenΩ
- Reduserer gravitasjonen i radiell retning med Ω2rcosϕ, der r er jordens radius of ϕ er breddegrad. Den m˚alte gravitasjonen p˚a jorden er derfor mindre enn om jorden ikke roterte - Gir gravitasjonen et bidrag rettet mot ekvator p˚a nordlige og sørlige halvkule (Ω2rsinϕcosϕ);
som er grunnen til at jorden buler ut ved ekvator
2.9 Sentrifugalakselerasjonen p˚ a komponentform
−Ω×(Ω×r) = Ω2R(0,−sinϕ,cosϕ) (50) derRer avstand fra jordens rotasjonsakse til et gitt punkt, d.v.s.R=rcosϕ.
2.10 Sentrifugalakselerasjonen som del av gravitasjonsleddet
Sentrifugalakselerasjonen kan skrives som gradienten til et potensial Ω×(Ω×r) =−∇
Ω2R2 2
(51) Gravitasjonen kan ogs˚a skrives som gradienten til et potensial
ˆ
zg=∇(gz) (52)
Ved ˚a kombinere (51) og (52) f˚ar vi ˆ
zg+Ω×(Ω×r) =∇φ (53)
der
φ=gz−Ω2R2
2 (54)
Alts˚a kan momentumligningen (2) alternativt uttrykkes Du
Dt +1
ρ∇p+∇φ=−fˆz×u+F (55)
2.11 Derivasjon i et polarkoordinatsystem
2.11.1 Polare koordinater
Gradient-operatoren i polare koordinater (r, φ) er gitt ved den inverse av skalafaktorene (304)
∇= ∂
∂r,1 r
∂
∂θ
(56)
Fra figur 5 følger det at enhetsvektoreneer ogeθ kan skrives som
er = ˆxcosθ+ˆysinθ (57) eθ = −ˆxsinθ+ˆycosθ (58) hvorˆxog ˆyer enhetsvektorene i det faste (x, y) koordinatsystemet. Fra (57) og (58) følger det at
∂er
∂θ =eθ
∂er
∂r =0 (59)
∂eθ
∂θ =−er
∂eθ
∂r =0 (60)
Divergensen til hastighetsvektorenu=erur+eθuθ, sett fra det faste koordinatsystemet (x, y),
Figur 5: Kurvelineære polare koordinater i to dimensjoner med tilhørende ortogonale enhetsvek- torerer ogeθ.
blir da
∇ ·u=
er ∂
∂r+eθ1 r
∂
∂θ
·(erur+eθuθ)
=er· ∂
∂r(erur+eθuθ) +1 reθ· ∂
∂θ(erur+eθuθ)
=er·
>
∂er
∂rur+er∂ur
∂r +
>
∂eθ
∂r uθ+
>
eθ∂uθ
∂r
!
+1
reθ· ∂er
∂θ ur+
>
er∂ur
∂θ +
>
∂eθ
∂θ uθ+eθ∂uθ
∂θ
!
= ∂ur
∂r +ur r +1
r
∂uθ
∂θ
(61)
Her har vi benyttet at er·er=eθ·eθ = 1, er·eθ = 0 og uttrykkene (59) og (60). Skr˚apilene viser leddene som ikke gir bidrag.
Ved ˚a kombinere de to første leddene p˚a høyre side av uttrykket over, f˚ar vi
∇ ·u= 1 r
∂
∂r(rur) +1 r
∂uθ
∂θ (62)
P˚a tilsvarende m˚ate finner vi at
∇2φ= 1 r
∂
∂r
r∂φ
∂r
+ 1 r2
∂2φ
∂θ2 (63)
2.11.2 Polare kulekoordinater
Gradient-operatoren i polare kulekoordinater (λ, ϕ, r) er gitt ved den inverse av skalafaktorene (308)
∇= 1
rcosϕ
∂
∂λ,1 r
∂
∂ϕ, ∂
∂r
(64) Divergensen til hastighetsvektorenu=eλu+eϕv+erw, blir da
∇ ·u= 1 rcosϕ
∂u
∂λ + 1 rcosϕ
∂vcosϕ
∂ϕ + 1 r2
∂wr2
∂r (65)
Videre er
∇2φ= 1 r2cos2ϕ
∂2φ
∂λ2 + 1 r2cosϕ
∂
∂ϕ
cosϕ∂φ
∂ϕ
+ 1 r2
∂
∂r
r2∂φ
∂r
(66) I tilfellet med konstantr, kan det siste leddet i (65) og (66) forenkles sidenr2-faktorene kansellerer hverandre.
3 Forenklinger og anvendelser
- Forenklinger basert p˚a skalaanalyse eller gitte antagelser - Hydrostatisk tilnærming
- Geostrofisk tilnærming - Termalvind
- Friksjon
- p- vs z-koordinater
- Kompressible og ikke-kompressibel væske - Divergent og konverhent hastighetsfelt - Barotrop og baroklin væske
3.1 Avstander p˚ a en kuleflate
Figur 6: Bredde- og lengdegradssirkler p˚a en kule. Breddegradssirklene er rettet i nord-sør ret- ningen og er gitt ved breddegradsvinkelenϕ, og lengdegradssirklene i øst-vest retningen gitt ved lengdegradsvinkelenλ. Bredde- og lengdegradsretningene kalles ogs˚a meridional og sonal retning.
(Figur fra http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sphere wireframe.svg).
Figur 6 illustrerer bredde- og lengdegradssirkler p˚a en kule. Det følger fra figuren at den geo- grafiske avstanden mellom to lengdegrader avtar med økende breddegradϕ(mot polene), mens avstanden mellom to breddegrader er konstant.
Jordens omkrets ved ekvator er ca. 4×107m. Følgelig tilsvarer en lengdegrad langs ekvator 111 km.
Avstanden (p˚a kuleflaten) mellom lengdegradssirklene avtar med økende breddegrad ϕ (mot polene). For to lengdegradssirkler som ligger 1 grad fra hverandre er avstanden 111 cosϕ km (cosϕframkommer som skalafaktoren i lengdegradsretningen p˚a en kule, se (308)).
Avstanden mellom breddegradssirklene er konstant og lik 111 km. Dette er i tr˚ad med at skala- faktoren i breddegradsretningen for krumlinje kulekoordinater er 1.
3.2 Skalaanalyse
For et gitt problem eksesterer det ofte karakteristiske horisontale langdeskalaer L, vertikale lengdeskalaer H, horisontale hastigheter U og tidsskalaer T. Verdiene for disse karakteristiske størrelsene varierer om vi er i atmosfæren eller i havet.
Karakteristiske verdier for fri bevegelse i havet p˚a midlere breddegrader (f.eks. 45◦) er LengdeskalaL ∼106 m
Vertikal skalaH ∼103 m
Horisontal hastighetU ∼10−1m s−1 Vertikal hastighetW ∼10−4 m s−1 Trykk horisontalt P ∼107 Pa Trykk vertikalt P ∼104 Pa Tetthetρ∼103 kg m−3
Coriolisparameter f ∼10−4 s−1 Gravitasjong∼10 m s−2 3.2.1 Geostrofisk balanse7
Horisontalkomponentuav bevegelsesligningen (2), n˚ar en ser bort fra friksjon, er
∂u
∂t
|{z}
U T
+u∂u
∂x
| {z }
U2 L
+v∂u
∂y
| {z }
U2 L
+w∂u
∂z
| {z }
W2 H
+1 ρ
∂P
∂x
| {z }
p ρL
= f v
|{z}
fU
(67)
Innsatt verdier, følger det at trykk- og Coriolisleddene er de dominerende. Dette gir den geostro- fiske balanse
f u≈ −1 ρ
∂p
∂y og f v≈ 1 ρ
∂p
∂x (68)
7For gradient vind balanse, se seksjon 4.5 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K.
Smith, Version: December 11, 2007.
3.2.2 Rossbytall
Forholdstallet mellom størrelsen av adveksjon og Coriolis kalles RossbytalletR0
R0= |adveksjon|
|Coriolis| ∼ U
fL (69)
Det følger at geostrofisk balanse er en god tilnærming forR01.
For den frie atmosfæren p˚a midlere breddegrader er typiskR0∼0.1. Tilsvarende verdi for havet erR0= 10−3.
3.2.3 Hydrostatisk balanse
Vertikalkomponent av bevegelsesligningen (2), n˚ar en ser bort fra friksjon, er
∂w
∂t
|{z}
W T
+u∂w
∂x
| {z }
W2 L
+v∂w
∂y
| {z }
W2 L
+w∂w
∂z
| {z }
W2 H
+1 ρ
∂p
∂z
| {z }
P ρH
+ g
|{z}
g
= 0 (70)
Innsatt verdier følger det at trykk- og gravitasjonsleddene er de dominerende. Dette gir den hydrostatiske balanse
∂p
∂z =−ρg (71)
3.3 Geostrofisk balanse
Dersom vi definerer den geostrofiske hastighetug til ˚a tilfredsstille (68), f˚ar vi ug=− 1
f ρ
∂p
∂y (72)
vg= 1 f ρ
∂p
∂x (73)
eller
ug= 1
f ρˆz× ∇p (74)
3.3.1 Eksempel, geostrofisk balanse
Oppgave 4, side 136 i Marshall & Plumb.
Vi betrakter et lavtrykkssystem p˚a den sørlige halvkule sentrert p˚a 45◦S, og med trykket ved havniv˚a gitt med
p= 1000 hPa−∆pexp−r2/R2 (75)
der ∆p= 20 hPa ogR= 500 km.
Trykkfordelingen gitt ved (75) beskriver et symmetrisk lavtrykk med et sentertrykk p˚a 980 hPa og hvor trykket øker radielt.
Geostrofisk balanse gir, fra uttrykk (74),
ug= 1
f ρˆz× ∇p (76)
Siden lavtrykket er radielt symmertrisk, er det hensiktsmessig ˚a uttrykke geostrofi-balansen i polarkoor- dinater. Fra (337) har vi at gradienten tilp(en skalar størrelse) kan skrives som
∇p=ˆer
∂p
∂r+ˆeθ
1 r
∂p
∂θ (77)
Det følger da at
ˆz× ∇p=
ˆer ˆeθ ˆz
0 0 1
∂p
∂r 1 r
∂p
∂θ 0
=−ˆer
1 r
∂p
∂θ+ˆeθ
∂p
∂r (78)
Den radielle geostrofi-komponenten er
ugr=− 1 f rρ
∂p
∂θ (79)
og den azimutale komponenten er
ugθ= 1 f ρ
∂p
∂r (80)
Sidenpi (76) ikke varierer medθ, følger det at
ugr= 0 (81)
Sirkulasjonen foreg˚ar alts˚a i sin helhet langs linjer med konstantr, det vil si langs isobarene.
Den azimutale komponenten i (80) framkommer ved ˚a deriverepmed hensyn p˚ar
∂p
∂r = ∆p2r
R2 exp−r2/R2 (82)
som gir
ugθ= 1 f ρ∆p2r
R2exp−r2/R2 (83)
Sidenf <0 p˚a den sørlige halvkule følger det at sirkulasjonen er rettetmedklokken.
Maksimal geostrofisk hastighet finner vi ved ˚a søke ekstremverdien til ∂ugθ/∂r, det vil si denr som tilfredsstiller
∂ugθ
∂r = 0 (84)
Fra (83) følger det at 1 f ρ∆p 2
R2exp−r2/R2+ 1 f ρ∆p2r
R2 −2r
R2
exp−r2/R2 = 0 (85)
Uttrykket over kan forenkles til
1−2r2
R2 = 0 eller r= R
√2 (86)
Maksimal hastighet finnes alts˚a forr=R/√
2, som gir ugθ(r=R/√
2) = 1 f ρ∆p
√2
R exp−1/2 (87)
Innsatt de oppgitte verdiene, f˚ar vi ugθ(r=R/√
2) =
1
−1.2·10−4·1.22000
√2
500·103exp−1/2
m s−1= 23.8 m s−1 (88) hvor vi har bruktρ= 1.2 kg m−3, ∆p= 20 hPa = 2000 Pa ogf <0.
Oppsummert: Maksimal hastighet p˚a 23.8 m s−1oppst˚ar i en avstandr=R/√
2 = 354 km fra lavtrykkets sentrum.
3.4 Geostrofisk balanse i trykk-kordinater
Det er ofte hensiktsmessig ˚a kvitte seg med tettheten ρi (72)-(74). Dette kan gjøres ved ˚a g˚a over fra høyde z til trykk p som vertikal koordinat. Den hydrostatiske ligningen benyttes for denne transformasjonen. Vi betrakter først hvordan ∂/∂x kan skrives med trykk som vertikal koordinat.
Figur 7: Illustrasjon p˚a overgang mellom z- og p-koordinater. Langs den bl˚a krumme linjen er trykketpkonstant. Langs den horisontale bl˚a linjen erz konstant.
Fra figur 7 følger det at
∂p
∂x z
=pB−pA
δx =pB−pC
δx (89)
hvor vi har benyttet atpA=pC sidenper konstant langs isobaren i figur 7, og hvor subskriftz betegner at derivasjonen utføres langs linjenz= konst.
Den hydrostatiske ligningen
∂p
∂z =−ρ g (90)
gir at
p=p0−ρ g z (91)
hvorp0 er en konstant.
Fra figur 7 følger det da at
pC−pB=−ρ g δz (92)
eller
pB−pC=ρ g δz (93)
(93) innsatt i (89) gir
∂p
∂x z
=ρ g δz δx p
(94) Her betegner subskriftpat derivasjonen utføres langs linjenp= konst. Dette er en direkte følge av antagelsen i (89). For sm˚aδx, δz, følger det at
∂p
∂x z
=ρ g ∂z
∂x p
(95)
Tilsvarende f˚ar vi for∂/∂y at
∂p
∂y z
=ρ g ∂z
∂y p
(96) Dette betyr at den geostrofiske ligningen kan uttrykkes i trykk-koordinater som
ug= g
fˆzp× ∇pz (97)
eller p˚a komponentform
ug =−g f
∂z
∂y
p
(98) vg= g
f ∂z
∂x
p
(99) Merk at tetthetenρikke inng˚ar i uttrykkene over.
3.5 Tolkning av geostrofisk balanse i trykk-koordinater
3.5.1 (∂z/∂x)p= konst<0, (∂z/∂y)p= 0 og f >0
I dette tilfellet er vi p˚a den nordlige halvkule og isobarflaten heller nedover mot øst, se venstre del av figur 8. Fra (98) og (99) følger det atug= 0 ogvg<0, det vil si at den geostrofiske vinden har en sørlig komponent (i negativy-retning).
Figur 8: Illustrasjon av (∂z/∂x)p og (∂z/∂y)p i det geostrofiske uttrykket (97) p˚a den nordlige halvkule (f >0). zp betegner enhetsvektoren normalt p˚a isobarflatene.
3.5.2 (∂z/∂x)p= 0,(∂z/∂y)p= konst<0 og f >0
Vi er p˚a den nordlige halvkule og isobarflaten heller nedover mot nord, se høyre del av figur 8.
Fra (98) og (99) følger det atug>0 ogvg= 0, det vil si at den geostrofiske vinden har en østlig komponent (i positivx-retning).
Figur 9: Synoptisk værkart for høyden z til isobarflaten p = 250 hPa (bl˚a konturlinjer) og vindhastighet (piler). Den røde sirkelen er sentrert p˚a ca. 62 grader nord og det røde linjestykket dekker ca. fire breddegrader. Den bl˚a sirkelen er sentrert p˚a ca. 54 grader nord og det bl˚a linjestykket dekker ca. fire lengdegrader. Høydeforskjellen mellom høydekonturene er 40 m. Figur fra Marius Opsanger Jonassen (Geofysisk institutt, UiB) basert p˚a Hirlam24 og plottet med Diana.
3.5.3 Eksempel, en synoptisk værsituasjon, 23. februar 2009
Retning og fart til den geostrofiske vinden kan utledes fra et synoptisk værkart, se figur 9. Hastigheten ved den røde sirkelen er omtrentlig gitt vedx-konponenten av (97):
ug=−g f
∂z
∂y
p
(100) Her erf≈1.2·10−4 s−1for 62◦N. Videre er avstanden av det røde linjestykketδy= 4·111·103 m og høyden over samme linjestykke, i positivy-retning (nordover),avtarmedδz≈220 m. Vi f˚ar da
ug =− 9.8
1.2·10−4
−220 4·111·103
m s−1 = 39.6 m s−1 (101)
Den geostrofiske hastigheten i punktet med den røde sirkelen er alts˚a ca. 40 m s−1i østlig retning.
Tilsvarende finer vi hastigheten ved den bl˚a sirkelen er omtrentlig gitt vedy-konponenten av (97):
ug= g f
∂z
∂x
p
(102) For 52◦N erf≈1.2·10−4 s−1. Videre er avstanden av det br˚a linjestykketδx= 4·111·103cos(52◦) m og høyden over samme linjestykke, i positivx-retning (østover),økermedδz≈110 m. Vi f˚ar da
vg= 9.8
1.2·10−4
110 4·111·103cos(52◦)
m s−1= 32.2 m s−1 (103) Den geostrofiske hastigheten i punktet med den bl˚a sirkelen er alts˚a ca. 32 m s−1i nordlig retning.
3.6 Termalvind, generelt uttrykk
Geostrofi gir oss vinden for konstant høydez, ligning (74), eller for konstant trykkp, ligning (97).
For ˚a kunne si noe om hvordan ug varierer i vertikal-retningen, ser vi p˚a hvordan variasjoner i tettheten ρ p˚avirker den geostrofiske balansen i z-retningen. Ofte kan vi skrive tettheten ρ som
ρ=ρ0+σ (104)
derρ0 er konstant (en referansetetthet) ogσ/ρ01. Fra (104) følger det at
∂ρ
∂x =∂σ
∂x og ∂ρ
∂y = ∂σ
∂y (105)
Deriverer vi (74) med hensyn p˚az og bruker at 1 ρ = 1
ρ0+σ ≈ 1 ρ0
(106) f˚ar vi
∂ug
∂z =− 1 f ρ0
∂
∂y ∂p
∂z
(107)
∂vg
∂z = 1 f ρ0
∂
∂x ∂p
∂z
(108)
Hydrostatisk tilnærming fra ligning (71) innsatt i parentesene over, samt bruk av (105), gir
∂ug
∂z = g f ρ0
∂σ
∂y (109)
∂vg
∂z =− g f ρ0
∂σ
∂x (110)
eller
∂ug
∂z =− g f ρ0
ˆ
z× ∇σ (111)
Uttrykket (111) viser at den horisontale tetthetsgradienten∇σgir opphav til et vertikalt hastig- hetsskjær∂ug/∂z. En generell tilstandsligning p˚a formen (104) gir alts˚a opphav til en termalvind p˚a formen (111).
3.7 Termalvind for atmosfæren i trykk-koordinater
Vi tar her utgangspunkt i geostrofisk uttrykk i trykk-koordinater (97). Dersom vi deriverer dette uttrykket med hensyn p˚a pog bruker den hydrostatiske tilnærmingen
∂p
∂z =−ρ g eller ∂z
∂p =−1
ρg (112)
f˚ar vi
∂ug
∂p =−g f
∂
∂y ∂z
∂p
p
=−g f
∂
∂y
− 1 ρg
p
= 1 f
∂
∂y 1
ρ
p
(113) og
∂vg
∂p =−1 f
∂
∂x 1
ρ
p
(114) Den ideelle gassloven (3) beskriver sammenhengen mellomp,ρogT for tørr luft p˚a en god m˚ate.
Fra (3) har vi at
p=ρRT eller 1 ρ = RT
p (115)
Høyre uttrykk i (115) innsatt i (113) og (114), gir
∂ug
∂p = R f p
∂T
∂y
p
(116)
∂vg
∂p =−R f p
∂T
∂x
p
(117) eller
∂ug
∂p =−R
f pˆzp× ∇pT (118)
3.8 Termalvinduttrykket integrert mellom to isobarer
Integrerer vi (116) mellom de to isobarflatenep=p1ogp=p2, f˚ar vi Z p2
p1
∂ug
∂p dp = R f
Z p2
p1
(1 p
∂T
∂y
p
)
dp (119)
= R
f ∂T
∂y
p
Z p2
p1
1
pdp (120)
I den siste overgangen har vi brukt atT representerer middelverdien avT mellom isobarflatene p=p1 ogp=p2, betegnetT. SidenR
x−1dx= lnx, følger det at uT ≡ug(p2)−ug(p1) = R
f lnp2
p1 ∂T
∂y
p
(121)
= −R f lnp1
p2
∂T
∂y
p
(122) der uT er x-komponenten til termalvindvektoren uT, og hvor vi i siste overgang har brukt at ln(a/b) =−ln(b/a). Tilsvarende f˚ar vi fory-komponenten:
vT ≡vg(p2)−vg(p1) =R f lnp1
p2
∂T
∂x
p
(123)
Termalvind-komponentene (122) og (123) kan uttrykkes p˚a vektorform uT =ug(p2)−ug(p1) =R
f lnp1 p2
ˆ
zp× ∇pT (124)
Merk at det er hensiktsmessig ˚a bruke ln(p1/p2) i termalvinduttrykkene siden ln(p1/p2)>0 for p1> p2.
3.9 Tolkning av termalvind
3.9.1 Sammenheng mellom geostrofisk vind og termalvind
Det følger fra (124) at termalvind er differansen mellom geostrofisk vind p˚a to isobarflater. Ter- malvinden sier derfor hvor stort det vertikale hastighetsskjæret er. Kjenner vi to av de tre vek- toreneug(p1),ug(p2) oguT, kan vi utlede den tredje vektoren direkte fra vektorsummen
ug(p1) +uT =ug(p2) (125)
3.9.2 Orientering
Det følger fra (124) atuT er rettet normalt p˚a ∇pT, det vil si parallelt med isotermene. P˚a den nordlige halvkule vil lav temperatur ligge til venstre foruT (til høyre p˚a den sørlige halvkule grunnet fortegent tilf).
3.9.3 ∇pT = 0
Dersom den horisontale middeltemperaturen mellom isobarflatene avgrenset avp=p1ogp=p2
er konstant,∇pT = 0, følger det fra (124) atug(p1) =ug(p2), det vi si at den geostrofiske vinden er uendret i høydeintervallet avgrenset av isobarflatene p1 og p2. Gjelder dette for hele atmos- færen, sier vi at atmosfæren erbarotrop. Det er da uniform vertikal hastighet i atmosfæren.
3.9.4 ∇pT = konst6= 0
I dette tilfellet vilug(p1)6=ug(p2), det vi si at vi har et vertikalt vindskjær. Atmosfæren er da baroklin.
Dersom vi antar at p = p1 representerer bakketrykket og at ug(p1) er liten ved bakken (det vil si atug(p1)≈0), følger det fra (124) at|uT| og|ug(p2)|øker n˚ar p2 avtar, og at økningen skalerer med ln(p1/p2). Derfor øker den termale vinden med høyden s˚a lenge det er en horisontal temperaturgradient mellomp1 ogp2.
3.9.5 (∂T /∂y)p= konst<0,(∂T /∂x)p= 0 og f >0
I dette tilfellet er vi p˚a den nordlige halvkule og temperaturen avtar mot nord, se figur 10. Fra (122) og (123) ser vi at uT > 0 og vT = 0, det vil si at den termiske vinden har en østlig komponent (i positivx-retning).
Figur 10: Illustrasjon av tilfellet (∂T /∂y)p = konst<0, (∂T /∂x)p = 0 og f >0. Merk at den resulterende termalvinden er rettet i positivx-retning.
Det er temperaturgradienten mellom sør og nord som er opphavet til at jetstrømmene er vestlig rettet p˚a den nordlige halvkule.
3.9.6 (∂T /∂y)p= konst>0,(∂T /∂x)p= 0 og f <0
I dette tilfellet er vi p˚a den sørlige halvkule og temperaturen avtar mot sør. Siden b˚ade (T /∂y)p
ogf har motsatt fortegn i forhold til tilfellet i seksjon (3.9.5), gir denne konfigurereingen samme dynamikk som i seksjon (3.9.5), alts˚a er jetstrømmen vestlig rettet ogs˚a p˚a den sørlige halv- kule.
3.9.7 (∂T /∂x)p= konst>0,(∂T /∂y)p= 0 og f >0
I dette tilfellet er vi p˚a den nordlige halvkule og temperaturen øker mot øst, se figur 11. Fra (122) og (123) ser vi atuT = 0 ogvT >0, det vil si at den termiske vinden har en nordlig komponent (i positivy-retning).
Figur 11: Illustrasjon av tilfellet (∂T /∂x)p = konst>0, (∂T /∂y)p = 0 og f >0. Merk at den resulterende termalvinden er rettet i positivy-retning.
3.9.8 Kald og varm adveksjon
Termalvinden diskutert i seksjon (3.9.5) kan representeres som vist i figur 12, med avtagende temperatur mot nord oguT rettet østover.
Figur 12: Illustrasjon p˚a termalvind uT for et temperaturfelt som avtar mot nord.
Dersom den geostrofiske vinden p˚a niv˚a p=p1 er rettet mot lavere temperatur (nordover), se venstre del av figur 13, følger det fra vektorsummen (124) at ug(p2) er dreiet med klokken i forhold tilug(p1). I tillegg følger det at den geostrofiske vinden bringer varm luft med seg. Dette kallesvarm adveksjon. Dersomug(p1) betegner vinden p˚a bakkeniv˚a, betyr dette at vinden dreier stadig mer til høyre relativtug(p1) n˚ar en beveger seg oppover i atmosfæren.
Figur 13: Som figur 12 og for en antatt nord-rettetug(p1) (figur til venstre) og sør-rettetug(p1) (figur til høyre).
P˚a tilsvarende m˚ate viser den høyre del av figur 13 en situasjon derug(p1) er rettet mot høyere temperatur (sørover). I dette tilfellet er ug(p2) dreiet mot klokken i forhold tilug(p1), og den geostrofiske vinden bringer kald luft med seg. Dette kalleskald adveksjon. Dersomug(p1) betegner vinden p˚a bakkeniv˚a, betyr dette at vinden dreier stadig mer til venstre relativt ug(p1) n˚ar en beveger seg oppover i atmosfæren.
Siden temperaturen avtar mot begge polene, følger det fra diskusjonen over at den geostrofiske vinden vil alltid – og uavhengig av retningen til ug(p1) – dreies mot øst n˚ar en beveger seg oppover i atmosfæren. Det er følgelig den fallende temperaturen n˚ar vi g˚ar fra tropene til høyere (nordlige og sørlige) breddegrader som gjør at vi har østlig rettet vind i høyden n˚ar vi fjerner oss fra ekvator.
3.9.9 Idealisert eksempel
Anta den horisontale temperaturgradienten er konstant p˚a alle trykk-niv˚aer i troposfæren, og gitt ved
∇pT= 20 K
1000 kmˆi (126)
Ved bakken er trykketp1 = 1000 hPa og ug(p1) =vg(p1)ˆj= 5 m s−1ˆj. Hva er vinden vedp2 = 700 hPa ogp3= 500 hPa? Anta vi er p˚a 45 grader nord.
Siden∇pT bare har enx-komponent, er det barey-komponenten av termalvinden, uttrykk (123), som gir bidrag:
vg(p2) =vg(p1) +R f lnp1
p2
∂T
∂x
p
(127) Forp2= 700 hPa = 7·105 Pa, f˚ar vi
vg(p2) =
5 + 287 1·10−4
ln1·106 7·105
20 1000·103
m s−1 = 25.5 m s−1 (128) P˚a tilsvarende m˚ate f˚ar vi forp3= 500 hPa = 5·105Pa
vg(p3) =
5 + 287 1·10−4
ln1·106 5·105
20 1000·103
m s−1 = 44.8 m s−1 (129) Alts˚a øker vinden med høyden, fra 5 m s−1 ved bakken til 25.5 m s−1 ved 700 hPa og 44.8 m s−1 ved 500 hPa.
3.9.10 Eksempel basert p˚a klimatologi
Figur (14) viser observasjons-basert sonal vind og sonal temperatur for m˚anedene desember-januar- februar. P˚a den nordlige halvkule ser vi at jetstrømmen har maksimal verdi p˚a vel 40 m s−1p˚a 200 hPa.
˚Arsaken til at jetstrømmen har maksimal verdi p˚a ca. 30 grader nord er at den horisontale temperatur- gradienten er størst – og har samme fortegn – for denne breddegraden. Dette gjelder for trykkintervallet mellom overflaten og opp til ca. 200 hPa. Over 200 hPa skifter den horisontale temperaturgradienten fortegn, og følgelig avtar den sonale jetstrømmen forp <200 hPa.
Jetstrømmens hastighet ved 200 hPa kan estimeres ved ˚a se p˚a det termale bidraget rundt 30 grader nord.
Siden helningen til isotermene varierer en del mellom overflaten ogp= 200 hPa, er det misvisende ˚a gi en verdi for temperaturgradienten for hele dette tryppintervallet. Men vi kan derfor dele opp atmosfæren i trykkintervaller p˚a 100 eller 200 hPa, og ansl˚a midlere temperaturgradient og berekne termalvinden for hvert av disse trykkintervallene.
For ˚a estimere temperaturgradienten for hver av trykkintervallene, kan vi bruke de vertikale hjelpelinjene p˚a 20 og 40 grader nord i nederste panel av figur 14. For intervallet mellomp1= 1000 ogp2= 800 hPa er den sonale temperaturgradienten (∂T /∂y)900 hPa ≈ −17 K/(20×111 km). Helt ved bakken kan vi antaug(p1)≈0. Vi f˚ar da
vg(p2) = −R f lnp1
p2
∂T
∂y
p
= −
287 7.3·10−5
ln1·106 8·105
−17 20·111·103
m s−1 = 6.7 m s−1 (130)
For intervallet mellomp2= 800 ogp3= 400 hPa er den sonale temperaturgradienten (∂T /∂y)600 hPa≈
−15 K/(20·111 km). Dette gir vg(p3) = vg(p2)−R
f lnp2
p3
∂T
∂y
p
=
6.7− 287 7.3·10−5
ln8·105 4·105
−12 20·111·103
m s−1= 31.4 m s−1 (131)
For intervallet mellomp3= 400 ogp4= 200 hPa er den sonale temperaturgradienten (∂T /∂y)300 hPa≈
−12 K/(20·111 km), som gir vg(p4) = vg(p3)−R
f lnp3
p4
∂T
∂y
p
=
31.4− 287 7.3·10−5
ln4·105 2·105
−9 20·111·103
m s−1= 42.4 m s−1 (132) Merk atvg(p4) er i godt samsvar med jetstrømmens faktiske styrke p˚a vel 40 m s−1.
Vi kan ogs˚a estimere vindhastigheten for trykket p5 = 100 hPa. Den sonale temperaturgradienten (∂T /∂y)150 hPa≈+12 K/(20·111 km), som gir
vg(p5) = vg(p4)−R f lnp4
p5
∂T
∂y
p
=
42.4− 287 7.3·10−5
ln4·105 2·105
12 20·111·103
m s−1= 27.7 m s−1 (133) Ogs˚avg(p5) er i godt samsvar med reanalysens vind forp= 100 hPa p˚a rundt 30 m s−1.
Figur 14: Atmosfærisk reanalyse (kombinert observasjoner og modell) for en typisk vintersesong desember-januar-februar. Øvre panel viser sonalt midlet vind (legg merke til jetstrømmene p˚a 45 grader
Figur 15: Illustrasjon p˚a termisk ekspansjon av en luftsøyle.
3.9.11 Sammenheng mellom temperatur og avstand mellom to isobarflater
Figur (15) viser to identiske luftsøyler (bl˚a farge). Trykket p˚a oversiden av søylene er lik,p=p1. Varmer vi opp søylen til høyre vil søylen bli høyere grunnet termisk ekspansjon av luften. Dersom vi ikke har noen dynamisk respons til at søylen blir høyere, vil trykket p˚a oversiden av den oppvarmede søylen fremdeles værep=p1.
Ser vi bort fra dynamisk respons, er det kun endring av temperaturen som kan endre søylens høyde. Det siste følger ved ˚a kombinere den hydrostatiske ligningen (71) og den idelle gasslov (3):
∂p
∂z =−ρg (134)
og
p=ρRT (135)
Setter vi tetthetenρfra (135) inn i (134), f˚ar vi
∂p
∂z =−gp
RT (136)
eller
∂p p =− g
RT∂z (137)
Integrerer vi uttrykket over fra høydenz=z1tilz=z2, f˚ar vi Z p(z2)
p(z1)
∂p p =−
Z z2
z1
g
RT∂z (138)
eller
lnp(z2) p(z1) =− g
RT(z2−z1) (139)
Her betegner T middelverdien av T mellom z = z1 og z = z2. Uttrykket over kan alternativt skrives
z2−z1=RT g lnp1
p2 (140)
Uttrykket (140) kalles denhypsometriske ligningen.
Fra (140) følger det at endringer i høyden mellom isobarflatenep=p1ogp=p2, gitt vedz2−z1, kan bare oppst˚a grunnet endringer i temperaturen T. Og siden ln(p1/p2)>0 forp1 > p2, fører økendeT til at høydeforskjellenz2−z1 øker (og motsatt for avtangendeT).
Uttrykket (140) kan benyttes for ˚a tallfeste effekten av termisk ekspansjon av luft. Dersom temperaturen stiger med 1 K mellomp1= 1000 hPa ogp2= 500 hPa, følger det atz2−z1, det vil si avstanden mellomp=p1 ogp=p2, øker med 20.3 m. Vi har her brukt atR= 287 J kg−1 K−1ogg= 9.8 m s−2 (samt at enhetene 1 J = 1 kg m2s−2). Siden verdien avRgjelder for tørr luft, gjelder utregningen over for tørr luft, som er en god antagelse for atmosfæren.
Sammenhengen i variasjon mellom middeltemperatur T og avstanden mellom to isobarflater z2−z1 betyr at temperaturgradientene i figurene (10)-(13) ogs˚a er et bilde p˚a hvordan avstand mellom to isobarflater endrer seg.
Merk at det er (140) som gir hvorfor isobarflatene ligger høyt i tropene (hvor det er varmt) og lavt p˚a høye breddegrader (hvor det er kaldt).
3.9.12 Anvendelse av trykk- og høydegradient
Figur 16: Illustrasjon p˚a resulterende trykk- og høydegradient basert p˚a figur 15.
Dersom det ikke er en dynamisk respons til at søylen i figur 15 blir høyere, vil trykket p˚a oversiden av den oppvarmede søylen fremdeles værep=p1. Betrakter vi trykketpp˚a et konstant niv˚az
mellom de bl˚a og røde søylene, følger det at trykket over den bl˚a søylen tilfredstillerp < p1, mens trykket p˚a sammez-niv˚a for den røde søylen tilfredsstillerp > p1 (øvre del av figur 16).
Trykkdifferansen mellom den røde og bl˚a søylen vil sette opp en trykk-gradient som vist med den røde pilen. Det vil derfor strømme varm luft mot venstre. Grunnet Coriolis-effekten vil den varme luftadveksjonen bøyes av til høyre p˚a den nordlige halvkule; den resulterende luftstrømmen vil alts˚a være rettet inn i figurplanet. Dersom y er rettet nordover, er dette varmluftsadveksjon tilsvarende venstre del av figur 13. Merk at denne betraktningen er gjort for konstant høydez, alts˚a konsistent med det geostrofiske uttrykket (74) og termalvinduttrykket (111).
Alternativt kan vi betrakte helningen til isobaren p =p1, se nederste del av figur 13. I dette tilfellet avtar z med økendey, alts˚a er høydegradienten−(∂z/∂y)p rettet nedover mot venstre.
Dette fører til at varm luft strømmer mot venstre, og grunnet Coriolis-effekten vil den varme vinden bøyes av til høyre p˚a den nordlige halvkule. I motsetning til tilfellet i avsnittet over, er denne betraktningen gjort for konstant trykk p, alts˚a konsistent med det geostrofiske uttrykket (97) og termalvinduttrykket (118).
3.9.13 Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med kald kjerne
Et vinterlavtrykk p˚a den nordlige halvkule har gjerne en kald kjerne. Hvordan endrer vinden seg med høyden i et slikt system? Se bort fra friksjon.
Venstre del av figur 17 viser et lavtrykk p˚a den nordlige halvkule. Sirkulasjonen følger isobarene og er rettet mot klokken. Ved bakken er den geostrofiske vinden langs positiv y-akse rettet vestover (ug(p1) i figuren). P˚a tilsvarende m˚ate er geostrofisk vind langs negativ x-akse rettet sørover (vg(p1) i figuren).
Høyre del av figuren indikerer at temperaturen er lavest i lavtrykkets sentum (bl˚a farge). Dette betyr at langs den positivey-aksen er termalvinden rettet vestover, i samme retning somug(p1).
Langs den negativex-aksen er termalvinden rettet sørover, i samme retning somvg(p1).
ug(p2) har følgelig samme orientering somug(p1), og fra (125) følger det da at|ug(p2)|>|ug(p1)|.
Følgeligøkervinden med høyden i et lavtrykk med kald kjerne.
3.9.14 Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med varm kjerne
Orkaner og tyfoner er eksempler p˚a lavtrykk med varm kjerne. Hvordan endrer vinden seg med høyden i et slikt system? Se bort fra friksjon.
Venstre del av figur 18 viser et lavtrykk p˚a den nordlige halvkule. Sirkulasjonen følger isobarene og er rettet mot klokken. Ved bakken er den geostrofiske vinden langs positiv y-akse rettet vestover (øvre ug(p1) i figuren). P˚a tilsvarende m˚ate er geostrofisk vind langs negativ y-akse rettet østover (nedreug(p1) i figuren).
Høyre del av figuren indikerer at temperaturen er høy i lavtrykkets sentum (rød farge). Dette betyr at langs den positive y-aksen er termalvinden rettet østover, i motsatt retning av den øversteug(p1) i figuren. Langs den negativey-aksen er termalvinden rettet vestover, i motsatt retning av den nedersteug(p1).
Fra (125) følger det da at |ug(p2)| <|ug(p1)|. Følgelig avtar vinden med høyden i et lavtrykk med varm kjerne. Orienteringen tilug(p2) relativtug(p1) avhenger av|ug(p1)|og|uT|. I en orkan
