EKSAMEN
Emnekode:
IRE31613
Emnenavn:
Signalbehandling Dato: 23.11.2020
Sensurfrist: 14.12.2020
Eksamenstid:
09.00 – 13.00
Antall oppgavesider:
5 (Inkludert forside) Antall vedleggsider:
1
Faglærer:
Geir Helge Sandsmark, mobil: 951 60 369
Hjelpemidler:
Ifeachor & Jervis (2002):
Digital Signal Processing - A Practical Approach - 2. ed. Pearson Prentice Hall. (Totalt eller kopi av utdrag)
James H. McClellan et al (2016):
Signal Processing First. . Pearson Prentice Hall.
Artikler etc.:
• Overview of Information Theory (Kopi Chapt. 16) Kalkulator, tegne og skrivesaker.
Om eksamensoppgaven:
Alle deloppgaver teller i utgangspunktet likt ved bedømming. Unntaket er oppgave 1d) som gir dobbel uttelling. Alle svar skal begrunnes.
Kandidaten må selv kontrollere at oppgavesettet er fullstendig
2 OPPGAVE - 1
Figuren under viser signalet s1(t).
Figur 1. Spektral framstilling av s1(t)
a) Skriv opp utrykket for signalet som en sum av cosinussignaler.
b) Er signalet periodisk? Finn i så fall grunnfrekvensen. Begrunn svaret.
Figur 2. Spektral framstilling av s2(t)
Figuren over viser signalet s2(t).
c) Skriv opp utrykket for signalet s2(t) som en sum av cosinussignaler.
d) Beregn signalet s3(t)= s1(t) s2(t) (Produktet av signalene over). Skriv resultatet og som en sum av cosinussignaler. (Denne oppgaven gir doble poeng ved riktig besvarelse)
Hint: Utfør mulitplikasjonen med signalene på cosinusformen (svarene fra a) og c)) og dernest bruke trigonometriske identiteter fra tabell 2-2 i vedlegget.
e) Skriv resultatet fra d) som sum av komplekse eksponensialfunksjoner
3 f) Tegn spekteret til dette signalet.
Hint: Ved inspeksjon av figurene 1 og 2 er det mulig å avgjøre hvilke frekvenskomponenter som finnes i s3(t). Husk at et produkt av sinusoider resulterer i komponenter som har frekvenser lik summen av og differansen mellom komponentene. Tegn et spekter med de komponentene du finner ut at skal inneholdes i s3(t) selv om du ikke har løst regnestykkene i d) og e). Da har du også det du trenger for å løse deloppgavene g) til l)
g) Hva er den høyeste frekvensen som forekommer i s3(t). Begrunn svaret.
h) Hva er perioden til s3(t)? Begrunn svaret
i) Hvordan går det hvis signalet s1(t) skal samples med en frekvens på 250 Hz? Skisser spekteret for normalisert vinkelfrekvens: –π < 𝜔̂ < π
j) Skisser frekvensspekteret til signal framkommet ved at signalet s3(t) (produktet fra oppgave 1d)) samples med 250 Hz.
k) Kommenter det skisserte spekteret fra j). Hva har skjedd?
l) Hva må samplingsfrekvensen minst være for å unngå foldningsfeil ved sampling av s3(t)? Begrunn svaret.
OPPGAVE - 2
Vi har et LTI system med h[n] = {0,1,2,1,0,..} og x[n] = {0,0,-1,0,1,0,0..}
Figur 1. LTI system på diskret form.
a) Skriv opp formelen for å beregne y[n], gitt h[n] og x[n]
b) Finn y[n].
c) Plott y[n] og x[n].
OPPGAVE – 3
Figur 3 LTI Filter for oppgave 3
Figur 3 viser et filter med koeffisienter gitt i trekantboksene.
h[n]
x[n] y[n]
4
a) Finn impulsresponsen h[n] for filteret b) Finn overføringsfunksjonen H(z) for filteret
c) Filteret har et dobbelt nullpunkt for z=-1. Finn øvrige nullpunkter for filteret. Hint:
Bruk polynomdivisjon for å redusere ordenen til polynomet du må finne nullpunktene til.
d) Tegn et plott som viser alle nullpunktene i z-planet
e) Plott H(𝑒
𝑗𝜔̂) med tallverdi (magnitude) og fase for området −ˆ +.
Hint1: Utled utrykkene for de to andregradspolynomene hver for seg og multipliser resultatet
Hint2: For eventuelle analytiske faseberegninger kan det være nyttig å bruke formlene i linjene 1 og 2 i tabell 2-2 i vedlegget med θ=
𝜔̂/2
Bruk kalkulator til hjelp og tegn av bildet i besvarelsen
f) Vi modifiserer filteret ved å flytte de nullpunktene som ikke ligger på den reelle aksen langs enhetssirkelen. Vi velger et komplekskonjugert polpar slik:
𝑧1 = 𝑒−𝑗2𝜋/3
og 𝑧
2 = 𝑒𝑗2𝜋/3Finn impulsresponsen (eller ekvivalent, z-transformen på polynomisk form) for det modifiserte filteret
g) Plot H
mod(𝑒
𝑗𝜔̂) for det nye filteret med tallverdi (magnitude) og fase for området +
− ˆ
Bruk kalkulator til hjelp og tegn av bildet i besvarelsen h) Kommenter observerte likheter og forskjeller mellom responsene.
OPPGAVE – 4
Figur 4 LTI-filter for oppgave 4
a) Skriv opp differensligningen for filteret i figur 5
b) Finn overføringsfunksjonen H(z) for filteret
c) Finn nullpunktene til H(z)
5
d) Finn polene til H(z)
e) Plott poler og nullpunkter i z-planet
f) Plott H(𝑒
𝑗𝜔̂) med tallverdi (magnitude) og fase for området −ˆ +Bruk kalkulator til hjelp og tegn av bildet i besvarelsen g) Hva slags filter er dette?
h) Finn impulsresponsen til filteret
OPPGAVE – 5
Figur 5 LTI filter
a) Skriv opp differensligningen for filteret i figur 5 b) Finn overføringsfunksjonen H(z) for filteret c) Finn nullpunktene til H(z)
d) Finn polene til H(z)
e) Plott poler og nullpunkter i z-planet
f) Hva slags filter er dette?
6
