Konsekvenser for barn

Os alunos, desde cedo, relacionam de forma intuitiva grandezas proporcionais, por relações aditivas de dobros e metades (Spinillo, 1994). No entanto, ao longo da minha experiência profissional tenho vindo a deparar-me com dificuldades dos alunos na resolução de situações que envolvem proporcionalidade direta e raciocínio proporcional. Muitos apresentam alguma dificuldade em pensar, relacionando quantidades de forma proporcional, especialmente em tarefas de maior complexidade, quando envolvem quantidades representadas com números racionais ou quando o seu contexto não lhes é familiar. De acordo com Silvestre (2012), o raciocínio proporcional integra três aspetos principais: (i) Capacidade para distinguir situações que têm subjacentes relações de proporcionalidade direta de situações que não o têm; (ii) Compreensão da natureza multiplicativa das relações proporcionais; e (iii) Capacidade para resolver vários tipos de problemas, revelando a flexibilidade mental para realizar diferentes abordagens sem ser afetado pelo contexto, dados e estrutura numérica, grandezas e as representações (texto, gráficos, tabelas, razões). É preciso compreender

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as dificuldades dos alunos para melhor apoiar o desenvolvimento do seu raciocínio proporcional, usando progressivamente estratégias de um nível mais avançado, recorrendo a relações de natureza multiplicativa (Silvestre & Ponte, 2013).

Na maioria dos países, o tópico da Proporcionalidade Direta é trabalhado, integrado ou não no domínio da Álgebra, ao nível do 2.º ciclo, com continuidade no 3.º ciclo. O Programa de Matemática do Ensino Básico (ME, 2007) refere como propósito principal do ensino da Álgebra “Desenvolver nos alunos o pensamento algébrico, bem como a sua capacidade de representar simbolicamente situações matemáticas e não matemáticas e de resolver problemas em contextos diversos” (p. 40). Este programa apresenta uma referência à transição do 1.º para o 2.º ciclo neste domínio e salienta a proporcionalidade direta como um aspeto importante para o desenvolvimento do pensamento algébrico:

No 1.º ciclo, trabalha-se com as estruturas multiplicativas e com os números racionais, o que constitui uma base para o desenvolvimento da noção de proporcionalidade. No 2.º ciclo, este assunto é aprofundado e sistematizado através da exploração de múltiplas situações que envolvem os conceitos de proporcionalidade directa, razão e proporção.

São trabalhadas relações associadas a sequências numéricas e a proporcionalidade directa, que é uma relação importante no desenvolvimento do pensamento algébrico presente em muitas situações do quotidiano dos alunos (envolvendo, por exemplo, problemas de natureza multiplicativa nas compras ou em receitas culinárias, percentagens e escalas). Os alunos devem usar a proporcionalidade para fazer previsões e distinguir a relação de proporcionalidade directa de outros tipos de relações. (ME, 2007, p. 40)

Neste contexto os alunos devem trabalhar com situações que envolvem relações proporcionais e distinguir entre situações que apresentam ou não relações de proporcionalidade direta. Simultaneamente, devem desenvolver a capacidade de resolver problemas de comparação e valor omisso (perante três termos de uma proporção encontrar o quarto termo em falta).

Este documento curricular apresenta como objetivos gerais a serem alcançados pelos alunos:

 ser capazes de explorar, investigar regularidades;

 compreender a noção de proporcionalidade directa e usar o raciocínio proporcional;

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 ser capazes de resolver problemas, raciocinar e comunicar recorrendo a representações simbólicas. (p. 40)

Os documentos curriculares mais recentes, Programa e Metas Curriculares de

Matemática do Ensino Básico (MEC, 2013), também enquadram o tópico da

Proporcionalidade Direta no domínio da Álgebra. No entanto as suas indicações neste domínio são pouco esclarecedoras e minimalistas em termos de orientações metodológicas, apresentando uma referência ao domínio de forma superficial interligando-o com o domínio dos Números e Operações:

Relativamente aos domínios Números e Operações e Álgebra, conclui-se neste ciclo o estudo das operações elementares sobre frações e completa- se a construção dos números racionais, introduzindo os negativos. Os alunos deverão, à entrada do 3.º ciclo, mostrar fluência e desembaraço na utilização de números racionais em contextos variados, relacionar de forma eficaz as suas diversas representações (frações, dízimas, numerais mistos, percentagens) e tratar situações que envolvam proporcionalidade direta entre grandezas. (MEC, 2013, p. 14)

O mesmo documento indica que no âmbito da proporcionalidade direta, especificamente devem-se abordar:

 Noção de grandezas diretamente proporcionais e de constante de proporcionalidade direta;

 Proporções; extremos, meios e termos de uma proporção; propriedades; regra de três simples;

 Escalas em mapas;

 Problemas envolvendo a noção de proporcionalidade direta entre grandezas mutuamente dependentes.

Estes objetivos são um contributo insuficiente para o desenvolvimento dos aspetos fundamentais ao raciocínio proporcional, de relevante importância para a formação dos alunos neste nível de ensino. É atribuída pouca enfâse às relações de variação entre as medidas de grandeza, privilegiando a aplicação de procedimentos que tendem a constituir regras mecanizadas que os alunos memorizam e aplicam sem compreensão das relações entre variáveis.

Pelo seu lado, o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2007) destaca que os alunos devem ser capazes de compreender relações entre tabelas, gráficos e símbolos e selecionar as representações que mais se adequem ao objetivo em

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estudo. A compreensão da variação é essencial à compreensão das funções e à compreensão de situações do dia-a-dia. É necessário que os alunos, desde os primeiros anos, tomem contacto com a noção de variação e desenvolvam simultaneamente bases sólidas a nível do cálculo. Estes aspetos, futuramente, ajudá-los-ão na compreensão do conceito de linearidade e na noção que um declive representa a taxa constante da variação de uma função linear.

Tal como indicam Lobato, Ellis, Charles e Zbiek (2010), o raciocínio proporcional é bastante complexo e requer um desenvolvimento ao longo do tempo:

A compreensão da proporcionalidade desenvolve-se ao longo dos anos, mas a maturidade não garante o desenvolvimento do raciocínio proporcional, muitos adultos não aplicam raciocínio proporcional. A complexidade do raciocínio proporcional destaca-se pelo facto de apesar de se aplicar a regra de três simples não garante habilidade no raciocínio proporcional (Lobato et al., 2010, p. 48).

Assim, raciocinar proporcionalmente vai muito para além de conhecer a regra de três simples, muitas vezes usada sem compreensão. Este raciocínio envolve compreensão e agilidade em relacionar quantidades ou grandezas proporcionalmente, com flexibilidade na utilização de estratégias adequadas à resolução de problemas.

Segundo Lobato et al. (2010), é importante proporcionar aos alunos, deste nível de ensino, tarefas que lhes permitam desenvolver o seu raciocínio proporcional, interligando conhecimentos e compreensões essenciais como as noções de razão, razões equivalentes, proporção e constante de proporcionalidade. Além disso, é também fundamental promover nos alunos flexibilidade no uso de estratégias de resolução de problemas, levando-os a realizar comparações de natureza multiplicativa, sem recorrer sistematicamente à regra de três simples.

Cramer, Post e Currier (1993), salientam a importância dos alunos perceberem aspetos essenciais que caraterizam situações proporcionais, nomeadamente que: (i) existe sempre uma relação multiplicativa que relaciona as duas quantidades, os espaços de medida estão sempre relacionados por uma multiplicação; (ii) uma proporção pode ser vista como uma relação multiplicativa entre as quantidades de dois espaços de medida; (iii) todos os pares (razões) de uma proporção podem-se reduzir sempre à mesma fração, a razão unitária; (iv) existe um fator constante que relaciona as quantidades e que se pode considerar numa regra de funcionamento , em que

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é o referido fator constante e (v) graficamente uma situação proporcional é representada por uma linha que se inclina para a direita e passa pela origem.

Em Portugal têm sido realizados vários estudos de investigação, principalmente, no âmbito da realização de dissertações de mestrado e teses de doutoramento, que por implementação de propostas pedagógicas, experiências de ensino ou estudos de caso, analisaram aspetos ligados ao desenvolvimento do raciocínio proporcional. Alguns estudos pretenderam, também compreender como se desenvolveu o processo de ensino- aprendizagem com a realização de tarefas que envolveram situações de proporcionalidade direta ou de distinção entre situações proporcionais das não proporcionais. Assim, Silvestre (2006, 2012) realizou duas investigações com intuito de compreender esse processo de ensino-aprendizagem. A primeira (Silvestre, 2006) visou analisar o modo como decorria a aprendizagem da proporcionalidade com tarefas de investigação e problemas de proporcionalidade direta recorrendo ao uso de novas tecnologias, nomeadamente a folha de cálculo (Excel). Num segundo estudo (Silvestre, 2012), a autora desenvolveu uma experiência de ensino para analisar o desenvolvimento do raciocínio proporcional atendendo às estratégias e dificuldades que os alunos revelavam na resolução de tarefas e problemas de cunho investigativo/exploratório, também com recurso à folha de cálculo. Pedro (2013) e Garcez (2016) desenvolveram experiências de ensino que envolveram o pensamento algébrico e a capacidade de generalização com resolução de tarefas que relacionaram Sequências e Regularidades e Proporcionalidade Direta, identificando as estratégias de generalização e representações usadas pelos alunos e o seu contributo para o desenvolvimento do raciocínio algébrico. Apesar dos estudos realizados sobre o tema, precisamos de perceber mais profundamente as dificuldades dos alunos e perceber quais são as formas de promover um ensino-aprendizagem eficaz da proporcionalidade direta contribuindo para potenciar desenvolvimento do raciocínio proporcional.

Assim, com este estudo, pretendo perceber como a compreensão dos conceitos e relações proporcionais podem contribuir para o desenvolvimento do raciocínio proporcional dos alunos, fundamental para o estudo da Matemática e de outras disciplinas escolares em anos mais avançados, bem como para resolução de situações que nos surgem no quotidiano (Dole et al., 2012; NCTM, 2007). Pretendo que este estudo seja um contributo não só para o meu desenvolvimento profissional e melhoria da minha prática letiva, mas que possa também ser útil a professores que se interessam

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pelo tema e que atentem às dificuldades dos alunos de modo a terem uma base de reflexão mais alargada para promover o ensino- aprendizagem.

Para o efeito proponho-me desenvolver uma experiência de ensino norteada pela conjetura de ensino aprendizagem que assenta na exploração de uma sequência de tarefas assente nas noções de razão, fração e equivalência de razões e em várias representações como proporções, tabelas e gráficos, na tentativa de perceber se constitui um alicerce ao desenvolvimento do raciocínio proporcional e, em particular, da noção de constante de proporcionalidade. Envolve perceber, simultaneamente, se esta abordagem favorece o desenvolvimento do uso de relações multiplicativas e se, como estratégias de resolução, os alunos recorrem ao uso de estratégias proporcionais, em situações de proporcionalidade direta, e se adquirem capacidade para distinguirem situações proporcionais das não proporcionais. A análise dos resultados da experiência de ensino permitirá saber se de facto a abordagem contribuiu para o desenvolvimento do raciocínio proporcional.