Kapittel 6 Ansattes lønns- og arbeidsvilkår
6.6 Useriøsitet
Um dos problemas fundamentais da Física é a analise do movimento. Para simplificar e facilitar a compreensão dos conceitos de velocidade e aceleração, vamos considerar o movimento de uma partícula numa só dimensão. Por exemplo, o movimento de um automóvel em linha reta. Para descrever o movimento precisamos definir um referencial, que no nosso caso, será a origem (ponto O). Desse modo, a posição da partícula, num determinado instante (t), será descrito pela abscissa correspondente [X(t)]. A partir dessa base teórica podemos filmar ou tirar fotografias estroboscópicas do movimento da partícula como uma estratégia para “conge- lar” sua posição em determinados instante. Em seguida constrói-se uma tabela da posição em função do tempo ou o gráfico do movimento. A situação mais simples é aquela na qual, durante um mesmo intervalo de tempo (∆t), a
posição da partícula (∆X) varia sempre da
mesma maneira. Neste caso dizemos que o Movimento é Uniforme. Assim sendo, podemos definir a velocidade da partícula por . Uma vez que, em intervalos de tempos iguais, as variações das posições também variam em intervalos de tempos iguais, a razão dará sempre o mesmo valor, ou seja a velocidade será sempre a mesma, isto é, será constante.
1. A Galáxia mais próxima da Terra é a Galáxia de Andrômeda, que dista cerca 1,8 x 109km.
Suponha que um observatório em Andrômeda tenha tirado uma fotografia desta Galáxia e tenha remetido a Terra com a velocidade da luz. Há quantos anos corresponderia o aspec- to da Galáxia de Andrômeda nesta foto? (Considere que um ano tenha 3 x107s.)
2. Um velocista consegue fazer 100m finais de uma corrida em 10s. se durante esse tempo ele deu passadas constantes de 2,0m, qual foi a freqüência de suas passadas?
A partir do gráfico [X=f(t)] interpretação geo- métrica da velocidade é bastante simples, é representada pelo coeficiente angular da reta, ou seja: V = tgθ.
Na pratica, quando se esta dirigindo, manter sempre a mesma velocidade é algo impossível de se obter, pois em determinados trechos da estrada aumentamos a velocidade, ora pre- cisamos frear, em algumas situações dar mar- cha-ré, em outras, ficar parados. De tal modo que, na prática, a velocidade do carro esta sempre variando.
Nestas circunstâncias, para avaliar o movimen- to global desenvolvido pelo carro costuma-se empregar o conceito de velocidade média
. Assim, se o carro, por exemplo, per- corre uma distancia de 100km em 2 horas, a velocidade média desenvolvida foi de 50km/h. Resultado, evidentemente, extremamente impre- ciso, pois informa muito pouco sobre o que aconteceu durante aquele percurso. O carro pode ter parado durante o trajeto, em alguns intervalo de tempo, a velocidade ter sido bas- tante superior, etc.
Uma maneira concisa, bastante eficiente de visualizar o movimento é através do gráfico da posição (X) em função do tempo (t). O gráfico retrata resultado do movimento descrito acima.
Analisando o gráfico podemos tirar algumas conclusões:
1 – o móvel percorreu distâncias iguais (∆X)
em tempos iguais (∆t) ou seja: sempre 50 Km em 1,0 hora.
2 – a razão pode ser medida pela tangente do ângulo θ.
3 – a velocidade média permaneceu constante. Deste modo que a expressão
pode ser rescrita como: ∆X = V.∆t ou
X = X0+ V.t
4 – a partir do gráfico da posição (X) podemos encontrar o gráfico da velocidade (V) em função do tempo (t).
5 – a partir do gráfico da velocidade pode-se obter a distância percorrida pelo móvel. Para isso utiliza-se a área da figura entre o eixo do tempo e a curva obtida.
Observe que a figura obtida é um retângulo, de modo que:
∆X = área do retângulo ∆X = base X altura.
Substituindo os valores da base e da altura, temos que:
∆X = 2,0 h X 50 km/h. Portanto: ∆X = 100 km.
Evidentemente que outro veículo pode fazer o mesmo percurso no mesmo tempo de 2,0 horas.
Entretanto, o modo como vai percorrer distancia de 100km será, com certeza, completamente di- ferente do caso anterior. O motorista pode, por exemplo, após ter percorrido 40km em 15 minu- tos, tirar uma soneca de 20 minutos. Depois, de voltar a dirigir 30km em 30min, resolver parar 45 minutos para almoçar. Voltar a dirigir, ininterrup- tamente, e, ainda, chegar ao seu destino no tempo previsto. Certamente, que as velocidades médias desenvolvidas nas duas situações foram idênticas, mas o que aconteceu durante o mes- mo intervalo de tempo difere completamente nos dois casos.
Como se pode verificar, o simples cálculo da velocidade escalar média não nos fornece todos os detalhes do movimento como conse- qüência, a qualidade da informação obtida fica extremamente comprometida.
A velocidade escalar média é, pois um cálculo estimativo para o movimento admitindo-se que, durante todo o trajeto, o móvel mantenha a velocidade constante.
Caso queiramos obter uma precisão do que acontece realmente durante todo o movimen- to, isto é, a maneira pela qual a posição do móvel mudou com o tempo é indispensável definir o conceito de velocidade instantânea. Uma maneira de representar o complexo movi- mento do carro sem cometer erro em demasia, é fragmentando o trajeto percorrido em pequenos trechos e, em seguida, determinar a velocidade média em cada um deles.
Analisando-se a tabela 1 abaixo constata-se que no limite, quando o intervalo de tempo torna-se extremamente pequeno, tendendo a zero, a velocidade média se estabiliza em torno de um determinado valor.
Fica claro pela tabela que, a medida que a rela- ção tende para um valor limite de 7,1 cm/s.
Esta técnica de tornar razão extremamente pequeno corresponde ao processo matemático denominado de “passagem ao limite”, que implica em calcular a taxa de variação da posição com relação ao tempo.
Matematicamente, representa-se esta “pas- sagem ao limite” por:
.
Em termos geométrico a velocidade instan- tânea em cada instante do movimento é repre- sentada geometricamente no gráfico [X = f(t)] uma tangente, cuja inclinação representa um valor particular da velocidade instantânea do móvel, ou seja V = tgθ.
.
1. Um móvel se movimenta sobre o eixo X, com aceleração constante, de acordo com a seguinte equação horária: X = 2 + 2t – 2t2,
onde t é dado em segundos e X em metros.
a) Qual a velocidade media do móvel entre os instantes t=0 e t=2s?
b) Qual a velocidade instantânea do móvel no instante t=2 s?
1.3 VELOCIDADE RELATIVA E MOVIMENTO
RELATIVO.
Na discussão acima enfatizamos o quanto a escolha do referencial é de suma importância na analise do movimento. Analisemos, agora, uma situação prática.
Suponhamos que você esteja parado numa calçada da sua casa observando o movimento de uma moto (Vm) tentando ultrapassar um automóvel (Va) que se encontra a sua frente, enquanto um caminhão (Vc) se desloca no sentido oposto ao do motoqueiro. Admitindo que as velocidades (Vm, Va e Vc) dos três móveis são constante, a velocidade relativa entre os móveis vai depender do referencial escolhido. Assim, se o referencial for o carro a velocidade do motoqueiro em relação ao carro será: Vmoto/carro= Vmoto– Vcarro.
Entretanto, caso o referencial seja o caminhão, a velocidade do motoqueiro em relação ao caminhão será Vmoto/caminhão= Vmoto+ Vcaminhão
Essa descrição do movimento relativo não é válida quando se estuda sistemas que se
movem com a velocidade da luz.
A Teoria da Relatividade Restrita corrige a descrição do movimento relativo, empregando a seguinte expressão:
1. Suponha que você esteja dirigindo numa estra- da reta seu carro como uma velocidades con- stantes de 100Km/h e, na sua frente, no mesmo sentido encontra-se um ônibus movem-se tam- bém, com velocidade constante de 80 Km/h. a) Qual a velocidade do ônibus em relação a
você?
b) Se num determinado momento, o ônibus estiver a 600m à sua frente. Quanto tempo decorrerá ate que você encontre o ônibus? 2. Um avião desloca-se de uma cidade A para outra cidade B com uma velocidade e 300Km/h em relação ao ar, é atingido por um tufão que sopra a 60Km/h numa direção de 60° em relação ao curso do avião. Determine a veloci- dade do avião em relação ao solo.
3. Um avião voa em relação ao solo com veloci- dade constante de 1000 Km/h, tendo direção e sentido de Leste para Oeste. O vento sopra dirigido e com sentido Norte para o Sul com velocidade constante de 200Km/h. Qual a direção e o sentido da velocidade do avião em relação vento.
4. Um ônibus com MRU, com direção e sentido Leste para Oeste, em relação ao solo. No inte- rior do ônibus, um assaltante dispara seu revólver e a bala segue a direção e sentido Norte para Sul, em relação ao ônibus. Em que direção, um passageiro, sentado dentro do ônibus, verá a bala caminhar?
5. O centro de um pneu que rola sem escorregar desloca-se com velocidade constante de 5,0 m/s. Qual o módulo da velocidade no ponto B
no instante em que o diâmetro AB do pneu está paralelo a pista. (Considere o raio do pneu sendo 20 cm)
1.4 MOVIMENTOS ACELERADOS
Evidentemente, o que observa-se com muita freqüência no cotidiano, é que a velocidade instantânea de um móvel não se mantém con- stante, ora ela aumenta quando a pista está livre; ora diminui quando se percebe um obstáculo. Às vezes, se é obrigado a parar. Existe, portanto, um conjunto de fatores que obrigam a velocidade instantânea variar no decorrer de um determinado percurso. Em razão da velocidade instantânea variar com o tempo durante o movimento, podemos agora definir para qualquer movimento não-uniforme o conceito de aceleração como a grandeza físi- ca que mede a “rapidez” com que a velocidade instantânea de um móvel varia com o tempo é a aceleração. Definimos a Aceleração Escalar Média de um móvel a razão entre a variação de velocidade (∆V) pelo correspon-
dente intervalo de tempo (∆t).
Matematicamente: . Do mes-
mo modo que foi possível determinar pelo “processo do limite” a velocidade Instantânea, podemos definir, por analogia, a Aceleração Instantânea como sendo: a = lim∆t→ 0am, ou
ainda .
Para o caso do movimento uniformemente vari- ado, a variação de velocidade com o tempo
é constante, temos que a aceleração instantânea do movimento é constante
Caso a velocidade do móvel varie uniformemente, por exemplo, de 10 m/s, de 1,0 em 1,0 segundo, a aceleração é constante. Neste caso, o movi- mento é denominado de Uniformemente Variado. Para que você possa entender estes conceitos, considere a tabela abaixo, no qual a veloci- dade varia da seguinte maneira.
Observe que a partir da análise do gráfico podemos tirar algumas conclusões:
1. o móvel variou sua velocidade (∆V) sempre
de 10,0 m/s em cada 2,0 segundos (∆t). 2. a razão pode ser medida pela tangente
do ângulo θ.
3. a aceleração escalar média permaneceu constante. Deste modo que a expressão am= pode ser rescrita como:
∆V = a.∆t. Deste modo a relação fica:
Vf= Vi+ a.t
4. a partir do gráfico da velocidade (V) podemos encontrar o gráfico da aceleração (a) em função do tempo (t).
5. a partir do gráfico da velocidade pode-se obter a variação de velocidade por meio da área da figura.
1. Perguntado sobre alguns movimentos com aceleração constante, um aluno forneceu os seguintes exemplos:
I. queda de uma folha seca de uma árvore II. queda de uma manga do seu quintal III. viagem de um avião entre Manaus - São
Paulo de Olivença.
IV. movimento inicial de um atleta durante uma corrida de 100 m
Você concorda com as sugestões? Quais você discorda? Explique por que.
Uma situação que frequentemente ocorre na Cinemática é a determinação da variação da posição (∆X) a partir da velocidade instan-
tânea. A partir do gráfico da velocidade pode- se obter a distância percorrida pelo móvel. Para isso utiliza-se a área da figura entre o eixo do tempo e a curva obtida.
Observe que a figura obtida é um trapézio, de modo que:
∆X = Área do Trapézio.
∆X = 120m
Generalizando o cálculo feito acima pode-se demonstrar que a função horária da posição em função do tempo do MUV é dada por:
, Como a função horária obtida é do 2º grau, o gráfico será uma parábo- la (vide a figura abaixo).
Caso deseje exprimir a velocidade em função da posição, isole o termo (t) na equação (1) e (2) do Movimento Uniformemente Variado, para obter a denominada de Equação de Torricelli (3).
1 - V = V0+ a.t
2 - 3 -
Diariamente presenciamos situações em que um corpo varia rapidamente sua velocidade em intervalos de tempo extremamente curtos. Podem ocorrer, por exemplo, elevadas aceler- ações quando:
i) um projétil é disparado por uma arma ii) uma bola é chutada
iii) no lançamento de um foguete iv) na arrancada de um beija-flor.
1. Um corredor de curta distancia, partindo do repouso, consegue imprimir a si próprio uma aceleração constante de 5,0m/s2durante 2,0 s
e, depois, percorre o resto do percurso, com a mesma velocidade adquirida no final do perío- do de aceleração.
a) esboce o gráfico da V = f(t) desse atleta. b) qual a distancia total que ele percorre nessa
corrida?
2. Dois motoboys partem simultaneamente de dois postes, afastados em linha reta de uma distancia D, com velocidades constantes de 72Km/h e 54Km/h, respectivamente em direção ao ginásio que fica na mesma avenida. Os motoboys chegam, no mesmo instante ao ginásio 10 min- utos depois. Com base nestas informações, quanto vale a distancia D entre os dois postos. 3. Um carro viaja em MRU com velocidade de 10
m/s até o instante (t). A partir desse instante o carro adquire uma aceleração constante de 2,0m/s2. Que distancia o carro percorre
durante 20 segundos após o instante (t)? 4. avenida movimentada, para se dirigir com
segurança recomenda-se manter o veículo da frente a uma distancia mínima de um carro (≈ 4,0 m) para cada 16Km/h.
ser a distancia mínima que você dirigindo seu carro a 108 Km/h deve manter-se afas- tado de um caminhão que vai a sua frente? b) Mesmo que seu reflexo seja extremamente
ágil (≈0,50s) demonstre que, caso você esteja afastado 10 m do caminhão, você não conseguirá evitar a colisão.
5. Um automóvel parte do repouso com uma aceleração constante de 9m/s2em um percur-
so de 72m. Depois, seu movimento passa a ser uniforme durante 20s, após o que é freado em 3s. Qual a aceleração media de freamento e a distancia percorrida ate o inicio da freada? 6. Uma partícula parte do repouso e percorre
uma trajetória retilínea, de tal forma que, em cada intervalo de tempo de 1 s, a distancia por ela percorrida é igual ao dobro da percorrida no segundo anterior. Sabe-se que, a contar do inicio do movimento, a partícula leva 4 s para percorrer 30 m.
a) Qual a velocidade media da partícula entre os instantes t=2s e t=3s
b) pode-se afirmar que a partícula está em MRUV? Por que?
7. Admita que você inicia uma corrida de bicicle- ta a partir do repouso, acelerando 0.50m/s2.
Nesse instante passa por você, no mesmo sen- tido, outro ciclista com velocidade constante de 5,0 m/s.
a) Quanto tempo, após a largada você alcançara o outro competidor.
b) No momento da ultrapassagem, quanto valerá sua velocidade?