O interesse de Newton pelo desenvolvimento de uma dinâmica para o movimento planetário, na segunda metade do século XVIII, é uma peque- na amostra das discussões que se realizavam durante os encontros da Royal Society. Por exemplo, um grupo de respeitáveis cavalheiros, entre os quais se destacam Edmond Halley (famoso astrônomo), Christopher Wren (ex- presidente da Royal Society, astrônomo, geômetra, físico e arquiteto) e Robert Hooke (exímio físico experimental e conceituado astrônomo), debatiam, entre outras coisas, qual deveria ser a Lei de Força necessária para que um planeta se movesse numa órbita elíptica, conforme havia sido estabelecido por Kepler. Nestas discussões, as idéias eram impregnada pela teoria do filósofo francês René Descartes (1596-1650), segunda a qual o espaço estava cheio de um fluido sutil e invisível (Éter), que transportava os planetas através de gigan- tescos redemoinhos em torno do Sol. Aliás, mesmo depois de Newton ter publicado sua teoria, físicos e astrônomos continuaram empregando ta explicação.
1. Em que difere a concepção de força conjec- turada por Kepler com a de Newton?
2. tem alguma idéia do porque a Teoria de Descartes era considerada útil pelos cientistas da época?
3. Qual é atualmente a importância da obra de Newton? Somente histórica? ou ela ainda é realmente útil para a Ciência? Explique seu ponto de vista.
Apesar de tudo, aquele grupo de estudiosos não descartaram completamente as expli- cações de Kepler, de que a Força emanada do
Sol deveria diminuir com o quadrado da dis- tância ao Sol. O próprio Hooke gabou-se a Halley de tê-la determinado.
1. Explique que implicações essa relação encontra- da por Halley pode ter no cálculo da aceleração da gravidade? e para o peso de um objeto?
Entretanto, a despeito dos insistentes pedidos de Halley e Wrem para que Hooke apresen- tasse publicamente a solução, ele não o fez. Cansados de esperar, Halley, em agosto de 1684, decidiu ir à luta, foi até Cambridge con- sultar Newton. Qual não foi sua surpresa, ao saber que Newton, a partir de que a gravidade diminua com o quadrado da distância, já havia até calculado que a curva descrita por um planeta era uma elípse.
Após insistentes apelos, Halley, conseguiu convencer a Newton que publicasse, em 1687, sua obra “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, vindo se revelar no maior fenô- meno de público e de vendas, como também de críticas desde aquela época.
1. Qual a idéia central da Teoria de Newton ? Em que ela difere da de Descartes?
No Principia, Newton aplica sua teoria dinâmica para a explicação da Máquina do Mundo, ou seja, como as mesmas leis gerais do movimento ter- restre podiam ser aplicadas tanto aos planetas e seus satélites, quanto aos fenômenos terrestres.
1. Sugira uma maneira bem simples pela qual Newton podia demonstrar as Leis de Kepler.
O golpe de mestre de Newton consistiu em ter se conscientizado de que a gravidade estende- se até órbita da lua. De modo que guiado por esta idéia comparou a distancias percorridas pela maçã e pela “queda” da lua ao afastar-se de seu movimento inercial em 1,0 segundo, Newton constatou que a relação era de . Sabedor de que a Lua está 60 vezes mais longe do centro da Terra que uma maçã, seus cálculos revelavam maravilhosamente que a força era proporcional o inverso do quadrado da distancia. Newton demonstra, portanto, que a força que mantém a lua em órbita é a mesma que atua sobre uma maça puxando para a Terra. Força da Gravidade.
Foi esta arrojada e brilhante conjectura que lhe permitiu unificar os movimentos dos corpos próximos à superfície terrestre e os movimen- tos celestes.
Em resumo, foi em termos da força centrípeta, em conjunto, com as Leis de Kepler que Newton constituiu o núcleo central de sua Teoria da Gravitação Universal.
Conforme ele mesmo fez questão de contar, esta descoberta foi realizada, em 1665, aos 23 anos, durante os anos da Peste Negra que assolou Londres. Como a Universidade foi fechada, Newton refugio-se em sua casa, levando em sua bagagem um caderno onde constavam 22 questões que havia proposto a si mesmo que ia desde as descobertas de Galileu da queda dos corpos e das leis do movimento planetário estabelecido por Kepler. Newton sabia que para a Lua se manter em órbita, alguma coisa tinha que atrair a Lua, pois de acordo com o Principio da Inércia ela tende- ria a se mover em MRU. Dispondo dos valores da excentricidade da órbita elíptica para diver- sos planetas, como se pode constatar pela tabela 1, considerou como uma aproximação muito boa que o movimento orbital da lua fosse um MCU e, se perguntou, então, como age a força que atua sobre a lua?
Sabendo que num MCU a aceleração é centrípe- ta e, uma vez entendido que a força que mantém a Lua na sua órbita é a mesma que faz uma maçã cair, Newton cunhou a expressão Força
Centrípeta para qualquer força que esteja dirigi- da para o centro da curva descrita pelo objeto. Fundamentado na 3ª Lei de Kepler, Newton deduziu que a Lei da Atração Gravitacional, além de variar na razão inversa do quadrado da distancia deveria ser proporcional à massa do planeta. Newton, foi assim levado à con- clusão que não somente a Terra atrai uma maçã e também a Lua, mas que qualquer corpo do universo atrai todos os outros. Esta descoberta era apenas o começo, pois os problemas teóricos que ele precisava vencer eram enormes. Se comparar-mos o período da descoberta, por volta de 1665 e a publicação da sua obra cientifica, o Principia, publicado em 1687, verificaremos que mais de 20 anos se passaram. O que teria levado Newton a aguardar tantos anos antes de publicar os seus resultados?
A dificuldade principal residia em encontrar resposta matematicamente correta e convincente a suposição de que o cálculo da força de atração que a Terra exerce sobre um corpúsculo situado fora dela, podia ser feito admitindo que toda a massa da Terra estava concentrada no seu cen- tro. Esta conjectura audaciosa foi o que levou Newton a criar um instrumento matemático que ele não dispunha na época: o cálculo integral. A construção e o desenvolvimento destas idéias serve como parâmetro para avaliar a capacidade intelectual de Newton. Foi, portanto, a elabo- ração das demonstrações matemáticas que jus- tificassem aquela suposição que levaram mais de vinte anos. Somente por volta de 1685 é que Newton conseguiu demonstrar que, para uma força central inversamente proporcional ao quadrado da distância (aliás, isto só vale para uma tal força!), a atração exercida por uma esfera por uma partícula externa é como se toda a massa da esfera estivesse concentrada em seu centro, o que está muito longe de ser óbvio.
1. Demonstre a seguinte proposição de Newton:
é atraído com uma força inversamente propor- cional ao quadrado de sua distancia ao centro.”
Entretanto, Newton resolveu o problema por meio de uma explicação surpreendente bastante simples. Considerou que uma reta qualquer que passa pelo ponto P interno à camada, cortando a esfera nos pontos A e B (figura abaixo).
Um cone infinitésimo de vértice P e eixo AB intercepta a esfera em duas áreas infinitésimas
∆A e ∆B, cujas projeções no plano da figura
são A’A” e B’B”. Os triângulos infinitésimos PA’A” e PB’B” são semelhantes, pela igualdade dos ângulos correspondentes, de modo que A’A” = PA”.
Portanto, uma casca esférica, uniforme, de matéria atrai uma partícula que está fora dela, como se toda a sua massa estivesse concen- trada no seu centro. Assim sendo, podemos imaginar a Terra como uma superposição de cascas esféricas, cada uma atraindo uma partícula exterior ao planeta, como se a sua massa estivesse no centro dela.
A partir desse resultado Newton generaliza para o caso de uma esfera maciça. Na solução, Newton aplicou o Principio da Superposição, o que lhe permitiu que pudesse dividir mentalmente a esfera numa coleção de finas camadas concêntricas, de modo que atuando individualmente pudessem ser tratadas como se fossem partículas.
1. graficamente o comportamento da força gravita- cional para (a) uma esfera oca e para (b) uma esfera maciça exercem sobre um corpúsculo.
Newton, em seguida, estende seus resultados e aos demais planetas do sistema solar e, final- mente, estabelece sua extraordinária síntese: a Lei da Gravitação Universal.
“Que existe uma potencia de gravidade que pertence a todos os corpos e é proporcional a diferente quantidade de matéria que cada um deles contém. [Porque] já demon- stramos que todos os planetas gravitam um para o outro, e que a força da gravidade para cada um deles, considerada separada- mente, é inversamente proporcional ao quadrado da distância ao centro do planeta. E portanto segue que a gravidade que tende para todos os planetas é proporcional a matéria que contem.”
Se traduzirmos “potencia de gravidade” como
a força pelos quais os corpos se atraem, e “quantidades de matéria” pela massa,
podemos estabelecer formalmente a Lei da Gravitação Universal da maneira como é atual- mente entendida: É a força com que cada objeto no Universo atrai conjuntamente outro objeto, sendo diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente pro- porcional ao quadrado da distancia entre eles. Matematicamente, podemos expressar a Força
de Atração Gravitacional por: ,
onde M1e M2são as massas dos dois corpos,
r é a distancia entre eles e G é uma universal constante da natureza, denominada de cons- tante gravitacional.
Como as forças de atração, F e –F entre as duas partículas dependem apenas da sepa- ração entre elas, diz-se que elas estão sujeitas a força central numa dada região do espaço. Uma força central [F→ = f(r)^r ] tem, portanto, tem as seguintes propriedades:
i) Está dirigida segundo a linha que liga a partícula a um ponto fixo, chamado centro de forças.
ii) O valor da força só depende da distância r ao centro de forças. Logo, o valor de F tem o mesmo valor em todos os pontos de uma esfera de raio r.
2.1O VALOR DE G e a MASSA DA TERRA Deve-se evitar confundir a constante G, que não é uma constante universal, com a aceler- ação da gravidade (g), cujo valor depende do local onde deve ser determinadas. Newton, tentou obtê-la no “Principia”, através da densi- dade media (ρT) da Terra.
O problema técnico da determinação do valor de G foi resolvido por Henry Cavendish, após 71 anos após a morte de Newton, que utilizan- do uma balança de torção, obteve um valor para Gque é bastante próximo do valor atual- mente aceito:
G = 6,67x10–11N.m2/kg2. Esta experiencia Cavendish denominou de “pesagem da Terra”.
1. Empregando a Força de Atração Gravitacional dada acima, determine o valor da aceleração da gravidade (g) de uma massa (m) na super- fície da Terra. Sendo M massa da Terra.
Do ponto de vista, por exemplo, de uma maçã, a Terra se comporta como uma partícula, tendo a sua massa localizada no centro.
A maçã puxa a Terra para cima com a mesma intensidade que é puxada pela Terra para baixo.
Suponha, de acordo com a figura, que a Terra
puxe a maçã para baixo com uma força de 0,80 N. Então, a maçã deve atrair a Terra para cima com uma força de mesmo módulo, que vamos considerar no centro do planeta. Embora sejam iguais em módulo, essas forças pro- duzem acelerações diferentes, quando deix- amos a maçã cair. Para a maça, a aceleração é cerca de 9,8 m/s2, a conhecida aceleração da
gravidade perto da superfície da Terra.
Este resultado nos leva a três implicações cru- ciais:
I. a de que, desprezando-se a resistência do ar, a aceleração adquirida por todos os objetos, independente de suas massas (m) ou de seus pesos (P) caem livremente, próximo a superfície da Terra, é constante. Tal como postulada por Galileu.
Como se pode verificar, o valor desta acel- eração (g) depende essencialmente das características do planeta: sua massa, raio, constante gravitacional G, volume, constitu- ição física, etc.
Em particular, na superfície da Terra, próxi- mo ao nível do mar a uma latitude de 45º e, desprezando-se a resistência do ar, o valor calculada para aceleração da gravidade (g) vale: g = 9,8665 m/s2
II. A segunda conseqüência é a de que, den- tro da mecânica newtoniana a equivalência entre a massa inercial e a massa gravita- cional é uma pura coincidência experimen- tal, conforme ele mesmo expressou. III. Finalmente, como dissemos acima, a 2ª lei
de Kepler, desvela a existência do conceito, até então insuspeito, associado ao movi- mento rotacional, de Momento Angular e sua conservação.
1. As observações astronômicas realizadas com a luneta, por Galileo, em 1610, o levou a descoberta das “luas” de Júpiter (pequenos satélites) girando em torno dele, em uma órbi- ta circular de raio r e período T.
havia três pequenas estrelinhas, pequenas, mas muito brilhantes ...”
Tendo por base unicamente estas infor- mações, qual(ais) da(s) medida(s) abaixo pode ser determinada? Justifique sua resposta. a) a massa de Júpiter
b) o valor g para numa das “luas” c) o valor de na superfície de Júpiter
d) a força gravitacional sobre uma das “luas”. 2. Analise e comente a seguinte afirmação: “a
força com que o Sol atrai a Terra e a força que faz um pedaço de pão cair no chão são de mesma natureza”
3. A massa do Sol é cerca de 27.000.000 vezes maior que a da Lua; o Sol está cerca de 400 vezes mais distante da Terra que da Lua. Compare as forças gravitacionais exercida pelo sol e pela Lua sobre a Terra.
4. Júpiter, o maior planeta do sistema solar, tem diâmetro 11 vezes maior do que a Terra e massa 320 vezes maior que a terrestre. Sabendo-se que na Terra o peso de um astronauta com todo o seu equipamento é de 120 N, quanto ele cor- responderá na superfície de Júpiter?
5. Devido a rotação da Terra em torno de seu eixo, o peso de um corpo é diferente nos diver- sos pontos da Terra. Considere a Terra como uma esfera de raio R e, como se a sua massa M fosse homogênea. Indique a direção das forças que atuam sobre o seu corpo no Equador e no Pólo Norte da Terra. Estabeleça para esses casos uma relação para a intensi- dade da aceleração da gravidade local 6. Quando você está assistindo um programa de TV
isto só é possível, porque os satélites artificiais usados em telecomunicação, capta o sinal eletro- magnético da estação transmissora, amplifica e emite para o local que deve receber a transmis- são. Este satélites geralmente são colocados em órbita circulares no plano equatorial da Terra. a) porque estes satélites são denominados de
Estacionários ?
b) porque eles não caem sobre a Terra? c) Qual a relação entre a velocidade angular e
a velocidade tangencial do satélite?
6. Pretende-se colocar, a uma altitude de 800km aci- ma da superfície, um satélite artificial de 1,0 tone- lada em órbita circular ao redor da Terra. Determi- ne: (a) A velocidade tangencial para se obter a ór- bita desejada. (b) O numero de voltas que o saté- lite dará por dia em volta da Terra. (c) O peso do satélite naquela altura. (d) A Energia total do saté- lite em função da sua distancia ao centro da Terra. Considere:
G = 6,67 x10–11N.m2.kg–2
M = 6,67 x1024kg
R = 6,67 x103km
7. Suponha que exista um planeta que tem o trip- lo da massa da Terra e o seu raio é o dobro do raio da Terra. Quanto valerá, na superfície deste planeta, o peso de uma massa de 20Kg? 8. Suponha que a velocidade de rotação da Terra
aumentasse até que o peso de um objeto sobre o equador ficasse nulo. De quanto deve- ria ser o período de rotação da Terra em torno de seu próprio eixo? (Considere o raio da Terra de 6 400Km e g = 10m/s2)
9. Antes do astronauta entrar na nave espacial que o conduzirá até Júpiter, seu peso é de 1000N. Sabendo-se que o raio de Júpiter é 11 vezes maior que o da Terra e que sua massa 320 vezes maior que a da Terra (a) quanto valerá a massa e o peso do astronauta em Júpiter? 10. Duas estrelas duplas, de massas M e 2M, sep-
aradas por uma distancia D executam movi- mentos circulares em torno do centro de massa comum. Nessas condições, qual a mín- ima quantidade de energia necessária para separar completamente as duas estrelas? 11. Na sua opinião, porque a Lua não de encontro
a Terra?
12. Afrânio cresceu tomando banho no cacimbão pulando do galho de uma mangueira de 6,0 m de altura. Após concluir seu curso de matemática, virou astronauta e foi pular no Mar da Tranqüilidade na Lua. De que altura Afrânio deve cair na Lua para adquirir a mesma veloci- dade com que atingia a água do cacimbão?
TEMA 03