B; y2B) UB(x1B; x2B). Mas se alguma das duas desigualdades acima for estrita,
então a alocação [(y1
A; yA2) ; (y1B; yB2)] domina [(x1A; x2A) ; (x1B; x2B)] no sentido de Pareto, o que
contradiz a e…ciência de [(x1
A; x2A) ; (x1B; x2B)]. Nós concluimos que UA(y1A; yA2) = UA(x1A; x2A)
e UB(y1
B; y2B) = UB(x1B; x2B). Isto é, (x1A; x2A) também é solução do problema do consumidor
A e (x1
B; x2B) também é solução do problema do consumidor B. Ou seja, [(x1A; x2A) ; (x1B; x2B)]
e (p1; p2) formam um equilíbrio competitivo. k
13.9 Leitura Complementar Obrigatória
Seções 31.12 e 31.13 de Varian (2006).
13.10 Exercícios
Exercício 13.1. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as funções de utilidade dos consumidores são dadas por UA(x1
A; x2A) = (x1A) (x2A)
1 , para algum 0 <
< 1, e UB(x1
B; x2B) = min (x1B; x2B). Suponha que as dotações iniciais dos consumidores são
(w1
A; wA2) = (0; 1) e (w1B; wB2) = (1; 0).
(a) Dado um vetor de preços genérico (p1; p2), escreva o problema do consumidor B.
(b) Resolva o problema do consumidor B e encontre a sua função demanda (Use apenas lógica, matemática não será de nenhuma utilidade aqui).
(c) Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia.
Exercício 13.2. Considere uma economia com dois bens e dois consumidores com funções de utilidade estritamente crescentes em relação aos dois bens. Suponha, também, que a dotação inicial [(w1
A; wA2) ; (wB1; w2B)] seja uma alocação e…ciente no sentido de Pareto. Mostre que se
(p1; p2), [(x1A; x2A) ; (x1B; x2B)] é um equilíbrio competitivo para esta economia, então (p1; p2) e
[(w1
A; w2A) ; (wB1; w2B)] também é.
Exercício 13.3 (Múltiplos Equilíbrios). Suponha que os dois consumidores em nossa economia tenham funções de utilidade dadas por
UA x1A; x2A = x1A 1 8 x 2 A 8 e UB x1 B; x2B = 1 8 x 1 B 8 + x2B: As dotações iniciais são dadas por (w1
A; wA2) = (2; r) e (w1B; wB2) = (r; 2), em que r :=
28=9 21=9.13.5
(a) Fixe um vetor de preços da forma (p1; p2) = (1; p) e escreva as funções demanda para
os dois consumidores em termos de p (por enquanto você ainda não precisa substituir o valor de r nas expressões que você encontrar).
(b) Usando as funções de demanda encontradas no item (a), escreva a condição de equilíbrio de mercado para o bem 1.
(c) Agora sim, substituindo o valor de r na condição de equilíbrio de mercado encontrada acima, veri…que que p = 1; 2 ou 1=2 são soluções para aquela equação. Ou seja, nesta economia nós temos 3 equilíbrios competitivos distintos.
Exercício 13.4. Considere uma economia na caixa de Edgeworth em que as funções de utilidade dos consumidores sejam dadas por UA(x1
A; x2A) = (x1A) 1 3 (x2 A) 2 3 e UB(x1 B; x2B) = (x1 B) 2 3 (x2 B) 1
3. Suponha que as dotações iniciais dos consumidores sejam (w1
A; wA2) = (1; 0) e
(w1
B; w2B) = (0; 1).
(a) Encontre o único equilíbrio competitivo desta economia. Isto é, encontre o vetor de preços e a alocação que constituem um equilíbrio competitivo para esta economia (b) É possível mostrar que a alocação (x1
A; x2A) = 12; 4 5 e (x 1 B; x2B) = 12; 1 5 é e…ciente no
sentido de Pareto. Como a economia acima satisfaz as condições do Segundo Teorema do Bem-estar nós sabemos que com uma correta redistribuição das dotações iniciais nós podemos fazer com que tal alocação seja parte de um equilíbrio competitivo. Ou seja, existem t1; t2 > 0 tais que quando (w1A; wA2) = (1 t1; t2) e (w1B; wB2) = (t1; 1 t2),
a alocação resultante do equilíbrio competitivo da economia é exatamente (x1
A; x2A) = 1 2; 4 5 e (x 1 B; x2B) = 12; 1
5 . Encontre o vetor de preços e as transferências t1 e t2
relacionadas a tal equilíbrio (Atenção! Existem várias combinações de transferências que geram a alocação citada. Vocês podem escolher qualquer uma dentre as combinações que funcionam.)
13.A Demonstração da Existência de Equilíbrio na Caixa
de Edgeworth
Nesta seção nós demonstraremos a existência de equilíbrio competitivo para uma economia de trocas com dois bens e dois consumidores com funções de utilidade contínuas, estritamente crescentes e estritamente quase-côncavas.13.6 Lembre-se que o problema de um consumidor
desse tipo pode ser escrito como
max (x1;x2)U x 1; x2 sujeito a p1x1+ p2x2 p1w1+ p2w2 x1; x2 0:
É fácil notar, que, para qualquer (p1; p2)2 R++ e > 0, as soluções do problema acima são
as mesmas do problema
max
(x1;x2)U x
1; x2
13.6Uma função U : R2! R é estritamente quase-côncave se sempre que tivermos U x1; x2 U y1; y2 para algum x1; x2 ; y1; y2 2 R2, então U( x1+(1 )y1; x2+(1 )y2) > U y1; y2 , pra todo 2 (0; 1).
13.A. DEMONSTRAÇÃO DA EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO NA CAIXA DE EDGEWORTH91 sujeito a
p1x1+ p2x2 p1w1+ p2w2
x1; x2 0:
Portanto, sem perda de generalidade, durante toda esta seção nós trabalharemos com a normalização p1 = 1 e chamaremos p2 simplesmente de p. Nós precisamos da seguinte
de…nição:
De…nição 13.2. Se o problema do consumidor sempre tem uma única solução (x1(p) ; x2(p))
para qualquer valor de p > 0, nós chamamos (x1(:) ; x2(:)) : R
++! R2+ de função demanda
do consumidor.
O nosso primeiro resultado mostra que um consumidor como o acima sempre tem uma função demanda bem de…nida e contínua.
Lema 13.1. Considere um consumidor cuja função de utilidade U : R2 ! R é contínua
e estritamente quase-côncava e com dotação inicial (w1; w2) 2 R2
+ n f(0; 0)g. A função
demanda de tal consumidor está bem de…nida e é contínua.
Demonstração do Lema. O problema do consumidor pode ser escrito como max (x1;x2)U x 1; x2 sujeito a x1+ px2 w1+ pw2 x1; x2 0:
A existência de uma solução para o problema acima decorre de um resultado famoso conhecido como Teorema de Weierstrass. Aqui nós vamos nos preocupar em mostrar que a solução é única. Para tanto, suponha que (y1; y2) e (z1; z2) sejam soluções para o problema acima, e que
(y1; y2)6= (z1; z2). Isto só pode ocorrer se U (y1; y2) = U (z1; z2), mas como U é estritamente
quase-côncava isto implica que U y1+z1
2 ; y2+z2 2 > U (y 1; y2). Como y1+z1 2 ; y2+z2 2 satisfaz
as restrições do problema acima, isto contradiz a otimalidade de (y1; y2). Nós concluimos que
(y1; y2) = (z1; z2). Isto mostra que a função demanda do consumidor está bem de…nida. A
continuidade de tal função agora decorre de outro resultado famoso conhecido como Teorema
do Máximo.13.7 k
Agora mostraremos que, para qualquer um dos dois bens, sempre existem valores de p que fazem a demanda por tal bem ser tão grande quanto desejemos.
Lema 13.2. Considere um consumidor cuja função de utilidade U : R2 ! R é contínua,
estritamente quase-côncava e estritamente crescente em relação aos seus dois argumentos. A dotação inicial do consumidor é (w1; w2)2 R2
+n f(0; 0)g. Se w1 > 0, então, pra qualquer
> 0, existe p > 0 tal que x2(p) > . Similarmente, se w2 > 0, então, pra qualquer > 0
existe p > 0 tal que x1(p) > .
13.7Tanto o Teorema de Wierstrass como o Teorema do Máximo vão além do escopo deste curso. Vocês encontram mais sobre eles em qualquer livro de análise no Rn.
Demonstração do Lema. Suponha que w1 > 0. Na esperança de uma contradição, suponha
que existe > 0 tal que x2(p) pra todo p > 0. Isto implica que, pra todo p > 0, a
solução do problema do consumidor também é a única solução do seguinte problema: max (x1;x2)U x 1; x2 sujeito a x1+ px2 w1+ pw2 x1; x2 0 x2 :
Por construção, o problema acima induz a mesma função demanda, (x1(:) ; x2(:)), que o
problema do consumidor tradicional. A diferença agora é que (x1(p) ; x2(p)) está de…nida
até mesmo para p = 0. Como o problema acima também satisfaz as condições do Teorema do Máximo, nós sabemos que (x1(:) ; x2(:)) será contínua em todo ponto p 0. Note agora
que é evidente que (x1(0) ; x2(0)) = (w1; ). Como (x1(:) ; x2(:)) é contínua, isto implica
que
lim
p!0 x
1(p) ; x2(p) = w1; :
Mas observe que foi escolhido de forma arbitrária. Nós poderíamos repetir a análise acima com 2 , por exemplo. Como nós não podemos ter limp!0(x1(p) ; x2(p)) = (w1; ) e
limp!0(x1(p) ; x2(p)) = (w1; 2 ) ao mesmo tempo, nós chegamos a uma contradição. Nós
concluimos que, pra todo > 0, existe p > 0 tal que x2(p) > . Para mostrar que quando
w2 > 0, pra todo > 0 existe p > 0 tal que x1(p) > nós podemos mudar a nossa
normalização e fazer p2 = 1 e p1 = p. O raciocínio acima nos garante que, pra todo > 0,
existe p tal que x1(p; 1) > . Mas então x1 1;1
p > e a demonstração está completa. k
De…na agora a função z1 : R
++ ! R por
z1(p) = x1A(p) + x1B(p) wA1 wB1:
A função acima é conhecida como função de excesso de demanda pelo bem 1. Note que quando z1(p) > 0 existe excesso de demanda pelo bem 1 e quando z1(p) < 0 existe excesso
de oferta pelo bem 1. O caso z1(p) = 0 representa a situação em que o mercado do bem
1 está em equilíbrio. Como em uma economia com apenas 2 bens a lei de Walras implica que quando um mercado está equilibrado o outro também automaticamente está, encontrar um preço p tal que z1(p ) = 0 é o mesmo que encontrar um preço p que equilibre os dois
mercados da nossa economia. O nosso trabalho agora passa a ser encontrar um preço p > 0 tal que z1(p ) = 0, então.
Observe primeiro que o Lema 13.2 acima implica que existe p > 0 tal que z1(p) > 0. Na
verdade, como consequência da lei de Walras o Lema 13.2 implica também que existe um preço p tal que z1(p) < 0. Para ver isto, lembre que a lei de Walras diz que para qualquer
preço p > 0 nós temos
13.A. DEMONSTRAÇÃO DA EXISTÊNCIA DE EQUILÍBRIO NA CAIXA DE EDGEWORTH93 Mas então, é claro que sempre que houver excesso de demanda por um dos bens existirá
excesso de oferta pelo outro e vice-versa. Como o Lema 13.2 implica que existe p tal que x2
A(p) + x2B(p) w2A wB2 > 0, nós aprendemos que para este mesmo p nós temos z1(p) < 0.
Para completar a demonstração, nós observamos que z1 é uma soma de funções contínuas e,
portanto, ela própria é uma função contínua. Agora o teorema do valor intermediário garante que existe p 2 (p; p) tal que z1(p ) = 0.13.8 Isto completa a demonstração da existência de
equilíbrio na caixa de Edgeworth.
13.8O teorema do valor intermediário diz que se f : [a; b] ! R é uma função contínua, então para qualquer y2 [f(a); f(b)] existe x 2 [a; b] com f(x) = y.
Capítulo 14
Equilíbrio Geral - Economias com
Produção
14.1 Introdução
Nós estudamos os conceitos de e…ciência no sentido de Pareto e equilíbrio competitivo em economias de trocas. Agora nós incorporaremos a possibilidade de produção à nossa análise. Como veremos, os principais resultados estudados nas economias de trocas permanecerão válidos para economias com produção.