Os modelos GARCH e EGARCH vistos nas seções anteriores assumem que o pro- cesso tem uma memória curta, ou pelo menos finita. Ao fim de algum tempo, os efeitos de um choque na volatilidade dissipam-se completamente. No caso extremo, a persis- tência é nula. Por exemplo, no modelo GARCH(1,1) a condição 1 1 < 1 garante a estacionariedade do processo. Neste caso, os efeitos de um choque decrescem a uma taxa geométrica. Mas e se 1 1 = 1? Neste caso os efeitos de um choque tornam-se permanentes e o processo é perpetuamente persistente no tempo. Existe uma raiz unitá-
ria no polinómio autorregressivo 1 1 = 1 e a memória do processo é infinita. Engle e Bollerslev (1986) propuseram o modelo IGARCH(p, q) para lidar com o fenómeno da persistência ou memória longa na volatilidade. Mas este é um caso limite.
O modelo IGARCH(1,1) pode ser escrito da seguinte forma:
2 2 2
0 1 1 1 1 1
t t t
, (41)
onde 0 1 1 e 1 1 = 1. O modelo mais geral IGARCH(p, q) também pode ser escrito utilizando o operador de desfasamento L:
2
0
1 L L 1L t 1 L t
, (42)
Finalmente, consideramos o modelo FIGARCH(1, d, 1), onde d representa o índice fracionário ou indicador de persistência da volatilidade (Baillie et al., 1996):
2 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 d t t t L t t t t . (43)O modelo FIGARCH(p, d,q) pode ser escrito usando o operador de desfasamento L:
2
0
1 L L 1L dt 1 L t
. (44)
Note-se que a expressão (44) é um caso geral de (36) e de (42). De facto, fazendo em (44) d = 0, temos a equação da variância (36). Se d = 1 temos a equação da variância (42). O GARCH(p, q) e o IGARCH(p, q) são, portanto, casos particulares do FIGARCH (p, d, q), onde 0 d 1.32
A distinção entre processos de memória curta e de memória longa é crucial para de- terminar a longevidade dos choques que ocorrem num sistema. Entre os dois casos ex- tremos acima identificados, ou seja d = 0 e d = 1, existem uma infinidade de situações intermédias que podem variar ao longo do tempo. Por exemplo, em determinado con- texto, um dado processo pode ter memória mais curta mas essa memória tornar-se mais longa se houver alguma modificação importante no sistema e vice-versa. Isto acontece porque os sistemas económico-financeiros são dinâmicos e, sob certas circunstâncias, vão-se adaptando aos novos contextos. É o caso da crise de 2008, conforme veremos neste estudo.
32 Para outros estudos sobre o modelo FIGARCH ver, e.g., Chung (1999), Morana e Beltrati (2004), Oh et
O fenómeno da persistência ou memória longa encontra-se particularmente patente no comportamento da volatilidade dos mercados bolsistas, independentemente da ocor- rência de crises económicas prolongadas. Os clusters de volatilidade são disso uma ex- celente prova. Esta situação implica que o mercado não responde imediatamente à in- formação que vai chegando ao sistema financeiro mas reage gradualmente ao longo do tempo. Digamos que existe um desfasamento entre a chegada de nova informação e a reação do mercado. Esta reação vai sendo assimilada ao longo de um período de tempo mais longo do que o próprio tempo de chegada da informação. A duração do período de assimilação determina então o grau de persistência. Não havendo um retorno à situação de “equilíbrio”, diz-se que a persistência é infinita, o que acontece, como vimos, quando d = 1.
Num processo de memória longa, as variações passadas de preços contêm informa- ção que permite prever, ainda que apenas parcialmente, as variações futuras de preços. Contudo, quando a memória é curta, essa capacidade preditiva vai-se desvanecendo, o que ocorre geralmente em períodos de equilíbrio do sistema. Ou seja, a hipótese dos mercados eficientes (ver, e.g., Fama, 1970; Sharpe, 1970), não estando em causa, parece ser mais fraca no contexto de memória longa. Contudo, como após um choque os siste- mas tendem a retornar a uma situação de equilíbrio, a EMH continua a fazer todo o sen- tido.
Mandelbrot e van Ness (1968) foram os primeiros autores a observar e documentar a existência de memória longa em processos económicos, nomeadamente na descrição da dinâmica subjacente ao preço de ativos financeiros. Existe uma clara ligação entre este conceito e os expoentes H de Hurst (Hurst, 1951, 1956). Em geral, diz-se que existe correlação de memória longa nos dados quando 0.5 < H < 1 (Grau-Carles, 2000). Al- guns autores (Grau-Carles, 2000; Di Matteo et al., 2003) sugerem que os mercados bol- sistas de maior dimensão e mais desenvolvidos (e.g., o NYSE e o LSE) tendem a exibir expoentes de Hurst próximos de 0.5. Os mercados menos desenvolvidos exibem ten- dencialmente expoentes de Hurst entre 0.5 e 1, ou seja, correlação de longo-prazo.
O fenómeno da memória longa parece ser portanto mais típico dos mercados menos desenvolvidos. Quanto menos desenvolvido for o mercado maior será a tendência para exibir memória longa. Estes mercados são assim, neste contexto, menos eficientes do
que os mercados mais desenvolvidos. Contudo, o grau de persistência ou memória lon- ga num determinado mercado, varia ao longo do tempo. Aparentemente, essa variação é menor nos mercados mais desenvolvidos do que nos mercados menos desenvolvidos. Estes últimos estão sujeitos a maiores perturbações causadas por diversos tipos de cho- ques. Uma possível explicação para este fenómeno é que os mercados de menor dimen- são estão mais sujeitos a oscilações correlacionadas e estão, por isso, mais vulneráveis à influência de investidores “agressivos”. Se assim é ou não no nosso caso veremos no capítulo 5.
A memória longa pode ser detetada a partir do comportamento da função de auto- correlação da série temporal. Se observações distantes no tempo estiverem ainda forte- mente correlacionadas, então a função de autocorrelação decai a uma taxa relativamente lenta. Tal situação revela sintomas de memória longa no domínio do tempo. Tratando-se de uma série temporal estacionária em covariância, diz-se que ela exibe memória longa se a função de autocorrelação k, no desfasamento k, satisfaz a relação:
lim 1 lim n k k k n k n ck
, (45)onde c > 0, 0 < < 1 e n representa o número de observações (McLeod e Hipel, 1978). k representa uma lei de potência. Por outro lado, uma série temporal estacionária em covariância exibe memória curta se a sua função de autocorrelação k for limitada geo-
metricamente por (ver, e.g., Brockwell e Davis, 2002):
k k cr
, (46)
onde c > 0 e 0 < r < 1. Existe uma relação direta entre o expoente de Hurst H e na expressão (45) dada por (ver, e.g., Beran, 1994) 0.5 < H < 1 22H, que caracte- riza a memória longa.
Poterba e Summers (1986) argumentam que para os prémios de risco dependentes do tempo poderem de algum modo influenciar as grandes flutuações observadas no mercado bolsista, é necessário que os choques no sistema persistam por períodos de tempo longos. Se as variações da volatilidade forem momentâneas ou de curta duração, o mercado não efetua ajustamentos relevantes no prémio de risco e, portanto, não ocor- rem mudanças significativas no fator de atualização ou no preço das ações determinado
pelo valor atual líquido dos cash-flows esperados no futuro. Risco e rendibilidade estão, portanto, fortemente associados no longo prazo em mercados eficientes.
Bollerslev e Engle (1993) sugerem que as carteiras de títulos bolsistas podem ser co-persistentes (ver, também, Schwert e Seguin, 1990). Por outro lado, Engle e Gonza- lez-Rivera (1991) mostraram que a persistência pode estar associada à dimensão do ne- gócio, com empresas de pequena dimensão a exibirem menor persistência do que em- presas de grande dimensão (ver, também, e.g., Engle e Mustafa, 1992). Este resultado é compatível com o argumento acima aduzido que os mercados de menor dimensão e menos eficientes exibem menor persistência. Adicionalmente, Chambers (1998) mos- trou que o grau de persistência é independente da frequência dos dados, não havendo diferenças substanciais entre a persistência de dados diários, semanais ou mensais para o mesmo mercado e período temporal.
Müller et al. (1997) argumentam que a persistência ou memória longa surge da rea- ção dos investidores de curto-prazo à dinâmica da volatilidade implícita (vista como uma proxy da tendência esperada da volatilidade), o que causa persistência na frequên- cia média mais elevada do processo de volatilidade (volatilidade realizada). Contraria- mente, os investidores de longo-prazo baseiam as suas decisões nos fundamentos do mercado e ignoram os movimentos de curto prazo. Esta explicação insere-se no contex- to do comportamento de agentes interativos com diferentes horizontes temporais (curto e longo prazo).
Os parâmetros do modelo FIGARCH podem ser estimados através de procedimen- tos de otimização não linear para maximizar o logaritmo da função de verosimilhança. A função de verosimilhança pode ser gaussiana ou outra mais adequada ao contexto. No caso da função de distribuição gaussiana, o logaritmo da função de verosimilhança L é dado por:
2 2 1 1 ln ln 2 ln 2 T t t t t L
, (47)onde T representa o número de observações na amostra e os restantes símbolos são co- mo anteriormente definidos. Outras distribuições vulgarmente utilizadas neste contexto são a t-Student e a GED. A estimação do modelo FIGARCH requer normalmente um
elevado número de observações, estando o mínimo relacionado com a ordem de trun- camento do operador (1L)d. A escolha do modelo mais adequado está, como usualmen- te, ligada à minimização de um critério de informação: critério de informação de Akaike corrigido (AICC), critério de informação bayesiano de Schwarz (SBC), etc. (ver, e.g., Sin e White, 1996; Mittnik e Paoella, 2003).