Lamon (2012) afirma que ter raciocínio proporcional é ser capaz de lidar com situações onde existe uma relação invariante (constante) entre duas quantidades ligadas mas que variam juntas. Pelo seu lado, Cramer, Post e Currier (1993) salientam como componente crítica das situações proporcionais a relação multiplicativa que existe entre dois espaços de medida, como por exemplo: M1 (número de maçãs) e M2 (preço). Esta relação apresenta-se de dois modos:
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Relação multiplicativa entre quantidades em dois espaços de medida M1 (
) e M2 ( ), isto é M1 = k M2 e suas respetivas quantidades e neste
caso o fator multiplicativo ( ) é constante, o valor unitário ( ocorre que ) (invariância). A representação gráfica desta situação apresenta sempre uma linha reta que passa pela origem e inclina-se para a direita. Em representação de fração, pode apresentar diferentes razões que são apresentadas como frações equivalentes em que a forma irredutível é a razão unitária (valor unitário).
Relação multiplicativa dentro das duas quantidades de cada um dos
espaços de medida: M1 (
) e M2 ( ), sendo que ( , ocorre que ), neste caso não representa um valor unitário mas corresponde a “quantas vezes se aumenta a quantidade a para chegar a b então aumenta-se c o mesmo número de vezes para dar d” (covariância).
A complexidade do raciocínio proporcional requer flexibilidade na forma de pensar e exige o envolvimento de vários conceitos fortemente interligados (Service Ontario, 2012) tal como se ilustra na Figura 1.
Figura 1. - Conceitos interligados no raciocínio proporcional (Service Ontario, 2012, p.4).
As interligações apresentadas proporcionam uma compreensão de cinco conceitos que integram o raciocínio proporcional, nomeadamente:
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(i) Unitização e raciocínio espacial, envolvendo ser capaz de visionar uma quantidade particular, fazendo agrupamentos. É fundamental para desenvolver o conceito de valor unitário uma vez que “a capacidade de usar unidades compostas é uma das diferenças mais óbvias entre os alunos que trabalham bem com proporções, daqueles que não o fazem”.
(ii) Pensamento multiplicativo, ser capaz de raciocinar simultaneamente sobre várias ideias ou quantidades. Requer pensar em situações em termos relativos em vez de termos absolutos. Ajuda os alunos a fazerem transição do pensamento aditivo para o pensamento multiplicativo que deverá ocorrer o mais cedo possível.
(iii) Compreensão das relações entre quantidades e da sua alteração, o que envolve relacionar quantidades em termos relativos e perceber a relação de covariância, ou seja, perceber como a variação de uma quantidade coincide com a variação da outra. Este conceito de relacionar e alterar quantidades desempenha um papel central em nossas vidas diárias e é essencial ao desenvolvimento do pensamento algébrico.
(iv) Divisão, medição, taxas unitárias e raciocínio espacial, conceitos ligados ao raciocínio proporcional porque envolvem a divisão de um todo em partes iguais, determinando a comparação relativa, ou seja, a comparação das medidas de duas coisas diferentes através de estratégias como estimar e verificar, medir, efetuar divisões sucessivas de uma unidade. A compreensão de porções iguais, valores relativos e taxas é a pedra angular da matemática e das situações do dia-a-dia. Atividades de divisão, partição, exigem o uso de estratégias de equivalência e permitem avançar no seu nível de transição do pensamento aditivo para o multiplicativo.
(v) Compreensão dos números racionais: Os números racionais, que se podem representar por frações, são um desafio para a compreensão dos alunos, uma vez que representam números expressos em relação a outros números, em vez de quantidades fixas, como números inteiros. As frações são o suporte para a compreensão da Álgebra.
O percurso de desenvolvimento do raciocínio proporcional permite a aquisição de diversas capacidades. Procurando salientar as suas características mais importantes, Lamon (2012) indica que os alunos, usualmente:
Não pensam unicamente em termos de uma unidade ou de taxas unitárias, tais como
mas pensam em termos de
unidades complexas, aplicando a razão não reduzida à unidade [unidade composta]
.
Exibem maior eficiência na resolução de problemas pois possuem a capacidade de pensar em termos de unidades compostas, por exemplo, em casos em que o preço unitário produz dízimas infinitas. Se 3 laranjas custam 0,68€, é mais eficiente pensar no preço de 12 laranjas como 0,68€ 4 (4 grupos de 3), ou seja 2,72€
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Compreendem a equivalência e o mesmo valor relativo.
Observam uma unidade exibida em uma matriz e veem imediatamente quantos objetos estão em
, …
Interpretam quantidades de forma flexível. Por exemplo, sabendo que 3 maçãs custam 24 cêntimos, interpretam que o custo por maçã é de 8 cêntimos ou que de maçã custa 1 cêntimo. Prestam atenção ao valor por unidade.
Apresentam flexibilidade no trabalho com frações e números decimais.
Desenvolvem estratégias (às vezes estratégias pessoais) para lidar com problemas como encontrar frações situadas entre duas determinadas frações.
Usam mentalmente divisores exatos, com vantagens no cálculo. Por exemplo para determinarem facilmente relacionam esta fração com , ou para determinar 80% relacionam esta percentagem com 10% ou 20%.
Têm o sentido de covariação. Isso significa que conseguem analisar quantidades que se alteram em simultâneo, discutindo a direção de mudança (o que se alterou e como) e a taxa de mudança, e determinam relações que permanecem inalteradas.
Identificam contextos quotidianos em que as proporções são ou não são úteis. Distinguem situações proporcionais de não-proporcionais e não aplicam cegamente um algoritmo se a situação não envolver relações proporcionais.
Desenvolvem um vocabulário para explicar seu pensamento em situações proporcionais.
Usam estratégias escalares, raciocinando para cima e para baixo, tanto na descoberta do valor em falta como em problemas de comparação, trabalhando com quantidades expressas em frações, numerais decimais ou em percentagens.
Entendem, no 7.º ou 8.º ano, as relações em situações proporcionais simples e inversamente proporcionais, podendo descobrir por si mesmos o algoritmo de multiplicação e divisão cruzada.
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