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2.3.1. Dificuldades na aprendizagem da proporcionalidade

Lobato et al. (2010) indicam que, apesar de os alunos usarem com facilidade relações de dobros ou metades, se uma situação envolver números mais complicados, não conseguem estabelecer relações proporcionais. Nos estudos do Rational Number

Project, Cramer, Post e Currier (1993) constataram que tanto nas tarefas tipo valor

omisso como nas de comparação em que o fator multiplicativo correspondia a um número decimal ou fração, os alunos revelaram maiores dificuldades mesmo em situações que apresentavam a mesma estrutura, recorrendo por vezes a estratégias aditivas. Concluíram que trabalhar com números não inteiros diminui o nível de desempenho dos alunos e altera a sua forma de raciocinar. A situação foi recorrente na resolução de problemas de escalas, que se revelaram significativamente mais difíceis.

Pelo seu lado, Oliveira e Garcia (2013) indicam que outro aspeto que dificulta o trabalho dos alunos com situações proporcionais advém das várias interpretações das diferentes representações da forma fracionária Estas são pouco exploradas no ensino das frações e dos números racionais, havendo uma ênfase da interpretação como relação parte-todo em detrimento das interpretações de quociente, operador e razão. Na perspetiva das autoras, a fraca exploração destes significados da fração compromete o desenvolvimento do raciocínio proporcional.

Outro aspeto que suscita alguma dificuldade nos alunos refere-se ao trabalho com a constante de proporcionalidade . Este, por vezes, torna-se complexo porque é um “personagem escorregadio”, uma vez que o seu significado muda em cada contexto particular. Frequentemente não aparece explicitamente no contexto do problema, pois é um elemento estrutural que se encontra escondido nos detalhes e que é preciso saber procurar (Lamon, 2012).

2.3.2. Estratégias para melhorar o ensino-aprendizagem

O ensino usual da proporcionalidade enfatiza o uso da regra de três simples e o produto cruzado, o que não promove a compreensão das relações. Como refere Lamon (2012), geralmente, os alunos não usam o raciocínio proporcional quando aplicam

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regras memorizadas ou algoritmos. Apesar de resolverem problemas de proporcionalidade com procedimentos memorizados, isso não quer dizer que pensem proporcionalmente. Por isso, diversos autores (Cramer et al., 1993; Gurl, Artzt & Sultan, 2013; Lamon, 2012; Oliveira & Garcia, 2013) consideram fundamental trabalhar com aspetos essenciais e componentes conceptuais importantes para desenvolver o raciocínio proporcional.

Lobato et al. (2010) destacam que o próprio professor tem de ter uma sólida compreensão da Matemática, compreendendo de uma forma aprofunda as ideias matemáticas, pois só assim pode ajudar os seus alunos a desenvolver uma compreensão sólida e duradoura de razões, proporções e raciocínio proporcional. Na sua perspetiva, uma compreensão mais aprofunda sobre este tópico requer do professor:

(i). Saber distinguir diferentes tipos de problemas, conhecer quando aplicar determinadas estratégias e usar vocabulário relevante.

(ii). Distinguir relações onde há proporcionalidade das que não são proporcionais.

(iii). Compreender o que significam razões equivalentes e ser hábil no uso de diferentes estratégias para as gerar.

(iv). Distinguir o que os alunos precisam de aprender, e o que se espera que estes aprendam, estendendo a aprendizagem para além do que está no currículo. Como, por exemplo, incluir o trabalho com gráficos pois permite observar o modo como se ligam as razões e proporções e como se integram em funções lineares, aspeto com que os alunos irão trabalhar mais tarde mas ainda não entendem.

(v). Ter capacidade de argumentar e ser capaz de refutar e justificar a ideia errada que todas as razões são frações, e ser capaz de ilustrar as relações conceptuais entre frações e razões e de utilizar a notação fração para expressar razões.

Para a progressão dos alunos, através de um percurso que parta da compreensão dos conceitos de razão e proporção de modo a alcançar o raciocínio proporcional, Lobato et al. (2010) indicam que estes precisam de realizar quatro mudanças cognitivas: (i) Transitar da comparação absoluta com uma quantidade concentrando-se na importância de relacionar duas quantidades; (ii) Passar das comparações aditivas para a formação de razões com duas quantidades; (iii) Efetuar a transição usando estratégias de unidade composta para aplicar em comparações multiplicativas; e (iv) Fazer a transição para desenvolver de forma fácil proporções criando um conjunto infinito de razões equivalentes.

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O documento curricular do estado de Ontário (Service Ontario, 2012) destaca sugestões curriculares no sentido de proporcionar aos alunos o trabalho com diversos tipos de problemas, envolvendo relações aditivas e relações multiplicativas (proporcionais) e promover a discussão entre as suas diferenças, contribuindo, assim, para o desenvolvimento do raciocínio proporcional. As sugestões de estratégias apresentadas para o ensino comportam:

(i). Proporcionar aos alunos situações que abrangem diversos contextos e se relacionem com o seu mundo.

(ii). Oferecer problemas de natureza qualitativa e quantitativa. Os alunos poderão envolver-se no desenvolvimento de relações proporcionais sem manipular quantidades com números.

(iii). Ajudar os alunos a distinguirem entre situações proporcionais e não proporcionais.

(iv). Encorajar discussões e experiências em que comparem e elaborem razões e proporções.

(v). Ajudar os alunos a relatar o seu raciocínio proporcional para perceber o que realmente sabem; por exemplo se estabelecem conexão entre as frações de unidade e as taxas unitárias como noções muito semelhantes.

(vi). Reconhecer que a regra de três simples, como estratégia mecânica para resolver proporções, não desenvolve o raciocínio proporcional e que os alunos precisam ser flexíveis no pensamento e adquirir várias estratégias.

Na mesma linha de pensamento, Dole et al. (2012) ressaltam a importância de, aquando da promoção do pensamento multiplicativo, não descuidar também as discussões sobre relações aditivas para que se relacionem ambos os pensamentos. Os autores consideram que deve promover-se a discussão de situações em termos aditivos e em termos multiplicativos colocando questões específicas, por forma de incentivar o pensamento matemático. Um exemplo: “Uma menina tem 6 tazos e o menino tem 9

tazos.” A partir desta situação podem colocar-se várias questões que permitam

estabelecer relações aditivas e multiplicativas, contribuindo para a sua distinção:

 Exemplos de questões que requerem pensamento aditivo: Quem tem

mais tazos? Quantos tazos, tem a mais o menino? Quantos tazos, tem a menos a menina?

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 Exemplos de questões que requerem pensamento multiplicativo: Que

parte de uma dúzia de tazos tem a menina? Que parte de uma dúzia de tazos tem o menino? Ambos os meninos têm 3 super tazos, qual a percentagem que cada criança tem de super tazos?

No trabalho em sala de aula, Oliveira e Garcia (2013) consideram como propostas de ensino relevantes aquelas que promovem a negociação de diferentes significados da representação , que devem ser aplicadas em diversos contextos para desenvolver o raciocínio proporcional e resolvidas recorrendo a estratégias de resolução que vão além da aplicação mecânica do produto cruzado. Para as autoras, o conceito de razão em diversos contextos não tem tido a atenção suficiente no ensino. Este cinge-se à reprodução mecânica de regras algébricas em detrimento da investigação e interpretação da situação que envolve um determinado problema e que estimula o pensamento proporcional. As autoras consideram importante a resolução e discussão de tarefas que promovam a negociação do significado de razão, construído pelos alunos. De forma semelhante, Dole et al. (2012) indicam que, de modo a realizar um ensino para compreensão e promotor do raciocínio, é essencial proporcionar aos alunos oportunidades de aprendizagem para que explorem e discutam várias experiências que desencadeiam o saber formar situações proporcionais usando linguagem multiplicativa, considerado como indicador de raciocínio proporcional.

Lamon (2012) refere que diversos estudos mostram que, se desde cedo o ensino proporcionar experiências reais para que os alunos trabalhem com frações, com tarefas envolvendo o “partir/repartir a unidade”, isso promove a compreensão básica de número racional e os alunos aprofundam essa compreensão, tal como o raciocínio proporcional. Considera que o trabalho e a exploração conceptual de razões e proporções são uma base para o ensino e aprendizagem.

Pelo seu lado, Gurl, Artzt e Sultan (2013) defendem que a exploração de tarefas de nível crescente de exigência que trabalhem razões e proporções permitem a construção dos seus conceitos de razão e de proporção com a subjacente comparação multiplicativa. Este tipo de tarefas, para além de permitir começar a estabelecer bases para o conceito de razão, desenvolve o pensamento proporcional dando aos alunos oportunidade de perceberem a necessidade de efetuarem comparações relativas e constatarem a diferença entre estas e as comparações aditivas. Progressivamente, uma outra tarefa deve encorajar o uso de variáveis quando os alunos desconhecem uma

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quantidade. Neste caso, podem atribuir um valor e desta forma estão a criar flexibilidade de pensamento e a tomarem decisões sobre comparações.

O uso de diversas representações é um aspeto importante das tarefas a desenvolver. Segundo Gurl, Artzt e Sultan, (2013) um processo para trabalhar o conceito de razão decorre de representações de situações de vida real, do uso do valor unitário e de várias representações para resolver problemas, incluindo tabelas, gráficos e equações e percentagens. Trabalhar com estas representações permite a realização de comparações e o desenvolver várias maneiras de raciocinar.

Dole (2008) ressalta a importância do uso de tabelas para apoiar o desenvolvimento do raciocínio proporcional. Para ajudar os alunos a desenvolver estratégias mentais e apoiar as estratégias de pensamento para resolver problemas de proporção, a autora defende o uso de tabelas. As tabelas de relação incentivam a utilização de estratégias de número, como reduzir para metade, duplicar e multiplicar por 10. Uma tabela de relação é uma ferramenta que auxilia o atender e o identificar da relação entre duas quantidades. Pelo uso de tabelas de proporção, os alunos podem ser guiados a explorar o número de padrões e relacionamentos que ocorrem na tabela e considerar por que a relação entre as quantidades é multiplicativa.

Também Cramer, Post e Currier (1993) referem que, a partir das tabelas, os alunos têm a oportunidade de ver os diferentes padrões de números dentro e entre os espaços de medida, inerentes às situações proporcionais. Partindo de uma tabela, a construção do gráfico destaca a ideia de que em todas as situações proporcionais formam uma linha reta que passa pela origem. Ao comparar os padrões de números e gráficos de situações proporcionais e não proporcionais os alunos podem ver que situações proporcionais apresentam características únicas.

Por outro lado, Cramer, Post e Currier (1993) atendem a estudos que mostram que, para minimizar dificuldades dos alunos, estes podem efetuar experiências físicas com situações proporcionais e não proporcionais. Em tarefas de natureza exploratória, os alunos recolhem dados e elaboraram tabelas e gráficos, determinando regras para relacionar pares de quantidades, em que . Este tipo de atividade permite a evolução da compreensão sobre lidar com fator multiplicativo não inteiro e melhora o desempenho em situações cujo contexto não seja familiar.

De la Cruz (2013) destaca a importância em atender ao contexto e à estrutura numérica, ao selecionar tarefas voltadas para o raciocínio proporcional. Considera que os professores devem envolver os seus alunos em situações de resolução de problemas.

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Inicialmente, o objetivo deve incidir no desenvolvimento da compreensão da proporcionalidade e da relação multiplicativa entre razões. As tarefas iniciais devem apresentar uma estrutura numérica que envolva números inteiros, para que as relações multiplicativas sejam facilmente percebíveis. O contexto do problema deve ser familiar aos alunos para que, mais facilmente adquiriram o sentido da proporcionalidade. Os professores, ao selecionar tarefas, devem atender à estrutura numérica e ao contexto, aspetos que influenciam o pensamento dos alunos e a forma, deles próprios, descobrirem modos de resolver os problemas.