16-00015-9-sfb10711---metode-1---matematikk-deleksamen---03.06.2016

(1)

e.

^).

Høgskoleni Østfold

EKSAMEN

Emnekode: Emnenavn:

SFB10711 Metode 1 —matematikk deleksamen

Dato: Eksamenstid:

3. juni 2016 4 timer

Hjelpemidler: Faglærer:

Kalkulator og vedlagt Hans Kristian Bekkevard formelsamling

Om eksamensoppgaven og poengberegning:

Oppgavesettet består av 8 sider inklusiv denne forsiden og vedlagt formelsamling.

Kontroller at oppgaven er komplett før du begynner å besvare spørsmålene.

Oppgavesettet består av 8 oppgaver. Alle oppgavene skal besvares og alle deloppgaver teller likt ved sensureringen.

Husk å vise utregning på alle svar.

Lykke til.

Sensurfrist: 24. juni 2016

Karakterene er tilgjengelige for studenter på Studentweb senest 2 virkedager etter

oppgitt sensurfrist. www.hiof.no/studentweb

(2)

Oppgave 1

Løs likningen x2 — 9 = 0 Løs likningssystemet:

/: x + 2y = —2 //: — 3x + y = —8

Løs likningen —2x2 + 6x + 8 = 0

-2x2+6x+8

Løs ulikheten > 0 x

Oppgave 2

Gitt f (x) = xs — x4 — 16x + 16

Finn funksjonsverdiene til x = —1 og x = 1, og bruk dette til å avgjøre om følgende polynomdivisjoner går opp eller ikke går opp:

f(x): (x — 1) f(x): (x + 1)

Foreta polynomdivisjonen f(x): (x — 1) Finn nullpunktene til f (x)

Oppgave 3

Angi svarene i denne oppgaven med 2 desimaler

Hvilket beløp må settes i banken i dag for at innestående etter 5 år skal være 40 000 med en årlig rente på 2 %?

Anta at du skal låne 40 000 som skal nedbetales som et annuitetslån med årlige terminer over en periode på 5 år og med en årlig rente på 2 %.

Hva er årlig terminbeløp?

Hva er restgjelden etter 3 år?

(3)

Angi svarene her som eksakte uttrykk og ikke som desimaltall

Løs likningen

ln(x2 — 2x + 1) = 0

Løs likningen e

x2

-21-1nx2(

) = x

2

Oppgave 5

Gitt funksjonen

f (x) = ——23 x3 + 3x2 + 8x

Finn x-verdiene til funksjonens maksimumspunkt og minimumspunkt Finn x-verdien og y-verdien til funksjonens vendepunkt

Finn når funksjonen er konveks og når den er konkav Finn tangentlikningen i vendepunktet

Oppgave 6

2 , -x'-3x2 Finn

f'(x)

når

f (x) =

3

ln (x)

Finn

f' (x)

når

f (x) = ln(6x7 + 6x6 + 6x

5

)

Oppgave 7

En virksomhet har følgende inntektsfunksjon og kostnadsfunksjon (for innkjøp og salg av en bestemt vare som kjøpes og selges i x kg)

1(x) = —0,04x2 +

^250x

K(x) = 0,05x2 + 25x + 30 625

Dersom det kjøpes og selges 125 kg, hva er da grenseinntekten og grensekostnaden?

Finn vinningsoptimum og maksimal profitt.

Finn kostnadsoptimum og minste enhetskostnad.

(4)

Oppgave 8

Gitt funksjonen

f (x, y) = ln(x2) + ln(y) + xy2

Finn de partielle deriverte av 1. orden Finn de partielle deriverte av 2. orden

En annen funksjon har følgende partielle deriverte av 1. og 2. orden:

(x, y) = 2xy —

8

f);(x) y) = x2 — 1 f(x, .Y) = 2.Y

y) = fy`x(x, y) = 2x f313, (x, y) =

0

Finn de stasjonære punktene.

Klassifiser de stasjonære punktene.

(5)

Formelsamling i Metode 1 (matematikkdelen)

Kapittel 1

Kvadratsetningene (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a — b)2 = a2 — 2ab + b2 (a + b)(a — b) = a2 — b2

Potensregning an • am = a'

an 1am = an-m (an)m = anm

Kapittel 3

abc formelen ax2 + bx + c = 0 gir røtter/løsninger

—b + Vb2 — 4ac

x = 2a

Andregradspolynomer Har ax2 + bx + c røttene r1 og r2 er og faktorisering

ax2 + bx + c = a(x — 7.1)(x —r2)

(6)

Kapittel 4

Bankformel

Aritmetiske rekke

Setter du inn et beløp A med rente r per år har beløpet vokst til A(1 + r)11

etter n år

Sum

S (n) = 2

eller

S(n) = n(a1+(n

—

1)d)

n(a1 +

an)

2

Geometrisk rekke Sum

1 — kr`

S(n) = al 1 — k

Kapittel 5

Kontinuerlig forrentning

At = AoeTt

Nåverdi av en

betalingsstrøm med n like betalinger av størrelse A og hvor første betaling er om en tidsperiode

1 — (1 + r)--n S = A

r

Terminbeløp ved

annuitetslån

A = K r

—(1 +

^—n

(7)

Definisjon av den

f (x + Ax) — f (x)

deriverte

f (x) = lim

AX

Derivasjon av en potensfunksjon

Deriverte av en konstant ganger en funksjon Derivert av en sum/differanse Produktregel

Kvotientregel

Kjerneregel

f (x) = xn

g (x) = k f (x)

h(x) = g (x) ± f (x)

(uv)' = u' • v + u • v'

(22)' Ul •V — U •121

—19) v2

f (x) = un f (x) = eu f (x) = ln(u)

f ' (x) = nx"

g ' (x) = k • f ' (x) h' (x) = g' (x) ± f' (x)

f' (x) = nu' • u' f' (x) = eu • u' f' (x) = 171•u' 1

Tangentformel

y

^—

f(a) = f' (a) • (x — a)

Elastisitet X

Elx f (x) =fx)- f (x)

(8)

Kapittel 7

Krumming

Vendepunkt

Andrederiverttesten

f" (x) _?_ 0 konveks f" (x) 0 konkav

f " (x)bytter f ortegn

La f (x) være en dobbeltderiverbar funksjon, og la a være ett tall slik at ^{f ' (a) =} 0. Da er

a et lokalt maksimumspunkt hvis f " (a) < 0 a et lokalt minimumspunkt hvis f " (a) > 0

Kapittel 8

Topp, bunn og sadel

Kortere navn A = fx;(x,y)

B = 1.3,' (x, ^3')

C = f3y(x,y)

Vi betrakter AC —B2

Resultatet

La f(x, y) være en to ganger deriverbar funksjon med kontinuerlige andreordens deriverte. Det kritiske punktet (xo, yo) er:

Et lokalt maksimum hvis AC —B2 > 0 og A < 0 Et lokalt minimum hvis AC —B2 > 0 og A > 0 Et sadelpunkt hvis AC —B2 < 0

Lagranges metode