Na seção anterior nós vimos um resultado um pouco inquietante. O Teorema de Impossibilidade de Arrow mostrou que sob certas condições de consistência é impossível agregar as preferências dos diversos agentes da nossa economia de uma forma satisfatória. Na verdade, aquele teorema falava de duas propriedades que um funcional de bem-estar social deveria satisfazer. A primeira delas era a propriedade de Paretianismo. Como vimos antes, esta propriedade é totalmente inquestionável. Já a outra propriedade mencionada no enunciado daquele teorema, IAI, é bem mais discutível. Isto deixa aberta a possibilidade de que possamos encontrar funcionais de bem-estar social razoáveis, mas que não satisfaçam IAI.
Em particular, certos tipos de votação que levem em conta o quanto uma pessoa prefere uma alternativa a outra serão possíveis. Como veremos a seguir, o grande problema é que a teoria econômica como foi desenvolvida é totalmente ordinal. Ou seja, a nossa teoria não entende a…rmações do tipo x é muito melhor do que y, ou x é 10 pontos superior a y. A teoria econômica como foi desenvolvida é totalmente binária. Ela só entende se x é melhor ou pior do que y, sem espaço para considerações de intensidade.
A discussão acima é um pouco subjetiva demais, e sem um maior conhecimento de teoria da escolha ela torna-se um pouco confusa. Vamos tentar uma abordagem mais prática para a agregação de preferências que ilustrará bem os problemas acima.
Suponha que tenhamos K bens públicos na nossa economia e N consumidores. O que queremos dizer com bens públicos é que todos os agentes em nossa economia sempre recebem a mesma quantidade de cada bem. Você pode pensar nos K bens acima como estradas, serviços de saúde, etc. Uma alocação agora é simplesmente um vetor x1; :::; xK que diz o
quanto de cada bem está sendo oferecido à sociedade. Suponha que tenhamos um conjunto X que represente todas as alocações factíveis em nossa economia. Ou seja, um vetor x1; :::; xK
é factível se e somente se x1; :::; xK 2 X. O nosso problema agora é saber que alocações
em X são melhores ou piores sob um ponto de vista social.
Cada indivíduo i em nossa economia tem uma relação de preferências %i bem de…nida
sobre as cestas de consumo em X. Vamos supor que as relações de preferências de todos os indivíduos admitam uma representação por função de utilidade. Isto é, nós vamos supor que para todo indivíduo i, exista uma função Ui tal que para quaisquer cestas de consumo
x1; :::; xK ; y1; :::; yK 2 X;
x1; :::; xK %i y1; :::; yK () Ui x1; :::; xK Ui y1; :::; yK :
Um jeito fácil e aparentemente justo de agregar as preferências dos consumidores em nossa economia seria, então, simplesmente somar as suas funções de utilidade. Ou seja, nós poderíamos de…nir uma função de utilidade social dada por
US x1; :::; xK :=
N
X
i=1
15.3. FUNÇÕES DE UTILIDADE SOCIAL 119 O grande problema é que o método descrito acima, embora aparentemente justo, é totalmente arbitrário. Lembre-se que a função de utilidade que representa uma dada relação de preferência nunca é única. Formalmente, suponha que a função Ui represente as preferências do agente
i. Agora considere qualquer função estritamente crescente V . Não é difícil ver que a função V (Ui(:)) também representa %
i.15.5
Em particular, se Ui representa as preferências do agente i, então Ui, para qualquer
> 0 também é uma representação para as mesmas preferências. Isto torna a função de utilidade social acima tão justi…cável quanto qualquer outra função do tipo
US x1; :::; xK :=
N
X
i=1
iUi x1; :::; xK ;
em que pra todo i, i > 0.
Esta liberdade que temos para multiplicar funções de utilidade por constantes positivas abrange até mesmo a função de utilidade social US. Esta constatação faz com que possamos
nos concentrar em funções de utilidade social da seguinte forma: US x1; :::; xK :=
N
X
i=1
iUi x1; :::; xK ;
em que i > 0 pra todo i, ePN
i=1 i = 1. Ou seja, nossas funções de utilidade social agora
são médias ponderadas das utilidades dos diversos agentes. Como discutimos antes, uma função como a acima é tão justi…cável quanto uma que simplesmente some as utilidades dos agentes. Mas será que a arbitrariedade do método acima o torna completamente inútil? Suponha que nós tenhamos obtido uma função de utilidade social utilizando o método acima para algum vetor e agora nós vamos usar esta função para escolher a suposta melhor aloção sob um ponto de vista social. Ou seja, para US de…nida como acima, nós vamos resolver o
seguinte problema: max (x1;:::;xK)U S x1; :::; xK sujeito a x1; :::; xK 2 X:
Suponha que a solução para o problema acima seja x1; :::; xK . O que nós podemos dizer
sobre x1; :::; xK ? Uma propriedade que x1; :::; xK certamente terá é e…ciência no sentido
de Pareto. Formalmente:
15.5Formalmente, suponha que Ui representa %
i. Ou seja, para qualquer x1; :::; xK ; y1; :::; yK 2 X, x1; :::; xK %
i y1; :::; yK () Ui x1; :::; xK Ui y1; :::; yK : Mas observe que, se V é estritamente crescente, então
V Ui x1; :::; xK V Ui y1; :::; yK () Ui x1; :::; xK Ui y1; :::; yK : Logo, V Ui(:) também representa %
Proposição 15.1. Se x1; :::; xK é uma solução para o problema acima, então x1; :::; xK
é e…ciente no sentido de Pareto. Isto é, não existe nenhuma alocação x1; :::; xK 2 X tal
que
x1; :::; xK %
i x1; :::; xK ;
para todos os agentes i, com preferência estrita para pelo menos um agente i .
Demonstração da Proposição. Suponha que exista uma alocação x1; :::; xK 2 X tal que
x1; :::; xK %
i x1; :::; xK ;
para todo i e exista i tal que
x1; :::; xK i x1; :::; xK :
Como as funções Ui representam as preferências dos agentes, isto implica que
Ui x1; :::; xK Ui x1; :::; xK ; pra todo i e Ui x1; :::; xK > Ui x1; :::; xK . Mas então, N X i=1 iUi x1; :::; xK > N X i=1 iUi x1; :::; xK ;
o que contraria o fato de que x1; :::; xK é uma solução para o problema de maximização
da utilidade social acima. Nós concluímos, então, que x1; :::; xK tem que ser e…ciente no
sentido de Pareto. k
A proposição acima nos mostra que as escolhas feitas quando uma função de utilidade social como a de…nida acima é utilizada pelo menos são e…cientes no sentido de Pareto. Como já discutimos antes, e…ciência no sentido de Pareto é uma propriedade mínima que toda alocação desejável sob um ponto de vista social deve satisfazer. Mas será que a abordagem acima nos garante algo mais do que e…ciência. Infelizmente, pelo menos enquanto as preferências dos nossos agentes forem bem comportadas, a resposta é não. A proposição abaixo formaliza tal resultado.
Proposição 15.2. Suponha que X seja um conjunto compacto e convexo e que todos os agentes tenham preferências contínuas, estritamente monótonas e convexas.15.6 Fixe uma
alocação x1; :::; xK e…ciente no sentido de Pareto. Então, existe uma coleção de funções
fUigN
i=1 sendo que para cada i, Ui representa %i e um vetor 1; :::; N satisfazendo i 0
para todo i ePN
i=1 i = 1 tais que x1; :::; xK é uma solução para o problema de maximização
da utilidade para uma função US de…nida por
US x1; :::; xK :=
N
X
i=1
iUi x1; :::; xK :
15.6Vocês não precisam se preocupar com estas hipóteses técnicas aqui. Elas estão aqui apenas para que o resultado seja escrito de forma precisa, mas o importante é a idéia de que o resultado é válido se as preferências dos agentes forem razoavelmente bem comportadas.
15.4. ALOCAÇÕES JUSTAS 121