Por forma a planear tarefas a desenvolver posteriormente na experiência de ensino, e atendendo a aspetos importantes a integrar nas aprendizagens dos alunos, concebi três tarefas que incluíssem a aplicação de conhecimentos e o estabelecimento de conexões entre razões e proporções. Procurei usar diversas representações de razão, proporção e envolver a noção de constante de proporcionalidade, de modo a promover a compreensão de relações multiplicativas e alcançar generalizações. Pretendi com este trabalho perceber se os alunos aprofundavam a sua compreensão em relação aos conceitos básicos essenciais (Lobato et al., 2010) e se resolviam problemas de valor omisso sem recorrerem à regra de três simples, mas usando outras estratégias, nomeadamente recorrendo à constante de proporcionalidade, e se alcançavam generalizações.
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As tarefas. Para elaborar as tarefas, atendi ao quadro apresentado Lobato et al.
(2010), (ver p. 19), com referência aos conceitos básicos a serem compreendidos pelos alunos, nomeadamente o estabelecer de conexões entre razões e proporções como forma de desenvolver raciocínio proporcional. O ponto de partida focou o aprofundar o conceito de razão e a relação entre duas quantidades ou grandezas, podendo uma razão ser representada por quociente ou unidade composta. Outro aspeto que tive em conta, atendeu, à distinção entre as noções de razão e fração, quando uma razão pode ou não ser considerada fração e como a razão pode ser considerada unidade de medida.
Ainda na conceção das tarefas (Anexo 5) tive em atenção trabalhar com proporções para desenvolver a capacidade nos alunos de relacionar duas quantidades e formar um conjunto de razões equivalentes. O contexto dos problemas era familiar aos alunos mas envolveu trabalhar com diferentes tipos de grandezas (discretas e contínuas) e com vários valores numéricos. Alguns itens integravam a constante de proporcionalidade para aprofundar o seu significado e enfatizar o seu uso como estratégia de resolução. Nestas tarefas foram integradas situações com problemas de comparação, situações de análise da existência de proporcionalidade direta, situações de valor omisso e pseudoproporcionais.
Este trabalho foi realizado com os alunos no final do ano letivo, na penúltima semana de aulas. As duas primeiras tarefas foram trabalhadas em 4 blocos de 90 minutos, um primeiro bloco de 90 minutos foi destinado às duas fases, a de apresentação e de exploração a pares com interação entre alunos e o segundo bloco destinado à discussão coletiva. Só um pequeno grupo de alunos realizou a terceira e última tarefa. Os restantes alunos da turma estiveram ausentes por participarem em atividades de final de ano. Assim, para esta tarefa, a fase da discussão já não ocorreu por falta de tempo. No entanto a análise, das produções escritas, permitiu recolher informação sobre o que os alunos apreenderam com as duas tarefas anteriores, em termos de construção de proporções e se alcançaram generalizações.
Participantes. Uma turma de 6.º ano, na qual também fui professora titular, era
formada por 31 alunos, no geral com um nível bastante bom em termos de desempenho. Os alunos eram muito participativos em expor ideias, estratégias e justificações. A turma apresentava um número reduzido de elementos com algumas dificuldades mas que interagiam bem com os colegas existindo um clima de entreajuda. Foi uma turma que apresentou uma boa envolvência no trabalho da aula.
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Metodologia. À semelhança da primeira fase do estudo piloto, esta segunda fase
de investigação, apresentou uma abordagem qualitativa e interpretativa, no sentido de perceber se os alunos estabeleceram conexões entre os diversos conceitos básicos relativos ao raciocínio proporcional, que estratégias de resolução resultaram e se alcançaram generalizações. Surgiu uma pequena investigação sobre a minha própria prática numa experiência de ensino com intuito de perceber se as tarefas estavam bem estruturadas e levavam à promoção de aprendizagem. Pela análise da atividade e produção dos alunos tentei perceber como estes pensaram, que estratégias usaram e se efetuaram generalizações. Em suma, este pequeno estudo pretendeu esboçar uma Investigação Baseada em Design.
As produções dos alunos foram analisadas, sendo a síntese, dos dados recolhidos, registada em tabelas. As tabelas envolveram categorias relativas a níveis da compreensão e estabelecimento de relações entre os conceitos essenciais, estratégias de resolução (aditivas, pré-proporcionais ou proporcionais), generalizações e o nível de adequação das tarefas.
Resultados. Pela análise das produções dos alunos, pude constatar que estes
compreenderam a distinção entre as noções de razão e fração. De um modo geral, os alunos conseguiram identificar quando uma razão representava uma fração mas revelaram dificuldades no conceito de razão como medida. Os alunos calcularam e identificaram constante de proporcionalidade, no entanto poucos relacionaram a constante de proporcionalidade com o seu significado. Contudo, usam-na para alcançarem uma expressão geradora (generalização) ou para identificarem a existência de proporcionalidade direta.
Um número considerável de alunos formou proporções e razões equivalentes usando um fator multiplicativo. No preenchimento de tabelas com valores omissos, os alunos recorreram a fatores multiplicativos, mas também usaram o cálculo de metades ou dobros, efetuando composições ou decomposições até alcançarem o valor em falta, ou usaram estratégias aditivas partindo de valores conhecidos. Apresentaram algumas dificuldades em trabalhar com números racionais e numerais mistos, na maior parte das vezes usando dízimas infinitas e não usando a representação em número fracionário.
Nos problemas pseudoproporcionais, nenhum aluno identificou a existência de uma relação não proporcional. Em problemas de comparação de reduzida complexidade e com números inteiros, os alunos resolveram as tarefas com alguma facilidade. Para verificar a existência de proporcionalidade direta, utilizaram um valor multiplicativo
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para constatar se formavam razões equivalentes, ou calcularam o quociente das razões. Se a situação implicava dois processos, efetuar uma relação proporcional e posteriormente uma não proporcional por relação aditiva (por exemplo, acrescentar um valor ao resultado, a outro descoberto), apresentaram maiores dificuldades.
Conclusão. Atendendo aos resultados e ao trabalho desenvolvido, percebi a
relevância em proporcionar tarefas que trabalhem várias representações e vários valores numéricos, bem como várias grandezas, uma vez que possibilitam aos alunos estabelecer relações entre elas e lidar com situações de diversos contextos. Considero que se deve enfatizar o trabalho com números racionais, nomeadamente fracionários e numerais mistos, proporcionando aos alunos a oportunidade para desenvolverem agilidade para trabalharem com diversos valores numéricos, pois nestas situações apresentam mais dificuldades. A exploração de situações problemáticas e a discussão em sala de aula sobre as diversas estratégias e representações, para análise da mais adequada, possibilitam uma melhor compreensão.
Um aspeto importante prende-se com a necessidade de proporcionar situações que permitam a compreensão da noção de razão como comparação entre duas quantidades mas também como relação de medida, no intuito de levar os alunos a usarem esse conceito como estratégia na descoberta de valores omissos ou na comparação de situações proporcionais.
Além disso, problemas pseudoproporcionais deverão ser intercalados com os de comparação e de valor omisso, uma vez que os alunos fixam-se nas relações proporcionais, e acabam por não distinguir situações que não apresentam proporcionalidade, neste tipo de problemas.
Em termos de constante de proporcionalidade, o trabalhar da sua noção e da relação unitária de umas das grandezas, é um suporte à generalização e uma forma de os alunos recorrerem ao seu uso na resolução tanto em situações problemáticas de comparação, como de valor omisso. No entanto, e por acompanhar o trabalho dos alunos, percebi que o relacionar da constante de proporcionalidade em situações de generalização ou construção de uma expressão geradora para descoberta de qualquer uma das grandezas a partir da outra (a razão relaciona duas grandezas) é uma estratégia difícil para os alunos pois requer uma profunda compreensão do conceito e a aplicação de raciocínio proporcional.
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