Suponha que a nossa economia tenha duas alternativas, x e y. Para ajudar na intuição você pode imaginar que x e y são dois projetos que o governo está pensando em implementar e nós estamos agora tentando descobrir qual deles é preferível de um ponto de vista social.
Nesta sociedade existem N indivíduos e cada indivíduo i tem uma preferência determinada entre as alternativas x e y. Utilizando a notação padrão em economia, escrevemos x i y,
15.1Quando eu imprimo o texto na minha impressora, algumas expressões que têm um símbolo de preferência como sobrescrito aparecem apenas como um til. Isto é, a expressão %% aparece apenas como %~, quando impressa. Ou seja, o arquivo é visualisado corretamente na tela do computador, mas a impressão apresenta tal problema. A única forma que eu encontrei para resolver isto foi imprimir o arquivo como imagem. No meu caso isto é feito selecionando imprimir, depois clicando no botão avançado e depois selecionando a opção imprimir como imagem. Isto é só uma dica caso alguém tenha o mesmo problema.
x i y, x i y se o indivíduo considera x uma alternativa melhor, indiferente ou pior do
que y, respectivamente. Um funcional de preferência social é simplesmente uma regra que associa a cada possível combinação de preferências dos N indivíduos em nossa economia, uma preferência social %S.
Neste caso simpli…cado, com apenas duas alternativas, temos uma notação que funciona bem. Para um dado indivíduo i, de…na fi como fi = 1; 0 ou 1 se x i y, x i y ou x i y,
respectivamente. Agora o nosso funcional de preferência social pode ser representado por uma função fS que associa a cada vetor da forma (f1; :::; fN) um valor emf1; 0; 1g. Ou seja,
a função fS tem como argumento um vetor que representa as preferências de todos os agentes
em nossa economia e fornece como resposta um ranking social entre x e y. A interpretação é que se fS(f1; :::; fN) = 1, 0 ou 1, então x é socialmente preferível, indiferente, ou pior que
y, respectivamente.
Observação 15.1. Note que um funcional de bem-estar social associa uma preferência social a todas as possíveis combinações de preferências dos agentes. Suponha que passemos um questionário a todos os agentes de nossa economia perguntando sua opinião a respeito de x e y. O funcional de bem-estar social é, então, uma regra que, para qualquer combinação de respostas possível, associa uma das respostas em fx S y; x S y; x S yg :
Exemplo 15.1 (Maioria simples). Provavelmente, em um contexto em que nenhum agente possa ser considerado mais importante que o outro, ninguém questionaria que o funcional de bem-estar social mais justo seria o dado por uma votação simples. Usando a notação acima o funcional de bem-estar social associado à regra de votação por maioria simples pode ser escrito como fS(f1; :::; fN) = 8 < : 1 se PNi=1fi > 0; 0 se PNi=1fi = 0; 1 se PNi=1fi < 0:
Vimos acima o exemplo do funcional de bem-estar social dado por maioria simples. Vamos mudar um pouco a abordagem agora e vamos tentar pensar em algumas propriedades que gostaríamos que um funcional de bem-estar social genérico tivesse. Provavelmente, a propriedade mais indiscutível que qualquer funcional de bem-estar social minimamente aceitável deva satisfazer é a propriedade de unanimidade. Formalmente, podemos representar tal propriedade da seguinte forma:
De…nição 15.1. Dizemos que um funcional de bem-estar social fS respeita unanimidade,
ou é Paretiano, se fS(1; :::; 1) = 1 e fS( 1; :::; 1) = 1:
Ou seja, um funcional de bem-estar social é Paretiano se ele respeita um per…l de preferências unânime. Isto é, se todos na sociedade consideram x melhor do que y, então um funcional de bem-estar social Paretiano deve também considerar x melhor do que y. Como dissemos antes, esta propriedade é praticamente inquestionável, no sentido de que qualquer funcional de bem-estar social aceitável deve satisfazê-la.
Exemplo 15.2 (Ditador). Nós dizemos que um funcional de bem-estar social é ditatorial se existe um indivíduo i tal que fS(f1; :::; fi ; :::; fN) = fi para qualquer per…l de preferências
15.2. AGREGAÇÃO DE PREFERÊNCIAS 113 concorda com a preferência de algum indivíduo especí…co da sociedade. Observe que um funcional de bem-estar social ditatorial é sempre Paretiano. Ou seja, ao menos ele respeita decisões unânimes.
Como discutimos antes, ser paretiano é uma espécie de propriedade mínima que todo funcional de bem-estar social deve satisfazer, mas como o exemplo acima mostra, mesmo regras intuitivamente super injustas a satisfazem. Agora nós consideraremos três outras propriedades que são desejáveis a um funcional de bem-estar social em um grande número de situações.
De…nição 15.2 (Anonimidade). Para qualquer vetor (f1; :::; fN), o valor fS(f1; :::; fN) só
depende do número de 1’s, 0’s e -1’s em (f1; :::; fN).
Ou seja, um funcional de bem-estar social que satisfaz esta propriedade não faz distinção entre os diversos indivíduos na sociedade. Portanto, se 10 indivíduos consideram x melhor do que y, para um funcional que respeita anonimidade não importa quem são esses 10 indivíduos. É claro que esta propriedade só é interessante em situações em que realmente não existem justi…cativas para considerar a opinião de alguns indivíduos mais importante que a de outros.
A propriedade a seguir é uma espécie de anonimidade entre as alternativas.
De…nição 15.3 (Neutralidade Entre Alternativas). Dizemos que um funcional de bem-estar social é neutro entre as alternativas se sempre temos fS(f1; :::; fN) = fS( f1; :::; fN).
Ou seja, um funcional de bem-estar social é neutro entre as alternativas se quando todos os indivíduos da sociedade invertem suas preferências em relação a x e y, então a preferência social também é invertida.
A última propriedade que vamos considerar é a que diz que o funcional de bem-estar social deve ser in‡uenciado por mudanças de preferências individuais de uma forma consistente com estas mudanças.
De…nição 15.4 (Resposta Positiva). Dizemos que um funcional de bem-estar social responde de forma positiva a mudanças de preferências individuais, se para quaisquer dois per…s ( ^f1; :::; ^fN) e (f1; :::; fN) tais que ^fi fi pra todo i, com desigualdade estrita para algum i,
e fS(f1; :::; fN) 0, então fS( ^f1; :::; ^fN) = 1.
Ou seja, suponha que para um dado per…l o nosso funcional de bem-estar social considere x melhor ou pelo menos tão bom quanto y. Agora suponha que alguns indivíduos aumentem a sua consideração por x. A propriedade acima diz que agora o nosso funcional de bem-estar social tem que considerar x estritamente melhor do que y.
Embora existam situações em que nem todas as propriedades acima sejam desejáveis para um funcional de bem-estar social, em geral elas são propriedades bem razoáveis. Em particular, é fácil veri…car que a regra da maioria simples satisfaz todas as propriedades acima. Um pouco menos óbvio é o fato de que na verdade maioria simples é o único funcional de bem-estar social que satisfaz Anonimidade, Neutralidade Entre Alternativas e Resposta Positiva. Nós demonstramos tal fato no teorema abaixo.
Teorema 15.1 (Teorema de May). O único funcional de bem-estar social que satisfaz Anonimidade, Neutralidade Entre Alternativas e Resposta Positiva é a regra da maioria simples.
Demonstração. Na lista de exercícios vocês vão ter que checar que a regra da maioria sempre satisfaz as três propriedades acima. Agora vamos apenas demonstrar que se fSé um funcional
que satisfaz as três propriedades acima, então fS é a regra da maioria. Para um dado per…l de
preferências (f1; :::; fN), de…na n+(f1; :::; fN) como o número de indivíduos em (f1; :::; fN)
que consideram x estritamente melhor do que y, ou seja n+(f
1; :::; fN) := #fi : fi = 1g.
Similarmente, de…na n (f1; :::; fN) := #fi : fi = 1g. Como fS satisfaz anonimidade, nós
podemos escrever fS na forma
fS(f1; :::; fN) = G n+(f1; :::; fN) ; n (f1; :::; fN) :
A primeira coisa que vamos mostrar agora é que se n+(f
1; :::; fN) = n (f1; :::; fN), então, em
conformidade com o que aconteceria com a regra da maioria, o nosso funcional fS também
satisfaz fS(f1; :::; fN) = 0. Suponha que (f1; :::; fN) é tal que n+(f1; :::; fN) = n (f1; :::; fN).
Por Neutralidade Entre Alternativas nós sabemos que fS(f1; :::; fN) = fS( f1; :::; fN).
Mas observe que, por construção, n+(f
1; :::; fN) = n+( f1; :::; fN) e n (f1; :::; fN) =
n ( f1; :::; fN). Como o valor de fSsó depende do número de 1’s e -1’s em um determinado
per…l, nós somos obrigados a concluir que fS(f1; :::; fN) = fS( f1; :::; fN). Como antes
nós havíamos visto que fS(f1; :::; fN) = fS( f1; :::; fN), nós agora aprendemos que
fS( f1; :::; fN) = fS( f1; :::; fN) e, portanto, nós temos que ter fS(f1; :::; fN) =
fS( f1; :::; fN) = 0. Já sabemos, então, que quando o número de pessoas que prefere x a y é
igual ao número de pessoas que prefere y a x, então fS realmente age como a regra da maioria.
Considere agora um per…l tal que n+(f
1; :::; fN) > n (f1; :::; fN). Isto quer dizer que no per…l
(f1; :::; fN) temos n+(f1; :::; fN) n (f1; :::; fN) pessoas a mais que preferem x a y do que y
a x. Considere um novo per…l ( ^f1; :::; ^fN) em que nós mudamos o valor dos n+(f1; :::; fN)
n (f1; :::; fN) primeiros indivíduos que tinham fi = 1 para ^fi = 0. Por construção, o
per…l ( ^f1; :::; ^fN) satisfaz n+( ^f1; :::; ^fN) = n ( ^f1; :::; ^fN) e, pelo que nós aprendemos na
primeira parte da demonstração, tem que satisfazer fS( ^f1; :::; ^fN) = 0. Mas observe que
fi f^i pra todo i, com desigualdade estrita para algum i.15.2 Usando Resposta Positiva nós
concluímos que fS(f1; :::; fN) = 1. Para completar, suponha que o per…l (f1; :::; fN) é tal que
n+(f
1; :::; fN) < n (f1; :::; fN). Isto implica que n+( f1; :::; fN) > n ( f1; :::; fN). Pelo
que acabamos de aprender sabemos, então, que fS( f1; :::; fN) = 1. Mas agora, usando
Neutralidade entre Alternativas nós obtemos fS(f1; :::; fN) = fS( f1; :::; fN) = 1.
Portanto, fS comporta-se exatamente como a regra da maioria simples em todas as situações
possíveis, o que conclui a demonstração do teorema.