Nível Ótimo de Seguro
Suponha que um agente avesso ao risco com função de Bernoulli u tenha uma riqueza inicial igual a W . O agente sabe que existe uma probabilidade de ele perder D reais. Ou seja, se ele não …zer nada, com probabilidade sua riqueza no futuro será W D. Suponha, que exista uma seguradora que cobre um preço s para cada real segurado. Isto é, se o agente …zer um seguro de X reais, ele paga sX à seguradora, mas caso o evento que leva à perda D ocorra ele recebe X reais. Ou seja, caso o agente contrate um seguro para X reais, com probabilidade o evento que leva à perda dos D reais ocorrerá e a riqueza do agente será W sX D + X. Com probabilidade (1 ) o evento não ocorrerá, situação esta em que a riqueza do agente será apenas W sX. Como o exemplo abaixo mostra, se nós conhecermos a função de Bernoulli do agente nós podemos facilmente calcular quanto seguro ele vai contratar.
18.3. LOTERIAS MONETÁRIAS E AVERSÃO AO RISCO 165 Exemplo 18.6. Suponha que W = 2 e que com probabilidade = 4=9 o agente tenha a chance de perder D = 1 real. Suponha, também, que o preço cobrado por real segurado seja s = 5=9. Finalmente, suponha que a função de Bernoulli do agente seja simplesmente u (x) = ln x. Calcule a quantidade de seguro, X, que o agente vai contratar.
Solução. Quando o agente contrata um seguro para X reais, ele paga sX reais para a seguradora. Caso o evento que desencadeia o pagamento do seguro não ocorra a riqueza do agente será simplesmente 2 5
9X. Caso o evento que desencadeia o pagamento do seguro
ocorra a riqueza do agente será 2 1+ 1 5
9 X = 1 + 4
9X. O problema do agente é escolher
o valor de X que maximize a sua utilidade esperada. Ou seja, max X 5 9ln 2 5 9X + 4 9ln 1 + 4 9X : A condição de primeira ordem do problema acima é dada por
5 9 5 9 1 2 5 9X +4 9 4 9 1 1 + 4 9X = 0; que pode ser reescrita como
25 2 59X + 16 1 + 49X = 0: Que é equivalente a, 16 2 5 9X = 25 1 + 4 9X :
Resolvendo a equação acima nós obtemos que a quantidade ótima de seguro contratada é
X = 7=20 reais. k
No exemplo acima nós aprendemos a calcular o nível ótimo de seguro que um agente contrataria. Dado o preço por real segurado o agente acabava segurando apenas 7=20 reais, embora houvesse uma possibilidade de perda de 1 real caso o evento ruim ocorresse. Isto se deve ao fato de que o seguro estava um pouco caro no exemplo acima. Vamos agora estudar o comportamento do agente se o seguro tivesse um preço justo.
Exemplo 18.7 (Nível ótimo de seguro com preço justo). No exemplo acima, a probabilidade do evento que desencadeia o pagamento do seguro ocorrer é igual a 4=9. Portanto, se o agente tem X reais segurados, o valor esperado de tal seguro é exatamente 4
9X. Logo, o preço por
unidade segurada que iguala o custo do seguro ao seu valor esperado é exatamente s = 4=9. Nós chamamos tal valor de preço justo do seguro. Vejamos quanto seguro o agente contrataria caso o seguro tivesse um preço justo. Neste caso, o problema do agente pode ser escrito como
max X 5 9ln 2 4 9X + 4 9ln 1 + 5 9X : A condição de primeira ordem do problema acima é dada por
5 9 4 9 1 2 4 9X +4 9 5 9 1 1 + 5 9X = 0;
que pode ser reescrita como 1 2 4 9X + 1 1 + 5 9X = 0: Que é equivalente a, 2 4 9X = 1 + 5 9X:
Resolvendo a equação acima nós obtemos uma quantidade ótima de seguro X = 1 real. Portanto, quando o preço do seguro é justo o agente opta por um seguro total.
O fenômeno descrito acima não depende dos parâmetros especí…cos do exemplo. Na verdade, sempre que um agento avesso ao risco se defronta com um seguro com preço justo, ele opta por um seguro total. Na lista de exercícios será pedido que vocês mostrem tal fato formalmente.
18.4 Exercícios
Exercício 18.1 (Maximizar a Probabilidade de Obter a Consequência Favorita). Considere o exemplo de preferência sobre loterias nas notas de aula. Isto é, suponha que o conjunto de alternativas X tenha uma alternativa x que é a favorita do agente. Suponha, também, que dadas duas loterias p e q,
p % q () p (x ) q (x ) :
Ou seja, o agente sempre busca maximizar a probabilidade de obter a sua consequência favorita. Mostre que tal relação de preferências satisfaz Independência e a propriedade Arquimediana (Dica: Não tente mostrar isto diretamente, use o teorema da utilidade esperada). Exercício 18.2. Suponha agora que estejamos falando de loterias monetárias. Lembre-se que para uma dada loteria p, nós usamos a notação E [p] para representar o seu valor esperado. Nós usaremos a notação V ar (p) para representar a variância de uma determinada loteria. Por exemplo, para loterias que retornam apenas dois prêmios, isto é, loterias do tipo p := (x) (1 ) (y), o valor esperado e a variância têm a seguinte forma
E [p] = x + (1 ) y
e
V ar (p) = (x E [p])2+ (1 ) (y E [p])2: (a) Calcule os valores esperados e as variâncias das loterias p := 1
3(2) 2 3 (1) e q := 1 4(8) 3 4(4) :
(b) (Dependendo dos seus conhecimentos de probabilidade e estatística este exercício pode ser um pouco mais difícil, mas eu acho que vocês têm condições de resolvê-lo) Suponha agora que o agente tenha uma função de utilidade sobre o conjunto de loterias monetárias dada por
18.4. EXERCÍCIOS 167 Considerando loterias que retornam apenas dois prêmios, isto é, loterias da forma (x) (1 ) (y), mostre que a função de utilidade acima pode ser escrita no formato de utilidade esperada. Ou seja, mostre que existe uma função u sobre os números reais tal que para qualquer loteria p := (x) (1 ) (y),
V (p) = u (x) + (1 ) u (y) :
Exercício 18.3 (Seguro Total). Lembre-se do exemplo nas notas de aula. Isto é, suponha que tenhamos um agente com riqueza inicial igual a W . Com probabilidade um evento que implica em uma perda de D reais para o agente vai ocorrer. O agente tem a oportunidade de fazer um seguro para receber X reais caso o evento que desencadeie a perda dos D reais ocorra. Suponha que o preço pago por cada real segurado seja simplesmente s.
(a) Suponha que o agente tenha contratado um seguro para X reais. Como não sabemos ainda se o evento que ocasiona a perda dos D reais vai ocorrer, a riqueza futura do agente é para nós uma variável aleatória, ou, na nossa terminologia, uma loteria. Escreva a loteria que representa a riqueza futura de um agente que contratou um seguro de X reais.
(b) Observe que para cada possível valor de X, a expressão que você encontrou acima representa uma loteria diferente. Deste modo, o problema de escolher o nível ótimo de seguro pode ser interpretado como o problema de escolher a melhor loteria dentre as diversas possíveis acima. Suponha agora que o seguro tenha um preço justo, isto é, suponha que s = . Mostre que neste caso o valor esperado das loterias acima é sempre o mesmo, independentemente do valor X.
(c) Ou seja, quando o seguro tem um preço justo, o problema do agente passa a ser o de escolher entre várias loterias que têm o mesmo valor esperado. Use este fato para argumentar que neste caso um agente avesso ao risco sempre vai escolher um seguro total, ou seja, X = D (Dica: Você não tem que fazer conta. A conclusão vem diretamente da de…nição de aversão ao risco).
Exercício 18.4 (Demanda por Ativos de Risco). Suponha que existam dois estados possíveis da natureza, f!1; !2g. A idéia é que no futuro um dos dois estados vai ocorrer. Suponha
que a probabilidade de que !1 vá ocorrer seja p (!1) = 1=3 e a probabilidade de que !2 vá
ocorrer seja p (!2) = 2=3. Suponha que a economia tenha dois ativos de risco. O primeiro
ativo, A1, paga 1 real no estado !1 e paga 2 reais no estado !2, já o ativo A2 paga 3 reais
no estado !1 e paga 0 reais no estado !2.
(a) Suponha que os preços por unidade dos ativos A1 e A2 sejam, respectivamente, pA1 = 4=3
e pA2 = 1. Seja agora um agente com função de Bernoulli u (x) = ln x. Suponha que
tal agente tenha 2 reais para gastar entre os dois ativos descritos acima. Quanto ele compraria de cada ativo e, dado o seu portifólio, quanto seria o retorno …nanceiro do agente em cada um dos estados?
(b) Se você fez as contas corretamente, você percebeu que o portifólio escolhido pelo agente na letra (a) dá um retorno maior no estado !2 do que no estado !1. Este resultado é
intuitivo, já que o preço do ativo A2 corresponde exatamente ao valor esperado de uma
unidade de tal ativo enquanto, por outro lado, o preço do ativo A1 está mais barato
do que o valor esperado de uma unidade de tal ativo. Desta forma, é intuitivo que o agente esteja comprando relativamente mais do ativo A1 e, portanto, o seu retorno
monetário seja maior no estado que é mais favorável a tal ativo. Suponha agora que o ativo A1 também tenha um preço justo. Isto é, suponha que pA1 = 5=3. Calcule quanto
o agente compraria de cada ativo neste caso e compute o retorno …nanceiro do agente em cada um dos estados.
(c) Se você fez as contas corretamente, você percebeu que no item anterior o retorno …nanceiro do agente é o mesmo nos dois estados. Tal resultado não depende dos exatos valores utilizados na questão. Em geral, se tivermos um agente avesso ao risco, todos os ativos tiverem um preço justo e a nossa estrutura de ativos for rica o su…ciente, o agente vai escolher um portifólio que elimine a incerteza sobre os seus ganhos futuros. No exemplo aqui estudado, a riqueza da estrutura de ativos corresponde ao fato de que os dois ativos acima são negativamente correlacionados. Isto é, o ativo A1 paga mais no estado !2
e o ativo A2 paga mais no estado !1. Mostre que se isto não for verdade, então não
existe portifólio que elimine a incerteza sobre os ganhos monetários futuros do agente. Atenção, tal resultado é independente do fato do portifólio ser o ótimo ou não e também não depende dos preços dos ativos. O resultado é bem mais trivial, simplesmente, em tal caso, qualquer portifólio pagará mais em um estado que no outro.
Capítulo 19
Teoria dos Jogos - Jogos na Forma
Normal
19.1 Introdução
No curso de Microeconomia 1 nós estudamos a teoria da decisão individual. Isto é, nós estudamos como um agente econômico isolado faz suas escolhas. Na primeira parte do curso de Microeconomia 2 nós nos concentramos na teoria do equilíbrio geral. Embora a teoria de equilíbrio geral aceite a presença de diversos agentes, a hipótese lá é que os diversos agentes econômicos desconsideram o efeito que as suas decisões vão ter nas decisões dos outros agentes. Desta forma, a teoria do equilíbrio geral ignora completamente quaisquer considerações estratégicas que um agente possa ter na hora de tomar uma decisão.
A teoria do equilíbrio geral é muito útil e tem diversas aplicações em economia, mas algumas situações econômicas relevantes são inerentemente estratégicas, o que nos faz ter interesse em teorias que possam ser aplicadas a tais situações. Considere os seguintes exemplos:
Exemplo 19.1 (Problema dos Sorveteiros). Suponha que tenhamos uma praia que seja atendida por dois sorveteiros. Para simpli…car, suponha que as pessoas estejam distribuídas de maneira igual por toda a praia. Onde será que os dois sorveteiros vão se posicionar? Tal problema ainda não está totalmente especi…cado, mas nós já podemos perceber que este é um problema totalmente estratégico. O lucro do sorveteiro vai depender de onde ele e de onde o seu concorrente estiverem posicionados. Mais ainda, o sorveteiro sabe disto, o seu concorrente sabe disto, ele sabe que o seu concorrente sabe disto, etc.. Fica claro, que as teorias que estudamos até agora não são capazes de lidar com tal problema.
Exemplo 19.2 (Duopólio). Suponha que somente duas empresas vendam o produto y. Existe um grande número de consumidores no mercado, de modo que os consumidores vão agir como tomadores de preço. O problema das duas empresas agora é escolher que preço elas devem cobrar pelo produto y de modo a maximizar os seus lucros. Novamente, o problema acima ainda não está totalmente especi…cado, mas nós já podemos perceber que ele também é um problema estratégico. O lucro de cada uma das empresas vai depender do preço que ela está cobrando e do preço que a sua concorrente está cobrando. Por outro lado, ambas
as empresas sabem que a sua decisão de preço vai afetar a decisão de preço da concorrente. Como saber o que vai acontecer em tal situação?
Os dois exemplos acima mostram que nós precisamos de novas ferramentas para podermos estudar situações econômicas em que situações estratégicas estejam envolvidas. A ferramenta usada em economia para tanto é conhecida como Teoria dos Jogos.