Nesse item apresentaremos a análise comparativa entre o desempenho dos 98 estudantes da 3ª série e os prognósticos emitidos pelo G3 e pela professora Maria. Para tanto, a análise será feita levando em consideração cada eixo do Campo Conceitual Multiplicativo, quais sejam: eixo 1 (proporção simples), eixo 3 (comparação multiplicativa) e eixo 4 (produto de medidas). Salientamos que as situações pertencentes ao eixo 2 (proporção múltipla) não foram contempladas no instrumento diagnóstico 2 (Apêndice 4), por considerarmos que elas envolvem um nível cognitivo mais sofisticado, ao mesmo tempo em que acreditamos que elas devem ser exploradas nas séries mais avançadas do Ensino Fundamental.
Para proceder essa análise comparativa, estabelecemos critérios quantitativos e qualitativos. Assim, definimos quatro níveis de prognósticos, inspirados em Magina et.al (2004), que retratam a diferença entre os prognósticos feitos pelas professoras em relação ao real desempenho dos estudantes. Esses níveis encontram-se descritos na tabela a seguir.
Tabela 5.5: Níveis de prognóstico
Níveis Diferença em pontos percentuais Acurado diferença < 6
Razoavelmente Acurado 6 diferença < 12 Pouco acurado 12 diferença < 18 Longe do real diferença 18
Desse modo, estamos considerando como nível acurado quando a diferença entre a média do desempenho dos estudantes e o prognóstico das professoras for menor que seis pontos percentuais (para mais ou para menos). Será considerado como nível razoavelmente acurado, quando a diferença entre a média do desempenho dos estudantes e o prognóstico das professoras for maior ou igual a seis e menor que doze pontos percentuais (para mais ou para menos). Já para o nível pouco acurado, a diferença entre a média do desempenho dos estudantes e o prognóstico das professoras, deverá pertencer ao intervalo maior
ou igual a doze, e menor que dezoito pontos percentuais (para mais ou para menos). Finalmente, como longe do real, estamos considerando o nível cuja diferença entre a média do desempenho dos estudantes e o prognóstico das professoras for maior ou igual a dezoito pontos percentuais (para mais ou para menos).
Paralelamente, analisaremos as justificativas apresentadas pelo G3 e pela professora Maria para emitir os seus prognósticos em relação ao desempenho dos estudantes em cada situação.
Eixo 1 – Proporção simples
Transcrevemos na tabela 5.6 o enunciado das situações que se referem ao eixo 1 (proporção simples) e suas respectivas categorias, as quantidades envolvidas e as operações mais indicadas para a sua resolução, no âmbito do Campo Conceitual Multiplicativo.
Tabela 5.6: Enunciados e classificação das situações do eixo 1 (proporção simples)
Situação Enunciado Classe Tipo Operação
Q1
Maria utiliza 4 colheres de chocolate para fazer uma receita de brigadeiro. Se ela fizer 3 receitas de brigadeiro, quantas colheres de chocolate ela usará?
Um para muitos
Não
discreta Multiplicação
Q2 Em uma caixa de chicletes vêm 2 unidades. João precisa de 18 chicletes. Quantas
caixas de chicletes ele vai ter que comprar?
Um para
muitos Discreta
Divisão (quotitiva)
Q5
João tem 24 bolas de gude para dar de presente aos seus amigos. Cada amigo vai ganhar três bolinhas. Quantos amigos de João ganharão bolinhas de gude?
Um para muitos
Não
discreta Multiplicação
Q6
A receita de pastel do Seu Manoel é assim: Para cada 1 copo de leite vão 3 ovos e para cada 1 ovo que ele precisa de 2 xícaras de farinha. De quantas xícaras de farinha ele vai precisar para fazer essa receita?
Um para
muitos Discreta
Divisão (quotitiva)
Q7 Em um pacote de figurinhas vêm 3 figurinhas Quantas figurinhas vêm em 4
pacotes?
Um para
muitos Discreta Multiplicação
Q9 A professora tem 18 pirulitos para distribuir igualmente com seus 6 estudantes.
Quantos pirulitos cada aluno vai ganhar?
Um para
muitos Discreta
Divisão (partitiva)
Q12 Dona Benta usa 12 ovos para fazer 3 bolos. Quantos ovos ela vai precisar para fazer 5
bolos? Muitos para muitos Discreta Multiplicação/ Divisão
O instrumento diagnóstico 2 (Apêndice 4), o eixo 1 (proporção simples), foi constituído por sete situações envolvendo as classes: um para muitos e muitos para muitos. Nessas duas classes, era possível explorar dois tipos de quantidades: discretas e não discretas. No que se refere à sua resolução, no âmbito das relações quaternárias, são passíveis de duas operações: divisão (partitiva e quotitiva) e multiplicação. A combinação desse conjunto de possibilidades (classes, tipos de quantidades e operações) justifica, no nosso instrumento, um número maior de situações concentradas nesse eixo, comparativamente ao eixo 2 (comparação multiplicativa) e ao eixo 4 (produto de medidas).
O quadro 5.1 apresenta comparativamente a média do desempenho dos 98 estudantes e os prognósticos do G3 e da professora Maria que, nessa tabela e nas seguintes, é representada por 3P1, em destaque.
Quadro 5.1: Desempenho dos estudantes x prognósticos das professoras do G3
(Proporção simples)
% desempenho dos estudantes Prognóstico - prof. P1 Prognóstico - prof. P2 Prognóstico - prof. P3 Prognóstico - prof. P4
Pode-se observar que há uma tendência do G3 em superestimar o desempenho dos seus estudantes, pois dos 28 prognósticos possíveis 17 (61%) estimaram um percentual de acerto igual ou superior a 70%. Esse otimismo contribuiu para a emissão de prognósticos concentrados, basicamente, no nível longe do real e pouco acurado (20 em 28).
Essa tendência em superestimar o desempenho dos estudantes pode estar relacionada ao fato de que na 3ª série já se iniciou formalmente o ensino do conceito de multiplicação e divisão, fato que poderia levar o G3 a fazer predições mais favoráveis em relação ao desempenho dos estudantes. Prognósticos que não se confirmaram, pois se observarmos o desempenho médio dos estudantes, em apenas três das sete situações analisadas eles apresentaram um desempenho acima de 50%.
De um modo geral, como os prognósticos foram favoráveis ao sucesso dos estudantes, o G3 classificou a maioria das situações como sendo simples, e que os possíveis erros estariam ligados à interpretação do enunciado, ou ainda ao erro da tabuada. Para ilustrar, observe a justificativa mais recorrente, que sintetiza essa nossa assertiva.
Extrato do protocolo do prognóstico e justificativa da professora 3P3
Podemos observar que, apesar da professora 3P3 considerar que os estudantes não apresentariam dificuldades em resolver a situação (90% acertariam), ela credita as possíveis dificuldades ao fato de os estudantes não saberem a tabuada e multiplicar. O argumento, de não saber a tabuada foi recorrente no G3, podendo ser observado, em pelos menos 18 dos 28 prognósticos possíveis.
É razoável inferir que esse argumento denota o valor que elas atribuem à memorização da tabuada, ao mesmo tempo em que, parecem não admitir a possibilidade de os estudantes lançarem mão de outras estratégias de resolução, que não necessariamente o algoritmo.
Ao observarmos os prognósticos da Maria, percebemos que ela não segue a tendência do G3, pois superestima três das sete situações analisadas, sendo
que a Q1 foi classificada como pouco acurada, Q2 acurada e a Q9 como sendo longe do real. Ainda com relação a Q9, ressaltamos que essa superestima, apesar de estar longe do real, a maioria dos estudantes (64%) acertou.
Quanto às outras quatro situações analisadas, Maria assinalou tendência em subestimar o desempenho de seus alunos. Porém, quando analisamos seus prognósticos notamos que, apesar de três deles serem pouco acurados, e um longe do real, ela percebe que há diferentes níveis de complexidade entre tais situações. Seus prognósticos baixos (Q5, Q6, Q12) se confirmam, pois nessas três situações seus estudantes não conseguiram alcançar o patamar de 50% de acerto. Com relação às suas justificativas, Maria atribui interpretação e dúvidas na pergunta às dificuldades que seus estudantes poderiam apresentar.
Outro dado relevante que merece ser examinado diz respeito às previsões relativas às situações Q5 e Q12. Foi possível observar que o G3 percebe o grau de complexidade inerente a cada situação que vai além do fato de o estudante fazer o algoritmo da multiplicação e da divisão. Exceção feita à professora 3P3 que previu que os estudantes não apresentariam dificuldades, argumentando que se elas ocorressem, estariam ligadas à leitura e à interpretação do enunciado.
Na situação Q5, o G3 foi unânime em reconhecer que as possíveis dificuldades dos estudantes estariam ligadas, não somente às dificuldades de interpretação do enunciado, mas sim ao fato de a situação apresentar excesso de dados. As professoras 3P3 e 3P4 reconhecem essa dificuldade, apesar de julgarem que isso não seria impeditivo para o sucesso dos estudantes.
A seguir, apresentamos o extrato do protocolo da professora Maria, que reconhece que a dificuldade da situação pode estar atrelada ao excesso de informação, a ponto de subestimar o desempenho de seus estudantes.
Extrato do protocolo do prognóstico e justificativa da professora Maria
Já na situação Q12, embora as professoras não apresentassem um argumento mais sofisticado para justificar as dificuldades dos estudantes, atribuindo o insucesso à leitura e à interpretação, há indícios de que elas reconhecem que se trata de uma situação mais complexa que as demais. Fato que pode ser observado nos dados do quadro 5.1, que mostra uma tendência das professoras em estimar o percentual de acerto em patamares inferiores, quando comparados com as predições feitas para as outras situações. O protocolo da Maria ilustra bem essa situação.
Extrato dos protocolos das prognósticas e justificativas apresentados pela professora Maria – 3P1 – G3
Podemos observar que as duas situações foram propostas no mesmo contexto, receita de bolo, mas que requerem, do ponto de vista cognitivo, esquemas de ação diferentes para a sua resolução (VERGNAUD, 1988). As duas situações envolvem uma relação entre duas quantidades de naturezas diferentes
(colheres e receitas, ovos e bolos). Contudo, na situação Q1 existe uma correspondência de um para muitos e na Q12, uma correspondência de muitos para muitos, o que significa compreender que o esquema matemático a x b = c, que é adequado para solucionar a situação Q1, não se configura como um esquema adequado para solucionar a situação Q12. Sendo assim, é razoável supor, como evidenciamos anteriormente, que embora as professoras não apresentem um argumento mais sofisticado para justificar as suas previsões, elas percebem, em algumas situações, os diferentes níveis de complexidade.
A seguir, passaremos a apresentar as predições do G3 e da professora Maria para o eixo 3 (comparação multiplicativa).
Eixo 3 – Comparação multiplicativa
Os dados da tabela 5.7 representam os enunciados das situações que se referem ao eixo 3 (comparação multiplicativa) com suas respectivas classes, tipos das quantidades envolvidas e as operações mais indicadas para a sua resolução, no âmbito do Campo Conceitual Multiplicativo.
Tabela 5.7: Enunciados e classificação das situações do eixo 3 (comparação
multiplicativa)
Situação Enunciado Classe Tipo Operação
Q4
Na loja um carrinho custa R$ 5,00 e o jogo de memória custa 4 vezes mais que o carrinho. Quanto custa o jogo de memória? Referido desconhecido Não discreta Multiplicação Q8
Seu Pedro vende um quilo de uva por R$ 12,00 e um quilo de laranja por 3 vezes menos. Quanto custa o quilo da laranja? Referido desconhecido Não discreta Divisão
Q11 Comprei uma boneca por R$ 21,00 e uma bola por R$ 3,00. Quantas vezes a
boneca foi mais cara que a bola?
Relação desconhecida
Não discreta
Divisão
No instrumento diagnóstico 2 (Apêndice 4) o eixo 3 (comparação multiplicativa) foi constituído por três situações, sendo duas envolvendo as classes do referido desconhecido e a outra da relação desconhecida. Nessas duas classes exploramos somente o tipo de quantidade não discreta e, no que se refere a sua resolução no âmbito das relações ternárias, são passíveis de duas operações: divisão (Q4 e Q8) e multiplicação (Q11).
O quadro 5.2, a seguir, apresenta comparativamente a média do percentual de acerto dos estudantes da 3ª série em relação aos prognósticos do G3 e da Maria em destaque.
Quadro 5.2: Desempenho dos estudantes x prognósticos do G3 (Comparação
multiplicativa)
% desempenho estudantes Prognóstico - prof. Maria Prognóstico - prof. 3P2 Prognóstico - prof. 3P3 Prognóstico - prof. 3P4
É possível observar que o G3 superestima o desempenho dos estudantes, pois de maneira geral, os seus prognósticos foram bem acima da média de acerto dos estudantes. Essa tendência em superestimar o desempenho fez com que os seus prognósticos fossem, na maioria, pouco acurados ou longe do real (dos 12 prognósticos possíveis, um prognóstico foi pouco acurado e oito longe do real).
Assim como no eixo 1 (proporção simples), essa tendência pode estar relacionada ao fato de que é nessa série que se inicia o ensino formal do Campo Conceitual Multiplicativo e dessa forma, o G3 considerou que os seus estudantes já teriam condições de responder corretamente às situações propostas, o que não ocorreu.
Para ilustrar, observe a justificativa apresentada pelas professoras 3P3 e 3P4 que sintetizam as demais justificativas apresentadas pelo G3.
Extratos dos protocolos dos prognósticos elaborados por duas professoras da 3ª série (3P3 e 3P4)
Podemos observar que as justificativas apresentadas pelo G3 atribuem a dificuldade dos estudantes às expressões contidas no enunciado dos problemas. Essa predição do G3 se concretizou ao observarmos, a posteriori, as respostas dos estudantes em que foi possível constatar que nas situações que envolveram a ideia da comparação multiplicativa o insucesso se deveu, majoritariamente, à tentativa de associar literalmente as palavras-chave às operações matemáticas.
Ao observarmos os prognósticos de Maria e suas justificativas, é possível notar que ela não superestima os estudantes de forma a alcançar patamares longe do real.
A justificativa de Maria na Q4, sugestão da resp. no enunciado, nos fornece indícios que ela entende que a expressão vezes mais orientaria o estudante a pensar na operação de multiplicação para resolver tal situação. Essa hipótese se apóia, quando lemos sua justificativa para a Q8: interpretação, abstração, porque eles teriam que abstrair a expressão vezes menos do enunciado, pois elas não refletem a operação mais adequada para a resolução.
No caso da Q4, a expressão vezes mais, não gerou tanta dificuldade (50% de acerto), pois a operação requerida (multiplicação) era parcialmente correlata à expressão. Nas situações Q8 e Q11, as expressões vezes menos e vezes mais, respectivamente, eram totalmente incongruentes com a operação requerida (divisão). Possivelmente tenha sido esse o fator responsável pelo baixo desempenho dos estudantes (3,19% e 15%, respectivamente). Contudo, esses diferentes níveis de complexidade não foram levados em conta pela maioria do G3 ao procederem aos seus prognósticos. Exceção feita a Maria que, pelos seus prognósticos pouco otimistas, podemos inferir que ela percebe que existe uma complexidade maior e tenta explicá-la em suas justificativas.
Finalmente, iremos apresentar os prognósticos do G3 e da professora Maria para os problemas do eixo 4 (produto de medidas).
Eixo 4 – Produto de medidas
O quadro 5.3 apresenta as situações que se referem ao eixo 4 (produto de medidas) e os dados da tabela 5.9, as suas respectivas classes (4A–configuração retangular e 4B–combinatória), tipos das quantidades envolvidas e as operações mais indicadas para a sua resolução, no âmbito do Campo Conceitual Multiplicativo.
Quadro 5.3: Problemas envolvendo eixo 4 (produto de medidas) – Instrumento
diagnóstico dos estudantes - apêndice 5
Questão 3: O parque de
diversão abaixo tem 2 entradas (A e B) e 4 saídas (1, 2, 3 e 4).
Pense em todas as diferentes maneiras que você poderia entrar e sair desse parque. Quantas são essas maneiras?
Questão 10: O parque abaixo
tem 2 entradas diferentes (entrada A e entrada B).
Nesse parque sabemos que uma pessoa pode ter 12 maneiras diferentes de entrar e sair dele. Coloque no desenho as saídas que esse parque tem.
Questão 13: Esse prédio tem
muitas janelas na frente. Por causa da árvore, você não consegue ver todas as janelas que ele tem. Mesmo sem ver todas as janelas, Você consegue dizer quantas janelas tem na frente do prédio?
Tabela 5.8: Classificação das situações do eixo 4 (produto de medidas)
Situação Eixo Classe Tipo Operação
Q3 4 – Produto de medidas Combinatória Discreta Multiplicação
Q10 4 – Produto de medidas Combinatória Discreta Divisão
Q13 4 – Produto de medidas Conf. Retangular Discreta Multiplicação No instrumento diagnóstico 2 (apêndice 4), o eixo 4 (produto de medidas) foi constituído por três situações, sendo duas envolvendo a classe de combinatória e a outra a classe de configuração retangular. Nessas duas classes foram exploradas somente quantidade do tipo discreta e, no que se refere à sua resolução são passíveis de duas operações: multiplicação (Q3 e Q13) e divisão (Q10), no âmbito das relações ternárias.
O quadro 5.4 apresenta, comparativamente, o desempenho dos estudantes e os prognósticos do G3, destacando os prognósticos de Maria (3P1), em relação ao eixo 4 (produto de medidas).
Quadro 5.4: Desempenho dos estudantes x prognósticos das professoras do G3
(produto de medidas)
% desempenho estudantes Prognóstico - prof. 3P1 Prognóstico - prof. 3P2 Prognóstico - prof. 3P3 Prognóstico - prof. 3P4
Tendo como base os prognósticos do grupo G3, pode-se observar que ele admite que a Q10 é mais difícil do que a Q3, embora os seus prognósticos para tais situações fossem, em sua maioria, longe do real, de acordo com os níveis preestabelecidos no presente capítulo. Outro dado que chama atenção é que os prognósticos para as referidas situações ficaram em patamares iguais ou inferiores a 50%. Esse dado leva-nos a inferir que situações envolvendo produtos de medidas (combinatória) são pouco exploradas na sala de aula, o que implica nas expectativas pouco otimistas das professoras. Essa nossa inferência pode ser confirmada na justificativa dada pela professora 3P4, conforme pode ser observado na sequência.
Extrato do protocolo do prognóstico elaborado pela professora 3P4 do G3
Conforme a justificativa apresentada pela professora pode-se observar que ela admite como esquema de ação a utilização do desenho para combinar todas as possibilidades de entrada e saída do parque. Segundo esses argumentos, a
estratégia de resolução da referida questão estaria centrada na habilidade de fazer todas as “ligações” entre as duas entradas e as quatro saídas do parque, e expressar o resultado mediante a contagem do total de possibilidades. Tal estratégia sugere, do ponto de vista didático, que uma possível opção para o trabalho da professora na sala de aula, com situações desse tipo estaria, basicamente, centrada nesse tipo de procedimento (contagem). Salientamos, que essa nossa interpretação não carrega uma crítica sutil em relação à justificativa da professora, porém queremos chamar a atenção para a limitação do emprego dessa estratégia quando as quantidades envolvidas forem de magnitude maior, o que evidentemente inviabilizaria o emprego da contagem como esquema de ação.
Ainda no que diz respeito às justificativas apresentadas para Q3 e Q10, o G3 em seus prognósticos, creditam o insucesso dos estudantes, basicamente à questão da interpretação, ou ainda ao fato de eles não conseguirem combinar todas as possibilidades de entrada e de saída do parque. Independentemente do tipo de justificativa, apresentadas pelo G3, essas predições para as duas situações se confirmaram se levarmos em conta que o desempenho dos estudantes ficou em patamares de 22,5% e 15%, para as situações Q3 e Q10, respectivamente.
Com relação à Q13, observa-se que o desempenho dos estudantes foi satisfatório, conforme previu o G3 em seus prognósticos, exceção feita apenas para o prognóstico da professora 3P2, que previu que 50% dos estudantes obteriam sucesso. As professoras apontaram como possível fator de dificuldade o fato de as janelas estarem “escondidas” pela árvore, admitindo a contagem como sendo a principal estratégia a ser empregada pelos estudantes. Ao admitir a contagem como principal estratégia de resolução denota que situações desse tipo, possivelmente, sejam abordadas didaticamente como aquelas pertencentes ao Campo Conceitual Aditivo, conforme discutimos anteriormente.
Ao nos depararmos com os prognósticos de Maria percebemos que, assim como o G3, ela admite a Q10 como sendo a questão mais complexa do que a Q3. É interessante notar que na Q3, o prognóstico de Maria é o que mais se aproxima do desempenho dos estudantes (razoavelmente acurado). É razoável supor esse prognóstico esteja diretamente ligado à sua prática de sala de aula, ou seja, que
ela já tenha trabalhado com situações desse tipo, porém em outros contextos, como aquele que ela apresentou em sua elaboração, citado anteriormente.