Nós agora estudaremos o problema de agregação de preferências sobre um conjunto de K alternativas, com K 3. Nós veremos que tal problema tem uma resposta bem menos
15.2Mais precisamente, a desigualdade é estrita para os n+(f
1; :::; fN) n (f1; :::; fN) primeiros indivíduos que satisfazem fi= 1:
15.2. AGREGAÇÃO DE PREFERÊNCIAS 115 satisfatória do que no caso em que K = 2. Novamente, suponha que a sociedade seja composta por N agentes e que cada agente i tenha uma preferência %i sobre um conjunto X
de K alternativas. Lembre-se que, usualmente, e será o caso aqui, uma relação de preferência satisfaz as seguintes propriedades:
Propriedade 15.1 (Completude). Uma relação de preferência %i é completa quando para
qualquer x; y 2 X, ou x %i y ou y %i x:
Ou seja, uma preferência completa %i sabe comparar qualquer par de alternativas. Para
uma preferência completa %i a a…rmação eu não sei como x se compara a y não é uma
resposta válida. A outra propriedade usualmente satisfeita pelas relações de preferência utilizadas em economia é a seguinte:
Propriedade 15.2 (Transitividade). Uma relação de preferência %i é transitiva se para
qualquer trio de alternativas x; y e z, toda vez que tivermos x %i y e y %i z, então
necessariamente temos que ter x %i z:
A propriedade acima simplesmente a…rma que se x é considerado pelo menos tão bom quanto y pelo agente i e y é considerado pelo menos tão bom quanto z, então o agente i deve considerar x pelo menos tão bom quanto z. Por hipótese, as preferências de todos os agentes em nossa economia satisfarão as duas propriedades acima. Para simpli…car a análise, nós faremos uma hipótese adicional, mas ressaltamos que tal hipótese não é necessária para os resultados nesta seção. Por simplicidade, nós suporemos que as preferências dos agentes são todas estritas:
Propriedade 15.3 (Preferências Estritas). Nós dizemos que uma preferência %i é estrita
se para nenhum par de alternativas x e y, com x 6= y nós temos x i y.
Ou seja, os agentes em nossa economia sempre têm uma clara opinião em relação a qualquer par de alternativas. Clara no sentido de que eles sempre sabem apontar qual alternativa é preferida em uma comparação dois a dois.
Uma forma conveniente de representar preferências estritas é através de uma lista ou vetor. Por exemplo, suponha que o nosso conjunto de alternativas seja dado por X := fx; y; zg. A lista (y; z; x) representa a relação de preferência em que y z, y x e z x. Nós agora de…nimos um funcional de bem-estar social no presente contexto:
De…nição 15.5. Um funcional de bem-estar social é uma regra que associa a cada possível per…l de preferências estritas (%1; :::; %N) uma preferência %S, não necessariamente estrita
(mas que satisfaz completude e transitividade).
Nós usaremos a seguinte notação: Para um dado per…l de preferências dos agentes (%1; :::; %N), nós representaremos a preferência social induzida por (%1; :::; %N), dado um
funcional de bem-estar social, pela expressão %(%1;:::;%N)
S . Desta forma, a a…rmação x %
(%1;:::;%N)
S
y signi…ca que x é socialmente preferível a y, dado o nosso funcional de bem-estar social e dado o per…l de preferências dos agentes (%1; :::; %N). De forma similar, x (%S 1;:::;%N) y
Exemplo 15.3. Também neste caso, uma das funções de bem-estar social mais imediatas seria a função ditatorial. Ou seja, a função que para qualquer per…l de preferências (%1; :::; %N),
sempre faz %(%1;:::;%N)
S =%i , para algum indivíduo i .
Exemplo 15.4. Suponha que X := fx; y; zg e que tenhamos três agentes com preferências estritas dadas por (x; y; z), (z; x; y) e (y; z; x). Uma possibilidade para agregar tais preferências seria atribuir 3 pontos para o primeiro colocado, 2 para o segundo e 1 para o último e de…nir, para cada alternativa em X, uma função de utilidade dada pela soma de sua pontuação no ranking de cada um dos agentes em nossa economia. No exemplo em questão nós teríamos U (x) = 6, U (y) = 6 e U (z) = 6. Logo, o nosso funcional de bem-estar social associaria a este per…l de preferências a seguinte preferência social: x S y S z.
Novamente, uma propriedade mínima para um funcional de bem-estar social ser considerado aceitável é a propriedade de unanimidade.
De…nição 15.6. Um funcional de bem-estar social é Paretiano, ou satisfaz unanimidade, se para qualquer par de alternativas x e y e per…l de preferências (%1; ::: %N) ; se é o caso que
x i y para todos os agentes i, então x (%S 1;:::%N) y.
Ou seja, um funcional de bem-estar social é Paretiano se pelo menos ele concorda com a preferência dos agentes quando eles forem unânimes na maneira em que eles comparam x e y.
Nós agora apresentamos outra propriedade que, embora não seja tão indiscutível quanto a propriedade de Paretianismo acima, é bastante comum na análise econômica nos mais diversos contextos.
De…nição 15.7. Nós dizemos que um funcional de bem-estar social satisfaz Independência de Alternativas Irrelevantes (IAI) se para quaisquer dois per…s de preferências (%1; :::; %N),
(%0
1; :::; %0N) e par de alternativas x e y tais que
x %i y se e somente se x %0i y,
para todo i, também é verdade que x %(%1;:::;%N)
S y se e somente se x %
(%0 1;:::;%0N)
S y.
É importante que o formalismo matemático não prejudique o entendimento da propriedade acima, que na verdade é simples. O que IAI diz é que o ranking social entre qualquer par de alternativas x e y, só deve depender de como os agentes em nossa economia comparam x e y. Ou seja, na hora de comparar x e y, não faz diferença para o nosso ranking social se o agente i considera x a melhor alternativa de todas e y a pior, ou se i considera x a quarta melhor alternativa e y a quinta. Tudo o que o ranking usa é a informação de que i considera x melhor do que y.
É fácil perceber que a propriedade acima é bem mais discutível do que a propriedade de Paretianismo, mas esta também tem as suas justi…cativas. A principal delas é que se estamos interessados em decidir se x é melhor do que y socialmente, não há justi…cativa óbvia para concluirmos que tal decisão deva depender de como os agentes em nossa economia comparam x e y com outras alternativas. No entanto, alguns funcionais de bem-estar social interessantes não satisfazem tal condição.
15.2. AGREGAÇÃO DE PREFERÊNCIAS 117 Exemplo 15.5. Considere o funcional de bem-estar social no exemplo 15.4. Modi…quemos um pouco o per…l de preferências naquele exemplo para (x; y; z), (z; x; y) e (y; x; z). Tudo que …zemos foi trocar a posição entre x e z no ranking do último agente. Ou seja, não mudamos, para nenhum agente, a forma como ele compara y e z. Mas observe que agora temos U (y) = 6 e U (z) = 5. Mas isto implica que agora socialmente nós temos y S z
contrariando IAI.
Na verdade, um resultado famoso provado por Kenneth Arrow mostra que o ocorrido no exemplo acima não foi um caso especial.
Teorema 15.2 (Teorema da Impossibilidade de Arrow). Suponha que o número de alternativas seja pelo menos 3. Se um funcional de bem-estar social satisfaz Paretianismo e Independência de Alternativas Irrelevantes, então este é um funcional ditatorial.
A demonstração do teorema acima na sua forma mais geral está um pouco além dos objetivos deste curso, mas nós demonstraremos o resultado para o caso simpli…cado em que existem apenas dois agentes e três alternativas.
Demonstração do teorema de Arrow com 2 agentes e 3 alternativas. Seja X := fx; y; zg o conjunto de alternativas. Suponha que o agente 1 não seja um ditador. Nós vamos mostrar que neste caso o agente 2 será um ditador. Se 1 não é um ditador, então tem que existir um par de alternativas, digamos x e y; e um per…l de preferências tais que x 1 y, y 2 x, mas
y %(%1;%2)
S x.15.3 Dado IAI, isto implica que na verdade para qualquer per…l em que x 1 y
e y 2 x nós teremos y %(%S 1;%2) x. Nós prosseguiremos através de vários passos.
Passo 1. Para qualquer per…l (%1; %2) em que z 2 x, nós necessariamente temos z (%S 1;%2)
x:
Demonstração do Passo 1. Considere o seguinte per…l: %1= (x; z; y) e %2= (z; y; x). Por
unanimidade nós temos que ter z (%1;%2)
S y, mas pelo que nós aprendemos acima nós também
temos que ter y %(%1;%2)
S x. Mas agora transitividade da preferência social implica que
z (%1;%2)
S x. Agora IAI e Paretianismo implicam que para qualquer per…l (%1; %2) em que
z 2 x nós teremos z S x.15.4 k
Nós precisamos de mais um passo agora.
Passo 2. Para qualquer per…l (%1; %2) em que y 2 x, nós necessariamente temos y (%S 1;%2)
x.
Demonstração do Passo 2. Agora considere o seguinte per…l %1= (x; y; z) e %2= (y; z; x).
Por unanimidade nós temos y (%1;%2)
S z e pelo passo anterior temos z
(%1;%2)
S x. Agora, por
transitividade, temos y (%1;%2)
S x. Por IAI e Paretianismo aprendemos que para qualquer
per…l (%1; %2) em que y 2 x, então y (%S 1;%2)x. k
15.3Para chegar a tal conclusão nós estamos usando o fato de que, devido a Paretianismo, sempre que x 1y e x 2y nós obrigatoriamente teremos x
(%1;%2)
S y:
15.4Observe que para qualquer per…l (%
1; %2) em que z 1 x e z 2 x, Paretianismo imediatamente nos garante que z (%1;%2)
S x. É por isto que na demonstração do passo nós só nos preocupamos com o caso em que x 1z e z 2x.
Todos os outros casos possíveis podem ser demonstrados de forma similiar aos dois passos acima. Isto completa a demonstração do teorema.