Gjennomgang av deler av kapittel 6, 7, 8 og 10 i Marshall & Plumb (2008)

Gjennomgang av deler av kapittel 6, 7, 8 og 10 i Marshall & Plumb (2008)

Av Helge Drange

Geofysisk institutt, Universitetet i Bergen GEOF110, vår 2021

Vennligst gi et ord om feil, mangler, ønsker etc. til helge.drange@uib.no

Tenk på miljøet – unngå unødvendige utskrifter!

5. mai 2021

Innhold

1 De grunnleggende ligningene; bakgrunn, utledning og tolkning 7

1.1 Bakgrunn . . . 7

1.1.1 Bevaring av masse og bevegelsesmengde . . . 10

1.1.2 Tilleggsligninger for atmosfæren . . . 10

1.1.3 Tilleggsligninger for havet . . . 10

1.2 Den totalderiverte av en vilkårlig skalar C (§6.1) . . . 11

1.2.1 Utledning . . . 11

1.3 Den totalderiverte av hastighetsvektoren u i et ikke-roterende koordinatsystem . 15 1.3.1 Kommentar 1 . . . 15

1.3.2 Kommentar 2 . . . 15

1.4 Momentumligningen i et ikke-roterende koordinatsystem . . . 16

1.4.1 Væskeelementets masse . . . 16

1.4.2 Newtons andre lov . . . 16

1.4.3 Krefter som virker . . . 16

1.4.4 (a) Gravitasjonskraft . . . 17

1.4.5 (b) Trykkgradientkraft . . . 17

1.4.6 (c) Friksjonskraft . . . 19

1.4.7 Oppsummert . . . 19

1.4.8 Momentumligningen å komponentform . . . 20

1.4.9 Hydrostatisk tilnærming . . . 20

1.5 Momentumligningen i et roterende koordinatsystem (§6.2) . . . 21

1.5.1 Skalare- og vektorstørrelser i et roterende koordinatsystem . . . 21

1.5.2 Jordens rotasjonsvektor . . . 21

1.5.3 Tidsderivert av posisjonsvektor i et roterende koordinatsystem . . . 22

1.5.4 Totalderivert av en generell vektor A i et roterende koordinatsystem . . 24

1.5.5 Utledning av fiktive akselerasjoner i et roterende koordinatsystem . . . . 26

1.5.6 Momentumligningen i et roterende koordinatsystem . . . 26

1.5.7 Bevegelsesligningen i et roterende system, ledd for ledd . . . 27

1.5.8 Coriolisakselerasjonens virkning på en roterende disk . . . 27

1.5.9 Coriolisakselerasjonen på en kule . . . 28

1.5.10 Coliolisleddet på komponentform . . . 30

1.5.11 Coriolisakselerasjonen på forenklet form . . . 31

1.5.12 Huskeregel, ˆz×ψ . . . 31

1.5.13 Coriolisleddet utfører ikke arbeid . . . 32

1.5.14 Egenskaper til Coriolisaksakselerasjonen −2Ω×u . . . 32

1.5.15 Sentrifugalakselerasjonens orientering . . . 33

1.5.16 Sentrifugalakselerasjonens absoluttverdi . . . 33

1.5.17 Sentrifugalakselerasjonen på komponentform . . . 34

1.5.18 Egenskaper til sentrifugalakselerasjonen −Ω×(Ω×r) . . . 34

1.5.19 Sentrifugalleddets virkning i momentumligningen . . . 35

1.5.20 Følt (eller faktisk) gravitasjon på jorden, og momentumligningen på stan- dard form . . . 35

1.6 Kontinuitetsligningen (§6.3) . . . 36

1.6.1 Utledning . . . 36

1.6.2 Konvergens og divergens . . . 37

1.6.3 Kontinuitetsligningen uttrykt med den totalderiverte av ρ . . . 38

1.6.4 Kontinuitetsligningen for inkompressible væsker . . . 38

2 Balansert strøm (§7) 40

2.1 Skalaanalyse for fri, storskala bevegelse i atmosfære og hav (§7.1) . . . 40

2.1.1 Rossbytallet . . . 42

2.1.2 Geostrofisk (kraft)balanse . . . 43

2.1.3 Geostrofisk strøm ug (§7.1) . . . 43

2.1.4 Geostrofisk strøm på komponentform . . . 45

2.1.5 Geostrofisk kraftbalanse for lav- og høytrykk . . . 45

2.1.6 Eksempel, geostrofisk balanse . . . 46

2.1.7 Varierende strømstyrke (§7.1) . . . 47

2.2 Kontinuitetsligningen for geostrofisk strøm . . . 49

2.2.1 Kontinuitetsligningen for en inkompressibel væske, geostrofisk strøm . . . 49

2.2.2 Inkompressibel væske, geostrofisk strøm, vertikal komponent . . . 50

2.3 Introduksjon av trykk-koordinater og geostrofisk strøm på geopotensialflater (§7.1.1) 50 2.3.1 Kontinuitetsligningen for en kompressibel væske, geostrofisk strøm . . . . 52

2.4 Valg av geostrofisk uttrykk . . . 53

2.5 Tolkning av geostrofisk balanse i trykk-koordinater . . . 53

2.5.1 (∂z/∂x)p= konst<0, (∂z/∂y)p= 0 og f >0 . . . 53

2.5.2 (∂z/∂x)p= 0, (∂z/∂y)p= konst<0 og f >0 . . . 53

2.5.3 Eksempel, en synoptisk værsituasjon, 23. februar 2009 . . . 54

2.6 Taylor-Proudman teoremet på en roterende disk, inkompressibel væske (§7.2) . . 55

2.6.1 Taylor-Proudman teoremet på en roterende disk, kompressibel væske . . . 56

2.6.2 Taylor-Proudman teoremet – et paradoks . . . 56

2.7 Termalvind uttrykt med nivåkoordinat . . . 57

2.8 Termalvind uttrykt med trykk-koordinat . . . 58

2.8.1 Jordens sonale jetstrømmer . . . 58

2.9 Termalvinduttrykket integrert mellom to isobarer (§7.3.5) . . . 59

2.10 Tolkning av termalvind . . . 60

2.10.1 Sammenheng mellom geostrofisk vind og termalvind . . . 60

2.10.2 Orientering . . . 60

2.10.3 ∇_pT =0 . . . 60

2.10.4 ∇pT = konst6=0 . . . 60

2.10.5 (∂T /∂y)p= konst<0, (∂T /∂x)p= 0 og f >0 . . . 61

2.10.6 (∂T /∂y)p= konst>0, (∂T /∂x)p= 0 og f <0 . . . 61

2.10.7 (∂T /∂x)p = konst>0, (∂T /∂y)p= 0 og f >0 . . . 61

2.10.8 Kald og varm adveksjon . . . 62

2.10.9 Eksempel termalvind, idealisert eksempel . . . 63

2.10.10Eksempel termalvind, basert på klimatologi . . . 63

2.10.11 Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med kald kjerne . . . 65

2.10.12 Vertikalt hastighetsskjær i et lavtrykk med varm kjerne . . . 67

2.11 Sammenheng mellom geostrofisk vind og termalvind i atmosfæren . . . 67

2.12 Margules sammenheng (§7.3.3)¹ . . . 69

2.12.1 Oppdriftsfrekvens/Brunt-Väisälä frekvensen N . . . 69

2.12.2 Redusert gravitasjon g⁰ . . . 73

2.12.3 Spinnsatsen L= konst. og atmosfærens spinn i sonal retning . . . 73

2.12.4 Utledning Margules sammenheng . . . 74

2.12.5 Rossbys tilpasningsproblem (§7.3.4) . . . 77

2.12.6 Rossby deformasjonsradius . . . 79

1Se også Steinacker & Brönnimann,Stationary flow near fronts, Met. Zeitschrift,25, 805–809, 2016, og seksjon 5.2 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, 2007.

2.13 Opprinnelig form av Margules sammenheng . . . 80

2.14 Avvik fra geostrofi grunnet friksjon (§7.4) . . . 81

2.14.1 Orientering til u når det virker friksjon . . . 81

2.14.2 Uttrykk for friksjon . . . 83

2.14.3 Virkning av friksjon . . . 83

2.14.4 Estimert avvik fra geostrofi . . . 84

2.15 Kystkonvergens . . . 84

2.16 Kontinuitetsligningen i trykk-kordinater (§6.3.2) . . . 84

2.16.1 Utledning . . . 86

2.17 Vertikal bevegelse grunnet friksjon i et lav- eller høytrykk . . . 88

3 Atmosfærens generelle sirkulasjon (§8) 89 3.1 Motivasjon (§8.1) . . . 89

3.2 Hadley-cellenes meridionale utstrekning, |ϕ|.30^◦ (§8.2) . . . 92

3.2.1 Hadley-cellenes utstrekning basert på ulike fysiske prinsipper . . . 93

3.2.2 Eksempel, sammenheng mellom spinnsatsen og sonal komponent av momentum- ligningen . . . 94

3.3 Atmosfæresirkulasjonen utenfor Hadley-cellene, |ϕ|&30^◦ (§8.2) . . . 95

3.3.1 In situtemperatur T og potensiell temperatur θ (§4.3.2) . . . 96

3.3.2 Frain situtil potensiell temperatur (§5.1.4) . . . 97

3.3.3 Kommentar: Potensiell og kinetisk energi i en tolagsmodell . . . 97

3.3.4 Potensiell energi til en væske (§8.3.1) . . . 97

3.3.5 Beregning av potensiell energi for en tolags væskemodell (§8.3.2 og §A.1.2) 97 3.3.6 Omtrentlig verdi til γ i grader . . . 100

3.3.7 Kinetisk energi til en væske (§8.3.2) . . . 101

3.3.8 Kinetisk energi i en tolags væskemodell (§8.3.2) . . . 101

3.3.9 Forholdet mellom potensiell og kinetisk energi i en tolags væskemodell (§8.3.2) . . . 101

3.3.10 Verdi til forholdet mellom potensiell og kinetisk energi for atmosfære og hav (§8.3.2) . . . 102

3.3.11 Oppsummering, drivmekanisme for synoptiske systemer (§8.3.2) . . . 103

3.3.12 Drivmekanisme for synoptiske systemer, utledning² (§8.3.3 og oppgave 5, s. 160 i M&P) . . . 103

3.3.13 Oppsummert (§8.3) . . . 106

3.3.14 Meridional transport av sonalt momentum utenfor Hadley-cellene (§8.4.2) 108 3.3.15 Oppsummert (§8.4.2) . . . 109

4 Temperatur- og saltdrevet havsirkulasjon (§9) 111 4.1 Noen karakteristiske størrelser for havet . . . 111

4.2 Rossbytall og geostrofisk tilnærming . . . 112

4.3 Geostrofisk strøm på ulike dyp z . . . 114

4.3.1 Trykk p på et generelt dyp z . . . 114

4.3.2 Horisontal gradient av p . . . 115

4.3.3 Geostrofisk strøm på generelt dyp z . . . 116

4.3.4 Geostrofisk strøm nær overflaten . . . 116

4.3.5 Karakteristisk verdi for romlig ending av η . . . 117

4.3.6 Geostrofisk strøm i dyphavet . . . 117

2Se også seksjon 9.1–9.3 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version:

December 11, 2007.

4.3.7 Typisk verdi av svingefrekvensen N . . . 118

4.3.8 Isopyknal helning . . . 120

4.4 Sterisk høyde (§9.3.3) . . . 121

4.4.1 Eksempel, havnivåendring på tvers av Golfstrømmen . . . 123

5 Vinddrevet havsirkulasjon (§10) 126 5.1 Motivasjon . . . 126

5.2 Vindstress og Ekman-lag . . . 126

5.2.1 Definisjon av τ . . . 126

5.2.2 Sammenheng mellom kraft, vindstress og F i momentumligningen . . . . 127

5.2.3 Utledning av vindstressbidrag i momentumligningen . . . 127

5.3 Vinddrevet storskala, fri havsirkulasjon . . . 128

5.4 Ekman-dynamikk³ . . . 130

5.4.1 Horisontal massetransport i Ekman-laget . . . 130

5.4.2 Ekman-transport M_Ek uttrykt med τ_vind . . . 131

5.4.3 Konvergens/divergens av Ekman-transport i Ekman-laget . . . 131

5.4.4 Transport gjennom nedre grenseflate på Ekman-laget . . . 131

5.4.5 Forenkling . . . 134

5.4.6 Tolkning . . . 134

5.4.7 Oppsummering . . . 135

5.4.8 Respons av Ekman-pumping under Ekman-laget (§10.2.1) . . . 136

5.4.9 Meridional hastighet ved Ekman-pumping forklart med Taylor-Proudman teoremet (§10.2.3)⁴ . . . 138

5.4.10 Konseptuell oppsummering av Ekman-teorien for sonal vind . . . 140

5.4.11 Vestlig randstrøm . . . 140

5.5 Sverdrupbalanse⁵ (§10.3) . . . 144

5.5.1 Sverdrupbalanse, geometrisk tolkning (§10.2.3) . . . 145

5.5.2 Løsningsmetode, Sverdrupbalanse . . . 146

5.5.3 Hastighetskomponentene U, V fra ψ . . . 147

5.5.4 Vertikalintegrert, meridional strøm (Sverdrupsirkulasjon) for sonal vind . 147 5.5.5 Utregning av volumtransport basert på Sverdrupbalanse . . . 149

5.5.6 Løsning for sonal vind, Stillehavet . . . 149

5.5.7 Eksempel, sammenheng mellom Ekman- og Sverdrup-teori . . . 150

A Grunnleggende funksjon- og vektoranalyse 152 A.1 Koordinatsystem . . . 152

A.1.1 Rektangulære koordinater . . . 152

A.1.2 Kurvelineære polare koordinater . . . 152

A.1.3 Buelengde . . . 153

A.1.4 Polare koordinater . . . 153

A.1.5 Polare kulekoordinater . . . 154

A.2 Avstander på en kuleflate . . . 154

A.3 Variabel . . . 154

3Se også seksjon 8.6 iIntroduction to Geophysical Fluid Dynamicsav Benoit Cushman-Roisin og Jean-Marie Beckers (2010), og seksjon 5.3 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version:

December 11, 2007.

4Se også diskusjon i seksjon 4.1-4.4 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: December 11, 2007.

5Se også seksjon 6.3 iLECTURES ON DYNAMICAL METEOROLOGY av Roger K. Smith, Version: De- cember 11, 2007.

A.4 Funksjon . . . 154

A.5 Skalarfunksjon . . . 155

A.6 Vektorfunksjon . . . 155

A.7 Skalarprodukt . . . 155

A.8 Vektorprodukt . . . 156

A.9 Derivasjon i et fikssystem . . . 157

A.9.1 Gradient til en skalarfunksjon . . . 157

A.9.2 Divergensoperatoren; divergerende og konvergerende vektorfunksjon . . . 157

A.9.3 Dobbeltderivert . . . 157

A.9.4 Kurl . . . 158

A.9.5 Relativ, absolutt og potensiell virvling . . . 158

A.10 Vektoridentiteter som involverer ∇-operatoren . . . 158

A.11 Derivasjon i et polarkoordinatsystem . . . 159

A.11.1 Polare koordinater . . . 159

A.11.2 Polare kulekoordinater . . . 160

A.11.3 Totalderivert uttrykt i kulekoordinater . . . 163

A.12 Adveksjonsleddet for ren sirkulær bevegelse i to dimensjoner . . . 164

A.13 Sirkulær bevegelse og avstander på en kule . . . 165

A.13.1 Fart til en sirkulær bevegelse . . . 165

A.13.2 Avstander på en kule . . . 165

A.14 Taylorrekke i én og flere dimensjoner . . . 167

B Sammenheng mellom temperatur og avstand mellom to isobarflater 167 B.1 Anvendelse av trykk- og høydegradient . . . 169 C Utledning, potensiell energi i en tolagsmodell 170 D Utledning, meridional forflytting av ev Taylor-søyle på en kule grunnet Ekman-

pumping 171

E Geostrofisk strøm tilket med strømfunkjson ψ (§7.1) 173

F Oppdateringer 174

G Register 176

1 De grunnleggende ligningene; bakgrunn, utledning og tolk- ning

Se appendiks for definisjon av skalarprodukt, vektorprodukt, buelengde, polarkoordinater, kule- poordinater, rekkeutvikling, etc.

1.1 Bakgrunn

Selv om bevegelsen i atmosfære og hav kan synes tilfeldig, er det en viss grad av orden i kao- set:

Bevegelsen til et (i) ulikt oppvarmet, (ii) vertikalt lagdelt (iii) fluid på en (iv) roterende kule er ikke tilfeldig; den følger grunnleggende (v)fysiske prinsipper.

De nummererte ordene/betegnelsene kan forklares slik:

(1) Ulikt oppvarmet. Målinger viser at det er netto oppvarming i tropene og netto nedkjøling på høye breddegrader, se figur 5.5 i M&P.

Uten transport av varme fra tropene til polene vil dette føre til stadig økende temperatur i tropene og stadig fallende temperatur ved polene. Fra observert temperatur vet vi at dette ikke er tilfellet. Følgeligmådet være varmetransport fra tropene mot høyere breddegrader på hver halvkule. Dette er tilfellet for både atmosfære og hav.

Se animasjonen

https://folk.uib.no/ngfhd/Animations/watra_ci_sd_e_tcw_tp_201409-11.mp4 for en illustrasjon av transport av fuktighet (hvit farge) og tilhørende store nedbørsmengder (blå farge), basert på en høyoppløslig, global værvarslingsmodell (animasjon laget av Mats Bentsen, NORCE/Bjerknessenteret).

Figur 1: Annual mean absorbed solar radiation, emitted long-wave radiation, and net radiation, the sum of the two.Figur 5.5. i M&P.

(2) Vertikalt lagdelt. Tettheten ρ, som er masse per volum med enhet kg/m³, vil generelt avta oppover i atmosfæren og øke nedover havet. Dette gir opphave til det som ofte benevnes vertikal tetthetsstratifisering eller baretetthetsstratifisering.

Enstabil lagdelingbetyr at en lett væske ligger over en tyngre væske. Skulle en tung væske ligge over en lett væske – som kalles enustabil lagdeling – vil det oppstå vertikal blanding inntil nøytral eller stabil lagdeling fremkommer, se figur 2.

Figur 2: Illustrasjon på stabil, nøytral og ustabil vertikal lagdeling. En stabil stratifisering mot- virker vertikal blanding da det krever energi å løfte en tung væske og senke en lett væske i vertikalen. En ustabil stratifisering vil føre til vertikal blanding inntil nøytral eller stabil strati- fisering oppstår.

(3) Fluid. Etfluid (substantiv, intetkjønn) er en fellesbetegnelse for gasser og væsker. Luft og vann er begge eksempler på (hydrodynamiske) fluider. I dette kompendiet brukers oftest begrepet væsker i stedet for fluider.

All materiale i naturen kan grupperes i én av to typer; som fast stoff eller som væske. I et fast stoff er molekylenes bevegelse begrenset («molecular immobility»). I en væske er molekylene fri til å bevege seg («molecular mobility»)⁶.

For å beskrive bevegelsen til luft/vann, deler vi væskene opp i (tenkte) (vi) materielle volumer. Volumene kan ha hvilken som helst form, men det er vanlig og matematisk hensiktsmessig å betrakte volumene som kuber.

Summen av krefter som virker på et materielt volum bestemmer hvordan volumet, i vårt tilfelle luften og vannet, beveger seg. Newtons andre lov, heretter N2,

F=ma (1)

gjelder for ethvert materielt volum på samme måte som N2 gjelder for en fallende kule i luft eller en glidende klosse på et skråplan. I uttrykket over er F kraftvektor (enhet N), m (kg) er masse og a (m/s²) er akselerasjon.

6Reddy, J. N. (2013),An Introduction to Continuum Mechanics, second edition, s. 242, Cambridge University Press.

(4) Roterende kule. Newtons andre lov, uttrykk (1), gjelder for et ikke-akselererende koor- dinatsystem, eller et koordinatsystem som enten ligger fast eller som beveger seg med konstant hastighet i forhold tilfiksstjernene(punkter som antas å ligge fast på himmelen).

Jorden roterer og vi observerer vind og strøm på jorden, altså i et roterende koordinatsys- tem. For å kunne bruke N2 på jorden må vi da overføre N2 til et roterende koordinatsystem.

Dette gir opphav tilCoriolis-ogsentrigugalakselerasjonene.

Ofte blir N2 uttrykt i et rettlinjet koordinatsystem x, y, z, hvor x, y er horisontale retninger og z er vertikal retning, se venstre del av figur 3. Men siden jorden er tilnærmet kuleformet, bruker vi oftest kulekoordinatene

λ , φ , z⁰ (2)

som betegner lengdegrad, breddegrad og retning utover relativt til jordens overflate, se høyre del av figur 3.

Merk at for kulekoordinatsystemet i figur 3 varierer lengdegrad λ fra 0 til 360 grader (rundt jorden parallelt med ekvator, hvor λ= 0 ligger på null-meridianen gjennom Greenwich, også kjent som Greenwich-meridianen⁷) og breddegrad φ varierer fra −90 grader (sørpol) til +90 grader (nordpol).

Koordinatsystemene, uansett hvilken type, følger høyrehåndsregelen. All- tid!

y  z 

x 

Figur 3: Et rettvinklet koordinatsystem i tre dimensjoner (venstre), og det mest brukte kuleko- ordinatersystemet i meteorologi og oseanografi (høyre). Hørehåndsregelen gir at koordinatene er beskrevet i følgende rekkefølge: x, y, z og λ, φ, z⁰. I figuren til høyre er a= 6.37×10⁶m jordens midlere radius.

(5) Fysiske prinsipper. De dynamiske og termodynamiske naturlovene som beskriver atmo- sfærens og havets bevegelser. Prinsippene baseres på empiri og grunnleggende hypoteser og inkluderer, blant annet, prinsippet om massebevaring (at masse ikke kan oppstå el- ler forsvinne), bevaring av varme (at varme ikke kan oppstå eller forsvinne), N2 og en tilstandsligning (som den idelle gasslov for atmosfæren og sjøvannets tilstandsligning).

De fysiske prinsippene uttrykkes med matematiske differensialligninger. Et krav for at ligningene skal kunne løses er at det er like mange ligninger som antall ukjente variable.

7https://no.wikipedia.org/wiki/Nullmeridianen

Sammen med initialbetingelser (verdi til variablene ved en viss tid, for eksempel for tid t = 0) og randbetingelser (verdi til de variable i rommet x, y, z), danner dette et løsbart ligningssystem.

De fysiske prinsippene – uttrykt som matematiske differensialligninger med initial- og randbetingelser – kalles deprimitive ligningene.

Primitiv betyr grunnleggende, og ligningsystemet vi snakker om gjelder for enhver væske på en roterende planet, om planeten er jorden eller mars eller hva det skulle være. Det primitive ligningsystemet gjelder også for rom- og tidsbeskrivelse av bevegelse i et vann, en elv eller for en væske i et laboratorium. De primitive ligningene står derfor særdeles sentralt for all bevegelsesbeskrivelse i naturen.

Det primitive ligningsystemet kan bare i idealiserte – eller forenklede – tilfeller løses ana- lytisk og eksakt. Full løsning krever omfattende, numeriske modeller.

De grunnleggende ligningene følger under; disse utledes i kap. 6 i M&P og videre i dette kapittelet. Forklaring til variabelnavn og symboler kommer når disse defineres.

1.1.1 Bevaring av masse og bevegelsesmengde Bevaring av masse

∂ρ

∂t +∇ ·(ρu) = 0 (3)

Bevaring av bevegelsesmengde(momentum) i tre dimensjoner (x, y, z)

∂u

∂t +u· ∇u+1

ρ∇p+ˆzg=−2Ω×u−Ω×(Ω×r) +F (4) 1.1.2 Tilleggsligninger for atmosfæren

Tilstandsliking for atmosfæren(ideelle gasslov som er en god beskrivelse for tørr luft)

p=ρRT (5)

Bevaring av varme(her temperatur)

∂T

∂t +∇ ·(Tu) =Q (6)

ligningene (3)-(6) er et løsbart system bestående av 6 ligninger med 6 ukjente ρ, u = (u, v, w), p og T.

1.1.3 Tilleggsligninger for havet

Tilstandsligning for havet(en av flere versjoner)

ρ=ρ0[1−α(T−T0) +β(S−S0)] (7) Bevaring av varme(her temperatur)

∂T

∂t +∇ ·(Tu) =Q (8)

Bevaring av salt

∂S

∂t +∇ ·(Su) =kilder minus sluk (9)

ligningene (3), (4) og (7)-(9) er et løsbart system bestående av 7 ligninger med 7 ukjente ρ, u= (u, v, w), p, S og T.

(6) Materielt volum. Et materielt volum er et volum bestående av de samme molekylene, eller den samme massen, som om volumet var begrenset av ikke-gjennomtrengelige, messeløse sider, som en masseløs membran. Volumets form kan endres, men ikke volumets innhold.

Et materielt volum kalles også væskepartikler (eller fluidpartikler).

En illustrasjon på et hav sammensatt av en «uendelighet» av kuler er vist i animasjonen https://folk.uib.no/ngfhd/Animations/BubbleOcean_CurrentSpeed_hires.mov (animasjon laget av Ingo Bethke, UiB/Bjerknessenteret). For enkelhets skyld, og som tid- ligere nevnt, antar vi at væskeelementene har form som kuber.

1.2 Den totalderiverte av en vilkårlig skalar C (§6.1)

Vi betrakter atmosfæren og havet bestående av et uendelig antall materielle væskepartikler.

Dersom det virker en kraft på en eller flere av væskepartiklene vil disse få en akselerasjon i kraftens retning gitt ved N2, F=ma (ligning 1). Væskepartiklene vil generelt være i bevegelse, vi er derfor interessert i å finne/beregne kreftene F som virker på enhver væskepartikkelnår vi følger med bevegelsen.

Den totalderiverte uttrykker nettopp dette; en størrelses endring med bevegelsen.

hvorendring betyrendring i tid.

1.2.1 Utledning

La C=C(x, y, z, t) være en skalar egenskap (temperatur, tetthet, trykk, fart, etc.) til f.eks. en luftpartikkel. Argumentet x, y, z, t viser at C kan variere i det tredimensjonale rommet x, y, z, samt i tid t. Dette vil generelt være tilfellet for geofysiske størrelser.

Vi søker nå et matematisk uttrykk for hvordan luftpakkens egenskap C (i)endrer seg (ii)med bevegelsen.

Matematisk uttrykk for (i)generell endring Endring av C, skrevet δC hvor δ angir en liten endring, kan skje på grunn av variasjoner eller endringer i de tre romlige retningene x, y, z, eller i tid t.

Taylorrekke-utvikling til første orden, se appendiks A.14, gir et matematisk uttrykk for det- te

δC= ∂C

∂x δx+∂C

∂y δy+∂C

∂z δz+∂C

∂t δt (10)

Matematisk uttrykk for (ii) endring med bevegelsen Fra fysikken vet vi at fart = distanse

tid , eller distanse = fart·tid (11) Dersom vi bruker at luftpakkens fart i x, y, z-retningene er u, v, w, følger det fra det andre uttrykket i (11) at i løpet av tiden δt får vi en forflytning i x, y, z-retningene gitt ved

δx=u δt , δy=v δt , δz=w δt (12) Uttrykkene (12) innsatt i (10) gir

δC=∂C

∂x u δt+∂C

∂y v δt+∂C

∂z w δt+∂C

∂t δt (13)

Dividerer vi ligningen over med δt og flytter ∂C/∂t-leddet først, får vi δC

δt =∂C

∂t +u∂C

∂x +v∂C

∂y +w∂C

∂z (14)

Venstre side, for liten δt, kalles dentotalderiverte av C: δC

δt _δt→0

def=DC Dt =∂C

∂t +u∂C

∂x +v∂C

∂y +w∂C

∂z (15)

Den totalderiverte er en sentral størrelse i all væskedynamikk, derav notasjonen DC/Dt. På vektorform kan den totalderiverte uttrykkes som⁸

DC Dt

def= ∂C

∂t +u· ∇C (16)

Her er

u= (u, v, w) hastighetsvektoren og

∇= ∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

(17) er gradientoperatoren.

Matematisk tolkning Uttrykket for den totalderiverte, uttrykk (15) og (16), kan deles inn i to, fysisk ulike bidrag:

∂C

∂t og u∂C

∂x +v∂C

∂y +w∂C

∂z (18)

Det første bidraget gir tidsendring av C i et fast punkt, som vi alternativt kan skrive

∂C

∂t _x,y,z

(19) Leddet ∂C/∂t, som gir tidsendring av C i et fast punkt, kalles kallesEulerisk derivert.

8Vises ved å skrive ut prikk-produktet mellom u og ∇ i uttrykk (16).

Det andre bidraget er

u∂C

∂x +v∂C

∂y +w∂C

∂z =u· ∇C (20)

som gir endring av C grunnet luft- eller havstrøm, kaltadveksjon.

På tilsvarende måte som for ∂C/∂t, holdes alle variabler fast bortsett fra i den retningen deri- vasjonen utføres, slik at første ledd i (20) kan skrives på formen

u∂C

∂x _y,z,t

(21) Det er generelt ikke vanlig å inkludere senket tekst som y, z, t i uttrykket over, det er da under- forstått at alle variable ligger fast unntatt i derivasjonsretningen.

I «dagligtale» For symbolene og uttrykkene over gjelder følgende:

∇ uttales «gradient» og er en vektor,

∇C uttales «gradienten til C» eller «grad C» og er en vektor, og u· ∇C uttales «u prikk grad C» og er en skalar.

Videre har vi at

u· ∇ uttrykker adveksjon (eller transport), slik at u· ∇C også uttales «adveksjon av C».

Oppsummering Den totalderiverte DC/Dt, uttrykk (16), har to bidrag som beskriver ulike, fysiske prosesser:

(i) Tidsendring av C, ∂C/∂t, i et fast punkt.

(ii) Endring av C grunnet bevegelse med hastighet u, u· ∇C.

En beskrivelse som følger med væskepartikkelens bevegelse, som den totalderiverte DC/Dt, kalles enLagrangsk beskrivelse.

Følgende spesialtilfeller følger direkte fra (15):

Spesialtilfelle 1

∂C

∂t = 0 (22)

betyr at C ikke endrer seg i tid (i et fast punkt).

Spesialtilfelle 2

u· ∇C= 0 (23)

betyr at u=0 eller ∇C=0 eller u⊥ ∇C.

Dette betyr at det er et adveksjonsbidrag bare dersom (a) det er en vind/strøm, (ii) at feltet som blir advektert har en gradient og (iii) at feltets gradient ikke står normalt på vind- eller strømretningen.

Spesialtilfelle 3

DC

Dt = 0 (24)

betyr at det ikke er tidsendring av C når vi følger med bevegelsen.

I dette tilfellet følger det fra definisjonen av den totalderiverte, uttrykk (15), at

∂C

∂t =−u· ∇C (25)

Grafisk tolkning av tilfellet DT /Dt= 0 Dersom vi antar at temperaturen T (K eller ^◦C) er bevart med bevegelsen, DT /Dt = 0, følger det fra definisjonen av den totalderiverte (15)

at ∂T

∂t =−u· ∇T (26)

I én romlig dimensjon, for eksempel i x-retningen, gir (26)

∂T

∂t =−u∂T

∂x (27)

Vi kan nå se på to eksempler på hva (27) innebærer, se figur 4.

Figur 4: Illustrasjon av virkningen av vind i positiv x-retning (dvs. u >0) resulterende i varm (øvre del) eller kald (nedre del) luftadveksjon mot en saktegående trugegåer.

Fra øvre del av figur 4 ser vi at trugegåeren vil erfare stigende lufttemperatur med tiden (under forutsetning av at trugegåerens fart er lavere enn vindfarten).

For samme situasjon sier uttrykk (27) følgende: (1) ∂T /∂x <0 siden temperaturen avtar i positiv x-retning; (2) u >0 siden vinden blåser i positiv x-retning; (3) høyre side av ligning (27) er da positiv; (4) som medfører ∂T /∂t > 0, eller at temperaturen T øker med tiden. Altså er uttrykk (27) konsistent med hva vi forventer.

Tilsvarende argumentasjon, både basert på å se på figuren og ved å benytte uttrykk (27), gjel- der for nedre del av figur 4. I dette tilfellet vil trugegåeren erfare fallende temperatur med tiden.

Eksemplene over er direkte overførbare til negativ vindretning, eller ingen vind, eller ingen tem- peraturgradient, eller til to eller tre romlige dimensjoner. Dette illustrerer hvor mye informasjon som er pakket sammen i vektorlikheten gitt ved (26).

1.3 Den totalderiverte av hastighetsvektoren u i et ikke-roterende ko- ordinatsystem

I et ikke-roterende koordinatsystem x, y, z ligger koordinatretningene fast og de tilhørende en- hetsvektorene

ˆ x,ˆy,ˆz endrer seg ikke⁹.

Siden enhetsvektorene i et ikke-roterende koordinatsystem ligger fast, varierer hastighetsvektoren u= (u, v, w) bare på grunn av variasjoner i hastighetskomponentene u, v, w. Hver av hastighets- komponentene er skalare størrelser. Derfor gjelder den totalderiverte for hver av komponentene u, v, w:

Du

Dt = ∂u

∂t +u∂u

∂x +v∂u

∂y +w∂u

∂z (28)

Dv

Dt = ∂v

∂t +u∂v

∂x+v∂v

∂y+w∂v

∂z (29)

Dw

Dt = ∂w

∂t +u∂w

∂x +v∂w

∂y +w∂w

∂z (30)

(i uttrykkene over er C i ligning (15) erstattet med henholdsvis u, v, w).

De tre ligningene over kan skrives på vektorform på følgende måte Du

Dt = ∂u

∂t +u· ∇u (31)

Tilsvarende som for den totalderiverte av en skalar funksjon, uttrykker den totalderiverte av u, Du/Dt, endringen av u når vi følger med bevegelsen.

1.3.1 Kommentar 1

Uttrykket for den totalderiverte av hastighetsvektoren u, uttrykk (31), er identisk med de to første leddene i momentumligningen (4).Den totalderiverte av hastighetsvektoren u er en væske- partikkels akselerasjon når vi følger med bevegelsen, altså akselerasjonen a i N2.

1.3.2 Kommentar 2

I et roterende system, som jorden, ligger enhetsvektorene ikke fast; de varierer (roterer) med jordens rotasjon. I dette tilfellet må vi også derivere enhetsvektorene når vi beregner den total- deriverte av u. Dette gir oss to tilleggsledd i forhold til ligning (31), nemlig Coriolis- og sentri- fugalakselerasjonene. Disse sees som de to kryssprodukt-leddene i ligning (31).

9I dette tilfellet, som ellers i dette emnet, skrives enhetsvektorene med en «hatt», og uttales f.eks. «x hatt».

1.4 Momentumligningen i et ikke-roterende koordinatsystem

I det følgende betrakter vi et væskeelement formet som en kube med senter i (x, y, z), med sider med lengde δx, δy, δz og med tetthet ρ, se figur 5.

Figur 5: Et væskeelement formet som en kube med senter i (x, y, z), med sider med lengde δx, δy, δz og tetthet ρ. Nedre venstre hjørne av kuben har koordinat (x−δx/2, y−δy/2, z−δz/2).

1.4.1 Væskeelementets masse

Væskeelementets masse m (kg) er da gitt ved

m=ρ V =ρ δxδyδz (32)

hvor V (m³) er kubens volum.

1.4.2 Newtons andre lov

Newtons andre lov,når vi følger med bevegelsen, blir da F=ma=mDu

Dt =m ∂u

∂t +u· ∇u

(33) I uttrykket over har vi introdusert den totalderiverte i et ikke-roterende system som beskrevet i avsnitt 1.3.

1.4.3 Krefter som virker

Fra fysikken har vi at følgende krefter F (N) virker på væskepartikkelen (a) Gravitasjon med kraft Fg (N)

(b) Trykkgradient med kraft Ftrykk (N) (c) Friksjon med kraft Ffrik (N)

Målet nå er å matematisk beskrive hver av disse kraftbidragene.

1.4.4 (a) Gravitasjonskraft

Tyngdekraftens virkning er gitt med tyngdeakselerasjonen g ≈ 9.8 m/s². Tyngdekraften er rettet mot jordens sentrum, og følgelig i −ˆz-retningen, hvor ˆz er enhetsvektor stående normalt og pekende utover på jordens overflate. Dette gir

F_g=ma= (ρ δxδyδz)(−gˆz) =−g ρ δxδyδzˆz (34) 1.4.5 (b) Trykkgradientkraft

Trykkgradientkraft stammer fra virkningen av trykk p (Pa) fra sammenhengen (eller definisjo- nen)

Trykk = Kraft

Areal som tilsvarer F_trykk =p·A (35) hvor A (m²) er arealet trykket virker på.

Vi betrakter samme væskeelement som over, i dette tilfellet med trykk p virkende i x-retningen, det vil på kubens «Side B» og «Side C» i figur 6. Det vil også virke trykk på kubens øvrige sider, men utledningen av trykkgradientkraften for disse følger utledningen for trykk i x-retningen.

Figur 6: Et væskeelement formet som en kube med trykk p virkende på venstre og høyre side, henholdsvis kalt «Side B» og side «Side C» i figuren. Midtpunktet på side B har koordinat (x−δx/2, y, z), mens koordinat for midtpunktet på side C er (x+δx/2, y, z).

Basert på det andre uttrykket i (35), følger det at trykk-kraften i x-retningen på kubens side B, F_trykk^x,B , har verdi

F_trykk^x,B =p(x−δx/2, y, z, t)δyδz (36)

Her er δyδz arealet til side B, og p(x−δx/2, y, z, t) viser at trykket virker i sentrum av side B (romlig koordinat (x−δx/2, y, z)) og ved tiden t.

Siden væskeelementene er infinitesimale, er det helt greitt å anta at trykket virker i senter av væskeelementenes sideflater, i dette tilfellet i punktet (x−δx/2, y, z).

Tilsvarende er verdien til trykk-kraften på kubens side C

F_trykk^x,C =p(x+δx/2, y, z, t)δyδz (37)

Totalt kraftbidrag i x-retningen, F_trykk^x , blir da

F_trykk^x =F_trykk^x,B −F_trykk^x,C (38)

Merk minustegnet, dette da F_trykk^x,C virker i negativ x-retning.

Uttrykkene (37) og (36) innsatt i (38) gir

F_trykk^x = [p(x−δx/2, y, z, t)−p(x+δx/2, y, z, t)]δyδz (39)

=−∂p

∂xδxδyδz (40)

Den siste overgangen følger fra Taylor-rekke utvikling av p i x-retningen til første orden, se ligning (673). Dette «trikset» gjelder generelt for glatte (dvs. kontinuerlig deriverbare) størrelser og vil bli brukt en rekke ganger:

Envher differanse av samme størrelse, evaluert symmetrisk om et punkt, gir alltid opphav til den deriverte av størrelsen.

På tilsvarende måte blir trykk-kraftbidraget i y- og z-retningene F_trykk^y =−∂p

∂yδxδyδz (41)

F_trykk^z =−∂p

∂zδxδyδz (42)

(43) De tre trykkbidragene gir

F_trykk=F_trykk^x xˆ+F_trykk^y ˆy+F_trykk^z ˆz (44)

=− ∂p

∂xˆx+∂p

∂yˆy+∂p

∂zˆz

δxδyδz (45)

=−∇p δxδyδz (46)

Merk minus-tegnet fremfor trykkgradienten ∇p i uttrykk (46)!

Merk også at det bare erendring i trykket som kan gi opphav til trykk-kraft, gitt ved ∇p, det er derfor vanlig å bruke «trykkgradientkraft» som navn på kraften.

En gradient er alltid rettet mot økende feltverdi, for eksempel mot økende trykk. På grunn av minustegnet i (46) ertrykkgradientkraften alltid rettet mot lavere trykk.

Dersom vi tenker oss at vi går i terrenget, og at terrengets høyde representerer varierende trykk, er trykkgradientkraften hele tiden rettet brattest nedover i terrenget. Dette gjelder over alt og alltid.

1.4.6 (c) Friksjonskraft

I dette tilfellet tar vi en snarvei (av årsaker vi snart skal se) og skriver friksjonskraften på formen

Ffrik=ρFδxδyδz (47)

I ligningen over betegner F friksjonskraft per enhetsmasse. F inkluderer alle andre krefter som virker i en væske, ikke bare friksjon, men for eksempel også viskøse krefter. Vi kommer tilbake til F i kapittel 7 og 10 i M&P.

1.4.7 Oppsummert

Vi kan nå skrive N2 for en væske, F =ma, ved å benytte uttrykk for F (uttrykkene 34, 46 og 47), m (uttrykk 32) og a=Du/Dt (uttrykk 31), henholdsvis

F_g=−g ρ δxδyδzˆz Ftrykk=−∇p δxδyδz

F_frik=ρFδxδyδz m=ρ δxδyδz

a= Du Dt = ∂u

∂t +u· ∇u N2 på formen ma=F gir da

ρ δxδyδzDu

Dt =−g ρ δxδyδzˆz− ∇p δxδyδz+ρFδxδyδz (48) Vi kan dividere uttrykket over med væskeelementets masse ρ δxδyδz, som gir

Du

Dt =−gˆz−1

ρ∇p+F (49)

Av visuelle, historiske årsaker, er det vanlig å skrive (49) på formen Du

Dt +1

ρ∇p+gˆz=F (50)

Uttrykkene (49) og (50) er N2 for en væske i et ikke-roterende system, også kalt momentumligningen i et ikke-roterende system.

Valget av friksjonskraften (47) sees nå, dette er for å gi en visuelt «pen» momentumligning, uttrykkene (49) og (50). Vi kommer tilbake til hvordan for eksempel friksjon mot bakken i atmosfæren og vindens friksjonsvirkning på havet kan uttrykkes i stedet for symboletF.

Momentumligningen (49) uttrykker, ledd for ledd:

• Akselerasjon når vi følger med bevegelsen; Du/Dt

• Tyngdekraft per enhetsmasse; −gˆz

• Trykkgradientkraft per enhetsmasse; −(1/ρ)∇p

• Friksjonskraft (eller alle andre krefter) per enhetsmasse; F

Årsaken til at kraftbidragene i momentumligningen kalles «kraft per enhetsmasse» er divisjonen av masse i overgangen mellom uttrykk (48) og (49). Alternativt ser vi at alle ledd i momen- tumligningene (49) og (50) har dimensjon m/s² (altså akselerasjon), som fra N2 er det samme som F/m.

Merk at kraftleddene med fysisk korrekt fortegn er gitt med uttrykk (49), og som skrevet i listin- gen over. Samtidig er det momentumligningen i versjon (50) som er oftest å finne i faglitteraturen.

Dette kan være (og er) forvirrende; men det viktigste er å huske at

Momentumligningen på form (49) viser de fysiske leddene med korrekt fortegn.

1.4.8 Momentumligningen å komponentform

På komponentform kan vi skrive momentumligningen (50) som Du

Dt +1 ρ

∂p

∂x =Fx (51)

Dv Dt +1

ρ

∂p

∂y =Fy (52)

Dw Dt +1

ρ

∂p

∂z+g=Fz (53)

1.4.9 Hydrostatisk tilnærming

For storskala bevegelse¹⁰ er oftest vertikal akselerasjon Dw/Dt og friksjon Fz små størrelser.

Med disse antagelsene følger det direkte fra ligning (53) at 1

ρ

∂p

∂z+g= 0 (54)

Dette gir ligning forhydrostatisk tilnærmingellerhydrostatisk balanse:

∂p

∂z =−ρ g (55)

10For atmosfæren gjelder dette typisk for bevegelse fra romlig utstrekning til lav- og høtrykk og oppover, som gjerne betyr prosesser med en horisontal utstrekning fra rundt 500 km og oppover. For havet gjelder tilsvarende;

prosesser som har en horisontal utstrekning fra virvelstørrelse og oppover, typisk fra noen 50–10 km og oppover.

Hydrostatisk tilnærming eller hydrostatisk balanse

∂p

∂z =−ρ g

gjelder for (nesten) all storskala bevegelse i atmosfære og hav og er en meget god – og mye brukt – tilnærming.

1.5 Momentumligningen i et roterende koordinatsystem (§6.2)

I det følgende skal vi se på hvordan momentumligningen (49) kan uttrykkes i et roterende koor- dinatsystem. Åsaken til at vi vil bruke et roterende koordinatsystem er at vi måler/observerer bevegelsen i atmosfære og hav fra/på jorden, det vil si i et roterende koordinatsystem siden jorden roterer rundt sin rotasjonsakse. N2 – som uttrykt med momentumligningen i avsitt 1.4 – gjelder kun for et ikke-roterende koordinatsystem. Følgelig må vi overføre momentumligningen (49) til et roterende system.

1.5.1 Skalare- og vektorstørrelser i et roterende koordinatsystem

En skalar (ett tall) har alltid samme verdi i et roterende og ikke-roterende system. Tenk på temperatur målt på jorden versus observert (dvs. sett) fra en fiksstjerne; termometeret viser én og samme verdi. Skalare størrelser og ligninger er derfor identiske i et roterende og ikke-roterende system.

En vektor – som har lengde og retning – endrerretningmed tiden i et roterende koordinatsystem.

Tenk på vind målt et sted på jorden, for eksempel at det er konstant vestlig vind på 10 m/s.

Fra jorden vil vi si at vindvektoren hele tiden peker mot øst. Fra en fiksstjerne vil vi se at vindvektoren roterer med jordens rotasjon, og at vindvektoren har rotert 360 garder i løpet av et døgn. Følgelig er vindvektorens retning ikke konstant sett fra en fiksstjerne. Av denne årsak må momentumligningens akselerasjonsledd, Du/Dt – på grunn av at hastighetsvektoren u er forskjellig sett fra jorden og en fiksstjerne – overføres fra et fikssystem (som til nå) til et roterende system.

Sammenhengen mellom en vektor i et ikke-roterende og et roterende system kan utledes ved først å betrakte hvordan en vektor med fast lengde endrer seg i tid (avsnitt 1.5.3). Dernst ser vi på hvordan den totalderiverte av en generell vektor, dvs. en vektor hvor både lengde og retning endres, kan beskrives i de to systemene (avsnitt 1.5.4). Og endelig anvender vi disse resulta- tene på uttrykket for den totalderiverte av hastighetsvektorern Du/Dt i momentumligningen (avsnitt 1.5.5). Men først noen ord om jordens rotasjonsvektor.

1.5.2 Jordens rotasjonsvektor

Jordens rotasjonsvektor Ω er rettet oppover sett fra en fiksstjerne (i hht. høyrehåndsregelen), se figur 7, og har verdi

Ω =2π

T ≈2π/(86400 s)≈7.3·10⁻⁵rad s⁻¹ (56)

Her er T tiden til en full rotasjon (dvs. 24 timer = 86400 s). Ofte skrives enheten til Ω som 1/s , som da er underforstått rad/s , der rad er radianer.

Sett fra det ikke-roterende fikssystemet roterer jorden mot høyre, det vil si fra vest mot øst, se figur 7.

Figur 7: Jorden med rotasjonsvektor Ω rettet oppover sett fra en fiksstjerne. I tillegg viser figuren lengdegrad λ (relativt til Greenwich-meridianen) og breddegrad ϕ (relativt til jordens ekvatorplan) til en vilkårlig posisjopnsvektor r på jordens overflate.

1.5.3 Tidsderivert av posisjonsvektor i et roterende koordinatsystem

Et fast punkt på jorden, for eksempel på 60^◦ N, kan beskrives med en vektor med konstant lengde men som endrer retning sett fra et fikssystem, som illustrert med vektoren r(t) i figur 8.

Vektoren r(t) spenner ut et sirkulært plan med tiden sett fra en fiksstjerne. En vektor som har konstant lengde men som endrer retning kalles ofte enposisjonsvektor.

Vi betrakter posisjonsvektoren r som har konstant lengde men som endrer retning grunnet rota- sjon med vinkelhastighet Ω om rotasjonsaksen som vist i figur 8. I det roterende koordinatsys- temet er r(t) konstant i tid, slik at r(t) =r(t+ ∆t). Men betraktet fra et fast koordinatsystem, et fikssystem, endrer posisjonsvektoren seg fra r(t) til r(t+ ∆t) i løpet av tiden ∆t. Siden det kun er endring av r grunnet rotasjon vi betrakter her, ikke lengden til r, er |r| = konst. i det følgende. Tilfellet med en generell vektor A som roterer og som endrer lengde er utledet i påfølgende avsnitt.

Fra uttrykket for en buelengde (565) følger det at lengden av ∆r kan skrives som

∆r=R∆λ=rsinθ∆λ (57)

Videre er

∆λ= Ω ∆t (58)

Figur 8: Illustrasjon av tidsendringen til en posisjonsvektor r(t) som roterer mot klokken med konstant vinkelgastighet Ω =|Ω|. R er radius til sirkelen som posisjonsvektoren r(t) spenner ut (lyserødt plan i figuren). I løpet av tiden ∆t beveger posisjonsvektoren seg en avstand ∆r i det fargede sirkulasjonsplanet.

hvor Ω =|Ω|. Det følger da fra (57) og (58) at

∆r

∆t = Ωrsinθ (59)

For ∆t→0, får vi

dr

dt = Ωrsinθ (60)

eller, fra definisjonen av et vektorprodukt (avsnitt A.8), at dr

dt =Ω×r (61)

Merk at høyrehåndsregelen gir at Ω×r er rettet langs ∆r i figur 8. Sett fra et fast (ikke- roterende) koordinatsystem er derfor tidsendringen av den roterende posisjonsvektoren r gitt ved (61).

Transformasjonen

dr

dt =Ω×r

er grunnleggende for å utlede sammenhengen mellom bevegelsesligningene i et ikke-roterende og roterende koordinatsystem.

1.5.4 Totalderivert av en generell vektor A i et roterende koordinatsystem Vi starter med å betrakte et koordinatsystem som ligger fast, et fiksssystem (navn etter fiksstjer- nene), og et som roterer rundt en koordinatakse. Fikssystemet er angitt med umerkede størrelser og subskrift f, mens merkede størrelser og subskrift r betegner det roterende systemet. For enkelhetsskyld har koordinatsystemene felles origo og rotasjonen skjer langs den felles z-aksen (slik at z og z⁰ er samme størrelse), se figur 9.

Figur 9: En vilkårlig vektor A i et fast (x, y, z) og et roterende (x⁰, y⁰, z⁰) koordinatsystem.

Rotasjonen skjer rundt z-aksen, beskrevet med rotasjonsvektoren Ω (1/s). Dette betyr at z og z⁰ er identiske akser med identiske enhetsvektorer. I tillegg er projeksjonen av A på det

«horisontale» (x, y)- og (x⁰, y⁰)-planet vist.

Vektoren A kan entydig uttrykkes i begge systemer:

A = ˆxAx+ˆyAy+ˆzAz (62) A⁰ = ˆx⁰A⁰_x+ˆy⁰A⁰_y+ˆz⁰A⁰_z (63)

A = A⁰ (64)

Sett fra det roterende koordinatsystemet ligger enhetsvektorene ˆx⁰, ˆy⁰ og ˆz⁰ fast, slik at den tidsderiverte av A⁰ i dette tilfellet er gitt ved den tidsderiverte av A⁰ sine komponenter

DA⁰ Dt

_r

=ˆx⁰DA⁰_x Dt

_r

+ˆy⁰DA⁰_y Dt

_r

+ˆz⁰DA⁰_z Dt

_r

(65) hvor subskrift r betegner at derivasjonen er gjort i det roterende koordinatsystemet.

På tilsvarende måte kan den tidsderiverte sett fra fikssystemet (subskrift f ) skrives som DA

Dt _f

=xˆDAx

Dt _f

+ˆyDAy

Dt _f

+ˆzDAz

Dt _f

(66)

Sett fra fikssystemet, vilenhetsvektorene i det roterende koordinatsystemet endre seg i tid. Siden

A=A⁰, følger det at DA

Dt _f

= DA⁰ Dt

_f

= ˆx⁰ DA⁰_x Dt

_f

+yˆ⁰ DA⁰_y Dt

_f

+ˆz⁰ DA⁰_z Dt

_f + Dˆx⁰

Dt _f

A⁰_x+ Dˆy⁰ Dt

_f

A⁰_y+ Dˆz⁰ Dt _f

A⁰_z (67)

Fra transformasjonsuttrykket for en posisjonsvektor i et roterende koordinatsystem (61), følger det at den totalderiverte av enhetsvektorene ˆx⁰, yˆ⁰ og ˆz⁰ er gitt ved

Dˆx⁰ Dt

_f

= Ω׈x⁰ (68)

Dˆy⁰ Dt

_f

= Ω׈y⁰ (69)

Dˆz⁰ Dt _f

= Ω׈z⁰ (70)

Fra de tre siste leddene i (67) har vi at de tre uttrykkene over skal multipliseres med henholdsvis A⁰_x, A⁰_y og A⁰_z. Dette gir

Dˆx⁰ Dt

_f

A⁰_x+ Dyˆ⁰ Dt

_f

A⁰_y+ Dˆz⁰ Dt _f

A⁰_z=Ω×(A⁰_xˆx⁰+A⁰_yˆy⁰+A⁰_zˆz⁰) =Ω×A⁰ (71) Videre er tidsendringen av lengden til A⁰ sine komponenter, som er skalare størrelser, identisk i de to koordinatsystemene

DA⁰_x Dt

_f

= DA⁰_x Dt

_r

(72) DA⁰_y

Dt _f

= DA⁰_y Dt

_r

(73) DA⁰_z

Dt _f

= DA⁰_z Dt

_r

(74) Dette gir at

ˆ x⁰ DA⁰_x

Dt _f

+yˆ⁰ DA⁰_y Dt

_f

+ˆz⁰ DA⁰_z Dt

_f

= DA⁰ Dt

_r

(75) Uttrykkene (71) og (75) innsatt i (67), gir

DA⁰ Dt

_f

= DA⁰ Dt

_r

+Ω×A⁰ (76)

Eller, for en vilkårlig vektor A, DA

Dt _f

= DA Dt

_r

+Ω×A (77)

Med notasjonen over kan tidsendringen av posisjonsvektoren r i (61) skrives på formen dr

dt _f

=Ω×r (78)

1.5.5 Utledning av fiktive akselerasjoner i et roterende koordinatsystem

Uttrykket (77) kan brukes til å relatere tidsendringen av hastighetsvektorene, det vil si aksele- rasjonen eller d²r/dt², i et fikssystem og i et roterende system, ved først å erstatte A med en væskepartikkels posisjon r, hvor r kan endre både absoluttverdi og retning:

Dr Dt _f

= Dr Dt _r

+Ω×r (79)

De to første leddene i uttrykket over gir hastigheten i henholdsvis fikssystemet uf og det rote- rende systemet ur, slik at (79) kan skrives som

u_f =u_r+Ω×r (80)

Videre følger det at akselerasjonen i et fiksssystem kan uttrykkes som Duf

Dt _f

(77)= Duf

Dt _r

+Ω×uf (81)

(80)= D

Dt(u_r+Ω×r)

r

+Ω×(u_r+Ω×r) (82)

=

Dur

Dt +Ω×Dr Dt

r

+Ω×ur+Ω×(Ω×r) (83)

= Du_r Dt

_r

+ 2Ω×u_r+Ω×(Ω×r) (84) I overgangene (81) og (83) har vi brukt atΩ= konst., slik at vi ikke får bidrag fra DΩ/Dt. 1.5.6 Momentumligningen i et roterende koordinatsystem

Med notasjonen brukt over, kan momentumligningen i et ikke-roterende system, se ligning (50), skrives som

Duf

Dt _f

+1

ρ∇p+gˆz=F (85)

Den totalderiverte av uf kan nå overføres til et roterende system ved å benytte (84). Dette gir

Dur

Dt _r

+1

ρ∇p+gˆz=−2Ω×ur−Ω×(Ω×r) +F (86) Siden det nå er underforstått at (86) uttrykker bevegelsesligningen i et roterende koordnatsystem, kan subskriften r droppes fra ligningen.

Dette gir standard form av momentumligningen i et roterende koordinatsystem, uten forenklinger (se under),

Du Dt +1

ρ∇p+gˆz=−2Ω×u−Ω×(Ω×r) +F (87) I ligningen over er

• −2Ω×u Coriolisakselerasjonen og

• −Ω×(Ω×r) sentrifugalakselerasjonen Merk at de to akselerasjonene har negativt fortegn.

Leddene kalles forfiktiveakselerasjoner, det vil si at de representerer tilsynelatende akselerasjoner som følge av at bevegelsesligningen er uttrykt i et roterende koordnatsystem.

Siden akselerasjon er det samme som kraft per enhetsmasse, kalles de to fiktive bidragene over ogsåCorioliskraft per enhetsmasse ogsentrifugalkraft per enhetsmasse.

Kommentar om Coriolisleddet Coriolisakselerasjonen er proporsjonal med u og påvirker all massebevegelsei atmosfære og hav.

Kommentar om sentrifugalleddet Sentrifugalakselerasjonen virker over alt og alltid, uav- hengig av bevegelse (bortsett i polpunktene hvor Ωkr og derfor er Ω×(Ω×r) = 0).

1.5.7 Bevegelsesligningen i et roterende system, ledd for ledd Bevegelsesligningen (87) har følgende ledd, med fysisk korrekt fortegn:

∂u

∂t

|{z}

1

+u· ∇u

| {z }

2

=−1 ρ∇p

| {z }

3

−gˆz

| {z }

4

−2Ω×u

| {z }

5

−Ω×(Ω×r)

| {z }

6

+F

|{z}

7

(88)

Her er

1 Lokal tidsendring av hastighet u i et fast punkt (en akselerasjon) 2 Adveksjon av hastighet u (en akselerasjon)

3 Trykkgradientkraft per enhetsmasse 4 Tyngdekraft per enhetsmasse

5 Coriolisakselerasjon (evt. Corioliskraft per enhetsmasse) 6 Sentrifugalakselerasjon (evt. sentrifugalkraft per enhetsmasse)

7 Friksjonskraft (og alle andre krefter som måtte virke) per enhetsmasse

1.5.8 Coriolisakselerasjonens virkning på en roterende disk

Før vi introduserer kulekoordinater for å beskrive Coriolisakselerasjonens breddegradsavhengig- het på jorden, kan vi betrakte en roterende disk. Ser vi ned på disken, og dersom disken roterer mot klokken, har vi en situasjon som vist i venstre del av figur 10. Denne konfigureringen tilsva- rer at vi står over og ser ned på jordens nordpol, med jordens rotasjonsvektor Ω pekende mot oss.

Tilsvarende viser venstre del av figur 10 at vi ser ned på en disk som roterer med klokken. Dette tilsvarer at vi står over og ser ned på jordens sørpol, med jordens rotasjonsvektor pekende fra oss (dvs. inn i papirplanet).

Figur 10: Jorden sett ned på nordpol (venstre) og sørpol (høyre). Ω er jordens rotasjonsvektor, u er en vilkårlig hastighetsvektor i det blå planet og −2Ω×u er tilhørende Coriolisakslerasjon.

For en morsom sjekk i hvilken retning jorden roterer sett ned på nordpolen og sørpolen, sehttps:

//www.nrk.no/innlandet/full-forvirring-om-hvilken-veg-jorda-snurrer-1.15347098 .

For en gitt hastighetsvektor u på disken, følger retningen til Coriolisakselerasjonen direkte fra høyrehåndsregelen.

For enhver hastighetsvektor u på den nordlige halvkule er Coriolisakselerasjonen alltid rettet 90 grader til høyre for u. Tilsvarende er Coriolisakselerasjonen alltid rettet 90 grader til venstre for u på den sørlige halvkule.

Tilsvarende regel gjelder for en kule. Men i dette tilfellet vil Coriolisvirkningenavta ettersom vi nærmer oss ekvator. Mer om dette i de neste avsnittene.

1.5.9 Coriolisakselerasjonen på en kule

Vi legger inn er lokalt (x, y, z) koordinatsystem på jordoverflaten med ˆx rettet østover, yˆ rettet nordover og ˆz rettet utover relativt til jordens overflate, se øverste del av figur 11. Denne orienteringen er hensiktsmessig for å studere bevegelsen i atmosfære og hav, og vi vil ofte benytte dette lokale koordinatsystemet fremover.

Vi kan nå se på orienteringen til Coriolisleddet −2Ω×u når hastighetsvektoren kun har bidrag i x-, y- og z-retningene.

I tilfellet u= (u,0,0), som betyr bevegelse mot øst, gir høyrehåndsregelen at Coriolisleddet er rettet utover, normalt på Ω. Dette er vist i nederste, venstre panel i figur 11.

Dersom u= (0, v,0), som er nordoverrettet bevegelse, gir høyrehåndsregelen at Coriolisleddet er rettet østover, i x-retningen, se nederste, midtre panel i figur 11.

Er u= (0,0, w), som er utoverrettet bevegelse, gir høyrehåndsregelen at Coriolisleddet er rettet vestover, i negativ x-retning, se nederste, høyre panel i figur 11.

Generelt vil hastighetsvektoren ha bidrag i alle tre koordinatretninger. Coriolisleddets retning vil da være gitt av bidraget i hver retning.

Geometrisk tolkning av Coriolisleddets orientering For hver av de tre spesieltilfellene avu over – og mer generelt for enhver orientering av u – kan Coriolisleddets orientering forstås

Figur 11: Øverst: Jorden med et lokalt roterende koordinatsystem (x, y, z). x er rettet østover, y nordover og z utover relativt til jordens overflate. Rotasjonsjonen foregår i østlig retning og er gitt med Ω. λ betegner lengdegrad og ϕ breddegrad. Nederst, fra venstre: −2Ω×(u,0,0),

−2Ω×(0, v,0) og −2Ω×(0,0, w).

geometrisk. Prøv å forstå hvordan basert på de tre spesieltilfellene over!

Coriolisleddet på den nordlige vs sørlige halvkule Coriolisleddets form er identisk på de to halvkulene, men enhetsvektoren ˆz – som alltid peker utover, normalt på jordens overflate – peker i motsatt retning på de to halvkulene. På den nordlige halvkule peker ˆz og rotasjons- vektoren Ω i samme retning (dvs. begge har en komponent som peker mot polarstjernen). På den sørlige halvkule peker de to vektorene i motsatt retning; ˆz er vendt bort fra polarstjernen.

Denne forskjellen gjør at Coriolisleddet har motsatt virkning på de to halvkulene.

1.5.10 Coliolisleddet på komponentform

Vi betrakter koordinatsystemet som vist øverst i figur 11. Uttrykt i det lokale koordinatsystem (x, y, z) som roterer med jorden og hvor x-aksen er rettet østover, y-aksen nordover og z-aksen radielt utover, følger det at rotasjonsvektoren Ω kan skrives på komponentform som

Ω= Ω(0,cosϕ,sinϕ) (89)

Dekomponeringen er vist i figur 12, og fremkommer med å flytte rotasjonsvektoren Ω til senter av det lokale koordinatsystemet, og ved å bruke at Ω kun har bidrag i y- og z-retningene.

Figur 12: Dekomponering av rotasjonsvektoren Ω i det lokale (x, y, z)-systemet.

Coriolisakselerasjonen blir da

−2Ω×u=−2 Ω (wcosϕ−vsinϕ, usinϕ,−ucosϕ) (90) hvor u= (u, v, w) er hastighetsvektorens komponenter i (x, y, z)-retningene.

Fra (90), og med hjelp av de nederste panelene i figur 11, ser vi følgende

• u bidrar i Coriolisakselerasjonens y- og z-retninger fordi −2Ω×(u,0,0) er rettet radielt ut fra rotasjonsaksen, det vil si at −2Ω×(u,0,0) har en komponent i positiv y-retning (nordover) og en komponent i positiv z-retning (utover, normalt på jordens overflate).

• v bidrar kun til Coriolisakselerasjonens x-retning fordi −2Ω×(0, v,0) er rettet i positiv x-retning.

• w bidrar kun til Coriolisakselerasjonens x-retning fordi −2Ω×(0,0, w) er rettet i negativ x-retning.

1.5.11 Coriolisakselerasjonen på forenklet form

Vi tar utgangspunkt i det fulle uttrykket for Coriolisakselerasjonen (90). Generelt er w mye mindre enn den horisontale hastighetskomponenten v (det samme gjelder for u). Under for- utsetning av at vi holder oss borte fra ekvator, kan da leddet med w neglisjeres. Videre er Coriolisakselerasjonens z-komponent svært liten i forhold til tyngdeakselerasjonen g. Følgelig kan vi også se bort fra z-komponenten.

Dette betyr at følgende forenklig generelt er gyldig:

−2Ω×u≈ −2 Ω (−vsinϕ, usinϕ,0) =−2 Ω sinϕ(−v, u,0) (91) Uttrykket over kan skrives som

−2Ω×u=−fˆz×u (92) der ˆz er enhetsvektoren i z-retningen og Coriolisparameteren

f^def=2 Ω sinϕ (93)

Merk at Coriolisparameteren er positiv på den nordlige halvkule og negativ på den sørlige halv- kule. For 45^◦ breddegrad er |f| ≈1×10⁻⁴ s⁻¹.

Når det snakkes om «midlere breddegrader», er det vanlig å bruke verdien f = 1×10⁻⁴ s⁻¹ på den nordlige halvkule og f =−1×10⁻⁴ s⁻¹ på den sørlige halvkule.

Med denne forenklingen – som er brukt for (nær) all storskala dynamikk i atmosfære og hav, kan momentumligningen (88) skrives på formen

Du Dt +1

ρ∇p+gˆz+fˆz×u=−Ω×(Ω×r) +F (94)

1.5.12 Huskeregel, ˆz×ψ

Forenhver to- eller tredimensjonal vektor ψ, dvs. for ψ = (ψ_x, ψ_y,0) eller ψ = (ψ_x, ψ_y, ψ_z), gjelder følgende sammenheng

ˆz×ψ= (−ψy, ψx,0) (95)

Kryssproduktet ˆz×ψ er den matematiske måten å uttrykke vektoren som har samme absolutt- verdi (lengde) som ψ men som er rotert 90 grader til venstre for ψ. Se figur 13.

Sammenhengen (95) benyttes en rekke ganger for å beskrive bevegelsen til en væske i et roterende koordinatsystem.

Figur 13: Illustrasjon av sammenhengen mellom en generell vektor ψ= (ψx, ψy) og ˆz×ψ.

1.5.13 Coriolisleddet utfører ikke arbeid

Dette kan vises fra momentumligningen med fullt Coriolis-ledd, ligning (88), dersom vi bare betrakter den totalderiverte av u og Coriolisleddet:

Du

Dt =−2Ω×u (96)

Prikker vi uttrykket (96) med u, får vi for adveksjonsleddet¹¹ u·Du

Dt = D Dt

1 2u·u

= D Dt

1 2|u|²

(98) og for Coriolisleddet¹²

u·(−2Ω×u) = 0 (99)

Følgelig gjelder

D Dt |u|²

= 0 (100)

Altså er |u| bevart med bevegelsen i et system der bare Coriolis-akselerasjonen virker.

Starter vi ut med en væske i ro, vil væsken forbli i ro. På tilsvarende måte, starter vi ut med en væske med hastighet u, vil |u| forbli konstant. Coriolis-akselerasjonen endrer derfor retningen, men ikke absoluttverdien (eller farten), til u. Følgelig er kinetisk energi konservert, og Corio- lisleddet utfører ikke arbeid. Det siste gjelder for enhver akselerasjon (eller kraft) som virker normalt på hastighetsvektoren.

1.5.14 Egenskaper til Coriolisaksakselerasjonen −2Ω×u

- Er en fiktiv akselerasjon som følge av at bevegelsesligningen er uttrykt i et roterende system.

- Virker bare når det er bevegelse.

11Vises med å skrive ut vektorene på komponentform, f.eks.

D Dt

1 2u·u

= D Dt

1

2(u²+v²+w²)

=uDu Dt +uDv

Dt +uDw

Dt =u· Du

Dt (97)

12Siden, per definisjon, (Ω×u)⊥u.

- Er proporsjonal med farten |u|.

- Virker normalt på hastigheten, så bare retningen, ikke farten |u|, endres (se avsnitt 1.5.13).

- Er rettet til høyre for hastighetsvektoren u på den nordlige halvkule, se figur 10.

- Er rettet til venstre på den sørlige halvkule.

- Er størst ved polene og fraværende ved ekvator (rent formelt gjelder det siste bare dersom bevegelsen er rettet langs jordens overflate, fordi Coriolis har en liten vertikal komponent, se avsnitt 1.5.10).

- Kan forenkles til −fˆz×u, der f = 2 Ω sinϕ er Coriolisparameteren (se avsnitt 1.5.11).

- Utfører ikke arbeid, slik at kinetisk energi er bevart (gjelder for enhver kraft som virker normalt på hastighetsvektoren, se avsnitt 1.5.13).

1.5.15 Sentrifugalakselerasjonens orientering

Sentrifugalakselerasjonens absoluttverdi følger fra å beregne komponentene til −Ω×(Ω×r), ved å benytte definisjonen av et kryssprodukt eller direkte bruk av høyrehåndsregelen.

Bruk av høyrehåndsregelen på det innerste kryssproduktet, se figur 14, gir at

Ω×rkˆx (101)

Ny anvendelse av hørehåndsregelen gir, for det fulle uttrykket av sentrifugalakselerasjonen,

−Ω×(Ω×r)kΩˆ_⊥ (102)

hvor Ωˆ_⊥ er enhetsvektor normalt på Ω. Altså er sentrifugalakselerasjonen rettet normalt på rotasjonsaksen. Dette gjelder for alle breddegrader (bortsett fra polpunktene, hvor sentrifugal- akselerasjonen ikke har bidrag).

1.5.16 Sentrifugalakselerasjonens absoluttverdi

Bruker vi definisjonen av et kryssprodukt og høyrehåndsregelen, og at vinkelen mellom Ω og r er π/2−ϕ, se figur 14, gir dette

Ω×r= Ωr sin(π/2−ϕ)ˆx= Ωrcosϕˆx= ΩRxˆ (103) Her er R=rcosϕ avstanden fra rotasjonsaksen til endepunktet av posisjonsvektoren r. Det ytterste kryssproduktet gir

−Ω×(Ω×r) =−Ω×(ΩRx) = Ωˆ ²RΩˆ⊥ (104) Følgelig er sentrifugalakselerasjonens absoluttverdi

| −Ω×(Ω×r)|= Ω²R (105)

Siden R er størst ved ekvator, følger det også at sentrifugalakselerasjonen er størst på ekvator.

Tilsvarende ser vi at sentrifugalakselerasjonen forsvinner i polpunktene (hvor R= 0).

Figur 14: Dekomponering av rotasjonsvektoren Ω i det lokale (x, y, z)-systemet.

1.5.17 Sentrifugalakselerasjonen på komponentform

Fra avsnitt 1.5.15, følger det at sentrifugalakselerasjonen er rettet normalt på rotasjonsaksen, i retning til enhetsvektoren Ωˆ_⊥. Fra figur 14 følger det at

Ωˆ_⊥= (0,−sinϕ,cosϕ) (106) Sentrifugalakselerasjonens komponenter følger da fra (104):

−Ω×(Ω×r) = Ω²R(0,−sinϕ,cosϕ) (107) Fra sentrifugalakselerasjonens y-komponent, ser vi at sentrifugalakselerasjonen er søroverrettet på den nordlige halvkule og nordoverrettet på den sørlige halvkule. Dette er konsistent med at jorden buler ut ved ekvator. Og det betyr at dersom jordoverflaten var helt glatt, og uten at andre krefter virket, ville enhver perfekt formet kule som slippes fri på jordoverflaten, uansett hvor, rulle til og ende opp på ekvator.

1.5.18 Egenskaper til sentrifugalakselerasjonen −Ω×(Ω×r)

- Er en fiktiv akselerasjon som følge av at bevegelsesligningen er uttrykt i et roterende system.

- Erstatisk; virker alltid og over alt (bortsett i polpunktene hvor −Ω×(Ω×r) = 0).

- Er alltid rettet radielt utover i forhold til rotasjonsvektoren Ω.

- Reduserer gravitasjonen normalt på rotasjonsaksen med Ω²rcosϕ, der r er jordens radius og ϕ er breddegrad. Den målte gravitasjonen på jorden er derfor mindre enn om jorden ikke roterte.

- Gir gravitasjonen et bidrag rettet mot ekvator på nordlige og sørlige halvkule, som er grunnen til at jorden buler noe ut ved ekvator.