10. Oppgavefordeling og regelverk
10.9 Kunnskapsdepartementet
2.4.1 Teste ADF
Existem na literatura inúmeros testes que permitem analisar a questão da ordem de integração de uma série observada xt. Estes testes são geralmente conhecidos como tes-
tes de não estacionariedade ou testes de raiz unitária, termo utilizado por analogia com a determinação das raízes da equação característica de uma equação com diferenças. Um dos testes de raiz unitária sem dúvida mais populares entre os investigadores é o teste de Dickey-Fuller Aumentado (ADF). Também conhecido por teste (Dickey-Fuller, 1979, 1981), este teste baseia-se na seguinte regressão para a variável xt:
0 1 1 1 ( 1) p t t k t k t k x t x x
, (15)13 O mesmo se aplica a séries integradas de ordem d, com d > 1, embora a grande maioria das séries fi-
sendo a hipótese nula = 1 e usando para este efeito os valores críticos de MacKinnon (1991, 1996). O número de lags ou desfasamentos do modelo é escolhido de modo a que os resíduos t iid(0, 2). Note-se que 0 é uma constante, 1 t uma tendência linear
determinística e (1)xt1 captura uma eventual tendência estocástica. Fazendo 1 = k
= 0, a equação de Dickey-Fuller (15) reduz-se a um processo AR(1) que pode ser visto como uma realização do processo descrito na expressão (6).
O procedimento usual nos testes ADF consiste em testar a hipótese nula = 1 (raiz unitária) para a variável em níveis (xt) e em primeiras diferenças (xt), contra a hipótese
alternativa || < 1 (estacionariedade).14 Este teste pode incluir uma constante e uma ten- dência linear (), uma constante () ou nenhuma delas (), enquanto componentes de- terminísticas do modelo (0 + 1 t). Para além da componente determinística e do termo estocástico que contém o coeficiente de autoregressão , o modelo (15) admite ainda a possibilidade de existirem termos autoregressivos da variável dependente xt, para con-
trolo da autocorrelação residual. Se a hipótese nula não for rejeitada em níveis mas o for em primeiras diferenças, então a variável xt I(1) sendo xt I(0).
Dickey e Fuller (1979, 1981) propuseram dois testes para analisar as hipóteses aci- ma descritas. O primeiro baseia-se na distribuição limite da estimativa OLS de . A estatística do teste ADF utilizada neste contexto obedece à forma tradicional dos testes t: ˆ 1 ˆ 1 t s , (16)
mas não é assimptoticamente normal nem simétrica. Os valores críticos usuais da distri- buição t-Student não são portanto válidos neste âmbito. Fuller (1976), Dickey e Fuller (1981) e mais tarde MacKinnon (1991, 1996) fornecem os valores críticos adequados a esta situação. A verdadeira distribuição dos testes de Dickey-Fuller sob a hipótese nula é dada por (ver, e.g., Dufrénot e Mignon, 2002):
0 2 1 2 0 ~ 1 1 2 H W t W s ds
, (17)14 Na verdade, no caso mais geral, a hipótese nula testa a existência de uma tendência estocástica (não
onde W(.) representa um processo de Wiener no intervalo [0, 1].15 O segundo, baseia-se na distribuição da estatística T(1), onde T denota a dimensão da amostra.
É importante notar que < < e que, para a estatística , os valores críticos do teste ADF não diferem substancialmente dos valores críticos da Normal estandardizada. No entanto, o uso indevido destes últimos (ou, indiferentemente, dos valores críticos da distribuição t-Student) conduz à sobre rejeição da hipótese nula, aumentando o proble- ma à medida que se introduzem mais componentes determinísticas no modelo. Marques (1998: 282-286), descreve um conjunto de estratégias aconselháveis para o estudo dos testes de raiz unitária de Dickey-Fuller baseadas nos artigos citados.16
Um resultado importante relativo aos testes de Dickey-Fuller é que a distribuição assimptótica da estatística t é independente do número de desfasamentos das primeiras diferenças incluídos na regressão ADF. Estes, contudo, são necessários para eliminar qualquer autocorrelação de ordem superior remanescente na variável residual e, deste modo, validar o pressuposto de resíduos t ~ iid que está na base do uso do método dos
mínimos quadrados. Para além disso, a inclusão no modelo de uma componente de mé- dias móveis (MA) com um número adequado de termos desfasados das primeiras dife- renças, não altera a validade assimptótica do teste ADF (Said e Dickey, 1984).
Apesar da sua popularidade, os testes ADF não estão isentos de problemas. Vários autores analisaram os problemas da dimensão da amostra e potência dos testes de raiz unitária ADF. Blough (1992), por exemplo, usando estes testes mostrou que alguns pro- cessos de raiz unitária apresentam em amostras finitas um comportamento mais próxi- mo de um processo ruído branco do que de um processo passeio aleatório. Ao contrário, alguns processos estacionários em tendência comportam-se de forma aproximada ao
15 O processo de Wiener traduz o efeito acumulado das perturbações aleatórias que afetam a dinâmica do
fenómeno em estudo, ou seja, é o integral do ruído perturbador que se supõe ser um ruído branco em tempo contínuo. O uso pioneiro deste processo no âmbito da aplicação à modelação das cotações bolsistas deve-se a Bachelier (1900). Einstein também usou este processo para modelar o movimento browniano de uma partícula num fluido. Na sua versão original, o movimento browniano descreve o movimento irregu- lar de uma partícula suspensa num fluido. Para mais detalhes sobre estes conceitos ver, e.g., Braumann (2005).
16 Note-se, contudo, que os resultados podem ser sensíveis à especificação do teste e que a inclusão de
passeio aleatório em amostras finitas. É, por exemplo, o caso de um processo estacioná- rio que possua uma raiz muito próxima da unidade.17
2.4.2 Testes com Quebras Estruturais
Alguns autores (e.g., Perron, 1989; Perron e Vogelsang, 1992) contestaram a vali- dade dos testes ADF na presença de quebras estruturais. Em particular, quando as séries apresentam quebras estruturais, os testes ADF standard estão enviesados e tendem a não rejeitar H0 quando H0 deveria ser rejeitada. Ou seja, a ocorrência de quebras estrutu-
rais confunde os resultados dos testes ADF usuais e gera conclusões espúrias quanto à não estacionariedade e existência de raízes unitárias. Esta situação ocorre quando o fe- nómeno da persistência apenas resulta de choques profundos e pouco frequentes (e.g., uma crise de longa duração como a atual). Choques frequentes e de pequena dimensão tendem, por seu lado, a um rápido retorno à tendência determinística existente nos da- dos, como aconteceu nos inúmeros crashes de curta duração que têm ocorrido nos mer- cados bolsistas nas últimas décadas.
Muitos testes de raiz unitária na presença de quebras estruturais têm sido sugeridos e usados na literatura (ver, e.g., Banerjee et al., 1992; Zivot e Andrews, 1992; Amsler e Lee, 1995; Lumsdaine e Papell, 1997; Perron, 1990, 1994, 1997, 2005; Saikkonen e Lütkepohl, 2001, 2002; Lütkepohl et al., 2001; Lanne et al., 2002; Lee e Strazicich, 2003, 2004; Cavaliere e Georgiev, 2005a,b; Glynn et al., 2007; Rossi e Sekhposyan, 2014) geralmente baseados na determinação endógena da data da quebra. Christiano (1992) argumenta que a determinação não endógena da data da quebra invalida a teoria distribucional subjacente aos testes convencionais. Os testes com quebras estruturais endógenas reduzem significativamente o enviesamento das estatísticas do teste.
Dos inúmeros testes de raiz unitária com quebras estruturais endógenas sugeridos na literatura iremos usar neste estudo dois: o teste de Zivot-Andrews (1992) e o teste de Lanne et al. (2002). O teste de Zivot-Andrews com quebras estruturais endógenas é um teste sequencial baseado na amostra completa e que utiliza uma variável dummy para
17 O leitor interessado poderá consultar Dufrénot e Mignon (2002: 26-40) e os autores aí citados para mais
cada potencial data de quebra. A data da quebra é selecionada quando a estatística t do teste ADF atinge o seu mínimo, isto é, o seu valor mais negativo. Ou seja, a escolha da data da quebra corresponde ao momento T menos favorável à não rejeição da hipótese nula. Apenas uma data é selecionada. Para essa data são calculados os valores da cons- tante e da tendência determinística. Os valores críticos do teste ZA com quebra estrutu- ral endógena encontram-se em Zivot e Andrews (1992). Em tudo o resto, o teste asse- melha-se ao teste ADF sem quebras estruturais.
O teste de Lanne et al. (2002) pertence à família de testes de raiz unitária para pro- cessos com mudança de nível, uma forma alternativa de dizer quebra estrutural com uma função de mudança de regime. O modelo (18) serve de base à estimação do teste:
0 1
t t t
x t f a , (18)
onde 01 t representa uma tendência determinística linear, ft () denota a função de
mudança de nível e at é uma perturbação gerada por um processo AR(p) com uma even-
tual raiz unitária. e são parâmetros ou vetores de parâmetros desconhecidos.
Lanne et al. (2002) propuseram três casos distintos de funções de mudança de nível. O primeiro caso considera apenas uma dummy de mudança de nível com uma data TB. A
função não incorpora outros parâmetros no vetor e é um escalar:
(1) 0, 1, B t B t T f t T . (19)
O segundo caso considera uma mudança gradual (ou transição suave) não-linear basea- da na função de distribuição exponencial:
(2) 0, 1 exp 1 , B t B B t T f t T t T . (20)Neste caso, e são escalares ou vetores de escalares e > 0. O terceiro caso considera uma função racional do operador de desfasamento L aplicado a uma dummy de mudança de nível dada por:18
1
1 (3) (1) (1) 1 1 1 t t t f L f L f , (21)onde [0, 1] e [12]. Para certos valores de , os dois últimos casos geram mu- danças bruscas (ou abruptas) num único momento TB, constituindo deste modo casos
mais gerais do que o primeiro. Este, contudo, é suficiente na maioria das situações em- píricas que se colocam e será usado no nosso caso.