igual a zero para algum agente i. Intuitivamente, existem alocações e…cientes que ignoram totalmente o bem-estar de alguns agentes e tais alocações só podem ser obtidas se pudermos associar um peso zero às funções de utilidades de tais agentes na de…nição de US. De
qualquer forma, a mensagem da proposição acima é que na maioria das vezes o máximo que uma função de utilidade social pode nos oferecer é a garantia que as escolhas feitas usando-se tal função serão e…cientes. Mas isto é muito pouco. Além de nós já termos outros métodos para identi…car alocações e…cientes, algumas alocações e…cientes não parecem aceitáveis sob um ponto de vista social. Na próxima seção nós analisaremos um problema um pouco diferente. Nós abordaremos a questão de como dividir recursos entre os diversos agentes em nossa economia de uma forma justa.
15.4 Alocações Justas
Nas seções anteriores nós vimos alguns resultados negativos a respeito de agregações de preferências a respeito de escolhas sociais. A mensagem que nós podemos tirar de tais resultados é que em geral o problema de agregar as preferências de diversos agentes de uma forma que pareça justa é muito complicado e não tem uma resposta muito satisfatória.
Nós estudaremos agora um problema um pouco diferente. Agora o problema será dividir uma certa quantidade de recursos entre diversos agentes de uma forma justa. Nós vamos ver que tal problema tem uma resposta bem mais satisfatória do que o problema de escolher uma alocação de bens públicos de uma maneira socialmente ótima.
Formalmente, suponha que tenhamos N agentes e K bens na nossa economia. A nossa economia tem uma dotação inicial agregada Aj de cada bem j. Suponha agora que a nossa
tarefa seja dividir tais bens de uma maneira justa e e…ciente. Provavelmente, ao receber tal tarefa a maioria das pessoas iria propor uma divisão igualitária dos recursos. Ou seja, a proposta mais natural seria oferecer a cesta de consumo A1=N; :::; AK=N para todos os
agentes. Ninguém pode argumentar que esta divisão seja injusta, a…nal de contas estamos tratando todos os agentes de forma absolutamente simétrica. Mas será que esta é uma divisão desejável de um ponto de vista social?
Considere o seguinte exemplo, um pouco exagerado, mas que ilustra bem por que esta divisão geralmente não é muito apropriada sob um ponto de vista social.
Exemplo 15.6. Suponha que tenhamos dois agentes e dois bens na nossa economia. As dotações iniciais agregadas dos dois bens são dadas por A1 = A2 = 1 e as funções de utilidade
dos agentes são dadas por
UA x1
A; x2A = x1A e UB x1B; x2B = x2B.
Ou seja, o agente A só se preocupa com o quanto ele consome do bem 1 e o agente 2 só se preocupa com o quanto ele consome do bem 2. No entanto, de acordo com a divisão igualitária acima os dois agentes iriam receber a cesta de consumo (1=2; 1=2). Isto é, o agente A iria receber 1=2 unidade do bem 2, o qual ele não dá a mínima importância e, similarmente, o agente B iria receber meia unidade do bem 1. É claro, que o problema com tal exemplo é que a divisão igualitária não é nem mesmo e…ciente no sentido de Pareto, o que nós já concordamos é uma condição mínima para uma alocação ser socialmente aceitável.
No exemplo acima nós vimos que a divisão igualitária dos bens na nossa economia em geral não tem que ser e…ciente no sentido de Pareto. Ainda assim, ninguém pode discordar que esta parece ser uma divisão justa. Tentemos agora encontrar a propriedade que faz com que tal divisão nos pareça justa. Que tal a seguinte de…nição?
De…nição 15.8. Dizemos que uma dada alocação x1
1; :::; xK1 ; :::; x1N; :::; xKN é equitativa
se nenhum agente sente inveja da cesta de consumo recebida pelo outro agente. Formalmente, a alocação acima é equitativa se para nenhum i; j, Ui(x1
j; :::; xKj ) > Ui(x1i; :::; xKi ):
Observe que a alocação igualitária é equitativa. Obviamente, se todo mundo recebe a mesma coisa ninguém pode ter inveja de ninguém. Por outro lado, o conceito de alocação equitativa parece ser uma descrição interessante do que consideraríamos uma alocação justa. O problema é que, como vimos acima, alocações equitativas não necessariamente serão e…cientes. Portanto, embora nenhum agente possa reclamar que foi injustiçado em uma alocação equitativa, sob um ponto de vista social estas alocações podem as vezes ser inapropriadas.
A discussão acima motiva a seguinte de…nição: De…nição 15.9. Dizemos que uma alocação x1
1; :::; xK1 ; :::; x1N; :::; xKN é justa se esta é
uma alocação equitativa e e…ciente no sentido de Pareto.
A de…nição acima parece ser uma descrição apropriada do que seria uma alocação aceitável sob um ponto de vista social. A questão agora é saber se tais alocações sempre existem e, caso a resposta de tal pergunta seja positiva, como fazer para encontrá-las. Contrariando os resultados negativos das seções anteriores, a resposta para tal pergunta é positiva e além disto está relacionada a um conceito que já nos é bastante familiar.
Considere o seguinte procedimento. Comece com a alocação igualitária. Ou seja, ofereça a cesta de consumo A1=N; :::; AK=N para todos os indivíduos desta economia. Agora
encontre um equilíbrio competitivo (p1; :::; pK) e x11; :::; xK1 ; :::; x1N; :::; xKN para esta
economia. A seguinte proposição é de fácil demonstração: Proposição 15.3. x1
1; :::; xK1 ; :::; x1N; :::; xKN é uma alocação justa.
Demonstração da Proposição. Pelo Primeiro Teorema do Bem-estar nós já sabemos que x1
1; :::; xK1 ; :::; x1N; :::; xKN é e…ciente no sentido de Pareto, portanto nós só temos que
mostrar que x1
1; :::; xK1 ; :::; x1N; :::; xKN é equitativa. Mas observe que todos os consumidores
começam com a mesma dotação inicial. Isto implica que todos eles enfrentam exatamente a mesma restrição orçamentária e, consequentemente, qualquer consumidor na nossa economia poderia comprar a cesta de consumo de qualquer outro consumidor se ele assim o quisesse. Então, se o consumidor i comprou a cesta x1
i; :::; xKi e não a cesta (x1j; :::; xKj ), é porque
Ui x1
i; :::; xKi Ui(x1j; :::; xKj ). Concluímos que em tal alocação nenhum consumidor sente
inveja do outro, o que completa a demonstração. k
15.5 Exercícios
Exercício 15.1. Considere uma situação em que os agentes têm preferências sobre um par de alternativas x e y. Mostre que o funcional de bem-estar social dado pela regra de votação por maioria simples é Paretiano e satisfaz as propriedades Anonimidade, Neutralidade entre Alternativas e Resposta Positiva.
15.5. EXERCÍCIOS 123 Exercício 15.2. Complete mais dois passos da demonstração do Teorema de Impossibilidade de Arrow para dois agentes e três alternativas. Mais especi…camente, usando o que foi aprendido nos passos 1 e 2 nas notas de aula mostre que para qualquer per…l (%1; %2) em
que z 2 y, nós temos que ter z (%S 1;%2)y e, posteriormente, mostre que para qualquer per…l
(%1; %2) em que x 2 y, nós temos que ter x (%1 ;%2)
S y:
Exercício 15.3. Suponha que estejamos em uma economia como a da seção 4 das notas de aula. Ou seja, os agentes têm preferências sobre suas cestas de consumo individual. Seja x1
1; :::; xK1 ; :::; x1N; :::; xKN uma alocação e…ciente no sentido de Pareto. Mostre que
existe um agente i que não inveja ninguém. Ou seja, mostre que existe um agente i tal que Ui x1
i ; :::; xKi Ui x1i; :::; xKi pra todo i:
Exercício 15.4. Suponha que estejamos em uma situação com 3 alternativas fx; y; zg e três agentes fA; B; Cg. As preferências dos agentes são dadas pela tabela abaixo:
A B C
x y z
y z x
z x y
:
Ou seja, o agente A prefere x a y e prefere y a z, e assim por diante. Suponha que nossa tarefa seja escolher uma das alternativas acima com o intuito de fazer o melhor para a sociedade. Considere o seguinte método: primeiro escolha um par de alternativas e realize uma votação entre os agentes. Feito isto, pegue a alternativa vencedora da votação anterior e realize uma nova votação contra a alternativa que …cou de fora da primeira votação. (a) Mostre que tal procedimento é totalmente manipulável. Isto é, mostre que de acordo com
a ordem de votação que escolhermos nós podemos in‡uenciar na escolha …nal.
(b) Suponha agora que nós usemos estas votações dois a dois para de…nir a nossa preferência social entre as alternativas. Ou seja, uma alternativa será socialmente preferível a outra se mais agentes a considerarem melhor do que a outra. Chame a preferência social de…nida desta forma de %S. Não é difícil ver que tal método para de…nir
uma preferência social satisfaz Paretianismo e IAI, mas obviamente não é ditatorial. Parece, então, que algo mais fundamental não está correto aqui. Discuta.
Capítulo 16
Monopólio
16.1 Introdução
Até o momento, temos estudado apenas mercados competitivos. Quando estudamos equilíbrio geral, por exemplo, trabalhamos durante todo o tempo com a hipótese de que …rmas e consumidores eram tomadores de preços. Tais modelos são apropriados para o estudo de economias em que existe um grande número de pequenas empresas e de pequenos consumidores, mas quando temos uma situação de monopólio é claro que a hipótese de que a empresa monopolista age como tomadora de preços não é apropriada.
Neste capítulo estudaremos exatamente modelos em que uma determinada …rma age como monopolista em um determinado mercado. Nesta situação é natural que o monopolista reconheça que as suas decisões de produção in‡uenciem o preço …nal do produto e, portanto, faça as suas escolhas levando tal fato em consideração. Na verdade, o mais natural é até modelarmos o monopolista como se este escolhesse o preço de venda do seu produto. Nós veremos que, nos nossos modelos, interpretarmos o monopolista como escolhendo o preço ou a quantidade produzida são duas abordagens completamente equivalentes. Apenas por conveniência, nós escreveremos o problema do monopolista como aquele de um agente que escolhe a quantidade a produzir.