sempre antes de dar uma resposta, pedi que sentassem em trios para
tentarem, em grupo, sugerir respostas ou novas perguntas. Os alunos
nesse momento demonstraram bastante dispersão. Talvez já se tivesse
feito bastante por aquele período.
Numa outra aula retomamos a atividade do ponto em que paramos: discussão sobre ângulos opostos pelo vértice a partir dos exemplos dados. A exposição de perguntas e respostas entre alunos e, também, as minhas intervenções nesse momento, seguiram os moldes do que já fora apresentado em relato anterior sobre ângulos adjacentes. Porém, a provocação em favor da formação de um conceito para “o que são ângulos opostos pelo vértice” a partir das hipóteses construídas pelos alunos através dos exercícios propostos não teve o mesmo resultado que o anterior. Os alunos conseguiram identificar os pares de ângulos opostos pelo vértice tanto na representação gráfica quanto na algébrica, mas não foi possível compor um registro conceitual sobre o assunto usando das generalizações dos padrões gerados pelos exercícios, como foi feito para ângulos adjacentes.
Esse resultado não foi frustrante nem para mim, nem para os alunos, pois a concretização do conceito matemático descrito formalmente prescinde das ponderações feitas pelos alunos sobre suas próprias produções. Essa ponderação, de fato, foi qualitativamente desenvolvida pelos alunos considerando a renovação das respostas que eram dadas, as quais ultrapassavam a colocação de erros repetitivos, demonstrando um tipo de aprendizagem que admite a
construção do aluno em seus próprios percursos e não em função de exigência matemática formal predeterminada e regida apenas por abstrações conceituais.
Durante a realização das tarefas focadas nas questões 2 e 3, volta e meia vinha à tona a curiosidade em medir os ângulos. A questão 1 cita o posicionamento “perpendicular” entre duas peças e que, por sua vez, formam um ângulo de 90 graus. Essa medida não era tão estranha ao grupo por, como eles próprios disseram, já terem ouvido falar em alguma situação do dia-a-dia. Porém, ela teve mais sentido quando, ao invés de usar o termo ”ângulo de 90 graus”, usei “ângulo reto”. A palavra “reto”, seja a partir do caso da junção de peças ou de outras situações às quais os alunos se reportaram (como talas em forma de cruz usada para a construção de papagaios11), intuitivamente, leva a pensar em numa
junção angular condizente com a medida de 90 graus.
Passamos então a explorar o transferidor. Cada aluno, de posse desse instrumento, fazia colocações das mais diversas formas, algumas delas foram:
Isto parece meia lua. O sol nascendo e essas linhas são os raios, só que do sol a gente não vê, só sabe, e aqui a gente vê.
Eu tô vendo o número 90 aqui. Isso é o 90 graus? E esses outros números? Isso parece com uma régua boleada.
Aqui [questão 1] tá dizendo que a quilha e o cadastro tem 90 graus. Os mestres têm esse transferidor? Pra fazer papagaio não é preciso isso [transferidor].
A partir dessas colocações fiz alguns esclarecimentos sobre a estrutura do transferidor, apontando a medida de 90 graus como um marco na classificação
dos ângulos, pois ângulos menores e maiores que noventa graus possuem, respectivamente, um nome classificatório em função dessas dimensões, que são os ângulos agudos e obtusos. Os alunos não tiveram grandes dificuldades em gravar esses nomes e identificar essa classificação tanto na representação ilustrativa do barco em construção, quanto em outros exemplos que lhes foram dados ou solicitados.
No entanto, a utilização desse instrumento para a medição de ângulos em desenhos, tanto através de exercícios oferecidos, quanto através de suas próprias criações, foi uma tarefa ao mesmo tempo estimulante e difícil. Porém, aos poucos os alunos iam se familiarizando não só com o manuseio do transferidor, mas também com o significado daquelas medidas em relação às possíveis situações as quais elas poderiam ser usadas para além da construção do barco. Isso ficou reconhecido de forma mais nítida através das respostas dadas à questão 5. Entre elas cito os seguintes registros:
O encontro da parede e do teto tem um ângulo reto. [Emerson]. A ponta do lápis é um ângulo agudo. [Érica].
A janela precisa ter ângulo de noventa graus senão não dá certo, sai do esquadro. [Lúcio].
Da ponta do barco também tem que se um ângulo agudo, senão ia ficar muito aberto e não ia ser barco, ia ser bacia. [Ellen].
O canto lá dá praça é muito aberto, acho que é um ângulo obtuso. [Keila]. Os engenheiros devem usar muito esse negócio de transferidor pra fazer as plantas de casa, né? [Daiane].
Após esse período de atividades centradas em aulas expositivas, voltamos ao laboratório de informática para novas consultas ao CD. A atividade 7,
definitivamente, foi a mais complexa tarefa com que os alunos se depararam. O intuito da questão era de se trabalhar, através da experimentação em primeira forma, a construção de ângulos suplementares. Porém, dada à apresentação incisiva da referida questão, não foi possível que a discussão se projetasse a partir dela, o que gerou um retorno aos desenhos já realizados em tarefas anteriores para que, a partir desses, fossem sendo especulados como se chegar a um ângulo de 180 graus através da composição de ângulos adjacentes.
De posse do transferidor, os alunos foram capazes de verificar quando os ângulos somavam 180 graus, ou não, mas, quando solicitados a pensarem uma forma de encontrar um ângulo suplementar a outro sem que fosse necessário o uso do transferidor, demonstravam insegurança em confirmar os resultados encontrados. Parece que o instrumento, e não a conjectura matemática implícita nesse uso, estava mais fortemente presente nos encaminhamentos construídos pelos alunos naquele momento. Apenas dois alunos concluíram, ainda com reticências, que se um ângulo tiver uma certa medida, o outro adjacente a ele tem que ter um valor tal que complete essa medida até dar 180 graus.
Imaginar sobre as conseqüências que sofreriam os barcos, em função de uma dada alteração na medida angular entre duas peças frontais que o compõe, provocou, novamente, um retorno dos alunos à indicação da experimentação empírica como única fonte segura para gerar uma resposta certa. Os alunos foram unânimes em afirmar que só construindo um barco “esquisito” como aquele que estava sendo proposto na questão 8 para se saber o que aconteceria com ele. É certo que a conjectura subjacente a essa questão estava muito mais ligada aos aspectos físicos (velocidade, atrito) que aos matemáticos.
Porém, o pensamento imaginativo, o levantamento de hipóteses e a especulação sobre os possíveis resultados, todos são, também, aspectos pertinentes à desenvoltura do pensamento matemático. No entanto, esses aspectos não foram ressaltados pelos alunos ao se depararem com a atividade. Após algumas discussões, todos preferiram falar com um mestre antes de qualquer conclusão.
Ficou decidido que essa seria uma tarefa para ser realizada num horário extra, pois os alunos já reclamavam das dificuldades que estavam sentindo por terem que se dedicar às tarefas escolares (já estavam em período de provas) e, ao mesmo tempo, realizar as atividades propostas pela pesquisa. No entanto, a consulta aos mestres, como fora previsto, não aconteceu. Apenas um dos alunos conversou com um parente, também construtor de barcos, que morava próximo a sua casa a fim de subsidiar melhor suas próprias conclusões. Disse-nos que, se a alteração proposta fosse feita, a estabilidade e a velocidade do barco estariam comprometidas. Agora, se a abertura angular fosse maior, não haveria grandes problemas, apenas o barco atenderia uma especificidade comum a esse tipo de design, seria um barco de “carrera” (mais favorável ao deslizamento e menos propício a cargas pesadas). Esse dado foi aceito pelo grupo sem maiores intervenções.
O tempo combinado para a realização das atividades pedagógicas estava se esgotando. Ainda precisávamos concluir as questões 9 e 10. No intuito de se melhor aproveitar o tempo restante, algumas indicações foram feitas: o material necessário para a questão 9 (compasso e régua) deveria ser trazido nos próximos encontros e; a pesquisa sobre os paneiros e matapis (cestos artesanais da região), citados na questão 10, deveria ser realizada em um horário extra aos encontros já marcados.
A dificuldade em desenvolver algum tipo de atividade fora dos horários de encontros na escola permanecia. Para a atividade 9, o material solicitado sempre era esquecido. Tratei de levar algumas réguas e compassos para sanar o problema. Através da consulta ao CD sobre a questão 9, os alunos viram fotos do compasso de carpintaria e se reportaram à visita que fora feita ao estaleiro. Alguns lembraram até de ter visto um desses modelos por lá.
Os mestres usam o compasso não só como meio de se riscar na madeira figuras circulares, mas também como padrão de medida entre distâncias lineares pequenas, compatíveis à abertura das hastes do compasso, como a distância entre dois pontos que orientam a colocação de pregos. Os alunos ficaram interessados nessa informação e começaram a fazer desenhos de retas e a usar seus compassos para fazer tarefas semelhantes à dos mestres, marcando pontos eqüidistantes.
Porém, o potencial desse instrumento para o desenho de figuras circulares foi o que mais interessou aos alunos. Faziam desenhos livres compondo figuras circulares interceptadas umas com as outras, em composição com outras figuras circunscritas ou inscritas nas circunferências, e outras mais. Pedi que eles verificassem se havia relações entre o transferidor e a circunferência. Após algumas conversas, uns apontaram que o transferidor “pequeno” (180o) também era uma meia-lua e que o transferidor “grande” (360o) era a circunferência completa. Também relacionaram a formação de raios da circunferência com os padrões de medidas destacados no transferidor. Por fim, concluíram que, para se medir ângulo, nem o compasso e nem a régua seriam adequados, e ainda que, nas palavras de um dos alunos:
Os mestres usam o compasso porque a abertura dele é firme, então dá pra usar várias vezes sem ficar diferente, mas se tivesse que medir ângulos, não dava pra ser com o compasso, nem com a régua, só o transferidor. Mas pra eles mesmos, acho que nem o transferidor. Basta o olho mesmo, não precisa ser assim tão... porque eles já estão acostumados do jeito deles e dá certo. (L. – aluno do grupo).
O estudo sobre ângulos também foi abordado dentro de uma perspectiva cultural. A décima e última questão pertencente à atividade 8 descrita no CD tem esse pressuposto. Já foi dito que o material citado na questão (cestos de palha: paneiros e matapis) deveria ser pesquisado pelos alunos. No entanto, eles reclamavam de outros afazeres tais como estudos para a realização das provas na escola e, principalmente, do envolvimento (em maioria) em um evento de grande importância regional, a festividade do Círio de Nazaré12.
Minhas expectativas, mais uma vez, não foram concluídas em relação a essa tarefa, pois as últimas aulas ficaram limitadas à exploração das informações contidas na questão 10, bem como alguns esclarecimentos feitos de forma expositiva sobre o significado de “entrelaçamento” e “hexagonal”. Os alunos demonstraram grande empenho em conhecer as características artesanais dos objetos citados no CD e as possíveis relações entre essas características e aquelas pertencentes aos objetos (cestos) regionais. No entanto, a exploração matemática não despertou maiores interesses. Os encontros da intervenção pedagógica com fins de aplicabilidade das atividades previstas foram cessados a partir desse momento.
12 Festividade católica que começa na segunda semana do mês de outubro, perdurando todo o
mês. Mobiliza romeiros de muitos Municípios do Pará, os quais costumam se preparar durante o ano inteiro para esse momento. As viagens, sobretudo as fluviais, se intensificam nesse período.
Num dos nossos últimos encontros, fui abordada pelos alunos para que eu sugerisse alguma contribuição que estivesse ao meu alcance a ser usada na festinha de despedida que estavam organizando para mim. Fiquei agradecida com a iniciativa e me coloquei à disposição para auxiliá-los no que fosse preciso. Para minha primeira surpresa, já estava quase tudo organizado, não só entre os alunos que participaram da intervenção enquanto grupo, mas também entre os demais alunos da Turma A.
Minha segunda surpresa foi a homenagem que a mim prestaram, registrada no quadro de uma das salas de aula, onde ocorreu a festinha, retratada a seguir:
FOTO 7: Festa de encerramento da intervenção
pedagógica no Colégio
Os alunos, por várias vezes, agradeceram pelos momentos proporcionados a eles, tanto no que se referiam ao ensino-aprendizagem da matemática quanto às informações que diziam respeito às embarcações e, sobretudo, da relação disto tudo com a vida deles através do contato com os mestres-artesãos e com os saberes dessa prática da carpintaria naval.
Muitos alunos sugeriram que eu retornasse à escola, de preferência a partir do início das aulas para que pudessem, desde o começo, aprender matemática de forma mais interessante. Não usaram a palavra mais fácil. Pelo contrário, às vezes reportavam que determinado feito de aprender matemática proposto na intervenção, como ler as atividades que propunha e discutir com os colegas para investirem numa solução, parecia tão difícil quanto copiar exercícios do quadro e tentar resolvê-los (um tipo de tarefa mais comum a eles). Porém, a maneira praticada por nós, de acordo com os próprios alunos, fazia sentir um tipo de satisfação pessoal e, ao mesmo tempo, parte da construção do conhecimento matemático, algo não retratado nas vivências metodológicas que se limitam a seguir o modelo sugerido pelo professor, numa repetição de moldes cognitivos.