ire31613 signalbehandling sensorveiledning 23.11.20

(1)

SENSORVEILEDNING

Emnekode:

IRE31613

Emnenavn:

Signalbehandling

Eksamensform: Skriftlig eksamen

09.00 – 13.00

Dato:

23. November 2020

Faglærer(e): Geir Helge Sandsmark

Eventuelt:

(2)

2 Veiledende prosentfordeling for retting:

LØSNINGSFORSLAG på påfølgende sider.

0 40 F

40 50 E

50 60 D

60 80 C

80 90 B

90 100 A

(3)

3

EKSAMEN

Emnekode:

IRE31613

Emnenavn:

Signalbehandling Dato: 23.11.2020

Sensurfrist: 14.12.2020

Eksamenstid:

09.00 – 13.00 Antall oppgavesider:

5 (Inkludert forside) Antall vedleggsider:

1 Faglærer:

Geir Helge Sandsmark, mobil: 951 60 369

Hjelpemidler:

Ifeachor & Jervis (2002):

Digital Signal Processing - A Practical Approach - 2. ed. Pearson Prentice Hall. (Totalt eller kopi av utdrag)

James H. McClellan et al (2016):

Signal Processing First. . Pearson Prentice Hall.

Artikler etc.:

 Overview of Information Theory (Kopi Chapt. 16) Kalkulator, tegne og skrivesaker.

Om eksamensoppgaven:

Alle deloppgaver teller i utgangspunktet likt ved bedømming. Unntaket er oppgave 1d) som gi dobbel uttelling. Alle svar skal begrunnes.

Kandidaten må selv kontrollere at oppgavesettet er fullstendig

OPPGAVE - 1

Figuren under viser signalet s1(t).

(4)

4 Figur 1. Spektral framstilling av s1(t)

a) Skriv opp utrykket for signalet som en sum av cosinussignaler.

svar: s₁(t) = 1 + 8 cos(200πt) + 6cos⁡(24πt + π/6)

b) Er signalet periodisk? Finn i så fall grunnfrekvensen. Begrunn svaret.

Minste felles divisor for 12 Hz og 100 Hz er 4Hz, som er signalets grunnfrekvens

Figur 2. Spektral framstilling av s2(t) Figuren over viser signalet s2(t).

c) Skriv opp utrykket for signalet som en sum av cosinussignaler.

svar: s₂(t) = 10 cos(100πt + π) + 12cos⁡(20πt − π/2)

(5)

5

d) Beregn signalet s3(t)= s1(t) s2(t) (Produktet av signalene over). Skriv resultatet og som en sum av cosinussignaler.

(Denne oppgaven gir doble poeng ved riktig besvarelse)

Hint: Utfør mulitplikasjonen med signalene på cosinusformen (svarene fra a) og c)) og dernest bruke trigonometriske identiteter fra tabell 2-2 i vedlegget.

svar:

s₃(t) = [1 + 8 cos(200πt) + 6cos⁡(24πt + π/6)][10 cos(100πt + π) + 12cos⁡(20πt − π/2)]

Det blir 6 delprodukter av å multiplisere leddene i parantesene med hverandre. Vi velger å bruke en linje for multiplikasjonen mellom «1» og siste parantes og en for hvert av de fire andre delproduktene:

L1: 10 cos(100πt + π) + 12cos⁡(20πt − π/2)

L2: 8 cos(200πt) 10 cos(100πt + π) = 40[cos(200πt + 100πt + π) + cos(200πt − 100πt − π)]

L3: 8 cos(200πt) 12 (cos⁡(20πt −^π

2)) = 48[cos(200πt + 20πt − π/2) + cos(200πt − 20πt + π/2)]

L4:⁡6 (cos⁡(24πt +^π

6)) 10 cos(100πt + π) = 30[cos (24πt +^π

6+ 100πt + π) + cos (24πt +^π

6− 100πt − π)]

L5:

6 (cos⁡(24πt +^π

6)) 12 cos(20πt − π/2) = 36[cos (24πt +^π

6+ 20πt − π/2) + cos (24πt +^π

6− 20πt + π/2)]

Ved å trekke sammen argumentene for cos() får vi:

⁡s₃(t) = 10 cos(100πt + π) + 12 cos (20πt −π

2) + 40 cos(300πt + π) + 40 cos(100πt − π) + 48 cos(220πt − π/2) + 48 cos(180πt + π/2) + 30 cos (124πt +7π

6) + 30 cos (76πt −5π 6) + 36 cos(44πt − π/3) + 36 cos(4πt + 2π/3)

Vi observerer nå at vi har to ledd med frekvens 50 Hz og en fasevinkel for en annen komponent utenfor intervallet mellom –π og π. Vi observerer samtidig at en faseforskyvning med -π er ekvivalent med faseskift på π.

Gjennomføring av disse forenklingene gir endelig svar:

s₃(t) = 50 cos(100πt + π) + 12 cos (20πt −π

2) + 40 cos(300πt + π) + 48𝑐𝑜𝑠(220πt − π/2) + 48 cos(180πt + π/2) + 30 cos (124πt −5π

6) + 30 cos (76πt −5π

6 ) + 36 cos(44πt − π/3) + 36 cos(4πt + 2π/3)

e) Skriv resultatet fra d) som sum av komplekse eksponensialfunksjoner Svar: Ordnet etter stigende frekvens blir s3(t)

20𝑒^{−𝑗300𝜋𝑡−𝜋}+ 24𝑒−𝑗220𝜋𝑡+𝜋/2+ 24𝑒−𝑗180𝜋𝑡−𝜋/2+ 15𝑒−𝑗124𝜋𝑡+5𝜋/6+ 25𝑒^{−𝑗100𝜋𝑡−𝜋}+ 15𝑒−𝑗76𝜋𝑡+5𝜋/6

+ 18𝑒^{−𝑗44𝜋𝑡+𝜋/3}+ 6𝑒^{−𝑗20𝜋𝑡+𝜋/2}+ 18𝑒^{−𝑗4𝜋𝑡−}^2𝜋³ + 18𝑒^{𝑗4𝜋𝑡+}^2𝜋³ + 6𝑒^{𝑗20𝜋𝑡−𝜋/2}+ 18𝑒^{𝑗44𝜋𝑡−𝜋/3} + 15𝑒^{𝑗76𝜋𝑡−5𝜋/6}+ 25𝑒^{𝑗100𝜋𝑡+𝜋}+ 15𝑒𝑗124𝜋𝑡−5𝜋/6+ 24𝑒^{𝑗180𝜋𝑡+𝜋/2}+ 24𝑒^{𝑗220𝜋𝑡−𝜋/2}

+ 20𝑒^{𝑗300𝜋𝑡+𝜋} f) Tegn spekteret til dette signalet.

Hint: Ved inspeksjon av figurene 1 og 2 er det mulig å avgjøre hvilke frekvenskomponenter som finnes i s3(t).

Husk at et produkt av sinusoider resulterer i komponenter som har frekvenser lik summen av og differansen mellom komponentene. Tegn et spekter med de komponentene du finner ut at skal inneholdes i s3(t) selv om du ikke har løst regnestykkene i d) og e). Da har du også det du trenger for å løse deloppgavene g) til l)

Svar på hintet: Produktet danner signaler med alle sum- og differansefrekvenser fra s1(t) og s2(t). Vi observerer at DC-komponenten fra s1(t) medfører at komponentene fra s2(t) beholdes i produktet. Komponenten på 50 Hz blir addert til det ene intermodulasjonsproduktet mellom 100 Hz komponenten i s1(t) og 50 Hz komponenten i s2(t). Vi sitter da igjen med komponenter på frekvensene: 2,10,22,38,50,62,90,110og150 (alle i Hz)

(6)

6

g) Hva er den høyeste frekvensen som forekommer i s3(t). Begrunn svaret.

Svar: 150 Hz: Summen av de to høyeste frekvensene i s1(t) og s2(t).

h) Hva er perioden til s3(t)? Begrunn svaret

Svar: 0,5s. 2 Hz er den laveste frekvensen i signalet, som samtidig er delbar med alle øvrige frekvenser.

i) Hvordan går det hvis signalet s1(t) skal samples med en frekvens på 250 Hz? Skisser spekteret for normalisert vinkelfrekvens: –π < 𝜔̂ < π.

Svar: Spekteret vist i figur 1 beholdes. 125 Hz svarer til 𝜔̂ = π.

j) Skisser frekvensspekteret til signal framkommet ved at signalet s3(t) (produktet fra oppgave 1d)) samples med 250 Hz.

(7)

7 k) Kommenter det skisserte spekteret fra j). Hva har skjedd?

Svar: Komponenten(e) over 125 Hz vil foldes inn på frekvensen -250 Hz + 150 Hz = - 100 Hz og komponenten under -125 Hz foldes inn på 250 Hz – 150 Hz =100 Hz

l) Hva må samplingsfrekvensen minst være for å unngå foldningsfeil ved sampling av s3(t)? Begrunn svaret.

Svar: Minst 300 Hz for å tilfredstille samplingsteoremet, minst 2x høyeste frekvenskomponent

OPPGAVE - 2

Vi har et LTI system med h[n] = {0,1,2,1,0,..} og x[n] = {0,0,-1,0,1,0,0..}

Figur 1. LTI system på diskret form.

a) Skriv opp formelen for å beregne y[n], gitt h[n] og x[n]

Svar: 𝑦[𝑛] = ∑^𝑁−1_𝑘=0ℎ(𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘) b) Finn y[n].

Svar: {0,0,0,-1,-2,0,2,1,0,0…}

c) Plott y[n] og x[n].

OPPGAVE – 3

Figur 3 LTI Filter for oppgave 3

Figur 3 viser et filter med koeffisienter gitt i trekantboksene.

a) Finn impulsresponsen h[n] for filteret Svar: {0,5 1 1 1 0,5}

b) Finn overføringsfunksjonen H(z) for filteret Svar: H(z)=0,5+z

^-1

+z

^-2

+z

^-3

+0,5z

^-4

c) Filteret har et dobbelt nullpunkt for z=-1. Finn øvrige nullpunkter for filteret. Hint: Bruk polynomdivisjon for å redusere ordenen til polynomet du må finne nullpunktene til.

Svar: Det doble nullpunktet gir divisorpolynom (z+1)(z+1)=z

²

+2z+1

h[n]

x[n] y[n]

(8)

8

z

⁴

H(z)/( z

²

+2z+1)=0,5z

²

+0,5 som har røtter for z=-j og z=j. Dette er de to øvrige nullpunktene d) Tegn et plott som viser alle nullpunktene i z-planet

e) Plott H(𝑒

^𝑗𝜔^̂) med tallverdi (magnitude) og fase for området ˆ 

.

Hint1: Utled utrykkene for de to andregradspolynomene hver for seg og multipliser resultatet Hint2: For faseberegningene kan det være nyttig å bruke formlene i linjene 1 og 2 i tabell 2-2 i vedlegget med θ=

𝜔̂

/2

Bruk kalkulator til hjelp og tegn av bildet i besvarelsen

f) Vi modifiserer filteret ved å flytte de nullpunktene som ikke ligger på den reelle aksen langs enhetssirkelen. Vi velger et komplekskonjugert polpar slik:

𝑧₁ = 𝑒^{−𝑗2𝜋/3}

og 𝑧

₂ = 𝑒^𝑗2𝜋/3

Finn impulsresponsen (eller ekvivalent, z-transformen på polynomisk form) for det modifiserte filteret

Svar:2.gradspolynomet med røtter som gitt blir z

²

-2cos(2𝜋/3)z+1=z

²

+z+1. Resulterende polynom blir (z

²

+z+1)( z

²

+2z+1)=z

⁴

+2z

³

+z

²

+z

³

+2z

²

+z+z

²

+2z+1= z

⁴

+3z

³

+3z

²

+3z+1. Dette gir

H(z)=1+3z

^-1

+3z

^-2

+3z

^-3

+z

^-4

g) Plot H

mod

(𝑒

^𝑗𝜔^̂) for det nye filteret med tallverdi (magnitude) og fase for området ˆ 

Bruk kalkulator til hjelp og tegn av bildet i besvarelsen

(9)

9

h) Kommenter observerte likheter og forskjeller mellom responsene.

Svar:Vi ser at nullpunktet har flyttet seg mot en høyere frekvens. Vi ser også at fasekarakteristikkene er like

OPPGAVE – 4

Figur 4 LTI-filter

a) Skriv opp differensligningen for filteret i figur 5 Svar:y[n]=0,9y[n-1]+x[n]+x[n-1]

b) Finn overføringsfunksjonen H(z) for filteret

Svar: Fra differensligningen ser vi Y(z)=0,9z

^-1

Y(z)+X(z)+z

^-1

X(z).

Samling av Y på høyre side og divisjon gir H(z)=Y(z)/X(z)=(1+ z

^-1

)/(1-0,9 z

^-1

) c) Finn nullpunktene til H(z)

Svar: z=-1

d) Finn polene til H(z)

Svar: z=0,9

(10)

10

e) Plott poler og nullpunkter i z-planet

f) Plott H(𝑒

^𝑗𝜔^̂) med tallverdi (magnitude) og fase for området ˆ 

Bruk kalkulator til hjelp og tegn av bildet i besvarelsen

g) Hva slags filter er dette?

Svar: Det er et lavpassfilter, pol i 0 og nullpunkt i 𝜔

̂ = π

h) Finn impulsresponsen til filteret

Svar: Her det flere veier fram. Linearitetsargumentet kan brukes til å bytte rekkefølge på rekursiv del

og foroverkoblet del. Da blir utgangen en sum av impulsresponsen til rekursiv del og en tidsenhets

forsinket versjon av samme. h(0)=1, h[n]=a

ⁿ

+ a

^n-1

=(1+a) a

^n-1

for n≥1

(11)

11 OPPGAVE – 5

Figur 5 LTI filter

a) Skriv opp differensligningen for filteret i figur 5 y[n]=1,3 y[n-1]-0,5 y[n-2]+0,5 x[n]+ x[n-1]+0,5 x[n-2]

b) Finn overføringsfunksjonen H(z) for filteret

Svar: Fra differensligningen ser vi Y(z)=1,3z^-1 Y(z)- 0,5z^-2 Y(z)+0,5X(z)+z^-1 X(z)+ 0,5z^-2 X(z) Y(z)- 1,3z^-1 Y(z)+ 0,5z^-2 Y(z)= 0,5X(z)+z^-1 X(z)+ 0,5z^-2 X(z)

H(z)=Y(z)/X(z)=(0,5+ z^-1+0,5 z^-2)/(1-1,3z^-1+0,5z^-2)

c) Finn nullpunktene til H(z)

Svar: Løser ligningen 0,5z²+z+0,5=0=z²+2z+1=(z+1)(z+1) : dobbel rot for z=e^jπ

d) Finn polene til H(z)

Svar: Løser ligningen z

²

-1,3z+0,5=0 : z=1,3/2±0,5√(1,3)

²− 4 ∗ 0,5 ,

z=0,65±j0,42

e) Plott poler og nullpunkter i z-planet

f) Hva slags filter er dette?

(12)

12

Svar: Lavpassfilter med resonans.

(13)

13